《轴对称考点复习》专题
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知道自己应该做什么，而不去做，恰恰是很多人生悲剧的原因.——我说的
【考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识】
⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。
⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________
【典例1】下列几何图形中，○1线段 ○2角 ○3直角三角形 ○4
半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．下图中，轴对称图形的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴
【考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称】
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
【关于坐标轴对称】
点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，-y ）
点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（-x ，y ）
【关于原点对称】 点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y 【典例】 已知：△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）把△ABC 向下平移2个单位长度得到△A 1B 1C 1请画出△A 1B 1C 1； （2）请画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标.
图（2）
B P
【考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形】
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
【典例】1、如图，Rt △ABC ，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D 为AB 中点， P 为BC 上一动点，连接AP 、DP,则AP+DP 的最小值是
2、已知等边ABC ，E 在BC 的延长线上，CF 平分∠DCE ，P 为射线BC 上一点，Q 为CF 上一点，连接AP 、PQ.若AP=PQ ，求证∠APQ 是多少度
【考点四、线段垂直平分线的性质】
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等
归类回忆角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________
⑵角平分线上的点到______________________________相等
【典例】1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
2、如图，△ABC 中，AB=AC ，PB=PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直
B
3、如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则?EBC 的周长为（ ）
A.16厘米
B.18厘米
C.26厘米
D.28厘米
4、如图，∠BAC=30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD=28 ,
则AM=
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∠BA C 的平分线交
BC 于D. 过C 点作CG⊥AB 于G ，交AD 于E. 过D 点作
DF⊥AB 于F.下列结论：
①∠CED=∠CDE；②AEC S ?︰AC S AEG =?︰AG ；③∠AD F =2∠ECD ；
④DFB CED S S ??=；⑤CE=DF. 其中正确结论的序号是( )
A ．①③④
B ．①②⑤
C ．③④⑤
D ．①③⑤
【考点五、等腰三角形的特征和识别】
⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）
特别的：（1）等腰三角形是___________图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）
特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
【典例】1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。
2、如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若
AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( )
C E B
D A
F E D
C B A G
A. 15 B . 14 C. 13 D. 18
3、如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，
且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o ,则∠FEB=________度．
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________
5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 °
6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于
7、已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，则∠DCE = 度.
8、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。试说明DE=DF 。
9、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形.
N M F C D
B
A
F E
D C B A
八上第二章《轴对称图形》暑假辅导（难题）单元测试（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高线AD和BE的交点.若 CD=4，则线段DF的长为() A. 2 B. 4 C. 3 D. 4√2 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA 上有一动点Q，OB上有一动点R.若△PQR周长最小，则最小周 长是() A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 3.如下图，△ABC中，∠A=60°，BE，BF三等分∠ABC；CE，CF三等分∠ACB，分别交 于点E、F，连接EF，则∠BEF等于() A. 40° B. 45° C. 60° D. 50° 4.如图，AD是△ABC的边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列条件中的某一个就能 推出△ABC是等腰三角形的是()
①BD=CD；②∠BAD=∠CAD；③S△ABD=S△ACD；④DE=DF． A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD 交CE于N，交AE于O.则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM； ⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°， 则∠A n?1A n B n?1(n>2)的度数为() A. 70 2n B. 70 2n+1 C. 70 2n?1 D. 70 2n+2 7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上， AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最 小值等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射 线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为()
八年级数学 期末复习专题轴对称与等腰三角形 姓名：_______________班级：_______________得分：_______________ 一选择题： 1.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（） A． B． C． D． 2.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（） A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01 3.平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（） A．x轴 B．y轴 C．直线y=4 D．直线x=-1 4.如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( ) (A)△是等腰三角形． (B)MN垂直平分． （C）△ABC与△面积相等．（D）直线AB、的交点不一定在MN上． 5.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）． 6.若等腰三角形一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为…（） A.40，40 B.80°，20 C.50°，50° D.80°，20°或 50°，50°
7.如图是轴对称图形，它的对称轴有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是（） A.24 B.30 C.32 D.34 9.如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置上，EA′与BC相交于点F，已知∠1=130°，则∠2的度数是（） A.40° B.50° C.65° D.80° 10.如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整 个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（） A. 2种 B. 4种 C. 5种 D. 7种 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=4，则AC长为( ) A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 12.为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________． Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（ ） A D E
初二几何难题训练题 1，如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点 （1）求证△ADE≌△BCF：（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。 证明：（1）在矩形ABCD中，AC,BD为对角线， ∴AO=OD=OB=OC ∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO ∵E,F为OA,OB中点∴AE=BF=1/2AO=1/2OB ∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF ∴△ADE≌△BCF （2）过F作MN⊥DC于M,交AB于N ∵AD=4cm，AB=8cm∴BD=4根号5 ∵BF:BD=NF:MN=1：4 ∴NF=1，MF=3 ∵EF为△AOB中位线∴EF=1/2AB=4cm ∵四边形DCFE为等腰梯形∴MC=2cm ∴FC=根号13cm。 2，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm． （1）求证：四边形ABFE是等腰梯形； （2）求AE的长． （1）证明：过点D作DM⊥AB， ∵DC∥AB，∠CBA=90°，∴四边形BCDM为矩形．∴DC=MB． ∵AB=2DC，∴AM=MB=DC． ∵DM⊥AB，∴AD=BD．∴∠DAB=∠DBA． ∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，∴四边形ABFE是等腰梯形． （2）解：∵DC∥AB，∴△DCF∽△BAF．∴CD AB =CF AF =1 2 ． ∵CF=4cm，∴AF=8cm． ∵AC⊥BD，∠ABC=90°，在△ABF与△BCF中， ∵∠ABC=∠BFC=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°， ∵∠FBC+∠ABF=90°，∴∠FAB=∠FBC，∴△ABF∽△BCF， 即BF CF =AF BF ，∴BF2=CF?AF．∴BF=4 2 cm．∴AE=BF=4 2 cm． 3，如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF 分别交于P、Q， （1）若AB=6，求线段BP的长； （2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论 解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形 ∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE ∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED ∴△ABP∽△ADE ∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD ?DE=6 18 ×6=2； （2）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形∴AB=BC=EF=FG∴AB+BC=EF+FG ∴AC=EG∵AD∥HE∴∠1=∠2∵BG∥CF∴∠3=∠4∴△EGP≌△ACQ． 4、已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G 1 如果点E。F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论 2 如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？
专题13.4 作轴对称图形（专项练习） 一.选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B ．全等三角形是关于某直线对称的 C ．两个图形关于某条直线对称，这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D ．若点A 、B 关于直线MN 对称，则AB 垂直平分MN 2. 如果点A （x ﹣y ，x+y ）与点B （5，﹣3）关于y 轴对称，那么x ，y 的值是（ ） A.x=4，y=﹣1 B.x=﹣4，y=﹣1 C.x=4，y=1 D.x=﹣4，y=1 3. 如图，△ABC 与△关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是( ) A ．△是等腰三角形 B ．MN 垂直平分， C ．△ABC 与△面积相等 D ．直线AB 、的交点不一定在MN 上 4. 已知点（，5）与（2，－1）关于轴的对称，则的值为（ ） A.0 B.－1 C.1 D. 5. 平面直角坐标系内的点A （﹣1，2）与点B （﹣1，﹣2）关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y=x 对称 6. 如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是（ ） 111A B C 1AA P 1AA 1CC 111A B C 11A B 1P 1a -2P b x ()2011a b +()20113 -
A.150° B.300° C.210° D.330° 二.填空题 7. 已知△ABC 和△关于MN 对称，并且AB ＝5，BC ＝3，则的取值范围是_________. 8. 已知点A （，2），B （－3，）.若A ，B 关于轴对称，则＝_____，＝_____.若A ，B 关于轴对称，则＝_____，＝_________. 9. 若点P （，）关于轴的对称点是，关于轴对称点为，且坐标为（－3，4）则＝________，＝_______. 10. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y 轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（ ， ）． 11. 如图，这是小龙制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC 所在的直线为对称轴， 且∠A ＝32°，∠ACO ＝24°，则∠BOC ＝________. 12. 平面直角坐标系中的点P 关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范 围为 ． 三.解答题 13. 如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两 种方法分别在下图方格内．．． 添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形. 14. 如图，点M 在锐角∠AOB 内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小 A B C '''A C ''a b x a b y a b a b y 1P 1P x 2P 2P a b 34?
轴对称填空选择专题练习（解析版） 一、八年级数学全等三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为 ________． 【答案】3 【解析】 【分析】 在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.【详解】 在AB上截取AE=AC ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠EAD=∠CAD 又AD=AD ∴△ADE≌△ADC(SAS) ∴ED=DC，∠ADE=∠ADC ∵∠ADB＝150° ∴∠EDB+∠ADE=150° 又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180° ∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180° 即∠ABD +∠ADC=150° ∴∠ABD=∠EDB ∴BE=ED 即BE=CD 又AB=8，AC=5 CD=BE=AB-AE=AB-AC=3 故答案为3
【点睛】 本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形. 2．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，若BE 交AD 于点F ，则∠AFE 的大小为 _____（度）． 【答案】60 【解析】 【分析】 根据△ABC 为等边三角形得到AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，再利用BD ＝CE 证得△ABD ≌△BCE ，得到∠BAD ＝∠CBE ，再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE＝60°. 【详解】 ∵△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ， ∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°， 在△ABD 和△BCE 中， AB BC ABD BCE BD CE =??∠∠??=? ＝, ∴△ABD ≌△BCE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠CBE ， ∵∠ABF +∠CBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠ABF +∠BAD ＝60°， ∵∠AFE ＝∠ABF +∠BAD ， ∴∠AFE ＝60°， 故答案为：60． 【点睛】
轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度
一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5 C ．PQ ＜5 D ．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cm 二．填空题 11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________． 13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距 离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC A P A E C B D
《轴对称图形》课后练习 1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是() ①②③④ A．①②③B．②③④ C．③④① D．④①② 2．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．有两个角相等的三角形 B．有一个角为45o的直角三角形 C．有一个内角为30o，一个内角为120o的三角形 D．有一个内角为30o的直角三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ) A．过顶点的直线 B．顶角的平分线 C．底边的垂直平分线 D．腰上的高 4．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．角B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形 5．正五角星的对称轴的条数是( ) A．1条B．2条C．5条 D．10条
6．下列图形中有4条对称轴的是( ) A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形 7．下列说法中，正确的是( ) A．两个全等三角形组成一个轴对称图形 B．直角三角形一定是轴对称图形 C．轴对称图形是由两个图形组成的 D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列 结论中： ①ΔABC≌ΔA’B’C’； ②∠BAC’≌∠B’AC； ③l垂直平分CC’； ④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( ) A．4个B．3个 C．2个D．1个 9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是( ) A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（）
1 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置？）；②等腰三角形的 对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角 形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 //3．∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，△P 1OP 2是 （ c ）：∵P 为∠AOB 内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2， ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°， ∴△OP 1P 2是等边三角形． A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ） ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） A ．PA+P B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1 C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4 ，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB 于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= A O P A E C B D
第十三章（精编）轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点二、线段垂直平分线的性质 4．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。 BC 5．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分 6．如图,DE是?ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米
三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图 形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴． 11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。 二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B 、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称 图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 8题）
第10题 一、 选择题 1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处 C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在A 、B 两内角平分线的交点处 4.下列说法中错误的是（ ） A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B 关于某条直线对称的两个图形全等 C 全等的三角形一定关于某条直线对称 D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ） A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC 8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ） A . <1>和<2> B . <2>和<3> C . <2>和<4> D . <1>和<4> 轴对称作图题专练 1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，?且到∠AOB 的两边的距离相等． C B A
轴对称与轴对称图形 一、知识点： 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一 个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个 图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴 对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两 个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰 三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线： （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、举例： 例1：判断题： ①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线； （）
②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴； （） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形； （） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形. 例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形： 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。 方法1 方法2 方法3
八年级数学轴对称画图题专题难点训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，点P是线段AB上的一点，请在图中完成下列操作． （1）过点P画BC的垂线，垂足为H； （2）过点P画AB的垂线，交BC于Q； （3）线段的长度是点P到直线BC的距离． 2．作图题: （1）过点A画高AD； （2）过点B画中线BE； （3）过点C画角平分线CF． 3．在下面的方格纸中， （1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称； （2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格． 4．如图，在正方形网格上有一个△DEF．
（1）画出△DEF关于直线HG的轴对称图形（不写画法）； （2）画EF边上的高（不写画法）； （3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形， 点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C． 6．已知：如图，已知△ABC (1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是，点A关于y轴对称的点A2的坐标是； (2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． 7．如图所示的点A、B、C、D、E．
（1）点和点关于x轴对称； （2）点和点关于y轴对称； （3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 8．如图，根据要求回答下列问题： （1）点A关于y轴对称点A’的坐标是；点B关于y轴对称点B’的坐标是； （2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A’B’C’（不要求写作法） （3）求△ABC的面积是 9．如图，根据要求回答下列问题： （1）点A关于y轴对称点A′的坐标是；点B关于y轴对称点B′的坐标是（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（不要求写作法） （3）求△ABC的面积． 10．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称
# 2016年08月25日的初中数学组卷 一．选择题（共10小题） 1．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） ！ A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016?莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（） A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD 4．（2016?怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（） A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD 5．（2016?德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（） !
A．65° B．60° C．55° D．45° 6．（2016?天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（） A．13 B．15 C．17 D．19 7．（2016?恩施州）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（） A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm & 8．（2016?毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 9．（2016?黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（） A．50° B．100°C．120°D．130° 10．（2016?荆州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB 的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（） *
旋转平移轴对称作图专题 一?解答题(共21小题) 1 ?如图，四边形ABDC的四个顶点都在正方形网格中的小正方形顶点上，每个小正方形的边长为1 ? (1)将四边形ABDC先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到四边形 A i B i D i C i，其中顶点A, B, D, C的对应点分别为点A1、B1、0、G,请在网格中画出四边形A1B1D1C1； (2)将四边形ABDC沿着直线MN翻折后得到四边形A2B2DQ，连接D1A2，并直 接写出线段D1A2的长度. M 2 ?如图，在小正方形组成的网格中，△ ABC和厶DEF的顶点都在格点上，根据 图形解答下列问题： (1)将厶ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的厶A1B1C1; (2)将厶DEF绕D点逆时针旋转90°画出旋转后的△ DEF1. E 3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的9X 9网格中，给出了格点△
ABC(顶点是网格线交点)，点0在格点上. (1) 画出将△ ABC向右平移2个单位长度得到厶A i BiG. 4?如图，将△ ABC平移，可以得到△ DFE点C的对应点为点E,请画出平移后的厶DFE 5?如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点. (1)画出△ ABC向右平移4个单位后得到的厶A i B i C i; (2)_____________________________ 图中AC与A i C i的关系是：; (3)画出△ ABC的AB边上的高CD 垂足是D; (4)________________________ 图中△ ABC的面积是 . ABC经过一次平移后得到△ A B',图中标出来点A,点B'、点C和它的对应点C. (i)请画出平移前后的△ ABC和厶A B';C'
与轴对称相关的线段之和最短问题 一．问题的引入： 在学习了作轴对称图形之后，有这样一个问题 在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。 二．数学模型： 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△PAB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。 为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 三.两边之和大于第三边型 (一)直线类 1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 2．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长； (2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值 3．求代数式x 2 + 1 + (4-x)2 + 4 （0≤x ≤4）的最小值 (二)角类 4．两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短. 解：分别做点P 关于直线OA 和OB 的对称点P 1、P 2，连结P1P2分别交OA 、OB 于C 、D ，则C 、D 就是建加油站的位置.若取异于C 、D 两点的点， 则由三角形的三边关系，可知在C 、D 两点建加油站运油车所走的路程最短. 5．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2，则OP = OP 1 = OP 2 = 10且∠P 1OP 2 = 90°由勾股定理得P 1P 2 = 10 2 (三)三角形类 6．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则 = PB+PEB'E 的长就是PB+PE 的最小值 7．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则 EC ＋ED 的最小值为_______。 即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。 在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 5 8．等腰△ABC 中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M 、N 分别是AB 、AC 上的点，求BN+MN+MC 的最小值 分别作点C 、B 关于AB 、AC 的对称点C ’、B ’，连接C ’B ’交AB 、AC 于点M 、N ，则BN+MN+MC = B ’N+MN+MC ’ = B ’C ’， BN+MN+MC 的最小值就是B ’C ’的值 ∵∠BAC ’ = ∠BAC ，∠CAB ’ = ∠CAB ∴∠B ’AC ’ = 60° ∵AC ’ = AC ，AB ’ = AB ，AC = AB 1D E 1 ' Ｃ O