广东省湛江一中 一、选择题：（本大题共 09-10学年高三数学（理）第一次摸底测试
8个小题，每小题 5分，共40分） A . 1 B . 2 C . 3 1 D .
2.已知命题P ： a,b (0, ),当a b 1时,- 1 3;命题
Q X 2 R, x x 1 0
a b
恒成立，则下列命题是假 艮命题的是（ )
A . P V Q
B . P A Q
C . P V Q
D . P A Q
2
3 .已知圆O 1 : (x a) (y b)2 4, O 2 ：
(x a 1)2 (y b 2) 2 1,(a,b R)
那么 两圆的位置关系是 （ )
A .内容
B . 内切
C . 相交
D . 外切
1.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c, A ,a 、. 3,b 1,则 c （
） 3
4?右图为一个几何体的三视国科，尺寸如图所示，则该几何体的表面积（不考虑接触点） 为（ A . C . ) 6+ - 3 + 18+ ■■ 3
+4
18+2 .3+
5. 6. 32+
kx 1, 函数 C . 如果函数 f （X 1
）
2si n( 1 J
3
1
3, 1 3 3, 2
-
2,
2, 2, f (x)在区间 f (X 2)
n [0 ,n ]上是“凸函数” A.-
2 ),(0
3
D 上是
f(X n )
，则在△
-D. 2 正规图
Bi
( )
“凸函数”，则对于区间 D 内任意的X 1,X 2,
,X n ，有 0）
8 的图象如下图; 3
f(
x 1 x 2
X
n
）成立?已知函数y
sin x 在区间
n
ABC 中，si nA sin B si nC 的最大值是( 3 3 2
7.某种游戏中，黑、黄两个 电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿 棱向前爬行，每爬完一条棱称为 爬完一段”，黑 电子狗”爬行的路线是AA 1T A 1D 1T …，黄 电子狗”爬行的路线是 AB T BB —…，它们都遵循如下规则：所爬行的第
i +2段与第i 段所
在直线必须成异面直线
（其中i是正整数）?设黑电子狗”爬完2006段、黄电子狗”爬完2005 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄电子狗”间的距离是（）
A. 0 B.1 C. . 2 D (3)
&如果一对兔子每月能生产一对（一雌一雄）小兔子，而每一对小兔子在它出生的第三个月里，又能生产一对小兔子?假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的小兔子从第一个月开始，如果用a!表示初生小兔子的对数，a n表示第n个月的兔子总对数，（n N*），记b n |a2 a n,a n, |,（n 2,且n
N*）那么以下结论正确的是（）
A . b n是n无关的常量
B. b n是n有关的变量，且既有最大值，又有最小值
C. b n是n有关的变量，且有最小值，但无最大值
D. b n是n有关的变量，且既有最大值，但无最小值
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）?
9 .一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制
成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图
（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭__________ 万盒。
D,若存在常数c,使对任意X1 D,存在唯一的x2 D，满足
c，则称函数f（x）在D上的均值为c,现已知函数：① y=2x，②y=x5，③
y=2sinx,④y=lgx,则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是____________ （填上所有符
合要求的函数的序号）。
11. 等比数列｛a n｝的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1 1 ,
a 1 —_
a99a100 1 0 ,」0。给出下列结论：① 0 q 1 ?，②899601 1 0③口。的值
a100 1
是T n中最大的；④使T n 1成立的最大自然数n等于198。
其中正确的结论是_______ ?
12. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标
边长，由勾股定理有：c2a2b2.
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1, S2, S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那
10.对于函数y=f(x), x
f(xj f(X2)
2
么 你 类 比 得 到 的 结论是
_________________________________
13
?在极坐标系中，定点A 2,2 ，点B 在直线cos 3 sin
项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式 为 _______________________________ .
三、解答题：(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)
(本题满分12分)
15.设向量 a (sin x,、3 cosx), b(cosx, cosx), (0 x ).
2
(1) 若 a//b ，求 tanx 的值；
(2) 求函数f(x) a b 的最大值及相应x 的值.
16. (本题满分12分)
如图：四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 丄底面 ABCD , PA=AB=1 , AD= ,
3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. (I)点E 为BC 的中点时，试判断 EF 与平面
AB 最短时，点B 的极坐标为
23
53 22 5 2 52
24 54 23 5 2 53
14.考察卜列一组不等式：
5
5 1
1
2
52
22 52
22 52
将上述不等式在左右两端视为两
0上运动，当线段
D
PAC的位置关系，并说明理由；
i 1
（n ）证明：无论点 E 在BC 边的何处，都有 PE 丄AF;
（川）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45
17.
（本小题满分14分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，
决定从全班25名女
同学，15名男同学中随机抽取一个容量为
8的样本进行分析.
（I ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式即可，不 必计算出结果）?（n ）随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是： 60、65、70、75、
80、85、90、95,物理分数从小到大排序是： 72、77、80、84、88、90、93、95.
（1）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这 8位同学中恰有3位同学的数学和物理 分数均为
根据上表数据用变量 y 与x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩x 之间是否具 有线性相
关性？如果具有线性相关性，求 y 与x 的线性回归方程（系数精确到 0.01）;如果 不具有线性相关性，请说明理由 .
n
_
_
（X i x ）（y i y ）
i 1
参考公式：相关系数 r 一
;回归直线的方程是： ? bx a ,
2 2
(X i x) (y i y)
n
.i 1
(X i x)(y i
y)
其中b i1 n
,a y bx;其中？是与x i 对应的回归估计值
i 1
(X i x)2
1
8
_ 8
参考数据：x
77.5,y 85,
i 1
2
(x 1 x) 1050,
(y 1
i 1
y)2
456,
8 _
(X1 x)(y1y) 688,、105032.4, .456 21.4,、55023.5.
i 1
18. (本小题满分14分)
2 2
已知点C为圆(x 1) y 8的圆心，点 A (1, 0), P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQ AP 0, AP 2AM.
(I)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
(n)若直线y kx k2 1与(I)中所求点Q
的轨迹交于不同两点 F , H , O是坐标原点，
2 」■ 3
且OF OH ，求△ FOH的面积.
3 4
19. (本小题满分14分)
、1 2 各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和S n,函数f(x) px (p q)x q In x.
2
(其中p、q均为常数，且p>q>0)，当x a1时，函数f(x)取得极小值，点(n,2S n)(n N )均在函数y 2px2 q f (x) q的图象上，(其中f' (x)是函数
x
f(x)的导函数)
(1 )求a1的值；
(2)求数列｛a n｝的通项公式；
(3)记b n 竺q n,求数列｛b n｝的前n项和T n.
n 3
20. (本小题满分14分)
设f(x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x* (0,1)，使得f(x)在［0,x*］上单调递增，在［x*,1］上单调递减，则称f (x)为［0,1］上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的［0,1］上的单峰函数f (x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法
(1)证明：对任意的x「X2 (0,1)，X1 X2，若f(xj f(X2)，则(0,X2)为含峰区间；若
f(X1) f (X2)，则(X1,1)为含峰区间；
(2)对给定的r(0 r 0.5)，证明：存在X1X (0,1)，满足x? X1 2r，使得由(1)所
确定的含峰区间的长度不大于0.5 r ；
参考答案
9. 85 io. ②④ ii. ①②④ 12. S12S2S3 S2
11 mnmn mnnm
13. (1, ) 14. a b a b a b a,b 0, a b, m, n 0
6
15.解：(I)v a//b, sinxcosx 、3COS2X 0, ........................................... 3分
0 x
厂
,cosx 0, sin x . 3 cosx 20, tan x
sin x 小
八
3.…6分
n) f (x) a b sin xcosx . 3cos x ?--8分
1
=sin 2x ■- 3 ■■■? 3
COS2X sin (2X-)
、3……10分
2 2 232
又??? PB n BE=B , PB , BE 平面 PBE ,? AF 丄平面
PBE.
?/ PE 平面 PBE , ? AF 丄 PE. ............................... 8 分
(川)过 A 作AG 丄DE 于G ,连PG ,又T DE 丄PA ，贝U DE 丄平面PAG , 于是，平面 PAG 丄平面
PDE ，它们的交线是 PG ,过A 作AM 丄PG ,垂足为 M , 贝U AM 丄平面 PDE ,即PA 在平面 PDE 的射影是 PM ,所以PA 与平面 PDE 所成 的角是/ APG=45 ° .
?在 RtPAG 中, PA=AG=1 , ? DG=2 ,........................... 设 BE=x ,：A AGE ◎△ ABE ，贝U GE=x , CE= . 3 — x , 在 Rt △ DCE 中，(-2 +x)2=( ■. 3 — x)2+1 2，得 BE=x= . 3 — , 2 .
解法二： (II )建立图示空间直角坐标系，
则 P (0, 0, 1), B ( 0, 1 , 0),
1 1 L
F(O,2,2),D(、3,0,0)设 BE
1 1
PE
AF
(x ，1
, ° (0
,2，-) 0
（川）设平面 PDE 的法向量为
m PD
m (p,q,1).由—一
m PE
而AP = （ 0, 0, 1）依题意PA 与平面PDE 所成角为45 所以前45° =2匹刍
2
|m| |AP|
1 1
得 BE= x= 3 —、2 , 或 BE=x= 寸3+V2 （舍） .... .............. 12 分
8
8 17.解：（I ）应选女生25X
=5 （个），男生15X =3 （个），可以得到不同的样本
40
40
5
3
个数是C 25C 15.……4分（II ） （1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀， 则需要先从物理的4个优秀分数中选出 3个与数学优秀分数对应，
种数是C ：A ；（或A 3）,然
4
g ) 3 3 取得最大值，最大值为 sin " 3
2 2
16.解法1:( I )当点E 为BC 的中点时， EF 与平面
PAC 平行?在△ PBC 中， E 、F 分别为BC 、PB 的中点，
? EF//PC 又 EF 平面 PAC ,
而PC 平面PAC ? EF//平面PAC.…4分
(II )证明：T PA 丄平面ABCD , BE
? EB 丄 PA.又 EB 丄 AB , AB n AP=A , AB ,
? EB 丄平面PAB ,
又AF 平面PAB , ? AF 丄BE. 又PA=AB=1，点F 是PB 的中点，
x (0
，—), 2x -
当2x ，即x
时，f (x) 3 2
12
逅 (2)
平面 AP ??? AF 丄 PB ,
10分
x,则 E(x,1,0)
(.3,1
31
)
12分
ABCD ,
平面PAB
4分
12分
? AF 丄PE …8分
后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是A55。根据乘法原理，满足条件的种数
是C43A3A 6分
这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有As. ............... 7分
故所求的概率P C4A3A5 1
14
10分
18.(2)变量y与x的相关系数是r =
32.4 21.4
正相关?若以数学成绩x为横坐标，
物理成绩y为纵坐标做散点图如下
从散点图可以看出这些点大至分布
在一条直线附近，并且在逐步上升，
故物理与数学成绩是高度正相关.
........................................ 12分设y与x线性回
归方程y=bx+a、根据所给的数据，可以计算出
688
b =0.65 , a=85 —0.65X 77.5=34.63 ,
1050
所以y与x的回归方程是? 0.65x 34.63.
14分解：(1)由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是
|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 ?、2 >|CA|=2，于是点Q 的轨迹是以点C, A 为焦
点，半焦距c=1，长半轴a= 2的椭圆，短半轴b a2 c21,
点Q的轨迹E方程是: 1. ...................................
(2)设卩(X1, y1)H (X2, y2),则由
2
x
2
y
y21
kx .. k2 1
2 2 I12 2
消去y 得(2k21)x2 4k k2 1x 2k20,
x1x2
4k-k2 1
2k2 1
2k2
2k21
8k20( k 0)
.................. 6分OF OH x1x2y1y2%x2(kx1. k2 1)(kx2. k2 1)
(k21)x
1x2
k k21(X
1X2)
k21
(k21)2k24k2(k2 1)
k21
k2 1
2k212k212k2 1
2k21 3 1k2
1,
10
分
32k21 4 2
|FH | (x1 X2)2(y1 y2)2'(X1
.■ 2 2 ■- 2
.(1 k )[(X1 X2) 4x1X2 ■. (1 k )
又点O到直线FH的距离d=1 ,
1 ；'2k2(k
2 1) 八
S 一d|FH| 2 KKKKKK 12分
2 2k2 1
2 2k2
2k2 1
0.99.可以看出，物理与数学成绩是高度
\2 , y1 y2 \2 1
X2)[1 ( --------- )]
x-1 x2
a n 1 (n
1)
寸
n 1
… 10分 2 .
n(n 1) 1 n 2 3n 亠’ 4 S n n n
(川) S n n
，由b n
q nq , 2 2 4 n 3
所以，T n q 2q 2 3q 3 K n 1 n (n 1)q nq 由n n p q
0,而 p 1n ,故 q 1, qT n q 2
2q 3 3q 4
K
(n n n 1
1)q nq ,
(1 q)T n
n 1
nq
q(1 q n ) 1 q nq
n 1
1 q
20. (1)证明：设x 为f (x)的峰点
[x *,1]上单调递减， , . . . . * * * 当 f(xj f(X )时，假设 x
(0, X ),则 X X < X ,从而 f(x )
f(X )
f(xj
这与
T q(1 q
n
)
(1 q 2)
14分
,则由单峰函数定义可知
,f (x)在［0,x ］上单调递增，在
令 f (x)
0,得x 1 或x 9,
0 9
1,
S
Q 2 19.
解：(I )解：f (x)
px (p q)
px (p x
q)x (X 1)( px q)
1
t
3
4
1 t
2
22 3
1
1
、
由于a n a n 1
0, a n a n 1 ，所以｛a n ｝是以a 1=1，公差为一的等差数列,
2 2
2
n 1
p p
1
(II) y 2px2q f (x)
X
q 2px2px p, 2S n2p a：p a n 由于a1=1，所以2a12
2p a1p a1p,得p 1.……?? 6分
2S n2a；a n 1 ............... .①.........
① . ....
又2S,2a2
n 1 n 1
a n 1 1……?②。
①—②得2
2a n 2(a n
a n 1 ) a n a n1,
2(a；a n 1)(a n a n 1) 0,(a n a n 1)(a n a n 1■1)0,
2p,( n N*)
8分
即存在X i,X2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5 r (1分)
f(X l) f(X2)矛盾，所以x* (0,X2),即(0,X2)为含峰区间?
当f(X i ) f(X2 )时,假设X (X i,1),则X X i X2 ,从而f(x ) f (X i)
f (X i) f (X2 )矛盾，所以X (X i ,1) ,即(X i ,1)为含峰区间.....................
(2)证明: 由(1)的结论可知：
当f (X i)f(X2)时，含峰区间的长度为l i X2 ；
当f (X i)f(X2)时，含峰区间的长度为12 1 X i ；
对于上述两种情况，由题意得X2 0.5 r
1 x i0.5 r
由①得i X2 X i i 2r,即X2 X1 2r ,
又因为X2 X i 2r，所以X2 X i 2r
将②代入①得x i0.5- r, x20.5 r,
由①和③解得x i= 0.5— r, x2= 0.5 r, 所以这时含峰区间的长度l i l20.5 r ,
f(X2),这与?(分)