组合图形的计数
1 数一数，在右图中共有（）个三角形A．10 B．11 C．1
2 D．1
3 E．14
2 这里共有（）条线段．A．三条B．四条C．五条D．六条
3 如图所示，图中三角形的个数为（）A．4个B．7个C．9个D．10个
4 如图，共有（）个长方形．（）A．
5 B．7 C．9 D．10
5 如图中的五角星一共有（）条线段A．5 B．15 C．30 D．以上都不对
6 数一数，图中一共有（）条线段．A．4 B．6 C．8 D．10
7 如图，在一块木版上钉十六个钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个
正方形，这样的正方形一共有（A）A．20个B．13个C．14个D．15个
8 图中共有（）个三角形．A．25 B．27 C．29 D．36
9 平面内的8个点最多可以连成（）条线段．
A．10 B．16 C．28 D．32
10 用4条直线最多能把一个圆分成的块数是（）A．10 B．11 C．12
11 右图中有（）个平行四边形．A．7 B．8 C．9
12 在如图中共有（）个三角形．
A．18 B．19 C．20 D．21
13 在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成（）条线段．A．15 B．21 C．28 D．36
14 把一条细绳先对折，再把它所折成相等的三折，接着再对折，然后用剪刀在折过三次的绳中间剪一刀，那么这条绳被剪成（）段．A．13 B．12 C．14 D．15
15 如图中共有（）个角．A．4 B．9 C．10 D．6
16 图中有多少个长方形（）A．10 B．20 C．8 D．15
17 如图中，有（）A．5个B．6个C．7个
18 如图中一个有（）个直角三角形．A．4 B．5 C．8
19 用哪一种方框去框下面一组数字，可以得到5种不同的结果．（）
A．B．C．
20 数一数，它一共有（）条线段．A．7 B．8 C．9 D．5
21 用连续的15个自然数写成一行，每相邻的4个数相加，可得到（）种不同的和．
A．10 B．11 C．12 D．19
22 如图所示的立方体图形是由（）个小立方体组成的．A．8 B．10 C．11 D．12
23 如图，将长度为9的线段AB分成9等份，那么图中所有线段的长度的总和是（）
A．132 B．144 C．156 D．165
24 如图，在直线a上有四个点，在直线b上有三个点，以这些点为顶点，可以画出
___个三角形．
25 如图，线段AB、BC、CD、DE分别长5厘米、7厘米、3厘米、4厘米．则图中
一共有____条线段，这些线段的长度总和是_____ 厘米．
26 如图，由15个边长为1的小正方形拼成一个5×3的长方形，如图示小正方形中有“☆”．那么图
中含有“☆”的长方形（含正方形）有_______个．
27 如图，在半圆的边界周围有6个点A1、A2、A3、A4、A5、A6，其中A1、A2、A3在半圆的直径
上，问以这6个点为端点可以组成___个三角形
28 如图中，三角形的个数有____个．
29 平面上有5个点，无三点共线，以任意三点组成一个三角形，则三角形的个数应为______
30 有四个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画______条直线．
31 从一点引出8条射线可组成_____ 个角．
32 如图中有______ 条线段，______ 个三角形．
33数图形．
____条线段_____个三角形_____个长方形_____个方块．
34
_____个角；______个三角形；_____条线段；_____个长方形．
35 如图所示：用每次框出三个字母，共有多少种不同的框法？需要框多少次？
36 在平面上任取4个点，四点不都在一条直线上的情况共有几种？将四点用线段分别连接，在各种情况的图中，所包含的三角形的个数分别是多少？请画图说明．
37 一条直线上共有7个点，一共有多少条不同的线段？画示意图解答．
38 如图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体
组成的长方体有多少个？
6 A C D E 九图形的计数(A) 年级班姓名得分 一、填空题 1．下图中一共有（）条线段. 6. ______. 7. 25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. ,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个. 9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
10. 数一数.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ 7 6 5 4 3 2 1 N M F E D C B A O
九图形的计数（B） 年级班姓名得分 一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____. 2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个. 3. 下图中共出现了_____个长方形. 4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形. 5. 图形中有_____个三角形. 6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个. 7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体. 8. 右上图中共有_____个正方形. 9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问： 如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法. 10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格. M 二、解答题 11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.） 12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形? 13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? 14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?
第一讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2 5×（5-1）÷2=10 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段： （4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条） ②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的 三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 图中共有多少个三角形？ 例（3）数一数图中长方形的个数 分析：长边线段有：6×5÷2=15 宽边线段有： 4×3÷2=6 共有长方形：15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。
图形的计数 【知识要点】 1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种 2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为 ()1231n ++++- 3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积 4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来 【典型题解】 例1.数出下面图形中有多少条线段？ 分析：我们可按顺序数线段：首先固定端点A ，以点A 为左端点的线段有5条，再固定端点B ，以点B 为左端点的线段有4条，再依次固定端点C D E F 、、、，分别数出以点C D E F 、、、为左端点的线段的条数，依次是3条、2条、1条、0条，最后求出所有条数之和，也可以直接用计算方法去计算 解：()12345155215++++=+?÷=（条） 例2.数出图中锐角的个数 分析：这图是由顶点O 引出的八条射线所组成，每两条射线 夹一个锐角。如果在图中加条虚线，就可发现，所要数的角 其实就是加虚线后构成的三角形中以O 点为顶点的角，并且 角的个数就是从O 点引出的射线将虚线所截得的线段的条 数，我们可用计算方法求出虚线上线段的条数 解：()1234567177228++++++=+?÷=（个） 所以，图中有28个锐角
例3.分别数出下面各图形里长方形的个数 分析与解 （1）先把AD作为宽，再配以AB上不同的线段为长，就得到一个长方形。而AB上线段共有123410 ?=（个），即+++=条，所以这个图形中长方形的个数是：10110 () +++?=（个） 1234110 （2）思想同上：AD上线段共有123410 +++=（条） +++=（条） AB上线段共有123410 所以，这个图形中长方形的个数是：1010100 ?=（个） 例4.数出44 ?的方格图中正方形的个数 分析：这种图形中正方形的个数，可以用分类的方法数，即依次数 出边长分别为1个长度单位、2个长度单位、3个长度单位……的正 方形个数，然后再把个数相加 解：（1）边长为1个长度单位的正方形的个数为：4416 ?=（个）（2）边长为2个长度单位的正方形的个数为：339 ?=（个） （3）边长为3个长度单位的正方形的个数为：224 ?=（个）（4）边长为4个长度单位的正方形的个数为：1（个） 所以，共有正方形1694130 +++=（个） 【能力训练】 A 卷 1.数出下列每条线上线段的总条数 2.下图共有（）条线段
学习必备 欢迎下载 图形的计数 一、填空题 A 12 1．如下左图中一共有（ ）条线 段. O A 11 A 10 A 9 A 8 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2. 如上右图,O 为三角形 A 1A 6A 12 的边 A 1A 12 上的一点,分别连结 OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 如下左图中有_____个三角形. A D A 7 A 6 B 4. 如上右图中共有_____个梯形. 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形. (2)一共有( )个三角形. C D C A 6. 如下左图中,所有正方形的个数是______. B (1) (2) A P O N M B Q X W L C R Y V K D S T U J E F G H I 7. 在一块画有 4 ? 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉(如上右图),如果用线绳围正方形,最多可 以围出_____个. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有 4 ? 4 个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你 能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.
9. 如下左图,方格纸上放了 20 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个. 10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 如下左图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. O 1 2 A B 4 3 C D 5 6 E F 7 M N 12. 如上右图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、4 厘米、8 厘 米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色 的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样 4 个大小不同的正方形，总 共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？
2020年通用版小升初数学冲A提高集训 几何图形—专题01《组合图形的计数》 一．选择题 1．（2019秋?丰台区期末）如图中，一共有线段()条． A．5B．7C．8D．9 2．（2019秋?皇姑区期末）数一数，图形中有()个三角形． A．3B．4C．5D．6 3．（2019秋?白云区期末）如图，以给出的点为端点，能画出()条线段． A．5B．6C．无数条 4．（2019秋?迎江区期末）图中共有()条线段． A．8B．9C．10 5．（2019?郑州）如图所示，已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的格点上，点C也在小方格的格点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则满足条件的C点的个数为() A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个 6．（2018秋?长春期中）把6个完全相同的小正方体摆放在墙角，()摆法露在外面的面最多．
A．B． C．D． 7．如图，每个小方格里最多放入一个“☆”，要想使得同一行、同一列或对角线上的三个小方格都不同时出现三个“☆”，那么这九个小方格里最多能放入()个． A．1B．5C．6D．7 8．如图是用三个大小相等的圆制作出的图案，这个图案可以分割出10个同样的扇形．照这样用五个大小相等的圆制作出的图案，可以分割出()个同样的扇形． A．12B．14C．16 二．填空题 9．（2019秋?濉溪县期末）如图中有个梯形，个平行四边形，个三角形． 10．（2019秋?薛城区期末）观察图中数角． 个直角，个锐角，个钝角． 11．（2019春?端州区月考）是由个小三角形拼成的．
12．（2019?深圳）如图中共有个等边三角形． 13．（2019?北京模拟）用同样大小的木块堆成了如图所示的形状，这里共用了个木块． 14．（2019?湘潭模拟）平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了条线段． 15．（2018秋?沧州期末）图中有条线段． 16．（2018秋?长阳县期末）图中有条线段，条射线，条直 线． 17．（2018春?青龙县期末）如图中一共有个三角形． 三．判断题 18．（2019秋?文水县期末）淘气数出如图中有16条线段．（判断对错） 19．（2019?亳州模拟）在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成38条线段．（判断对错）20．（2018秋?惠州期末）如图，一共有15条线段．（判断对错）21．（2018?上海）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成27条线段．（判断对错）
第二讲图形计数 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 一：简单图形计数的方法。 二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三 角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 解：：①在△ABC中共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是：
图形计数 姓名：日期： 【专项训练】 NO1.下图中一共有多少个长方形？ NO2.数一数下图共有多少个正方形？ NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ NO4. 图中共有多少条线段？ NO5.如图所示，图中共有个三角形。 N M F E D C B A O A12A34…4849A50
NO6.把一个长方体分割如下图。这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？ NO7.用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块． 主视图左视图 NO8. 下图中共有____个正方形。 NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含
正方形)共有个，它们的面积总和是。 NO10. 图中共有多少个三角形？ 【实战训练】 1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。 2、计算： 3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直 ☆
接开到营地，结果是两队学生同时到达。已知学生步行速度为4千米／小时，汽车载学生时的速度为40千米／小时，空车速度为50千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是。 4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。比如，241被342“吃掉”，123被123“吃掉”，但是240和223互相都不能被“吃掉”。现请你设计出6个三位数，它们中的任何一个都不能被另外5个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4，那么这6个三位数之和是。 图形计数（答案）
九图形的计数（B） 一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是______ 2. __________________ 下图中有正方形个,三角形__________ 个,平行四边形 ______________________ 个,梯形 4. _____________________________________________ 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有 ___________________________ 大小不同的三角形. 5. _____________ 图形中有三角形. 6. _______________如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色，已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多个. ____ 年级______ 班姓名得分 \/ Z Z Z\ Z P\ / \
7. 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小方体看不见?图中共有个小立方体? 8. 9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“ 1”的有1张；标有数码“2” 的有2张；标有数码“ 3”的有3张，标有数码“ 4”的也有3张。把这九张圆形 纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“ 3”的纸片，一共有 _______ 种不同的放置方法. 10. 如下图,在2× 2方格中,画一条直线最多可穿过 3个方格,在3× 3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10× 10方格中,画一条直线最多可穿过 _____ 个方格. 下图中共有_____ 个正方形.
第二讲图形的计数 知识点： 本讲学习的主要容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。 教学目标： 通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。 2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。 3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
第一课时 教学时间： 教学容：数线段和角 教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。 2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。 重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。 2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。 教学过程： 一.例题1 如下图中有多少条线段？ ＡＢＣＤＥ （1）学生先独立数一数，并交流结论。 （2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法 方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么： 由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条； 由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条； 由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条； 由4条基本线段构成的线段有AE共1条； 方法二：从线段的两个端点出发去数：
以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条； 以C点为左端点的线段有CD、CE共2条； 以D点为左端点的线段有DE共1条； 2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？ 二、教学数角 1.例2 如下图中共有几个角？ O A （1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论 （2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法 方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么： 由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个； 由3个基本角构成的角有AOD共1个；
第二讲有趣的图形计数 我们之前已经认识了各种图形，并会数简单的图形，在此基础上，我们要进一步深入的学习图形计数的方法。二年级秋季已经学过数线段、角、三角形、长方形等。今天就要学习一些更复杂图形和立体图形的计数，通过数图形的练习，让同学来总结方法，找到计数技巧，培养同学有序思考问题和空间想象的能力。 一、规则图形【知识复习】 （这里的“规则”是指不用一个一个数，可以直接用总结的方法的，可让孩子记下下面几种图形） （）条线段（）个角（）个三角形（）个长方形 通用的方法： 第一步，先数有几个基本图形（孩子可以理解为图形中的小线段、小角等） 第二步，计算，假设有n个基本图形，则图形的总数是n+（n-1）+（n-2）+......+2+1 例1： 基本线段有4条，共有4+3+2+1=10 例2：
基本角有4个，共有4+3+2+1=10 例3： 基本长方形有4个，共有4+3+2+1=10 二、不规则图形 方法：按照一定的顺序 例1 ：按方向数（从左到右） 例2：分类数 例3 ：分层数 三、数字有规律的图形计数
方法：此类题，找出数字的规律，更能方便的计算图形的个数 例： 图1 图2 图一中，第一行白方块的个数是4，第二行也是4，大三行也是，一共有8行，所以白方块的个数一共是4×8=32，黑方块也如此，也是32块。 图二中，第一行有白方块5个，第二行4个，第三行5个，第四行4个，奇数行都是5个，偶数行都是4个，所以白方块的个数是5×5+4×4=41，黑方块的个数是5×4+4×5=40块。 例： 小房子（课本上例题2，由于图形太大，不能上传，请各位参照课本进行复习）以红线为分界线，下面是一个长方形，一共有砖10×11=110 上面的从左向右数，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=25 一共有110+25=135个 四、立体图形的计数 方法：分层数（从上向下） 下一层的=上一层+多出来的 例：
几何图形中的计数问题 （临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400） 将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。下面举例说明。 1 适当分类 例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中 心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ） )(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37 解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有282 782 8=?=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182 312=?个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有32 16=?个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个. 例2 在图1的86?方格中,点A ,则以这些直线为边,且过点 A 的矩形共有多少个？ 解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在 的位置进行分成三类： ①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直 边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共 有116848C C ?=个矩形； ②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水 平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则， A 为顶点， n6n5n4n3n2n1
组合图形的计数 1 数一数，在右图中共有（）个三角形A．10 B．11 C．1 2 D．1 3 E．14 2 这里共有（）条线段．A．三条B．四条C．五条D．六条 3 如图所示，图中三角形的个数为（）A．4个B．7个C．9个D．10个 4 如图，共有（）个长方形．（）A． 5 B．7 C．9 D．10 5 如图中的五角星一共有（）条线段A．5 B．15 C．30 D．以上都不对 6 数一数，图中一共有（）条线段．A．4 B．6 C．8 D．10 7 如图，在一块木版上钉十六个钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成一个 正方形，这样的正方形一共有（A）A．20个B．13个C．14个D．15个 8 图中共有（）个三角形．A．25 B．27 C．29 D．36 9 平面内的8个点最多可以连成（）条线段． A．10 B．16 C．28 D．32 10 用4条直线最多能把一个圆分成的块数是（）A．10 B．11 C．12 11 右图中有（）个平行四边形．A．7 B．8 C．9 12 在如图中共有（）个三角形． A．18 B．19 C．20 D．21 13 在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成（）条线段．A．15 B．21 C．28 D．36 14 把一条细绳先对折，再把它所折成相等的三折，接着再对折，然后用剪刀在折过三次的绳中间剪一刀，那么这条绳被剪成（）段．A．13 B．12 C．14 D．15 15 如图中共有（）个角．A．4 B．9 C．10 D．6 16 图中有多少个长方形（）A．10 B．20 C．8 D．15 17 如图中，有（）A．5个B．6个C．7个 18 如图中一个有（）个直角三角形．A．4 B．5 C．8 19 用哪一种方框去框下面一组数字，可以得到5种不同的结果．（） A．B．C． 20 数一数，它一共有（）条线段．A．7 B．8 C．9 D．5 21 用连续的15个自然数写成一行，每相邻的4个数相加，可得到（）种不同的和． A．10 B．11 C．12 D．19 22 如图所示的立方体图形是由（）个小立方体组成的．A．8 B．10 C．11 D．12 23 如图，将长度为9的线段AB分成9等份，那么图中所有线段的长度的总和是（） A．132 B．144 C．156 D．165 24 如图，在直线a上有四个点，在直线b上有三个点，以这些点为顶点，可以画出
十一、组合图形的计数（A ） 年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____ 一、填空题: 1.右图一共有( )个长方形? 2.右图一共有( )个长方形? 3.右图一共有( )个长方 形？ 4.右图一共有( )个正方形？ 5.右图一共有( )个长方形？ 6.右图一共有( )个平行四边形? 7.右图一共有( )个梯形？ 8.右图一共有( )个正方形？ 9.右图一共有( )个正方形? 10.右图一共有( )个正方形? 二、解答题: 11.下图共有几个正方形?
12.下图共有几个正方形? 13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形? 14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来? ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 一共有321个. 解: ①上横大长方形内有长方形: (8+7+6+5+4+3+2+1)?(1+2)=108(个); ②下横大长方形内有长方形: (7?6÷2)?(3?2÷2)=63(个); ③竖大长方形内有长方形: (5?4÷2)?(7?6÷2)=210(个); ④中间重复的长方形共有: (5?4÷2)?(3?2÷2)?2=60(个). ⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个). 2. 一共有64个. 3. 一共有107个. 解: (1+2+3+4)?(1+2+3)=60(个); (1+2+3)?(1+2+3)=36(个); 1+2=3(个); (1+2)?4+2=14(个); 图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个). 4. 一共有18个. 解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个. 因此,图中共有正方形13+4+1=18(个). 5. 一共有79个. 解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)?(3+2+1)=36(个).
第二讲图形的计数问题 、知识点: 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交 错的，要准确计数就需要一些智慧了?实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法-一枚举法.具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、?无一遗漏，然后计算其总和?正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯. 典例剖析: 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在/ AOB内有三条角分线0C1 0C2 OC3 / AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么/ AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即/ AOC2 / C1OC3 / C2OB，然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即/ A0C3 Z C1OB，最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即/ AOB，所以/ AOB内总共有角： 4+ 3 + 2+ 1 = 10 （个） 解：4 + 3+ 2 + 1 = 10 （个） 答：图中总共有10个角。 练一练： 数一数右图中总共有多少个角? 答案：总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55 （个）
例(2 )数一数共有多少条线段？共有多少个三角形? 分析：①要数多少条线段：先看线段AB AD AE、AF、AC上各有 2个分点，各分成3条基本线段，再看BC MN GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段. 所以图中总共有线段是： (3+2+1)X 5+ (4+3+2+1)x 3=30+30=60 (条). ②要数有多少个三角形，先看在厶AGH中，在GH上有3个分 点，分成基本小三 角形有4个.所以在△ AGH中共有三角形4+3+2+1=10 (个).在厶AMNW^ ABC中，角形有同样的个数，所以在厶ABC中三角形个数总共： (4+3+2+1)x 3=10X 3=30 (个) 解::①在△ ABC中共有线段是： (3+2+1)X 5+ (4+3+2+1)x 3=30+30=60 (条) ②在△ ABC中共有三角形是： (4+3+2+1)x 3=10X 3=30 (个) 答：在厶ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 共有多少个三角形? 答案 :18 N
第一讲几何图形中的计数问题（一） 姓名：__________ 【教学目标】 1、经历解题理解图形计数的规律及特点。 2、通过学习体会线段计数的原理并能推广到角、共顶点的三角形，能够解决一些基本的几何图形中的计数问题。 线段计数原理：在一条线上如果共有n条基本线段，那么它上面的线段总条数为： 2)1 ( 1 2 3 )2 ( )1 (+ = + + +??? + - + - + n n n n n （线段计数原理：基本线段×基本点÷2） 3、通过学习，体会学习的数学乐趣，提高学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、趣味导入 在田径比赛中，你追上了第二名，你是第几名？（为下一题做铺垫）在田径比赛中，你追上倒数第一名，你是第几名？ （通过这两个趣味提问活跃了课堂气氛） 二、旧识复习 1、线段的定义：线段AB与线段BA是不是同一条线段。 三、新课讲授 【例1】数一数，下图中有多少条线段？其中包含线段BC的线段有多少条？ （1）先让学生尝试做：数线段 （2）根据学生数的列出线段。 （让学生发现其中每一条线段都重复了两次）总共：4×5=20 20÷2=10 从而引出：线段计数的原理基本线段×基本点÷2=线段数
第二问：（1）已知所有的—不包含的= 包含的 （2）以A 为首的有3条，以B 为首的有3条 （3）根据线段的定义：2×3 = 6（条） 〖巩固〗数出下图中共有多少条线段？其中包含线段54A A 的线段有多少条？ （1）A1：19 A2：18…… 19+18+17+……+2+1=190（条） （2）先让学生独立根据公式来完成，从而理解并能应用。 20×19÷2 = 190（条） 第二问：同例1一样。 【例2】下图中共有多少条线段？ 第一步：先找出有几条大线段 第二步：每条大线段中各有几条基本线段，几个基本点。 第三步：利用公式灵活运用 （鼓励学生先用自己的方法解决问题，通过旧识与新学的公式法进行比较从而接受新方法，并能灵活运用） 〖巩固〗如图所示，a 、b 、c 、d 、e 五条线段两两相交，有多少条线段，如果是10条 线段呢？ 步骤同上 此题重点在：“两两相交” 拓展为10条线段时，主要能够找出有多少个基本点。 若是21、30、50条等等。
第二讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？ 答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三 角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 解：：①在△ABC中共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 共有多少个三角形？ 答案: 18
(7) 十一、组合图形的计数（A） 年级______班_____ 姓名_____得分_____ 一、填空题: 1.右图一共有( )个长方形? 2.右图一共有( )个长方形? 3.右图一共有( )个长方形？ 4.右图一共有( )个正方形？ 5.右图一共有( )个长方形？ 6.右图一共有( )个平行四边形? 7.右图一共有( )个梯形？ 8.右图一共有( )个正方形？ 9.右图一共有( )个正方形? 10.右图一共有( )个正方形? 二、解答题: 11.下图共有几个正方形? (6)
12.下图共有几个正方形? 13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形? 14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?
十一、组合图形的计数（B ） 年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____ 一、填空题: 1.右图有( )个长方形. 2.右图共有( )个长方形. 3.下图共有( )个长方形. 4.图中一共有多少个长方形?(含正方形). 5.数一数图中三角形的个数. 6.下图共有( )个三角形. 7.下图一共有( )个三角形. 8.图ABC ?中,cm BC 4=,BC 边被分成四等分, BC 边上的高cm AH 2=,则图中所有三角形面积的和为多少?(以AH 为边的三角形不计算在内.
9.下图共有( )个平行四边形. 10.右图一共有( )个梯形. 二、解答题: 1.数一数,右图中有多少个正方形? 2.如右图,数一数图中一共有多少个三角形? 3.下图共有几个长方形? 4.下图共有多少个长方形?
第二讲图形的计数 本讲内容是让孩子们学会用计算的方法来数图形，在计算过程中结合第一讲速算巧算 的方法来巩固和练习我们以往所学过的知识。 一、知识点 ( 一 )平面图形的计数 1、数线段与角的个数 ( 打枪法、编号法 ) 2、数三角形、正方形、长方形，圆形等（编号法、分层法） ( 二 )立体图形的计数 1、数方块：⑴分层数（从上到下再求和） ⑵按列数（刀切法） 注意：每层数量 =看见的 +上层数量 ( 1)、数规整图形：观察规律，算是表达（牢记巧算速算的方法） (2)、数有缺口的图形方 法：（ 1）分层数 （2）补（补全图形去多余） （3）拆（拆成规整图形来计算） 二、例题讲解与练习 【习题 1】你来数一数! ( )个正方形( )个三角形( )个正方体
【解析】：⑴、由小到大分类数 正方形 3 个共 8+3=11( 个 ); , 含有 1 个小方块的正方形个, 编号法含有2个小方块的 ⑵、编号法 , 含有 1 个号的三角形号的三角形163、164、 264 、 265、365 共 5 个（ 5三角形），所以三角形共5+5=101、 2、 3 、 4、5 共 5 个，含有 3 个 角星每个小角对应新组成的 5 个大（个）； (3) 共1+5+6=12 （个） 【习题 2】数一数下面一共有多少个小圆点 【解析】 :不同的角度来观察，我们所选用的方法不同（方法 不唯一），从上往下数第一层 1 个点，依次往下每 一层都比上一层多一个一点，2、3、 4、 5、 6、 7、 8、9，所以圆点的总数为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45( 个 ) 【习题 3】如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数 一数，需要多少块砖才能把墙补好
有趣的图形计数 巧求周长 知识框架 把一些正方体堆在一起你会数吗？无论是平面图形还是几何图形，在数复杂图形的个数时，只要我们认真仔细观察图形特点，有次序地去数，不遗漏不重复，就能数得又对又快。今天这节课我们也去闯一闯几何王国，让我们用我们的智慧去挑战这些图形吧！ 立体图形包括正方体、长方体等，如果把许多的正方体堆成不同的图形你会数吗？如果把一个大的长方体切成许多的小正方体你又会数吗？ 例题精讲 【例1】下面的图形有多少个？你会数吗？ （）条线段（）个长方形 （）个正方形（）个三角形（）个圆 【例2】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块？ 图1图2 【例3】迪斯尼乐园里米老鼠又住上了新房子，下图是他新房子的侧面墙，你能根据这个侧面图算算砌好
【例4】你喜欢下跳棋吗？你知道跳棋盘有多少个孔吗？仔细数一数。 【例5】数一数，下面的方块各有多少？ 【例6】下面的图形中一共有几个小方块？ 【例7】下面这堆木方块共有多少块？（中间打阴影部分从上到下是空心）
【例9】下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色 【例10】有一天大头儿子做手工，把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？ 课堂检测 【随练1】下面两个图形能拼成一个长方体吗？
【随练2】下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开。切成了（）个三棱柱。每个三棱柱没有涂颜色的面共有（）个，这些三棱柱一共有（）个面没有被 涂色。 【随练3】一个大正方体的表面上都涂上绿色，然后切成27个小立方体（切线如图中虚线所示）。在这些切成的小立方体中，问： （1）1面涂成绿色的有（）个。 （2）2面涂成绿色的有（）个。 （3）3面涂成绿色的有（）个。 （4）1个面也没有被涂成绿色的有（）个 【作业1】数一数. 【作业2】如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好？ （）个正方形（）个三角形 （）个三角形 家庭作业
第九讲、巧数图形（教师版） 1、数一数中各有多少条线段. (1)6条(2)21条(3)5050条 2、数一数图中有多少个锐角. 55个 3、数一数图中分别有多少条线段?有多少个三角形? (1)12条5个(2)60条30个 4、数一数图中有多少个三角形？ 35个 5、分别数出图中各图里的长方形（正方形也是长方形）的个数。 分析：由于一个长方形可以看成是满足一定条件的一对线段（其中一条叫长方形的长，另一条叫他的宽）所确定的，因此这对线段中的每一条上线段的条数就决定了它们所确定的长方形的个数。 先看图（1），长方形ABCD中的各个长方形的宽是相等的，都是以与AB相等的线段为宽，而以线段BC上的每一条线段为长。由于BC上的线段条数为
4+3+2+1=10(条) 所以长方形的个数是: (4+3+2+1)×1=10(个) 再看图 (2),它可以看成是由图 (1)中的两个图形拼接起来的.那么又多了多少个长方形呢?如果说多了10个就错了.应该同上面的思考方法一样,先看AB上有几条线段,就相当于有几个不同的宽,再把BC上不同的线段当作长,1个长配一个宽,就得到1个长方形.所以长方形的个数为 (4+3+2+1)×(2+1)=30(个) 再看图 (3),用同样的方法,容易得出图中的长方形个数为 (4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个) 解:长方形的个数分别为: (1)(4+3+2+1)×1=10(个) (2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个) (3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个) 观察上面3个式子,想一想: 算式中被乘数和乘数分别与AB边及BC边上的线段有什么关系?或者说与AB边及BC边上的小格有什么关系? 从5的分析中,我们发现,可以将数长方形的问题归结成数线段的问题. 一般的,长方形的总数等于长方形的长上的线段总数乘以宽上的线段总数:或者说当长方形的一边上有n个小格,另一边上有m个小格时,长方形的总数为: (n+ +3+2+1)×(m+ +3+2+1) 我们通过对长方形自身的构成规律的分析,以及与数线段之间的联系,找到了数长方形的规律.今后,找规律是我们解决数学问题是经常要用到的思考方法 6、数出图中有多少个梯形？ 分析： 首先要知道什么是梯形?图中的四边形好像一个梯子，而且一组对边平行，另一组对边不平行。数梯形的个数与数长方形的个数问题基本相同。也就是说该提醒的总数为AB边长的线段总数乘以BC边上的线段总数。即为： （3+2+1）×（3+2+1）=36（个） 解：梯形的总数为 （3+2+1）×（3+2+1）=36（个） (3+2+1)X(3+2+1)＝36(个) 解：梯形的总数为 (3+2+1)X(3+2-+1)＝36(个) 7、分别数出图中各图里的正方形个数。 分析： 正方形是长和宽相等的长方形，这种特殊性使得数正方形时不能简单地照搬数长方形的