初二数学实数知识点整理
初二数学实数知识点整理
一、实数的有关概念
1、无理数：无限不循环小数叫做无理数，这说明无理数有两个基本特征：一是小数位数无限多，二是不循环。
2、无理数的表现形式
在初中阶段，无理数的表现形式有几下三种：
①开方开不尽而得到的数，如、、等
②含有的'数，如、等
③无限不循环的小数，如1.1010010001(每二个1之间依次多一个0)
二、实数的分类
有理数、无理数统称实数;它可以按以下两种方式分类
实数或实数
三、实数的重要性质
1、有理数范围内的一些定义，概念和性质在实数范围内仍然适用，如绝对值、相反数、倒数等。
2、两个实数大小的比较;正数大于0;0大小一切负数;二个负实数，绝对值大的反而小
3、在实数范围内，加、减、乘、除(除数不能为0)、乘方五种运算畅通无阻，在开方运算中，正实数和0总能进行开方运算，负实数只能开立方，不能开平方，
4、在有理数范围内的运算顺序和运算律在实数范围内仍然适用。
四、实数和数轴的关系
实数和数轴上的点存在着一一对应关系，即：任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的任何一个点都表示一个
实数。因此，我们不但可以将一个有理数用数轴上的一个点表示，
同时，也可以将一个无理数用数轴上的点表示出来。
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4
第二章：实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= - （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x 。
北师大版八年级数学上册第二章实数测试题（1） 一、选择题 1．下列各数：2π, 0·, 227，27，Λ1010010001.6，1中无理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2-，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－23 B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A ． B C D ．4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C D ． 2是分数 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2(π是无理数 B ．33是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ． 20163 是有理数 C ．22是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3=± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ． 6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2=
13．下列运算正确的是（ ） A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24· 32 =6 14．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．27－123＝9－4＝1 C ．(25)(25)1-+= D ．62322 -= 15．如图：在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的 实数是 A ．2.5 B ．2 2 C ． 3 D ． 5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-×25-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ．32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =29y =，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－6的绝对值是___________． 4．估计7的整数部分是
第二章：实数 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个 条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2 - 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根， 记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题 一、算术平方根： 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） 64 49； （4）14． 答案：解：（1）因为302 =900，所以900的算术平方根是30，即30900=； （2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=； （3）因为64 49872 = ? ? ? ??，所以 64 49的算术平方根是 8 7， 即 8 764 49= ； （4）14的算术平方根是14． 反馈练习： 一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)32 (的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根： 36， 144 121，15，0.64，410-，225，0)6 5 (． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 答案：一、1.7；2.3 ；3.3 2 ；4．16；二、6；12 11；15； 0.8；2 10 -；15；1； 三、解：由题意得 AC =5.5米，BC =4.5米，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得105 .45.52 22 2 =-=-= BC AC AB （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米． 识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。 二、平方根 例2 求下列各数的平方根: (1)64；(2) 49121 ；(3) 0.0004；(4)()2 25-；(5) 11 （1）解：()2 648=± ，648∴±的平方根是
《实数》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类 2、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 3、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样. 过程与方法目标： 1、在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。 2、能够逐步培养分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。 情感态度与价值观目标： 1、在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律 类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。 2、了解数系扩展对人类认识发展的必要性 ●重点： 1、了解实数意义，能对实数进行分类； 2、在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 3、明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。 ●难点： 利用数轴上的点表示无理数 ●教学流程： 一、课前回顾 1．有理数是如何分类的？分几种情况？ （1）按定义可分为：正整数 整数零 负整数 有理数正分数 分数 负分数
（2）按数的性质可分为： 正整数 正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数 负分数 任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式 2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 无理数一般有哪些形式? （1）开不尽方的数是无理数。 （ 2）π及含有π的数是无理数 （3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。 练一练 把下列各数分别填入相应的集合内： ， 1 4 ，π，﹣ 5 2 0, 0.3737737773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 有理数集合无理数集合 二、探究新知 1、实数的定义
八年级数学上册实数教案 平方根与算术平方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a 2，那么这个 x= 正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，4 22=，正数2是4的算术平方根。虽然4 )2 (2=，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“”是算术平方根的符号） 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根。例如，4 22 ，2是4的平方根，4 (2=，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 )2 知识点概括 概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 概括2：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 概括3：“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的意义有两点： （1）被开方数a表示非负数，即a≥0； （2）a也表示非负数，即a≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。 概括4：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
概括5：如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示。 当a＞0时，a有两个平方根， 当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身； 当a＜0时，a没有平方根。 正数a有两个平方根(表示为a ±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0 0=。 平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同； ②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a的平方根表示为a , 正数a的算术平方根表示为a； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 立方根 立方根概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 表示法：用式子表示，就是，如果a 3，那么x叫做a的立方根。数a的立方 x= 根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 立方根性质：(1)正数的立方根是正数(2)负数的立方根是负数 (3)0的立方根是0． 平方根与立方根的区别与联系 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
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第二章：实数 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个 条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2 - 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根， 记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个
第二章：实数 本章的知识网络结构： 知识梳理 一．数的开方主要知识点： 【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】： （1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 （3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。 （7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 【立方根】 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次 根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。 （2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有 平方根，只有非负数才能有平方根。 例3.（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832 ±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【无理数】 （1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段， 无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π （2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不
实数 基础练习题 1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0 B C ．3 D ． 13 2．在1 3.140.231.131331333133331(3 π-，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3的值在 A ．0和1之间 B ．1和2之间 C ．2和3之间 D ．3和4之间 4．下列四个数中，最小的一个数是 A ． B 3-． C -． D π-． 5 A ．3 B ．3- 1 C 3． 1 D 3 -． 6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数； ③任何实数都可以进行开立方运算； ④ 5 不是分数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2| B ．-4与 C ． D ．
8．如图，数轴上点P表示的数可能是 A6B．7C． 3.4 -D．11 932 -的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：325262 +-=__________． 115的点表示的数是__________． 12313）=__________7（1 7 ）=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内： 15416，2 3 3270.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛…｝； ②无理数集合：｛…｝； ③正实数集合：｛…｝； ④负实数集合：｛…｝． 14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值． 15．已知a7的整数部分，b7的小数部分，|c7，求a-b+c的值．
1 ___ π___ _____ —, 3√22 , 9.7 , —, √4 , 3√－1 , 0 5 29 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 25 (1) ——(2) 484 (3) 2.89 (4) 104 36 3.求下列各数的立方根。 1 (1) ——(2) 0.512 (3) －1000 (4) 106 27 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.216 3√－729 √144 √10-2
5 ___ π___ _____ －—, 3√24 , 8 , —, √1 6 , 3√－8 , 0 6 29 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 1 (1) ——(2) 100 (3) 0.49 (4) 10-4 49 3.求下列各数的立方根。 125 (1) ——(2) 0.216 (3) 125 (4) 10-9 64 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.125 3√－216 √225 √10-6
3 ___ π___ _____ －—, 3√9 , 9.3 , —, √100 , 3√－125 , 0 2 5 (1)正数集合{ …}; (2)负数集合{ …}; (3)有理数集合{ …}; (4)无理数集合{ …}; 2.求下列各数的平方根和算术平方根。 49 (1) ——(2) 361 (3) 0.09 (4) 10-6 64 3.求下列各数的立方根。 1 (1) ——(2) －0.512 (3) －729 (4) 103 8 4.求下列各式的值。 _____ _____ ___ ___ 3√0.125 3√－216 √400 √106
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 【 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平 方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例2. & （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. *
第一章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ” ，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
13.3实数（2） ㈠创设情景，导入新课 复习导入： 1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理数的混合运算顺序 ㈡合作交流，解读探究 自主探索 独立阅读，自习教材 总结 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 讨论 下列各式错在哪里？ 1、2133993393-?÷?=?÷= 2、()21212-=- 3、5656-=- 4、当2x =±时，2202 x x -=- 【练一练】计算下列各式的值： ⑴()322-- ⑵3323+ 总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的 试一试 计算： ()15π+ （精确到0.01） ()23·2 （结果保留3个有效数字） 总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算 【练一练】计算 ⑴()()3232+-⑵1233-⑶()221-⑷()()123123+--- 提示 ⑴式的结构是平方差的形式 ⑶式的结构是完全平方的形式 总结 在实数范围内，乘法公式仍然适用 ㈢应用迁移，巩固提高 例1 a 为何值时，下列各式有意义？ (21a (2a -(32a +(341a - (5a a -(3216a a +解：⑴322-322303==（加法结合律） ⑵3323 (32353=+=（分配律）
页眉内容 第二章：实数 一、中考要求： 1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过 程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力． 2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法， 发展数感和估算能力． 3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根 号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算． 4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用 意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值． (二)中考热点： 本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题． 三、中考命题趋势及复习对策 本章是初中数学的基础知识，在中考中占有一定的比例，它通常以填空、选择、计算题出现，这部分试题难度不大，主要考查对概念的理解以及运用基础知识的能力，以后的中考试题，会在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识的分析能力、解决简单实际问题的能力． 针对中考命题趋势，在复习中应、夯实基础知识，注重对概念的理解，培养分析判断能力，提高计。算能力． ★★★(I)考点突破★★★ 考点1：平方根、立方根的意义及运算，用 计算器求平方根、立方根 一、考点讲解：1．平方根：一般地，如果一个数x 的 平方等于a,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 2．开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方． 3．算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0． 4．立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3= A ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 7．开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方． 8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2 平方根为士 2 ． 二、经典考题剖析： 【考题1－1】一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ） A 、a+3 3 C. D.a 2+3 解:D 点拨：这个数为a 2，比它大3的数为a 2+3． 【考题1－2 ______ 解：士2 4，4的平方根是士2． 【考题1－3】已知(x-2)2 =0，求xyz 的值． 解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零． 【考题1－4】实数P 在数轴上的位置如图l －2l 所示： 解：48 点拨：由图可知1
八年级上册数学《实数》练习题 一、 1．写出和为8的两个无理数 ． 22，那么a = ． 3．下列实数： 1 2，π3 -，|1|-0.1010010001，0中，有m 个有理数，n 个无理数， 5位有效数字）． 4、若a 、b 都是无理数，且a +b =2，则a 、b 的值可以是 （填上一个满足条件的值即可）． 5、实数a 在数轴上的位置如图1所示，则|1|a -= ． 6．（2－3）2007（2－3）2008= ． 7、若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，则a= ，这个正数是 ． 8．已知按一定规律排列一组数：1，12，13，…，119，120，…用计算器探索：如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选出 个 9、用计算器计算比较大小：（填“＞”、“＝”“＜”）． 10、观察下列各式：311+＝231，412+＝34 1，513+＝451，……，请你将猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是 ． 二、精心选一选，慧眼识金！ 11.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ） A. ±1. B. 0. C. 1. D. 0和1. 12.一个直角三角形的两直角边分别是6、3，则它的斜边长一定是( ) A ．整数 B.分数 C.有理数 D. 无理数 13.3的值（ ） A ．在5和6之间 B ．在6和7之间
C ．在7和8之间 D ．在8和9之间 14.已知0＜x ＜1，那么在x ， x 1，x ，x 2中最大的是（ ） A ．x B ．x 1 C ．x D ．x 2 15、下列各组数中互为相反数的是（ ） Ａ．5Ｂ．5-和15 Ｃ．5- Ｄ．5--和()5-- 16、化简31-3+4的结果是( ) A. 3-1. B. 3-3. C. -1-3. D.1+3. 17= ） A. x ≥1 B. x ≥-1 C.-1≤x ≤1 D. x ≥1或x ≤-1 18、下列各式中计算正确的是（ ）. A.7434322=+=+ B.20)5()4(2516)25()16(=-?-=-?-=-?- C.228324 324=== D.53 8251242512 4=?= 19、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c 为斜边，a 、b 为两条直角边，则化简 2||c a b --的结果为（ ） A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a 20、设4a ，小整数部分为b ，则1 a b -的值为（ ） A ．12- B C ．12+ D ． 三、用心想一想，马到成功！ 21、用计算器求372258-的值．（保留两个有效数字） 22、如图的集合圈中，有5个实数．请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．
八年级上学期第二章《实数》单元测试及答案 一、选择（每小题3分，共30分．在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.把所选项前的字母代号填在题后的括号内. 相信你一定会选对！） 1．下列说法中正确的是（）． （A）4是8的算术平方根（B）16的平方根是4 （C）是6的平方根（D）没有平方根 2．下列各式中错误的是（）． （A）（B） （C）（D） 3．若，则（）． （A）－0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49 4．的立方根是（）． （A）－4 （B）±4 （C）±2 （D）－2 5．，则的值是（）． （A）（B）（C）（D） 6．下列四种说法中： （1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1； （3）的平方根是；（4）． 共有（）个是错误的． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7．x是9的平方根，y是64的立方根，则x y +的值为（） A．3 B．7 C．3，7 D．1，7 8.=成立的条件是（）
A. x ≥1 B. x ≥-1 C.-1≤x ≤1 D. x ≥1或x ≤-1 9. 计算5 15202 145+-所得的和结果是（ ） A ．0 B ．5- C ．5 D ．53 10. x -- 23 (x ≤2)的最大值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 二、填空（每小题3分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的） 1．若 ，则是的__________，是的___________． 2．9的算术平方根是__________， 的平方根是___________． 3．下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2- 、 ⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧))((2727+-中． 其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿．（填序号） 4．的立方根是__________，125的立方根是___________． 5．若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________． 6．已知 ，则 ． 7．和数轴上的点一一对应的数集是______． 8. 估计200=__________（误差小于1）；30=___________（误差小于0.1）. 9．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的 倍． 10．如果一个正数的一个平方根是－a ，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______． 三、计算（只要你认真思考, 仔细运算, 一定会解答正确的!每小题10分，共60分） 1．化简下列各式： （1 （2）+-；
八年级(上)数学《实数》测试题 姓名: 班级: 得分: 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9 B.－9 C. ±9 D. 3 2. 下列各数中，不是无理数的是 （ ） A. 7 B. 0.5 C. 2π D. 0.151151115… 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 3 π 是分数 4. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是±1 B. –1的立方根是–1 C. 2是2的算术平方根 D. –3是2 ) 3(-的平方根 5. 和数轴上的点一一对应的是（ ） A 整数 B 有理数 C 无理数 D 实数 6. 下列说法正确的是（ ） A.064.0-的立方根是0.4 B.9-的平方根是3± C.16的立方根是3 16 D.0.01的立方根是0.000001 7. 若 a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A.0≥a B.0≤a C.0=a D.0≠a 8. 边长为1的正方形的对角线长是（ ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 不是有理数 9．若 2a a =-，则实数a 在数轴上的对应点一定在 （ ） A ．原点左侧 B ．原点右侧 C ．原点或原点左侧 D ．原点或原点右侧 10.下列说法中正确的是 （ ） A. 实数2 a -是负数 B. a a =2 C. a -一定是正数 D. 实数a -的绝对值是a 二.填空题(每小题3分,共30分) 11. 9的算术平方根是 ；3的平方根是 ; 27 1的立方根 是 . 12. 2-1的相反数是 , -3 6 -的绝对值 是 ; 32-= . 13.无理数10的小数部分可以表示为 . 14.64的立方根是______； 3 64 的平方根是______． 15. 大于－2小于5的所有整数的和是 . 16. 若a ，b 都是无理数，且2=+b a ，则a ，b 的值可以是 . 17.有如下命题：①负数没有立方根； ②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号； ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0. ⑤无限小数就是无 理数; ⑥0.101001000100001 是无理数. 其中假命题有 18.有个数值转换器，原理如下： 是有理数 输出y 是无理数 取立方根 输入x 当输入x 为64时，输出y 的值是 19、 ππ-+-43＝ _____________。 20.若 a a -=2 ，则a ______0。 三.解答题:(共60分) 21. 请在数轴上用尺规作出 2- 所对应的点.(4分) 22. 求下列各式的值:(8分) ①44.1; ②3 027 .0- ; ③64 9 ; ④44.1-21.1; 23.将下列各数的序号填在相应的集合里.（8分） 3 512， π， 3.1415926， －0.456， 3.030030003…， 0， 11 5 ， －39， 2)7(-， 1.0 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}； 整数集合： { …}； 24. 化简（每小题2分，共4分） ① 2+32—52 ②6( 6 1 -6) 25. 求下列各式中的x 的值（每小题3分，共6分）。 （1）、( )2 3216x += （2）、3 1 (21)42 x -=-