证法1
一种借助面积完成的演绎证明（愚草提供），双击右侧图片可以清楚阅读：
另附：《对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘》[3]一文。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c. ；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，；且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD，
∴；∠EGF = ；∠BED，
∵；∠EGF + ；∠GEF = 90°，
∴；∠BED + ；∠GEF = 90°，
∴；∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴；∠ABC + ；∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ；≌ RtΔEBD，
∴；∠ABC = ；∠EBD.
∴；∠EBD + ；∠CBE = 90°
即；∠CBD= 90°
又∵；∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
A+B=C
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵；∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴；∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴；∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵；∠QBM + ；∠MBA = ；∠QBA = 90°，
∠ABC + ；∠MBA = ；∠MBC = 90°，
∴；∠QBM = ；∠ABC，
又∵；∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ；≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ；≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ；∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；，
同理，RtΔABG ；≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE
∴∠ABG = ；∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
A2+B2=C2。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. ；过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ；∠GAD，
∴；ΔFAB ；≌；ΔGAD，
∵；ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴；矩形ADLM的面积=.
同理可证，矩形MLEB的面积=.
∵；正方形ADEB的面积
= ；矩形ADLM的面积+ ；矩形MLEB的面积
∴；即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）；三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A ；和G ；都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB ；和BD ；分别等于FB ；和BC，所以△ABD ；必须相等于△FBC。因为 A ；与K ；和L是线性对应的，所以四方形BDLK ；必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G 有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK ；必须有相同的面积BAGF = AB^2。同理可证，四边形CKLE ；必须有相同的面积ACIH = AC^2。把这两个结果相加，AB^2+ AC^2= BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC ；由于CBDE是个正方形，因此AB^2+ AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6
图1
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
⑴（BD）^2=AD·DC，
⑵（AB）^2=AD·AC ；，
⑶（BC）^2=CD·AC。
由公式⑵+⑶得：（AB）^2+（BC）^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）^2，
图1即；（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。
证法7
赵爽弦图
青朱出入图
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）^2 =c^2；
化简后便可得：a^2 +b^2 =c^2；
亦即：c=(a2 +b2 )1/2
证法8
达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾
股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF 和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：
第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2
勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b ( a + b )= 1/2 c^2 + ab + 1/2 (b + a)(b - a)
矩形面积=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
角三角形。
（简化）2ab + 2b^2= c^2 + b^2- a^2+ 2ab
2b^2- b^2 + a^2 = c^2;
a2 + b2 = c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
证法10
在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。
令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d
1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c
=(a^2+b^2）/c^2=1
所以a^2+b^2=c^2
得证。
证法11
大家参考证法7，不难发现，这非常麻烦。
图示
注意右图，在AE上做点I，使AI=a。连接CI，FI，将EG延伸至H，GH=a 连接CH，FH。
把FAI旋转至FHG，CBI旋转至DCH。
一个简单.易懂,优美的方法
勾股定理16种经典证明方法
勾股定理的证明 【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 2 1 4214222?+=?++， 整理得 2 2 2 c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积等于ab 2 1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a
a b a b c c C D ∵ EF = FG =GH =H E = b ―a , ∠HE F = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 2 14c a b ab =-+?. ∴ 2 2 2 c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积等于ab 2 1 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于22 1c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ()22 1 b a +. ∴ ()222 121221 c ab b a +?=+. ∴ 2 2 2 c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） a 、 b ，斜边长为 c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++，整理得222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA . ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴2 2 2 c b a =+.
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB . ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴()22 214c a b ab =-+?. ∴2 2 2 c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC . ∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴2 22c b a =+.
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于
a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知 AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
我们都喜欢把日子过成一首诗，温婉，雅致；也喜欢把生活雕琢成一朵花，灿烂，美丽。可是，前行的道路有时会曲折迂回，让心迷茫无措。生活的上空有时会飘来一场风雨，淋湿了原本热情洋溢的心。 不是每一个人都能做自己想做的事情，也不是每一个人都能到达想去的远方。可是，既然选择了远方，便只有风雨兼程。也许生活会辜负你，但你不可以辜负生活。 匆匆忙忙地奔赴中，不仅要能在阳光下灿烂，也要能在风雨中奔跑！真正的幸福不是拥有多少财富，而是在前行中成就一个优秀的自己！ 生命没有输赢，只有值不值得。坚持做对的事情，就是值得。不辜负岁月，不辜负梦想，就是生活最美的样子。 北大才女陈更曾说过：“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了，也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛场。” 她用坚韧和执着给自己的人生添上了浓墨重彩的一笔。 我们都无法预测未来的日子是阳光明媚，还是风雨如晦，但前行路上点点滴滴的收获和惊喜，都是此生的感动和珍藏。 有些风景，如果不站在高处，你永远欣赏不到它的美丽；脚下有路，如果不启程，你永远无法揭晓远方的神秘。 我们踮起脚尖，是想离太阳更近一点儿；我们努力奔跑，是想到达远方欣赏最美的风景。 我们都在努力奔跑，我们都是追梦人！没有伞的时候，学会为自己撑伞；没有靠山的时候，学会自己屹立成一座伟岸的山！ 远方有多远？多久能达到？勇敢往前冲的人，全世界都会向他微笑。相信，只要启程，哪怕会走许多弯路，也会有到达的那一天。
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ，整理得. 【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. ∴. ∴. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED，
∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°， ∴∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD. ∴∠EBD + ∠CBE = 90o. 即∠CBD= 90o. 又∵∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC. ∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于. 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. ∴. ∴. 【证法5】（辛卜松证明）
勾股定理的证明 【证法1】 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条 直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 2 2 2 c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形 的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条 直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
勾股定理五种证明方法 1证法】【abba aacaabc c ab bccbbb ca b 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为做8c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ，整理得.
证法2证明）（】【 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab 2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, CGDab∴∠AHE = ∠BEF. , o∠AHE = 90∵∠AEH + abc. o∠BEF = 90∴∠AEH + c. = 90o HEF = 180o―90o∴∠H c的四边形EFGH是一个边长为F它的面积等于
c2. 正方形.b HAE, RtΔ≌∵RtΔGDH .HGD = ∠EHA∴A, o∠GHD = 90∵∠HGD + . GHD = 90∠o∴∠EHA + , GHE = 90o又∵∠. o= 180o+ 90o∴∠DHA = 90. 是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于∴ABCD .∴∴. 证法3证明）（】【做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED，
勾股定理的不同证法 证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c， 如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对 应的角为直角，则已证明勾股定理：a2+b2=c2 证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b， c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方 形（c边长），则a2+b2=c2，已证明勾股定理。 证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形， 则每个直角三角三角形的面积等于?ab，把这两个直角三 角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。 ∵Rt△EAD≌RT△CBE， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠AED＋∠ADE＝90° ∴∠AED＋∠BEC＝90° ∴∠DEC＝180°—90°＝90° ∴△DEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于?c2 又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°， ∴AD∥BC ∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于?（a＋b）2 ∴?（a＋b）2＝2·?ab＋?c2 ∴a2+b2=c2 证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直 角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b， c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从 左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所 以面积相等，即： a2+b2＋4·?ab等于c2＋4·?ab，整理便得a2+b2=c2 证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四 个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?ab，把这 四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵RtDAH≌Rt△ABE, ∴∠HDA＝∠EAB ∵∠HAD＋∠HAD＝90° ∴∠EAB＋∠HAD＝90° ∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2 ∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a ∠HEF＝90° ∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）2 4·?ab＋（b—a）2等于c2 ∴a2+b2=c2 证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
勾股定理的十六种证明方法 【证法1】 此主题相关图片如下： 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2) 整理得到：a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。 此主题相关图片如下： 【证法3】 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.
勾股定理五种证明方法 【证法1】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o . ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o . ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .
证法1 一种借助面积完成的演绎证明（愚草提供），双击右侧图片可以清楚阅读： 另附：《对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘》[3]一文。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c. ；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，；且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD， ∴；∠EGF = ；∠BED， ∵；∠EGF + ；∠GEF = 90°， ∴；∠BED + ；∠GEF = 90°， ∴；∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴；∠ABC + ；∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ；≌ RtΔEBD， ∴；∠ABC = ；∠EBD. ∴；∠EBD + ；∠CBE = 90° 即；∠CBD= 90° 又∵；∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A+B=C 证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵；∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴；∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴；∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵；∠QBM + ；∠MBA = ；∠QBA = 90°， ∠ABC + ；∠MBA = ；∠MBC = 90°， ∴；∠QBM = ；∠ABC， 又∵；∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ；≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ；≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2 证法3 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c. ；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ；∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；， 同理，RtΔABG ；≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE ∴∠ABG = ；∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°， ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2。 证法4 作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. ；过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ；∠GAD， ∴；ΔFAB ；≌；ΔGAD， ∵；ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM
勾股定理五种证明方法 This manuscript was revised on November 28, 2020
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 c ，再. .即 b a 22+【证法以 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF . ∵∠AEH+∠AHE=90o, ∴∠AEH+∠BEF=90o . ∴∠HEF=180o ―90o=90o . ∴四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD=∠EHA . ∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o . 又∵∠GHE=90o, ∴∠DHA=90o+90o=180o . ∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴()2 2214c ab b a +?=+.∴222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c .把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ΔEBD, ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°， ∴∠BED+∠GEF=90°， ∴∠BEG=180o ―90o=90o . 又∵AB=BE=EG=GA=c ， ∴ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴∠ABC+∠CBE=90o . ∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD,
ab c ab b a 2 1421422 2 ?+=?++ 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2 . ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +.
∴ ()2 22 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2 . ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这两个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于2 21c .
证法1 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上，
ab c ab b a 21421422 2 ?+=?++【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2 . ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,
勾股定理（毕达哥拉斯定理）及 各种证明方法 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期 发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2 + b2= c 2的正整数组（a, b, c）。（3,4,5）就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么”+b— 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a，b，c满足 = 3，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明） 全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 V Rt △ DAH 今 Rt △ ABE, A ZHDA = ZEAB ? ??? ZHAD + ZHAD = 90°, :. ZEAB + ZHAD = 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别 以a 、b 为直角边（b>a ）, 以c 为斜边作四个 于冲 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 . 90°,
为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼 成两个正方形?从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即，整理得宀F八 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 >.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上? ??? Rt △ EAD也Rt △ CBE,「? / ADE = / BEC. ??? / AED + / ADE = 90o,二 / AED + / BEC = 90o.二 / DEC = 180c—90o= 90o. ??? △ DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于