导数及其应用
第1讲 导数的概念及计算 考点 导数的概念及其几何意义
知识点
1 导数的有关概念
(1)导数：如果当Δx →0时，Δy
Δx 有极限，就说函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个极限叫做
f (x )在x ＝x 0处的导数(或瞬时变化率)．记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0
，即f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
(2)导函数：如果函数f (x )在开区间(a ，b )内每一点都可导，那么其导数值在(a ，b )内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′.
注意点
如果函数f (x )在x ＝x 0处可导，那么函数y ＝f (x )在x ＝x 0处连续. 2 导数的几何意义
函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．
3 几种常见函数的导数
原函数 导数 y ＝C (C 为常数) y ′＝0 y ＝x n (n ∈Q *) y ′＝nx n －
1
y ＝sin x y ′＝cos x y ＝cos x y ′＝－sin x y ＝e x y ′＝e x y ＝ln x y ′＝1
x
y ＝a x (a >0，且a ≠1) y ′＝a x ln_a y ＝log a x (a >0，且a ≠1)
y ′＝
1x ln a
4 导数的四则运算法则
若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)．
注意点 “过某点”和“在某点”的区别
曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点.
入门测
1．思维辨析
(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1
x .( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 2
2
D ．ln 2
(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2
D ．0
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.
根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，
∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 答案 C
解析 y ′＝cos x ＋e x ，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.
[考法综述]导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则．导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：①知切点求切线方程(斜率)；
②知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等．一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有．
命题法导数的概念和几何意义
典例(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则lim
h→0f(x0＋h)－f(x0－h)
h等
于()
A．f(x0) B．－2f′(x0)
C．2f′(x0) D．0
(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()
A．－e B．－1
C．1 D．e
(3)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
[解析](1)lim
h→0f(x0＋h)－f(x0－h)
h
＝lim
h→0f(x0＋h)－f(x0)－[f(x0－h)－f(x0)]
h
＝lim
h→0f(x0＋h)－f(x0)
h＋lim
h→0
f(x0－h)－f(x0)
－h
＝2f′(x0)．
(2)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋1 x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.
(3)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a ＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2,7)得，a＝1.
[答案](1)C(2)B(3)1
【解题法】导数运算的原则和方法以及导数几何意义问题的解题策略
(1)①原则：先化简解析式，再求导．
②方法：
a．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
b．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
c．对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
d．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
e．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(2)①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：
a ．求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；
b ．由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．
②已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .
③求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．
1．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4 B ．0 C.3π4
D ．1
答案 A
解析 由f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，故倾斜角为π
4
，选A. 2.下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )
的图象，则f (1)＝( )
A.103
B.43 C ．－23
D ．1
答案 C
解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )的图象，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－2a
2
>0知a <0，所以a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3－2x 2＋1，可得f (1)＝－2
3
，故选C.
3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12
D ．2
答案 C
解析 依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，∴f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12
. 4.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
________．
答案 (1,1)
解析 y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1
x (x >0)上点P 处的切
线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1
x (x >0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则
曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －
2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，
所以b ＝1，故P (1,1)．
5．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)
解析 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1
x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1
＋ln m ＝2，解得m ＝e, 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．
6．若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．
答案 [－1,2]
解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x
的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝
1
e x 1＋1
，故由题意知对任意x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则有y 1＝
1
e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，则(0,1)?[a －2，a ＋2]，则?
????
a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.
7．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.
(1)求a 的值；
(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20
＋6x 0＋12)．
∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，
∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，
①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.
在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.
综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.
微型专题 导数几何意义应用的创新题型
创新考向
导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．
命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等． 创新例题
如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( )
A ．y ＝
1125x 3－3
5
x B ．y ＝
2125x 3－4
5
x
C．y＝
3
125x
3－x D．y＝－
3
125x
3＋
1
5x
答案 A
解析根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减．对于A，y＝
1
125x
3－
3
5x，∴y′＝
3
125x
2
－3
5＝
3
125(x
2－25)，∴?x∈(－5,5)，y′<0，∴y＝
1
125x
3－
3
5x在(－5,5)内为减函数，同理可验证B、
C、D均不满足此条件，故选A.
创新练习
若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切．
(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin x；
④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x.
答案①③④
解析对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，
y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝sin x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：
y＝sin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝
1
cos2x，y′
|
x＝0
＝
1
cos20＝1，
所以l：y＝x是曲线C：y＝tan x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝tan x在点P(0,0)附近
位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1
x，y′
|
x＝1
＝1，所以l：y＝x－1是曲线C：y＝ln x
在点P(1,0)处的切线，令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，可得h′(x)＝1－1
x＝
x－1
x，所以h(x)min＝h(1)＝
0，故x－1≥ln x，可知曲线C：y＝ln x在点P(1,0)附近位于直线l的下方，⑤错误．
创新指导
1．准确转化：解决此类问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
2．方法选取：对于导数几何意义的应用中的创新问题，可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法，同时结合导数的几何意义求解，以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．
若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是
( )
A ．1 B.164 C ．1或
164
D ．1或－
164
[错解]
[错因分析] (1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点O 不是切点，但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况．
(2)本题还易出现以下错误：一是当点O (0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻．
[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．
(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－6x 0
＋2.①
又k ＝y 0
x 0＝x 20
－3x 0＋2，②
由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－1
4，
∴所求切线l 的方程为y ＝－1
4x .
由?????
y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，
得x 2＋1
4
x ＋a ＝0.
依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.
综上，a ＝1或a ＝1
64
. [答案] C [心得体会]
课时练 基础组
1.[已知奇函数f (x )满足f ′(－1)＝1，则lim Δx →0
f (Δx －1)＋f (1)
Δx
＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
答案 A
解析 由f (x )为奇函数，得f (1)＝－f (－1)，所以lim Δx →0
f (Δx －1)＋f (1)Δx ＝lim Δx →0
f (－1＋Δx )－f (－1)
Δx
＝f ′(－1)＝1，故选A.
2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )
A.1
e B ．e C ．－1e
D ．－e
答案 C
解析 由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ?f ′(e)＝－1
e ，
故选C.
3．]若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C
解析 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，故b ＝0，又有m ＝f (0)＝g (0)，则m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.
4．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° 答案 A
解析 由y ＝x 3－2x ＋4，得y ′＝3x 2－2，得y ′|x ＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.
5．已知f (x )＝x 3－9
2x 2＋6x －a ，若对任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－3
4
答案 D
解析 f ′(x )＝3x 2－9x ＋6，因为对任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－3
4
，故选D.
6．函数f (x )＝x sin x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )
答案 C
解析 ∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A ，B ，D ，故选C.
7．若点P 在曲线f (x )＝ln x ＋ax 上，且在点P 处的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，2)
C ．(2，＋∞)
D ．(0，＋∞)
答案 B
解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1
x 0
，由
题意，知x 0>0，所以a ＝2－1
x 0
<2，故选B.
8．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2
＝1的右焦点的连线交C 1于第一象
限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.3
16
B.38
C.23
3
D.43
3
答案 D
解析 设M ????x 0，12p x 20，y ′＝????12p x 2′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M ?
?
??33p ，16p .由题意又可知抛物线的焦点为????0，p 2，双曲线右焦点为(2,0)，且????33
p ，16p ，????0，p 2，(2,0)三点共线，16p －03
3
p －2＝p 2－00－2，可求得p ＝4
33，故选D.
9．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案 5x ＋y ＋2＝0
解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
10．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0
f (x 0－k )－f (x 0)
2k
＝________.
答案 －1 解析 f ′(x 0)＝lim k →0
f [x 0＋(－k )]－f (x 0)
－k
(这里Δx ＝－k )，
所以，lim k →0
f (x 0－k )－f (x 0)
2k
＝lim k →0
???
?
－12·f [x 0＋(－k )]－f (x 0)－k
＝－12f ′(x 0)＝－1
2
×2＝－1.
11．已知函数y ＝2cos x ＋3的导函数为G (x )，在区间????－π
3，π上，随机取一个值a ，则G (a )<1的概率P 为________．
答案
7
8
解析 由题意，知G (x )＝y ′＝－2sin x ，在区间???
?－π
3，π上，由G (a )＝－2sin a <1，得a ∈????－π6，π，故概率P ＝π－
????－π6π－???
?－π3＝78
. 12. [过函数y ＝x 1
2(0 N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________． 答案 827 解析 设切点为M (t 2，t )，0 1 2x ，所以切线斜率为k ＝1 2t ，切线方程为y － t ＝12t (x －t 2)，即y ＝12t x ＋t 2，分别令x ＝0、y ＝1得P ????0，t 2、Q (2t －t 2,1)，所以△PQN 的面积S ＝12·????1－t 2·(2t －t 2 )＝14t 3－t 2＋t ，S ′＝34t 2－2t ＋1＝14(t －2)(3t －2)，注意到0 . 能力组 13.[曲线y ＝x ＋1 3x 3在点????1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.1 3 D.1 9 答案 D 解析 由题意，知y ′＝1＋x 2，∴曲线在点????1，4 3处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝1＝2，又切线过点????1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23.∴切线与x 轴和y 轴的交点分别为????13，0和????0，－23.∴所求三角形的面积为12×13×23＝1 9 ，故选D. 14．[已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2 ＝5相切，那么3a ＋2b ＝________. 答案 －7 解析 由题意得f (1)＝－2?a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|(3＋a )×2＋4－a －5|(3＋a )2＋1＝5?a ＝ －52，∴b ＝1 4 ，∴3a ＋2b ＝－7. 15．[设曲线y ＝x n ＋ 1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则 a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________． 答案 －2 解析 ∵y ′| x ＝1＝n ＋1(n ∈N *)，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)(n ∈N *)，令y ＝0，得x ＝x n ＝ n n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝lg n n ＋1 (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ?? 12×23×…× ??99100＝lg 1 100 ＝－2. 16. 已知点P 在曲线y ＝ 4 e x ＋1 (其中e 为自然对数的底数)上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________． 答案 [－1,0) 解析 易知y ′＝－4e x (e x ＋1)2，显然y ′<0，又 －4e x (e x ＋1)2 ＝ －4 e x ＋1e x ＋2≥－4 2 e x ·1e x ＋2＝－1 (当且仅当e x ＝1 e x 时取“＝”)，∴tan α的取值范围是[－1,0)． 第2讲 导数的应用 考点一 函数的单调性与导数 知识点 1 函数的单调性与导数的关系 在区间(a ，b )内f ′(x )???? ? 大于零→f (x )在(a ，b )内单调递增 等于零→f (x )在(a ，b )内为常函数 小于零→f (x )在(a ，b )内单调递减 2 用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系 (1)f ′(x )>0(或f ′(x )<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f ′(x )＝0不恒成立)． 注意点 应用导数解决函数单调性问题的原则方法 (1)求函数f (x )的单调区间，也是求不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则． (2)由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验. 入门测 1．思维辨析 (1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( ) (2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) (3)f (x )在(a ，b )上单调递增与(a ，b )是f (x )的单调递增区间是相同的说法．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D ．(－3,1) 答案 D 解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0?x 2＋2x －3<0?－3 ∴函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)． 故选D. 3．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________． 答案 (ln 2，＋∞) 解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2. 当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)． [考法综述] 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都 离不开单调性．利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现，难度一般． 命题法 判断函数的单调性 典例 已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m ，m ∈R . (1)已知函数f (x )在点(1，f (1))处与x 轴相切，求实数m 的值； (2)求函数f (x )的单调区间； (3)在(1)的结论下，对于任意的0 f (b )－f (a )b －a <1 a －1. [解] 由f (x )＝ln x －mx ＋m ，得f ′(x )＝1 x －m (x >0)． (1)依题意得f ′(1)＝1－m ＝0，即m ＝1. (2)当m ≤0时，f ′(x )＝1 x －m >0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m >0时，f ′(x )＝－m ????x －1m x ，由f ′(x )>0，得x ∈????0，1m ，由f ′(x )<0，得x ∈????1m ，＋∞， 即函数f (x )在????0，1m 上单调递增，在??? ?1 m ，＋∞上单调递减． (3)证明：由(1)知m ＝1，得f (x )＝ln x －x ＋1，对于任意的0 a －1可化为 (ln b －b )－(ln a －a )b －a <1 a －1，因为0 b ，所以有b －a >0，故不等式可化为(ln b －b )－(ln a －a ) a ，得ln t －t ＋1<0(t >1)，令f (t )＝ln t －t ＋1. 由(2)知，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，即f (t ) f (b )－f (a )b －a <1 a －1成立． 【解题法】 单调区间的求法及由单调性求参数取值范围的方法 (1)利用导数求函数的单调区间的两个方法 ①方法一：a.确定函数y ＝f (x )的定义域； b ．求导数y ′＝f ′(x )； c ．解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； d ．解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ②方法二：a.确定函数y ＝f (x )的定义域； b ．求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根； c ．把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间； d ．确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． (2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围． ②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题． ③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 1．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.????－3 2e ，1 B.????－32e ，3 4 C.????32e ，34 D.????32e ，1 答案 D