AP
,那么平行四边形ABCD
CD上的一点,DE:EC=2:3,连接
=___________________
.
、如图,
,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为、如图,在ABCD
ABCD
ABCD
ABCD CE=CF,点P是射线GC 是
ABCD
如图,在
如图,在平面直角坐的坐标分别为(10,0),(0,4),点
中心对称与平行四边形的判定 知识归纳 1.中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与 原图形重合,那么就说这个图形是中心对称图形,这个点就是它的对称中心. 分析:一个图形;围绕一点旋转1800;重合. 2.思考:中心对称与中心对称图形有什么区别和联系? 1)区别: 中心对称是指两个全等图形之间的位置关系,成中心对称的两个图形中,其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反之,另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上. 2)联系: 如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形. 3.中心对称图性质 1)中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分. 2)中心对称图形的两个部分是全等的. 注:常见的中心对称图形有:矩形,菱形,正方形,平行四边形,圆,边数为偶数的正多边形,某些规则图形等. 正偶边形是中心对称图形 正奇边形不是中心对称图形如:正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形 4.平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 5.平行四边形判定: 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
6.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 7.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
1.平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定: 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 4.逆定理1:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
第四节:中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是() A.正三角形 B.平行四边形 C.等腰直角三角形 D.正六边形 2.下列图形中,不是中心对称图形的是() 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(). 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一个同样大小的小正方形,使 所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形,请画出示意图. (1)是中心对称图形,但不是轴对称图形; (2)是轴对称图形,但不是中心对称图形; (3)既是中心对称图形,又是轴对称图形. 第五节:平行四边形的判定 例题讲解 例1:判断下列说法的正误,如果错误请画出反例图 ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。 ( ) ②一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( ) ⑥相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( )例2:如图所示,平行四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么
第十八章《平行四边形》检测题 考试时间:120分钟 满分:120分 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中,错误的是( ) A. AB=CD B. AC=BD C.当A C ⊥BD 时,它是菱形 D.当∠ABC=90°时,它是矩形 2.如图所示,用两个完全相同的直角三角板,不能拼成下列图形的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰三角形 D.梯形 3.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=3㎝,BC=5㎝,对角线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2㎝<OA <5㎝ B. 2㎝<OA <8㎝ C. 1㎝<OA <4㎝ D. 3㎝<OA <8㎝ 4.四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O,给出下列四个条件:①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 5.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE ,垂足为G,若DG=1,则AE 的长为( ) A.32 B.34 C.4 D.8 6.一个正方形的对角线长为2㎝,则它的面积是( ) A.2cm 2 B.4cm 2 C.6cm 2 D.8cm 2 7.矩形各内角平分线围成的四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 8.将一张矩形对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①②两部分,将①展开后得到的平面图形是( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 9.如图,P,R 分别是长方形ABCD 的边BC,CD 上的点,E,F 分别是PA,PR 的中点,点P 在BC 上从B 向C 移动,点R 不动,那么下列结论成立的是( ) A.线段EF 逐渐增大 B.线段EF 逐渐减小 C. 线段EF 的长不变 D.无法确定 10.如图,把矩形ABCD 沿EF 翻折, B 恰好落 在AD 边的B ′处,若 AE=2,DE=6,∠ EFB=60°,则矩形ABCD 的面积是( ) A.12 B.24 C.123 D. 163 二.填空题(每小题3分,共24分) 11.如果四边形ABCD 是一个平行四边形,那么再加上条件 就可以变成矩形。(只需填一个条件) 12.矩形的两邻边长分别为3㎝和6㎝,则顺次连接各边中点,所得四边形的面积是 13.如图所示,其中阴影部分(即ABCD )的面积 是 。 第2题图
九上 第一单元: 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。 A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等 2.在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,若过点A作于E,则AE=()BCAE? A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是() A.当AC=BD时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形 D.当AB=BC时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形 4、下列说法中,错误的是() A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C.四个角都相等的四边形是矩形 D.邻边相等的平行四边形是正方形 5.(兰州中考)下列命题中正确的是() A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 6.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为() A.45??75.D?60.C?55.B 第题图2 的、如图,四边形7ABCDCD的平行线交BD是菱形,作A过点 1 / 6 延长线于点E, 则下列式子不成立的是( ) A.DA=DE B.BD=CE C.∠EAC=90°D.∠ABC=2∠E 8.
将四根长度相等的细木条,转首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD动这个四边形,使AC=2.当 它形状改90变.当∠B=°时,如图①,测得∠B=60°时,如图②,AC=() 第5题图 DCB2. . . A. 6222)AC=6对角线,若过点A作于E,则AE=(9.在菱形ABCD中,AB=5,BC AE A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 为矩形,四EFGHABCD中,E、F、G、H分别是四条边的中点,要使四边形10.在四边形ABCD 应具备的条件是()边形A.一组对边平行而另一组对边不平行.对角线相等B .对 角线互相平分 D B.C.对角线互相垂直 菱形具有而平行四边形不具有的性质是11. .对角线互相垂直D.对边平行且相等360 A.内角和是°B.对角相等 C CDF,的垂直平分线交对角线,∠BAD=12.如图:菱形ABCD80,ABAC于FE 的度 0为垂足,则∠ 数为C60B 80.A°.°.D 50°.40°2 / 6 第10 题图如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于2015?青岛) O点,E,F分别 13.( 是AB,BC边上的中点,连接EF.若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为()
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标: 1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质. 2. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 3. 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 二、 重点、难点 1. 重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用. 2. 难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 三、 课堂引入 1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)表示:平行四边形用符号“ ”来表示. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD∥BC,那么四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形ABCD 记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”. ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1.在平行四边形中,周长等于48, ① 已知一边长12,求各边的长 ② 已知AB=2BC ,求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ,△AOD 与△AOB 的周长的差是10,求各边的长 2.如图,ABCD 中,AE⊥BD,∠EAD=60°,AE=2cm ,AC+BD=14cm ,则△OBC 的周长是____ ___cm .
3.ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5,cm 7的两条线段,则ABCD 的周长是__ ___cm . 七、课后练习 1.判断对错 (1)在ABCD 中,AC 交BD 于O ,则AO=OB=OC=OD . ( ) (2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( ) (3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( ) (4)平行四边形是轴对称图形. ( ) 2.在 ABCD 中,AC =6、BD =4,则AB 的范围是_ ____ __. 3.在平行四边形ABCD 中,已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是 . 4.公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB =15cm ,AD =12cm ,AC ⊥BC ,求小路BC ,CD ,OC 的长,并算出绿地的面积. (一) 平行四边形的判定 一、教学目标: 1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题. 二、重点、难点 重点:平行四边形的判定方法及应用. 难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用. 四、课堂引入 1.欣赏图片、提出问题. 展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2.【探究】:小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示: 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形; ·是平行四边形且有一组 邻边相等; ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形,且有一组邻边相等; ·是菱形,且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形
专题一:特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ (4)______________ (5)______________ 2.矩形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 3.菱形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 4.正方形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 5.等腰梯形的判定方法: (1)______________ (2)______________ (3)______________ 【练一练】 一.选择题 1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(). A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD 2.具备下列条件的四边形中,不能确定是平行四边形的为(). A.相邻的角互补 B.两组对角分别相等 C.一组对边平行,另一组对边相等 D.对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边平行,一组对角相等 C.一组对边平行,一组邻角互补 D.一组对边相等,一组邻角相等 4.如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是(). A.若AO=OC,则ABCD是平行四边形; B.若AC=BD,则ABCD是平行四边形; C.若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形; D.若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形 5.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是() A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CD C.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设是() A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DO C.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是() A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD 8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判定这个四边形是正方形的是() A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AC=CO,BO=DO,AB=BC
平行四边形综合题型分类 概念回顾: 1.平行四边形 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义. (2)表示方法:用“口”表示平行四边形,例如:平行四边形ABCD记作口ABCD,读作“平行四边形ABCD”. 2.平行四边形性质:平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等; (2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等; (3)对角线:平行四边形的对角线互相平分; (4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心; (5)面积:①S=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形. 3.平行四边形的判定(1)平行四边形的判别方法: ①定义:两组对边分别平行的四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形 (2)平行四边形的判别方法的选择:
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,那么平行四边形ABCD CD上的一点,DE:EC=2:3,连接 =___________________ .
、如图, ,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为、如图,在ABCD ABCD
ABCD ABCD CE=CF,点P是射线GC 是 ABCD
《平行四边形的判定》典型例题 例1如图,△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形,试说明四边形AFED 是平行四边形. 例2如图,E、F分别是ABCD边AD和BC上的点,并且AE=CF,AF和BE 相交于G,CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分,请说明理由. 例3如图,在平行四边形ABCD中,A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点,C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点,若四边形C1A4D2B1的面积为1,求S平行四边形ABCD. 例4已知:如图,E,F分别为ABCD的边CD,AB上一点,AE∥CF,BE,CF分别交CF,AE于H,G. 求证:EG=FH.
例5如图,已知:四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F为垂足,且AE=CF,∠BAC=DCA. 求证:四边形ABCD是平行四边形.
参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形,应观察:两组对边是否相等、两组对角是否相等,或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分.但在本题中没有对角线,也没有明显的对角之间的关系,因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等. 事实上,AD=AB=BD,EF是否能等于这三条边中的一条呢可以看到 ,∴EF=AB=BD.同理DE=AC=AF,因此,所要证的四边形AFED是平行四边形. 证明,∴, 且,∴,∴ 又,同理.∴AFED是平行四边形. 例2分析若EF、GH互相平分,那么四边形EGFH应是平行四边形.观察已知条件,可以证明四边形EGFH是平行四边形. 证明是平行四边形,∴ 又,∴,且 ∴四边形AECF是平行四边形,∴,∴ 又四边形EDFB是平行四边形,∴,∴ 在四边形GEHF中,, ∴四边形GEHF是平行四边形,∴EF和GH互相平分. 说明:本题中多次使用了平行四边形的性质:对边平行且相等以及平行四边形的判断方法:对边平行且相等的四边形是平行四边形.通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别. 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半,是2个小平行四边形面积的一半。
新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间(2016.9.11)授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式) 1.菱形 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (1)是平行四边形;(2)一组邻边相等. 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等; 性质2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角; 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形. 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴; 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角. 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的判定方法. 矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形. 矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定方法4:对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形(菱形 ②有一个角是直角的平行四边形(矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下: 边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. 注意:1、正方形概念的三个要点: (1)是平行四边形; (2)有一个角是直角; (3)有一组邻边相等. 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.