结构动力学与稳定复习
1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？
答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；
(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？
答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？
答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。1.4 结构的动力特性一般指什么？
答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。
1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？
答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。
阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假
想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。
粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。
1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？
答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。
广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。
有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。
综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：(l) 与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。
(2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。
2.1 建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件是什么？
答：常用的有 3 种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。直接动力平衡法是:在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。
虚功原理的优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加。而作用于结构上的力是矢量，它只能按矢量叠加。因此，对于不便于列平衡方程的复杂体系，虚功方法较平衡法方便。
哈密顿原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别采用对动能和势能的变分代替。
因而对这两项来讲，仅涉及标量处理，即能量。而在虚功原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。
2.2 直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方程各代表什么条件？
答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。
刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。
2.3 刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？
答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一致的。由于刚度矩阵与柔度矩阵互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建立的方程。
一般说来，对于单自由度体系，求[δ]和求[k]的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位移求力。
对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超静定结构就要根据具体情况而定。若仅从建立运动方程来看，当刚度系数容易求时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。
2.4 计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？
答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一样的。但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无位移位置来建立，则两者是一样的。
3.1 为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征，它与哪些量有关，怎样修改它？
答：动荷载（或初位移、初速度）确定后，结构的动力响应由结构的自振频率控制。从计算公式看，自振频率和质量与刚度有关。质量与刚度确定后自振频率就确定了，不随外部作用而改变，是体系固有的属性。
为了减小动力响应一般要调整结构的周期（自振频率），只能通过改变体系的质量、刚度来达到。总的来说增加质量将使自振频率降低，而增加刚度将使自振频率增加。
3.2 自由振动的振幅与哪些量有关？
答：振幅是体系动力响应的幅值，动力响应由外部作用和体系的动力特性确定。对于自由振动，引起振动的外部作用是初位移和初速度。因此，振幅应该与初位移、初速度以及体系的质量和刚度的大小与分布（也即频率等特性）有关。当计及体系阻尼时，则还与阻尼有关。
3.3 阻尼对频率、振幅有何影响？
答：按粘滞阻尼假定分析出的体系自振频率计阻尼与不计阻尼是不一样的，二者之间的关系为:计阻尼的自振频率此小于不计阻尼频率。计阻尼时的自振周期会长于不计阻尼的周期。由于相差不大，通常不考虑阻尼对自振频率的影响。 阻尼对振幅的影响在频率比不同时大小不同，当频率比在1附近（接近共振）时影响大，远离1 时影响小。为了简化计算在频率比远离1 时可不计阻尼影响。
3.4 什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？
答：动力系数是指最大动位移()max y t ????与最大静位移st y 的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。
当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。
3.5 什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？
答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量，它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比。若阻尼比为0.05，则意味着体系阻尼是临界阻尼的5％。
方法：根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。(振幅法) 措施：1.可改变自振频率，如改变质量、刚度等。2.改变荷载的频率。
3.可改变阻尼的大小，使之避开共振。
3.6 增加体系的刚度一定能减小受迫振动的振幅吗？
答：增加体系的刚度不一定能减小受迫振动的振幅。对于简谐荷载作用下的振幅除与荷载有关以外，还与动力放大系数有关。动力放大系数与频率比有关，频率比小于1时动力放大系数是增函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数减小，振幅会相应减小；频率比大于1时动力放大系数是减函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数增大，振幅会相应增大。
可见，减小体系的动位移不能一味增加刚度，要区分体系是在共振前区工作还是在共振后区工作。
3.7 突加荷载与矩形脉冲荷载有何差别。
答：这两种荷载的主要区别是在结构上停留的时间长短。与结构的周期相比，停留较长的为突加荷载，较短的是矩形脉冲荷载。矩形脉冲荷载属于冲击荷载，在它的作用下，结构的最大动力响应出现较早，分析时应考虑非稳态响应。此外，由于最大响应出现时结构阻尼还未起多大作用，故在分析最大响应时可不计阻尼影响。而突加荷载则不然。
3.8 杜哈迈积分中的变量τ与t有何差别？
答：杜哈迈积分是变上限积分，积分上限t是原函数的自变量；τ是积分变量。t 是动力响应发生时刻，τ是瞬时冲量作用的时刻。
3.9 什么是稳态响应？通过杜哈迈积分确定的简谐荷载的动力响应
是稳态响应吗？
答：稳态响应是指：由于阻尼影响，动力响应中按自振频率振动的分量消失后，剩下的按动荷载频率振动的部分。
通过杜哈迈积分确定的简谐荷载动力响应是非稳态响应，积分中并没有略去荷载所激起的按结构自振频率变化的伴随自由振动部分。
4.1 什么是振型，它与哪些量有关？
答：振型是多自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状。
它仅与体系的质量和刚度的大小、分布有关，与外界激励无关。
4.2 对称体系的振型都是对称的吗？
答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，究竟受外界作用产生什么变形要取决于外界作用。对称体系的振型既有对称的，也有反对称的。
4.3 满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？
答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点间振动位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。
由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量{}()
j A 并不一定满足振型方程
[][](){}(){}20j
j K M A ω+=， 所以并不一定是振型。
但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一定是振型。
4.4 振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？
答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。
作用：1.判断主振型的形状特点。2.利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。
4.5 柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的吗？
答：由柔度法建立的自由振动微分方程为{}[][][]y M y δ=- ；而用刚度法建立的方程为[]{}[][]K y M y =- 。因为[][][]K I δ=和[][][]K I δ=，故[]δ与[]K 互为逆矩阵，即[][]1
K δ-=，或[][]1
K δ-=，从而证明了柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的。
4.6 求自振频率与主振型和坐标选取有关吗？
答：结构的自振频率和主振型是结构的固有性质，它们只与结构的形状、约束情况、质量分布、截面尺寸和选用的材料有关，与计算时所选的坐标无关。
4.7 求自振频率与主振型能否利用对称性？
答：利用对称性计算频率和主振型时，通常取半结构计算。
4.8 频率相等的两个主振型互相正交吗？
答：若两个振型对应的频率彼此相等，则与此频率对应的振型有无穷多个，它们并不一定彼此正交，但总可以选出两个主振型（其中一个是任选的）使它们彼此正交。
4.9 什么叫做广义坐标？什么叫做振型分解法？
答：广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标。广义坐标的物理意义就是任意振动位移曲线按主振型分解各振型所占的比例。 振型分解法就是任意振动位移曲线可由各主振型按广义坐标比值叠加而成。振型分解法是解决一般动荷载作用下的强迫振动问题的方法。
5.1 多自由度体系与无限自由度体系的运动微分方程有什么不同？
答：常微分方程与偏常微分方程的区别。在无限自由度体系中，由于位置坐标和时间变量都是连续的独立变量，故所得的是偏常微分方程。
5.2 讨论无限自由度体系的振动的主要目的是什么？如何应用到实际工程中去？
答：为了估算有限自由度结果的精度，需要做无限自由度体系的振动分析。特别是对结构振动的概念分析和对计算结果的分析是非常有用的。
在实际工程中，例如对简支梁在列车不同车速变化的振动分析等。
5.3 考虑转动惯量和剪切变形的影响时梁的频率如何变化？它们对低阶频率的影响大还是对高阶频率影响大？
答：在实际问题中，当n
l
与1相比很小时，剪切与转动惯量的影响相比，剪切变
形影响大。
考虑转动惯量影响时，所得的频率要降低一些，并且对于高频来说，其影响就越大。
6.1 瑞利法的基本思想和特点？
答：瑞利法是根据能量守恒定律建立起来的，故又称为能量法。利用瑞利法求固有频率，必须知道振型函数，而精确的振型函数事先往往是不知道的，所以必须先假设一个振型函数来进行计算，由此所得的计算结果就具有一定的近似性，因此，瑞利法是一种近似方法。
6.2 用能量法求固有频率，必须首先知道什么？
答：必须首先知道振型函数。
7.1 对于杆系结构用有限元法计算频率和振型时，需要哪些基本数据（参照单元刚度矩阵和质量矩阵）?
答：除静力计算相同的数据外，还需要输入集中质量（或密度）。
7.2 在一致质量法中，判断计算出的频率与精确解的依据是什么？答：一般说来，用一致质量矩阵算得的频率是结构真实频率的上限；而用集中质量矩阵算得的频率是结构真实频率的下限。
7.3 在结构动力有限元法分析中，与一致质量法相比，集中质量法的主要优点是什么？
答：集中质量矩阵为对角阵，占用内存较少，计算简单和省时。所以工程上常采用集中质量法计算结构的频率和振型。
1. 简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的？
答：
2. 简述第一类失稳和第二类失稳有何异同？
答：1）第一类稳定问题，具有平衡分枝点的稳定问题。
属于这类稳定问题的有：轴压杆的弯曲屈曲、轴压杆和压弯杆件的弯扭屈
曲、在腹板平面内受荷的梁的侧扭屈曲以及在板平面内受轴压荷载和剪切荷载的薄板的弯曲屈曲等。
在临界荷载cr P 以前，属稳定平衡；在临界荷载cr P 以后，进入不平衡状态。 2）第二类稳定问题，无平衡分枝的稳定问题。
属于这类稳定问题的有：压弯杆件在弯矩作用平面内的稳定。
上升段是稳定的，下降段是不稳定的，转折点即不稳定平衡的临界状态，
用极限荷载n P 表示。
3. 结构稳定问题有哪些类型？判别平衡状态是否稳定的准则有哪些？在稳定分析中怎样利用这些准则来求临界荷载？
答：类型：第一类稳定问题、第二类稳定问题、跌越失稳。 三个基本准则：静力准则、能量准则、动力准则。 求临界荷载方法：静力平衡法、能量方法、动力方法。
必须采用结构产生变形后的计算图形来建立平衡方程和其总势能表达式。
4. 结构稳定问题与结构强度问题有何区别？
答：1）强度问题，是指结构或单个构件在稳定平衡状态下由荷载所引起的最大
应力（或内力）是否超过建筑材料的极限强度，因此是一个应力问题。
2）稳定问题，主要是要找出外荷载与结构内部抵抗力间的不稳定平衡状态，即变形开始急剧增长的状态，从而设法避免进入该状态，因此，它是一个变形问题。
3）强度问题可以采用一阶或二阶分析结构内力，而稳定问题必然是二阶分析，其外荷载与变形间呈非线性关系，叠加原理不能应用。
5. 初弯曲、初偏心以及残余应力对压杆稳定承载力有何影响？
答：1）初始缺陷（几何缺陷、荷载缺陷）将降低柱的承载能力，缺陷越大，荷载降低得越多。受荷初期，挠度增长较慢，当E P P →时，挠度显著增加。欧拉荷载是实际压杆承载力的一个上限。
2）初弯曲和初偏心两个缺陷对柱子稳定性产生的影响相似，可以用其中一个缺陷来模拟两个缺陷都存在的实际压杆。
3）残余应力降低比例极限，使柱子提前出线弹塑性屈曲，并降低了临界荷载或临界应力。
6. 理想轴压杆小挠度理论和大挠度理论有哪些不同？根据你的理解，理想轴压杆大挠度理论最适合用于哪个阶段的轴压杆的力学行为？
答：从//E P P l δ-关系曲线分析不同点：
1）大挠度理论，在/1E P P >时，与小挠度理论的差别是能得到相应于屈曲后强度的曲线；
2）小挠度理论的分枝荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，而大挠度理论的分枝荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分枝点。
3）大挠度理论，荷载较临界荷载略有增加，就将导致较大的绕度，在挠度很小的范围内，小挠度理论代替大挠度理论完全可行。 4）在弹性工作阶段，一般都可采用小挠度理论。 AB 段？B-C?
7. 刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？
答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。
8. 应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？
答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。
9.结构稳定计算方法中能量方法是精确方法吗？为什么能量方法得出的结果往往是近似的？
答：是精确方法。
1）变形连续体是由无数个介质点所组成，基于能量方法的近似解法用有限个自由度的体系来代替。
2）预先假定的位移函数与真是的位移函数存在一定的误差，带来计算的近似性。
10.压弯杆件稳定分析有哪些准则，各适用于哪些情形？
答：1）边缘纤维屈服准则，只考了杆件在弹性阶段工作。适用于：同时承受轴压力和横向均布荷载的压弯杆件，跨度中点承受一集中荷载作用的压弯杆件，受端弯矩作用的压弯杆件，两端偏心受压的压弯杆件。
2）极限荷载准则，包括雅若克近似解法（适用于矩形截面的杆件，且未考虑残余应力的影响）、数值积分法（适用于初始边界条件已知的）。
3）相关公式，是半理论半经验公式，
11. 根据你的理解，压弯构件的稳定极限承载力问题与构件的静力强度问题有哪些区别？
答：1、压弯构件的稳定极限承载力，在理论上讲，就是根据其荷载-位移曲线所得的极限荷载
P，而此曲线的形状又与构件截面形状、弯曲方向及荷载类型等因
n
素有关，因此很难求出一个适用于各种情况下的极限荷载
P的表达式。
n
2、压弯构件的稳定极限承载力与构件的加载过程有关，不像静力强度问题只取决于所受的轴压力P和弯矩M的大小而与加载过程无关。
3、要建立一些基本假定，因此，对压弯构件稳定极限承载力的试验研究极为重要。
12. 影响梁整体稳定承载力有哪些因素？屈曲前变形以及截面塑性发展对梁整体稳定有哪些影响？
答：（一）影响因素：
1、截面形状和尺寸，即截面尺寸比值；
2、荷载的类型及其在截面上的作用点位置；
3、支承条件和相邻杆件约束的影响；
4、初始缺陷的影响。
（二）1、考虑屈曲前变形，可以提高一些梁的临界弯矩，有利于梁整体稳定。
2、由于塑性区材料的切线模量远较弹性区的弹性模量小，降低了截面的各种刚度，从而使侧扭屈曲的临界弯矩比弹性侧扭屈曲时有较大的降低。因此，降低的梁的临界荷载，不利于梁的整体稳定。
13.梁侧扭屈曲时弹性应变能包含哪些内容？
答：包括三个部分：
1、由于侧向弯曲和翘曲而产生的线性纵向应变引起的应变能；
2、由于纯扭转产生的剪应变引起的应变能；
3、非线性纵向应变引起的应变能。包括，由弯矩因侧扭而产生转动引起的，
和纵向纤维应力偏斜而引起的扭转应变能。
14.给出一个结构，试说明结构中哪些构件可能发生失稳，如何提高
这些构的稳定承载力。
答：
1）轴心受压构件失稳，如桁架、网架中的杆件，工业产房及高层钢结构的支撑，支柱等。失稳类型有：弯曲失稳，扭转失稳，弯扭失稳。方法：同样截面积下尽量合理地增大它的惯性矩，正确采用压杆的计算长度，和支撑对杆件位移的约束程度，约束越大，承载力越大。
2）压弯杆件失稳，如刚架中的柱子、斜梁以及传递水平力的横梁，空腹桁架中的杆件等。失稳类型有：弯曲平面内（外）杆件整体失稳、板件失稳，格构式构件中的单肢失稳，主要是弯扭失稳。方法：加支撑，截面选取等 3）梁的侧扭屈曲，避免使用窄而高的截面较宽而矮的截面，设计结构时避免使梁处于纯弯状态，尽可能加强边界支撑约束条件，改善材料的初始缺陷等。 4）薄板屈曲，压杆失稳类似。
部分习题
1.已知结构的自振周期s T 3.0=，阻尼比04.0=ξ，质量m 在0,300==v mm y 的初始条件下开始振动，则至少经过 14 个周期后振幅可以衰减到mm 1.0以下。
2. 多自由度框架结构顶部刚度和质量突然变 小时，自由振动中 顶部位移很大的现象称 鞭梢效应。
3.图示梁受简谐荷载t P θsin 作用，kN P 20=，s /801=θ，kg m 300=，
26109m N EI ??=，梁长m l 4=，支座B 的弹簧刚度3/48l EI k =。试求（1）无阻尼时梁中点总位移幅值；（2）阻尼比05.0=ξ梁的最大动弯矩。
l/2
m
l/2EI
k
A
B Psin t 0
-
解：1) 梁中点的柔度系数为
EI
l k EI l k EI l 1925414821
21483
33
=
+=?+=δ 固有频率s ml EI m 1
16
.13443005109192519213
63=????===δω 动力系数55.116.1348011112
2
=?
?
? ??-=
??
? ??-=
ωθβ
梁中点总位移幅值为
mm
P mg P
mg y mg A mg y st t 3.6)102055.110300(10919245)(3
6
3max =??+????=+=?+?=+?=+?=βδδβδβδδ 2) 动力系数为
545
.116.1348005.0216.1348011
)
2()1(1
2
2
22
2
2=???
????+???
???????? ??-=
+-=
ξγγβ
梁的最大动弯矩为m kN Pl
M d ?=??=
=9.304
4
20545.14
max β
4. 下图所示剪切型刚架的质量已集中在横梁上，t m t m 140,25021==，横梁抗弯刚度为无穷大，各柱的线刚度为m MN i m MN i m MN i ?=?=?=12,18,24321。求结构的固有频率和主振型，并画出振型图。
B
F E
G H
I J
4m 4m
A
i 1i 1
i 22i 3
i i 3
2
m m 1C
D
EI=O O
EI=O O
解：质量矩阵kg M ??
?
?
??=4.15.210][5 柱的侧移刚度m
N k m N k /108.1104
12
122/103.6104
181221042412276227626
21?=???=?=???+??
?=
刚度矩阵m N k k k k k K /8.18.18.13.610][722221??
????--=????
??--+= ??????=??????????
?
?----=-004.1180180
180
5.2630}
0{}]){[]([2122
2A A A M K ωωω
0180180)4.1180)(5.2630(2
2
=?---ωω
s
rad s rad /45.17,/72.80
8100013325.32124===+-ωωωω
振型为：
73.0180
45
.175.263044
.2180
72.85.26302
122222
11211-=-?--==
=-?--==A A A A ρρ
{}{}{}{}T
T
73.01
,
44.21
21-==φφ
振型图表示为：
0.73
2.4411
第一振型 第二振型
5. 用瑞利法求图示变截面悬臂梁的第一阶固有频率。已知悬臂梁为单位宽度1=b ，截面高度x l
h x h 2cos
)(π
=，杨氏模量和密度分别为ρ,E 。
h
h (x )
l
解：截面惯性矩??
? ??=x l h I 2cos 1233π，单位长度质量x l h m 2cos πρ=-，
取第一振型试函数2
)(??
?
??=l x a x y ，满足左端位移边界条件0)0()0(='=y y ，
()3230
2
2330
2
9422cos 12)()(l a Eh dx l a l x h E dx x y x EI l
l
ππ?
?
=??
? ????? ??='' ()3
20
4
20
2
22cos )()(l ha dx l x a l x h dx x y x m l
l
πρπρ?
?
=??
?
????? ??=-
因此基频近似值为
ρ
ωρπρπωE
h
Eh l ha l a Eh 471.0,9229423
2
32
32===
习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。
F P
l
l
l 2F P l
l
l
P
F k
k
l l l
k
=∞
0E I E I 0=∞
=∞
E I 0k
(a) (b) (c)
习题11.3图
【解】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a ）图所示。 由
∑=0A
M
得
P (3)0F kl y -= ∴Pcr 13
F kl =
F P
k
P P
F F P
F (a)
(b)
(c)
y
ky
y
F P F P
F R
A
F y/l P P
F y/l ky
y
y
A
ky ky 2
12
3A
习题解11.3图
（2） 给出失稳形式，如习题解11.3（b ）图所示。 由
∑=0A
M
得
P (2)0kl F y -= ∴Pcr 12
F kl =
（3）给出失稳形式，如习题解11.3（c ）图所示。
先求得支反力：P R 124F F k y l ??
=+
??
? 由
∑=0A
M
得
P 506kl F y ??
-=
???
∴Pcr 5
6
F kl =
习题11.4 用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。k 为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。
l
l
P
F k
E I 0=∞
习题11.4图
【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。 分析AC ，由
0C
M
=∑得
P 20y k F y l ??
?-= ??? P 20k F y l ??
-=
???
∴Pcr 2k
F l
=
k F P A
B
C y R F =0
习题解11.4图
习题11.5 用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。
F P
E I
EA =∞
l
l
F P
EI
A
B C
h
l
=∞
0E I 0=∞
E I
(a) (b)
习题11.5图
【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a ）图所示。弹性支承刚度系数为
B
=∞
0E I A
h
0=∞
E I
F P
(a)
(b)
P
F k
k
习题解11.5图
33623l
EI
l EI k =?=
可求得
Pcr 2132EI F kl l =
= （2）原体系可简化为习题解11.3（b ）图所示。弹性支承刚度系数为
4EI
k l
=
可求得
Pcr 4k EI F h lh
=
= 习题11.6 用能量法重做习题11.3（c ）。 【解】 变形能 2
1111222522223372
U ky y ky y ky =
??+??= 荷载势能P P U F ?=-，其中
222
1153()2()232212y y l l y l l l
?=?+?=
总势能P P E U U =+
由
P
d 0d E y
=及0y ≠得P 25507212k F l -
= ∴Pcr 56
F kl =
习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。
F P l
l /2
E I
E I 0=∞
EI
l
P
F k =4EI /l (抗转动刚度)
(1) (2)
EI
l
EI l P
F B
A
A B
l
EI
l
P F =∞
EI 0EI
(3) (4)
l EI
A
EI l
F P B EI l
C
D
(5) 习题11.7图
【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。微分方程为 P P 1
()2
EIy M F y F x θ''=-=-+
或 2
2
12
y y x ααθ''+=- 其中 2
P
F EI
α=
该微分方程的通解为
x x B x A y θαα2
1sin cos -
+= 代入边界条件：0, 0; , 0; , x y x l y x l y θ'======- 所得齐次方程中，由θ,,B A 不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得
tan 0l l αα+=
***学院期末考试试卷 一、 填空题（20分）（每题2分） 1.一个刚片在其平面内具有 3 个自由度； 一个点在及平面内具有 2 自由 度；平面内一根链杆自由运动时具有 3 个自由度。 2.静定结构的内力分析的基本方法 截面法，隔离体上建立的基本方程是 平衡方程 。 3.杆系结构在荷载，温度变化，支座位移等因素作用下会产生 变形 和 位移 。 4.超静定结构的几何构造特征是 有多余约束的 几何不变体系 。 5.对称结构在对称荷载作用下，若取对称基本结构和对称及反对称未知力，则其 中 反对称 未知力等于零。 6.力矩分配法适用于 没有侧移未知量的超静定梁与刚架 。 7.绘制影响线的基本方法有 静力法 法和 机动法 法。 8.单元刚度矩阵的性质有 奇异性 和 对称性 。 9.结构的动力特性包括 结构的自阵频率；结构的振兴型； 结构的阻尼 。 10. 在自由振动方程0)()(2)(2. .. =++t y t y t y ωξω式中，ω称为体系的 自振频率 ，ξ称为 阻尼比 。
二、试分析图示体系的几何组成（10分） （1）（２）答案： （1）答：该体系是几何不变体系且无余联系。 （2）答：该体系是几何不变体系且无多余联系。 三、试绘制图示梁的弯矩图（１０分） （1）（2） 答案： （１）（２） M图 四、简答题（20分） 1.如何求单元等效结点荷载？等效荷载的含义是什么？答案： 2.求影响线的系数方程与求内力方程有何区别？ 答案： 3.动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答案：
4.自由振动的振幅与那些量有关？ 答案 五、计算题（40分） 1、用图乘法计算如图所示简支梁A 截面的转角A 。已知EI=常量。（10分） 答案： 解：作单位力状态，如图所示。分别作出p M 和M 图后，由图乘法得： 2.试作图示伸臂量的By F K M 的影响线。 答案： By F 的影响线 K M 的影响线
结构动力学与稳定复习 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力； (2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。 确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。 阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假
《结构力学》期末复习题答案 一. 判断题：择最合适的答案，将A、B、C或者D。 1.图1-1所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，无多余约束（B）几何不变体系，有多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-1 答：A。 分析：取掉二元体，结构变为下图 DE,DG和基础为散刚片，由三铰两两相连，三铰不交一点，所以组成几何不变体系，无多余约束，因此答案为（A） 2.图1-2所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，有多余约束（B）几何不变体系，无多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-2 答：A。
图中阴影三角形为一个刚片，结点1由两个链杆连接到刚片上，结点2由两个链杆连接到刚片上，链杆12为多余约束，因此整个体系为有一个多余约束的几何不变体系，因此答案为（A） 3.图1-3所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，有多余约束（B）几何不变体系，无多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-3 答：A。 如果把链杆12去掉，整个体系为没有多余约束的几何不变体系，所以原来体系为有一个多余约束的几何不变体系，因此答案为（A） 4.图1-4所示体系的几何组成为。 （A）几何不变体系，无多余约束（B）几何不变体系，有多余约束 （C）几何瞬变体系（D）几何常变体系 图1-4 答：A。
刚片1478由不交一点的三个链杆连接到基础上，构成了扩大的地基，刚片365再由不交一点的三个链杆连接到地基上，因此整个体系为没有多余约束的几何不变体系，因此答案为（A ） 5.图1-5所示的斜梁AB 受匀布荷载作用，0≠θ，B 点的支座反力与梁垂直,则梁的轴力 （A ）全部为拉力 （B ）为零 （C ）全部为压力 （D ）部分为拉力，部分为压力 图1-5 答：C 。 B 点支座反力与梁垂直，对梁的轴力没有贡献，竖直方向匀布荷载总是使AB 梁受压，因此答案为（ C ）。 6.图1-6所示结构C 点有竖直方向集中荷载作用，则支座A 点的反力为 图1-6 （A ）() ↑P F （B ）。 （C ） () ↑P F 31 （D ）()↑P F 3 2 答：B 。 根据B 点弯矩为零，知道A 点反力为零，因此答案为（B ） 7.图1-7标示出两结构几何尺寸和受载状态，她们的内力符合 （A ）弯矩相同，轴力不同，剪力相同 （B ）弯矩相同，轴力不同，剪力不同 （C ）弯矩不同，轴力相同，剪力不同 （D ）弯矩不同，轴力相同，剪力相同
结构动力学学习总结
通过对本课程的学习，感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解： 一．结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展，工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家，保证多荷载作用下结构的安全、经济适用，是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责，结合实例，提高了教学效率，也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自
由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算，又有非线性系统的计算；既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算，又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题；阻尼理论既有粘性阻尼计算，又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算，对结构工程最为突出的地震影响。 二．动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是，如果荷载随时间变化得很慢，荷载对结构产生的影响与
静荷载相比相差甚微，这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化，而且变化很快，荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大，这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的，确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载，须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中，由于荷载时时间的函数，结构的影响也应是时间的函数。另外，结构中的内力不仅要平衡动力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外，还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而
结构力学期末试题及答案 一、 选择题：（共10题，每题2分，共20分） 如图所示体系的几何组成为 。 （A ）几何不变体系，无多余约束 （B ）几何不变体系，有多余约束 （C ）几何瞬变体系 （D ）几何常变体系 第1题 2.图示外伸梁，跨中截面C 的弯矩为（ ） A.7kN m ? B.10kN m ? C ．14kN m ? D ．17kN m ? 第2题 3.在竖向荷载作用下，三铰拱（ ） A.有水平推力 B.无水平推力 C.受力与同跨度、同荷载作用下的简支梁完全相同 D.截面弯矩比同跨度、同荷载作用下的简支梁的弯矩要大 4.在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.位移反力互等定理 D.虚功互等定理 5.比较图(a)与图(b)所示结构的内力与变形，叙述正确的为（ ） A.内力相同，变形不相同 B.内力相同，变形相同 C.内力不相同，变形不相同 D.内力不相同，变形相同
第5题 6.静定结构在支座移动时，会产生（ ） A.内力 B.应力 C. 刚体位移 D.变形 。 7.图示对称刚架，在反对称荷载作用下，求解时取半刚架为（ ） A.图（a ） B.图（b ） C.图（c ） D.图（d ） 题7图 图（a ） 图（b ） 图（c ） 图（d ） 8.位移法典型方程中系数k ij =k ji 反映了（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.变形协调 D.位移反力互等定理 9.图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数目是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 第9题 第10题 10.FP=1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段 B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段 D ．BC 、CD 段 二、填空题：（共10题，每题2分，共20分） 1.两刚片用一个铰和_________________相联，组成无多余约束的几何不变体系。 2.所示三铰拱的水平推力FH 等于_______________。 q q (a) (b)
结构动力学期末复习题 1．试用哈密顿原理推证第二类拉格朗日方程。 日方程求出图示系统在指定的广义坐标 下的运动微分方程。若仅考虑小变形振 动，写出其运动微分方程。图中弹簧1 l，弹簧2未变形时的 未变形时的原长为 1 原长为a。 5. 试讨论对于多自由度体系如何形成一致质量矩阵、一致刚度（包括几何刚度）矩阵、一致荷载列阵并分析与集中质量矩阵的区别。 6. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，若结构在运动中保持为弹性，
试述求解该结构弹性动力反应的振型叠加法的原理以及求解步骤。 7. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，结构产生非线性变形，试讨论如果将结构简化为集中质量的串模型，如何采用逐步积分法分析该结构在地震地面运动作用下结构的非线性反应时程，写出线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法、中央差分法等几种方法中的一种方法分析求解非线性多自由度体系的动力反应的步骤，并就你所知，讨论用于结构非线性时程反应分析的这些逐步积分方法在稳定性和求解精度方面的优缺点，提出你的改进意见和方法。 8. 9. ()(l A x o =ρ)1()(l x EI x EI o +=试采用 10. kg m 10001=，kg m 5002=m KN k /350=波形，可表示为l z a x s π2sin =，其中，m l 5=。求拖车在满载和空载时的振幅比。
11. 试推导粘性阻尼力在一周内消耗的能量的表达式。 12. 试求振动系统02=++kx x x m n ζω在图示方波激励下的稳态受迫振动。 13. 图示结构，受到如图所示周期性荷载，可表示如下的正弦级数： t b t p n n n ωsin )(1∑∞ ==，其中，n n n p b )1(20 -- =π ，不考虑阻尼，且荷载频率与结构自振频率之比为： 4 3 1=ωω，试求出结构在此荷载作用下的稳态反应。 14. 长为L ，质量为m 的两个相同的单摆用刚度系数为k 的弹簧相连如图，当两摆在铅垂位置时，弹簧没有变形。试求系统在同一铅垂平面内作微幅振动的固有频率和振型，并由求得的振型向量证明振型矩阵对于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。
《结构动力学》 读书报告
结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1. （1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由
度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。 ②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi （它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u（x）可以近似地表为： @7710 二送 结构动力学 （1）式中的qj称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。 ③有限元法：可以看作是分区的瑞利-里兹法，其要点是先把结构划 分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利-里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点（例如三角形的顶点、边中点等）处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 （4）运动方程
1．什么是坐标耦联，正则坐标，广义坐标，物理坐标？ 坐标耦联：由于坐标的选择，使得必须由联立的方程组才能求解，这就称为坐标耦联；它取决于表示运动坐标的选择方法，与体系本身的特性无关。 正则坐标：既无动力耦联，又无静力耦联的坐标，叫正则坐标。 广义坐标：能决定质点系的几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体积来表示。 物理坐标：即几何坐标，直接建立在体系中坐标系。 2．集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。 广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。 有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点 （1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此形函数表达式形状可相对简单； （2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。 3．动力问题与静力问题的重要区别？结构动力特性一般指什么？ （1）动力反应要计算全部时间上的一系列解，而静力问题是某一时间点上的解，主要原因是动力问题荷载是随时间变化的，但此外因并不足以产生重大不同，那样可将动力问题看成一系列静力问题； （2）考虑惯性力的影响是结构动力学和静力学的一个本质的重要区别。 结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼 4．动荷载的分类及其特点？ 根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。 5．什么叫静力凝聚？ 为简化计算，忽略惯性效应不大的方向上的动力效应，而使质量、刚度矩阵保证正定、对称，这种减少体系自由度的方法称为静力凝聚法。 6．动力自由度与静力自由度的概念及二者区别？ 动力自由度是指动力分析中，为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目；静力自由度是使结构体系静定所需要的独立约束数目。前者重点在于控制质点的几何位置，后者重点在于控制结构体系的空间位置。 7．保守力的概念，运动微分方程中三种主动力分别属于保守力还是非保守力？拉格朗日方程中广义力计算包括哪些主动力？ 保守力：大小和方向只决定于体系质点的位置；体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点始末位置与路径无关。 运动微分方程中：弹性反力是保守力，阻尼力与外荷载是非保守力。 拉格朗日方程中广义力计算包括的主动力：外力和阻尼力 8．什么叫临界阻尼？什么叫稳态反应？以单自由度为例，说明阻尼对稳态反应频率的大小及振幅的变化有何影响？ 稳态反应：由动荷载引起的，其振动频率与外荷载频率相同，称为稳态反应； 瞬态反应：相当于自由振动，振动频率等于体系的自振频率，称为瞬态反应。 在单自由度振动分析中，阻尼的存在使振动频率等于体系自振频率ωn 的瞬态反应项很快衰减为零，最后结构的反应仅由外荷载直接引起的稳态反应，与无阻尼接近，阻尼使体系自振频率变小，自振周期变长。 公式D ωω=9．简谐荷载作用下单自由度无阻尼稳态反应中是否有自由振动项？有阻尼情况下，是否激起自由振动项？达到稳态又如何？
工程力学结构动力学复习题 一、简答题 1、结构的动力特性主要指什么？对结构做动力分析可分为哪几个阶段？ 2、何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？ 3、何谓动力系数？简谐荷载下动力系数与哪些因素有关？ 4、动力荷载与静力荷载有什么区别？动力计算与静力计算的主要差别是什么？ 5、为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变他们？ 6、简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的． 7、时域法求解与频域法求解振动问题各有何特点？ 8、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值。简谐荷载下的动力放大系数与频率比、阻尼比有关。当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等；否则不相等。原因是：当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。 9、振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？ 答：由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i 振型上的惯性力在j 振型上作的虚功为0。由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。这就是振型正交的物理意义。一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析
T p —荷载的周期 7/63 单自由度体系对周期荷载的反应 任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为： 用复数Fourier 级数将周期荷载展开， 先计算单位复荷载e i ωj t 作用下，体系稳态反应的复幅值，设： 总的稳态反应为: 复频反应函数，也称为频响函数，传递函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。 单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程。 积分 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度： 由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零：
13/63 —Duhamel 积分无阻尼体系的单位脉冲反应函数为： 有阻尼体系的单位脉冲反应函数为： 、单位脉冲反应函数 单位脉冲及单位脉冲反应函数 15/63 在任意时间t 结构的反应，等的和： Duhamel 积分： 任意荷载作用下单自由度体系的反应等于作用于结构的外荷载与单位脉冲反应函数的卷积。 3.8.1时域分析方法—Duhamel 积分 无阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式： 阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：
17/63杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。 因为使用了叠加原理，因此杜哈曼积分法限于弹性范 速度和加速度的Fourier变换为：
21/63单自由度体系时域运动方程： 对时域运动方程两边同时进行Fourier 正变换，得单自由度体系频域运动方程： —Fourier 变换法频域解为： )—复频反应函数，i 是用来表示函数是一复数。再利用Fourier 逆变换，即得到体系的位移解： 作Fourier 变换, 得到荷载的Fourier 谱P (ω)和复频反应函数到结构反应的频域解—Fourier 谱U (逆变换，由频域解U (ω)得到时域解u (t )： 在用频域法分析中涉及到两次Fourier 变换，均为无穷域积分，特别是Fourier 逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。
结构动力学课程学习总结 本学期我们开了《结构动力学》课程，作为结构工程专业的一名学生，《结构动力学》是我们的一门重要的基础课，所以同学们都认真的学习相关知识。《结构动力学》是研究结构体系在各种形式动荷载作用下动力学行为的一门技术学科。它是一门技术性很强的专业基础课程，涉及数学建模、演绎、计算方法、测试技术和数值模拟等多个研究领域，同时具有鲜明的工程与应用背景。学习该门学科的根本目的是为改善工程结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供坚实的理论基础。通过该课程的学习，可以掌握动力学的基本规律，有助于在今后工程建设中减少振动危害。 对一般的内容，老师通常是让学生个人讲述所学内容，课前布置他们预习，授课时采用讨论式，先由一名学生主讲，老师纠正补充，加深讲解，同时回答其他同学提出的问题。对较难或较重要的内容，由教师直接讲解，最后大家共同讨论教材后面的思考题，以加深对相关知识点的理解。 通过本课程的学习，我们了解到：结构的动力计算与静力计算有很大的区别。静力计算是研究静荷载作用下的平衡问题。这时结构的质量不随时间快速运动，因而无惯性力。动力计算研究的是动荷载作用下的运动问题，这时结构的质量随时间快速运动，惯性力的作用成为必须考虑的重要问题。根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为静力平衡问题来处理。但是，这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡。也就是说，在动力计算中，虽然形式上仍是是在列平衡方程，但是这里要注意两个问题：所考虑的力系中要包括惯性力这个新的力、考虑的是瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。 我们首先学习了单自由度系统自由振动和受迫振动的概念，所以在学习多自由度系统和弹性体系的振动分析时，则重点学习后者的振动特点以及与前者的联系和区别，这样既节省了时间，又抓住了重点。由于多自由度系统振动分析的公式推导是以矩阵形式表达为基础的，我们开始学习时感到有点不适应,但是随着课程的进展，加上学过矩阵理论这门课后,我们自觉地体会到用矩阵形式表达非常有利于数值计算时的编程，从中也感受到数学知识的魅力和现代技术的优越性，这样就大大增强了我们学习的兴趣。
结构力学知识点的归纳与总结 第一章 一、简化的原则 1. 结构体系的简化——分解成几个平面结构 2. 杆件的简化——其纵向轴线代替。 3. 杆件间连接的简化——结点通常简化为铰结点或刚结点 4. 结构与基础间连接的简化 结构与基础的连接区简化为支座。按受力特征，通常简化为： (1) 滚轴支座：只约束了竖向位移，允许水平移动和转动。提供竖向反力。在计算简图中用支杆表示。 (2) 铰支座：约束竖向和水平位移，只允许转动。提供两个反力。在计算简图中用两根相交的支杆表示。 (3) 定向支座：只允许沿一个方向平行滑动。提供反力矩和一个反力。在计算简图中用两根平行支杆表示。 (4) 固定支座：约束了所有位移。提供两个反力也一个反力矩。 5. 材料性质的简化——对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的 6. 荷载的简化——集中荷载和分布荷载 §1-4 荷载的分类 一、按作用时间的久暂 荷载可分为恒载和活载 二、按荷载的作用范围 荷载可分为集中荷载和分布荷载 三、按荷载作用的性质 荷载可分为静力荷载和动力荷载 四、按荷载位置的变化 荷载可分为固定荷载和移动荷载 第二章几何构造分析 几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的讨论的前提：不考虑材料的应变 2.1.2 运动自由度S S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。 W：W= （各部件自由度总和 a ）－（全部约束数总和） W=3m-(3g+2h+b) 或w=2j-b-r.注意：j与h的区别 约束：限制体系运动的装置
2.1.4 多余约束和非多余约束 不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。 注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。 2.3.1 二元体法则 约束对象：结点 C 与刚片 约束条件：不共线的两链杆； 瞬变体系 §2-4 构造分析方法与例题 1. 先从地基开始逐步组装 2.4.1 基本分析方法(1) 一. 先找第一个不变单元，逐步组装 1. 先从地基开始逐步组装 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装 二. 去除二元体 2.4.3 约束等效代换 1. 曲(折)链杆等效为直链杆 2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰
二、判断改错题。 1. 位移法仅适用于超静定结构，不能用于分析静定结构。( × ) 2位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。( × ) .3 位移法的基本结构为超静定结构。( × ) 4. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。（×） 提示：与刚度无穷大的杆件相连的结点不取为角位移未知量。 1. 瞬变体系的计算自由度一定等零。 2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。 1、三刚片用三个铰两两相联不一定成为几何不变体系。（×） 2、对静定结构，支座移动或温度改变不会产生内力。（×） 3、力法的基本体系不一定是静定的。（×） 4、任何三铰拱的合理拱轴不一定是二次抛物线。（×） 5、图乘法不可以用来计算曲杆。（×） 6、静定结构的影响线全部都由直线段组成。（√） 7、多跨静定梁若附属部分受力，则只有附属部分产生内力。（×） 8、功的互等定理成立的条件是小变形和线弹性。（√） 9、力法方程中，主系数恒为正，副系数可为正、负或零。（√） 10.三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连，则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。( √） 三、选择题。 1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的 A 条件。 A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分 1、图示结构中当改变B点链杆方向（不能通过A铰）时，对该梁的影响是（ d ） A、全部内力没有变化 B、弯矩有变化 C、剪力有变化 D、轴力有变化
2、图示桁架中的零杆为（ b ） A 、DC, EC, DE, DF, EF B 、DE, DF, EF C 、AF, BF, DE, DF, EF D 、DC, EC, AF, BF 4、右图所示桁架中的零杆为（ b A 、CH BI DG ,, B 、DG DE ,, C 、AJ BI BG ,, D 、BI BG CF ,, 5、静定结构因支座移动，（ b ） A 、会产生内力，但无位移 B 、会产生位移，但无内力 C 、内力和位移均不会产生 D 、内力和位移均会产生 7、下图所示平面杆件体系为（ b ） A 、几何不变，无多余联系 B 、几何不变，有多余联系 C 、瞬变体系 D 、常变体系
结构力学复习题 一、单项选择题 1.图示体系为（） 题1图 A.无多余约束的几何不变体系 B.有多余约束的几何不变体系 C.瞬变体系 D.常变体系 2. 图示结构用位移法计算时，其基本未知量数目为( )。 A. 角位移=2, 线位移=2 B. 角位移=4, 线位移=2 C. 角位移=3，线位移=2 D. 角位移=2，线位移=1 3.图示结构AB杆杆端弯矩M BA（设左侧受拉为正）为（） A.2Pa B.Pa C.3Pa D.－3Pa 题2图题3图 4.在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为（） A.圆弧线 B.二次抛物线 C.悬链线 D.正弦曲线 5.图示结构DE杆的轴力为（） A.－P/4 B.－P/2 C.P D.P/2 6.图示结构，求A、B两点相对线位移时，虚力状态应在两点分别施加的单位力为（） A.竖向反向力 B.水平反向力 C.连线方向反向力 D.反向力偶
题5图题6图 7.位移法解图示结构内力时，取结点1的转角作为Z1，则主系数r11的值为（） A.3i B.6i C.10i D.12i 题7图8.图示对称刚架，具有两根对称轴，利用对称性简化后的计算简图为（） A. B. C. D. 题8图 9.计算刚架时，位移法的基本结构是（） A.超静定铰结体系 B.单跨超静定梁的集合体 C.单跨静定梁的集合体 D.静定刚架 10.图示梁在移动荷载作用下，使截面K产生最大弯矩的最不利荷载位置是（） A. B.
C. D. 题10图 11．图示杆件体系为（ ） A ．无多余约束的几何不变体系 B ．有多余约束的几何不变体系 C ．瞬变体系 D ．常变体系 12．图示结构，截面C 的弯矩为（ ） A ．4 2ql B ．2 2ql C ．2ql D ．22ql 题11图 题12图 13．图示刚架，支座A 的反力矩为（ ） A ．2Pl B ．Pl C ．2 3Pl D ．2Pl 14．图示桁架中零杆的数目为(不包括支座链杆)（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 题13图 题14图 15．图示三铰拱，支座A 的水平反力为（ ） A ．0.5kN B ．1kN C ．2kN D ．3kN 16．图示结构的超静定次数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
结构力学下复习题 一． 判断题 1． 对于单自由度体系有如下关系 k =δ-1 对于多自由度体系也同样成立。（ ） 2． 仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。（ ） 3． 如果使单自由度体系的阻尼增大，其结果是周期变短。（ ） 4、 体系在θ?>时，)(t y 与)(t p 方向相同。 ?为自振频率，EI 为常数。（ ） 5． 在无限自由度体系的弹性稳定分析中，用静力法和能量法（瑞利-里兹法）得到的临界荷载是相同的。( ) 6． 只要两个杆件的截面面积相同、所用材料相同，它们的极限弯矩就是相同的。（ ） 二． 单项选择题 1．对图示结构，若要使其自振频率增大，可以（ ）。 A. 增大F P ； C. 增大m ； B. 增大 EI ； D. 增大l 。 2 . 单自由度简谐受迫振动中，若算得位移放大系数μ 为负值，则表示（ ）。 A. 体系不可能振动； C. 动位移小于静位移; B. 干扰力频率与自振频率不同步； D. 干扰力方向与位移方向相反。 3．单自由度体系在简谐荷载作用下如果频率比大于1，则要减小振动幅值 需采取措施 A 增加刚度，减少质量； B 增加刚度，增加质量； C 减少刚度，减少质量； D 减少刚度，增加质量； 4．图示两组压杆的临界荷载分析为Pcr 1 F 和Pcr 2 F ，则两者的关系是 A 21cr cr F F = B 212cr cr F F = C 212cr cr F F = D 2 15.1cr cr F F = 题4
三 . 填充题 1．图示体系不计杆件质量和轴向变形，各杆抗弯刚度为常数，其动力自由度为 。 2．图示体系的自振频率为 。 3、对于矩形截面，极限弯矩为屈服弯矩的 倍。 4、已知质点m 的最大竖向位移st y y 5max = ，且初始时质点竖向位移为 st y （st y 为静 位移），则质点的初始速度为 。 四． 计算分析题 1．）已知θ = 0.4ω ，试求图示体系的振幅和最大动弯矩。 2．试求图示体系质点的振幅和A 截面动弯矩幅值，已知?θ6.0=
一、判断题(共223小题） 1。结构的类型若按几何特征可分为平面结构和空间结构。(A) 2、狭义结构力学的研究对象是板、壳结构(B)。 3 单铰相当于两个约束。(A) 4、单刚节点相当于三个约束。(A) 5、静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力。A 6、超静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力B。 7 无多余约束的几何不变体系是静定结构。A 8 三刚片规则中三铰共线为可变体系。B 9 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为静定结构。A 10 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为超静定结构B。 11链杆相当于两个约束。B 12 平面上的自由点的自由度为2 A 13 平面上的自由刚体的自由度为3 A 14 铰结点的特征是所联结各杆可以绕结点中心自由转动。A 15 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。A 16 无多余约束的几何可变体系是超静定结构。B 17、无多余约束的几何可变体系是静定结构。B 18刚结点的特征是当结构发生变形时汇交于该点的各杆端间相对转角为零。A 19 三刚片规则中三铰共线为瞬变体系。A 20三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为静定结构。A 21 一个刚结点相当于3个约束。22 一个连接3个刚片的复铰相当于2个单铰。A 23 一个铰结三角形可以作为一个刚片。A 24 一个铰结平行四边形可以作为一个刚片。B 25 一根曲杆可以作为一个刚片。A 26 一个连接４个刚片的复铰相当于2个单铰．B 27 任意体系加上或减去二元体，改变体系原有几何组成性质。B 28 平面几何不变体系的计算自由度一定等于零。B 29 平面几何可变体系的计算自由度一定等于零。B 30 三刚片体系中若有1对平行链杆，其他2铰的连线与该对链杆不平行，则该体系为几何不变体系。A 31 三刚片体系中，若有三对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。B 32 三刚片体系中，若有２对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。A 33 一个单铰相当于一个约束。B 34 进行体系的几何组成分析时，若体系通过三根支座链杆与基础相连，可以只分析体系内部。B 35 三刚片体系中，若有两个虚铰在无穷远处，则该体系一定为几何可变。B 36 有多余约束的体系为静定结构。B 37 静定结构一定几何不变。A 38 超静定结构一定几何不变．A 39 几何不变体系一定是静定结构。B 40几何不变体系一定是超静定结构。B 41力是物体间相互的机械作用。A 42 力的合成遵循平行四边形法则。A 43 力的合成遵循三角形法则。A 44 力偶没有合力。A 45 力偶只能用力偶来平衡。A 46 力偶可以和一个力平衡。B 47 力偶对物体既有转动效应，又有移动效应。B 48 固定铰支座使结构在支承处不能移动也不能转动。B 49 可动铰支座使结构在支承处能够转动，但不能沿链杆方向移动。A 50 结点法求解桁架内力应按照结构几何组成相反顺序来求解。A 51 将一个已知力分解为两个力可得到无数解答。A 52 作用力和反作用力是作用在同一物体上的两个力。B 53 作用力和反作用力是作用在不同物体上的两个力。A 54 两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等B 55 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩 A 56 力偶在坐标轴上的投影的代数和等于零A 57 一个固定铰支座相当于两个约束。A 58三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为超静定结构 B 59 桁架是“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”。A 60桁架结构的内力有轴力。A 61 拱的合理拱轴线均为二次抛物线。B 62无铰拱属于超静定结构。A 63 三铰刚架和三铰拱都属于推力结构。A 64 简支刚架属于推力结构。B 65 三铰拱属于静定结构。A 66 相同竖向载荷作用下，同跨度拱的弯矩比代梁的弯矩大得多。B 67 桁架结构中，杆的内力有轴力和剪力。B 68 竖向载荷作用下，简支梁不会产生水平支反力．A 69 竖向载荷作用下，拱不会产生水平支反力。B
第十六章结构动力学 【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。 图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。 设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+?=?+?+?= 式中，)t (q EI 38454P =?，EI 483 =δ。将它们代入上式，并注意到y m I -=，y c R -=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y --+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++ 式中，3EI 481k =δ= ，)(8 5)(t q k t P P E =?= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和 实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。 【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。 【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本
结构力学复习题及答案 3：[判断题]1、(本小题2分)在竖向均布 荷载作用下，三铰拱的合理轴线为圆弧 线。 参考 答案：错误 4：[判断题]2、(本小题2分)几何可变体 系 在任何荷载作用下都不能平衡。 考参答案：错误 5：[判断题]3、(本小题2分)在温度变化与支座移动因素作用下静定与超静定结构都有内力。参考答案：错误 6：[判断题]4、(本小题2分)静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。 参考答案：错误 7：[判断题]5、(本小题2分) 按虚荷载原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 参考答案：正确 8：[单选题]1、(本小题3分）力法的基本未知量是 A：结点角位移和线位移 B：多余约束力 C：广义位移 D：广义力 参考答案：B 9：[单选题]2、（本小题3分）静定结构有温度变化时 A：无变形，无位移，无内力 B：有变形，有位移．无内力 C：有变形．有位移，有内力 D：无变形．有位移，无内力 参考答案：B 10：[单选题]3、（本小题3分）变形体虚功原理
A：只适用于静定结构 B：只适用于线弹性体 C：只适用于超静定结构 D：适用于任何变形体系 参考答案：D 11：[单选题]4、（本小题3分）由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在温度改变作用下静定结构将 A：产生内力 B：不产生内力 C：产生内力和位移 D：不产生内力和位移 参考答案：B 12：[单选题]5、（本小题3分）常用的杆件结构类型包括 A：梁、拱、排架等 B：梁、拱、刚架等 C：梁、拱、悬索结构等 D：梁、刚架、悬索结构等 参考答案：B 1：[判断题]1、（本小题2分）有多余约束的体系一定是几何不变体系。 参考答案：错误 2：[判断题]2、（本小题2分）静定结构的内力与荷载有关，而与材料的性质、截面的形状及大小无关。 参考答案：正确 3：[判断题]3、（本小题2分）三个刚片由三个铰相联的体系一定是静定结构。 参考答案：错误 4：[判断题]4、（本小题2分）位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 参考答案：错误 5：[判断题]5、（本小题2分）力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，