谈中学数学中的对称美
【摘要】简要论述中学数学阶段，数学中的对称美的体现和应用。教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，体验对称思想在数学发现和寻求解题突破中的作用。
【关键词】数（式）中几何图形中数学定理中解题中
对称的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义上的几何对称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。从这样的角度认识对称，才能领悟数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐——这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学美的最重要的特征。在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功倍的效果。下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数（式）中体现出的对称美
数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），
（a±b）2 = a2±2ab+ b 2 ，a3+b 3 = （a+b）（a
2-ab+b2） a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地位是一样的，公式显得对称而美观。如果学生能领悟到这点，则有
中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502） 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004） 内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字：容量维Sierpinski三角毯Koch曲线 Koch岛Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为,两边取自然对数，得维数。在本例的正方体中，如果是L=2,则必有N=8,于是就有，即立方体是三维的。将上式的定义加以推广，就得到d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"" 表示。对于规则的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为：。上式定义的分维称为容量维，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。可以证明，拓扑维d和分维满足如下关系：d≤式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。 如图示，考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段 再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维。当ε＝1/3，N=2；当ε ＝1/9，N=4；...亦即当时，N=。于是可得康托集合的容量维为由此可见康托集合满足关系d ≤D。奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。 二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子 例1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形；再将剩下的图形的各边的中点
浅谈数学史与初中数学课堂教学的结合 万州桥亭中学秦毅 内容摘要： 为了适应现代教育的需要，在现今的教育与教学过程中穿插一些数学史的有关轶闻趣事，能够激发学生对相关内容产生好奇心，活跃课堂气氛，调动学生学习数学的积极性。学习数学史，不仅是广大学生学好数学的有力帮助，而且是也是我们中学数学教师提高自身素养、更好的搞好教学工作所必需的。我们广大教师不仅要明白数学史的重要性，最根本的是要研究如何将数学史融合到教学当中，努力探索出一条新型的教学模式，以提高学生的数学能力和综合素质。 关键词: 数学数学史 一、引言 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 数学史研究已具有很长的历史，如何在数学教育中运用数学史的知识，充分发挥数学史的作用和价值则是当前数学教育改革面临的一个重要课题。1998年4月20日至26日，由国际数学教育委员会(ICMI)发起，在法国马赛附近的Luminy镇举行了题为“数学史在数学教育中的作用”国际研讨会。张奠宙
教授在《重视“科学史”在科学教育中的应用》一文中指出：在数学教育中，特别是中小学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。目前数学史在数学教育中的应用已经进入系统的研究阶段，并在一些国家和地区进行实践性的操作。我国的数学史研究，乃至科学史研究，已经拥有相当规模的队伍。但是，我们的研究似乎还没有注意到如何运用于教学过程，发挥它的应有效益。 现阶段，在一定程度上，我国中小学数学教育在世界上也算是一流的，也正因为如此，我国的数学才会取得举世瞩目的成就，涌现了一大批优秀的数学家。在中学数学教学中，使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，也取得了相当多的成绩。近年来，我国数学教育界在提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力方面也极其重视，并且以探索出了许多成功经验。我国学生在国际数学奥林匹克竞赛中连年取得佳绩、在国际水平测试中名列前茅，这些都是我国数学教育水平高的有力证据，我国数学教育水平高的另一个证据是，在第三次国际数学和科学研究的测试中，深受中国传统文化影响的亚洲参加国的测试成绩遥遥领先于其他国家。因此，中国中小学数学教育的高水平成绩绝不是偶然的，是有厚重的历史积淀的，是几代、十几代数学教育工作者辛勤劳动、共同的结晶，是应该充分肯定的。但是对于现行教育体制中存在的问题，我们也是应该予以正视的。就在我们的教育界为上述的成就感到欢欣鼓舞时，社会上也存在着另外一种不同的声音“现行中小学数学课程处于一种十分尴尬的局面。一方面，我们现行的中小学数学内容一些学生学不好，学不了，成为数学学习上的失败者；另一方面，很多有价值的内容我们的学生没有机会接触，特别表现在数学思考方法、
数学中的对称美 对称性是数学美的最重要的特征。几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。 许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。 一：代数中的对称美： 常出现在规律运算、数列运算、函数运算中 例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。 计算×的值 解：我们最常见的一组算式： 1×1=111×11=121 11×111=123211111×1111= 从上述计算中得出对称规律可得： ×= 例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100 引导学生利用数学对称美来解。 解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100① 倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1② ① + ② 得2x = 101 × 100 ∴ x = 5050 即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050 例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）. 分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（－2，－3 ）.
例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=?-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，?请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标． 分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）?作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，?而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身． 解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1） （2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1． （3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求． （4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）?减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。 注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律． 二、几何中的对称美： “对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称，正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。 例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短． 分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，?根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑
挖掘数学中的“对称美”提升学生的数学素养 发表时间：2018-01-04T09:43:35.037Z 来源：《成长读本》2017年11月总第24期作者：石春秀[导读] 对称能给人以美感，对称美是世间万物美感的体现部分之一，也是数学内容必不可少的组成部分。 -----《挖掘数学美的素材，提升学生的数学素养》课题实施感悟苏州工业园区青剑湖学校石春秀摘要：对称能给人以美感，对称美是世间万物美感的体现部分之一，也是数学内容必不可少的组成部分。现代中学数学教学内容中，展现了丰富的形象对称与抽象对称，中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。了解、欣赏数学中的对称美，发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习都有很大的帮助。 关键词：数学美；对称美；表现形式希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美。”人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展;随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐惭开始去思考美和探索美。对称性就是人类对美的思考和探索之一。生活中具备对称美的事物很多，如车轮、雪花、桥梁等等，而对称本身就是一种和谐、一种美。在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。我们应在掌握对称这一基本原理的基础上找到事物之间的内在统一性，并用数学的思想去内化这一原理，就会发现发现对称美在艺术和自然两方面都有重大意义，它是一个广阔的主题，数学则是它根本，美和对称紧密相连。 一、数学中的对称美的概念 对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象。山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的，然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的.可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.。 二、数学中对称美的形式 （一）回文数中的对称美。 回文数指的是像“1357531”“5678765”这样左右对称的数。即：把这个数各个数位上的数字按相反的顺序重新排列后，得到的数和原来一样。整数乘法中就有趣的回文数：11的平方等于121，111的平方等于12321，1111的平方等于1234321，11111的平方等于123454321，这几个结果都是回文数，各个数位上的数字对称而美观。数学中的对称美在这里体现得淋漓尽致。对称的排列，优美的意境，让人感受到数学的美，感受到对称美。 （二）图形中的对称美。 图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线;平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆。立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。 三、数学中对称美的应用 数学中的对称也为人们研究数学提供了某些启示，例如中国的建筑它最大特点是讲究对称，中国古代建筑主要是以 “八”字形的尖顶房为主，它们都具有很强的对称性和稳定性。埃及的金字塔从外部来看，底座呈方形，愈上愈窄，结构精密，全部采用方形石块来建造。石块与石块之间紧密相接，接缝处严密精确，一块石头叠在另一块石头上。金字塔这种对称的棱锥体型不仅外形庄严、雄伟，在结构中的安全系数也是最高的。历经数千年沧桑，都岿然不动。我国许多孤城的建筑，也都有自己严格的中轴线。在中轴线上，左右对称，城内街道呈棋盘格子状。许多行政办公楼、公共建筑也采用对称的布局，既有利于实现力的均衡又能彰显其庄重性。古今中外，许多古城、皇宫、民宅、陵墓，也多是左右对称的。空间位置的这种对称性设计，是对大自然的有机模仿，在这种模仿中人类得到感官的愉悦和情操的陶冶，进而产生有益于人的身心健康的审美感受。 因为有了对称美我们的生活才变得富有激情。当我们漫步在大街小巷的时候，仰望那些摩天大楼的一砖一瓦，看着马路上川流不息的车辆，欣赏路边一花一草无处不彰显着劳动人民创造的对称美。还有桥梁等许多现代工具，路边的广告牌等凝固建筑，甚至家里使用的家用电器，你敢说它们与对称美毫无联系吗？无可否认，对称美的事物在我们的生活中随处可见。有些对称的设计是对大自然的有机模仿，在这种模仿中人类得到感官的愉悦和情操的陶冶，进而产生有益于人的身心健康的审美感受。 在数学中，轴对称也帮助人们解决一些实际问题，例如：桌面上有21个棋子，摆成一列，每次可以拿一粒或者多里。拿哪里的棋子都可以，但拿多粒棋子时中间不可以空隔或有其他棋子，可以不按顺序拿，两人轮流拿，规定：“拿到最后一粒者为赢家”问：如果让你先拿，怎么样做才能保证一定赢？”这个问题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要分析清楚太费力，单如果运用对称的原理就非常简单，先拿的人只要拿走中间一粒，也就是第十一粒棋，此时左、右两边各剩十粒，如果对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，保证你那的棋子个数与他相同，棋子的位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，如此下去，最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是40粒（偶数个），你可以先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，那么你就必胜。其实这钟思维方法都来自轴对称图形的基本特征，这就是数学的对称美，数学的魅力。 让人们在数学中发现美，深深的进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，以对称美为中心，以数学为载体，以生活为研究对象。就会发现生活中处处有美的踪迹，只要你善于发现就可以在平淡的世界中发掘出令人憧憬的美。或者，正是由于这些对称美，才勾勒出我们五彩缤纷、充满激情与想象的完美世界。 在教学实践中，教师应力求使学生从多层次认识对称美的内涵，让学生在自主学习活动中感受数学的美，并通过具体的数学案例来挖掘和运用对称美的思想价值，培养学生对数学的学习兴趣和良好的学习态度、情感，从而促使学生更好地理解数学基础知识，领悟数学思想方法，提高解决数学问题的能力。
《数学史概论》读书报告 数学源自于人类早期的生产活动，早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的运用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。 一、《数学史概论》简介及其特点 《数学史概论（第2版）》以重大数学思想的发展为主线，阐述了从远古到现代数学的历史。书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析；同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革，尤其是20世纪数学的概观，内容新颖。《数学史概论（第2版）》中西合炉，将中国数学放在世界数学的背景中述说，更具客观性与启发性。《数学史概论（第2版）》脉络分明，重点突出，并注意引用生动的史实和丰富的图片。 本书共分十五章，其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要，逐渐形成了数与形的概念，从最早的手指计数到石头计数，再到结绳计数直到距今大约五千多年前，出现了书写计数以及相应的计数系统。在灿烂的“河谷文明”中，重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。第二章“古代希腊数学”，介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学，其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。第三章“中世纪的中国数学”，从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”，殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数，到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。介绍的著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《算经十书》，介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就，祖冲之父子推算“圆周率”，在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”；第四章“印度与阿拉伯的数学”；第五章“近代数学的兴起”，讲述了中世纪的欧洲，从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡，以至解析几何的诞生；第六章“微积分的创立”，分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理；第七章“分析时代”；第八章至第十章，分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索，介绍了19世纪数学的发展；第十一章至十三章是“20世纪数学概观”，分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例；第十四章“数学与社会”，第十五章“中国现代数学的开拓”。 本书有以下几个特点：1、与同类书相比，有着最大的空间跨度和时间跨度，从上古的巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界，到中世纪的欧洲，以至20世纪的近代数学、当代数学，遍及世界各地对于数学的贡献地位与影响，都有中肯的评论。2、本书不仅对史实有详尽而忠实的介绍，而且兼有史评史论的作用，更有精辟的历史观。例如作者认为古希腊的数学是一种论证数学，而说中国的古代数学，在南北朝三国时期，也进入到论证数学，刘徽即为其杰出代表之一。至于中世纪欧洲数学的崛起，微积分的创立以及近代数学的诞生史，对于它们的历史背景与社会根源，作者都有敏锐的评论。作者对整个数学的发展有着明确的数学史观。3、本书不仅对数学家和他们的学术成就作了概括的介绍，而且对于一些重要成就，不惜花费篇幅，作了较详细的忠实于原始创造的说明。例如阿基米德对于球体积与抛物线弓形面积的计算，刘徽对于 的计算原理和方法，牛顿与莱布尼茨关于微积分的发现过程，以至较近代如康托关于非可数集合的发现等等，都作了较详细的介绍。这让读者不仅可以了解历史的发展，而且还能深入体会数学大师们原始创造的艰苦历程与来龙去脉。4、本书除了数学家们的传统故事外，还介绍了许多有趣的奇闻轶事。 二、对数学的认识有了进一步的提高
以分形为背景的数列问题的研究与拓展 【课本溯源】下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形. 图中从左向右的四个三角形，着色三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，写出数列{a n }的一个通项公式，并作出它的图象. 这一问题的背景是分形几何，分形几何的一个重要的特点是自相似性，可通俗地理解为适当地放大或缩小图形的几何尺寸，整个结构并不改变. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B?曼德尔布罗特(B enoit B.M andelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科，与欧氏几何学在研究对象等诸多方面迥然不同. 它的创立，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提出了全新的思路. 这门充满活力的新学科与数列结合起来，不仅对传统的数列题作了提升，又能发展我们的实践能力，拓展为我们的几何思维. 课本溯源中的问题解答：由题意分析知：12341,3,9,27a a a a ====，则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=. 作图略. 本题通过观察即不难发现着色三角形的个数依次数列{a n }成等比数列，而在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈，如何熟练掌握常用的求通项公式的方法如累积法、累加法等，是我们必须思考的问题. 下面我们再探究几个以分形为背景的数列问题. 【探究拓展】 探究1：如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ABC △是边长为1的正三角形， 曲线1CA 、12A A 、23A A 是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、1BA 、2CA 为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线旋转一圈. 然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，…，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l = . （要求用含,n π的代数式表示即可） 【解】由图可知12(123)3l π=++，22 (123456)3 l π=+++++，……， 22 (1233)(3)3 n l n n n ππ=+++ +=+. 【评注】由弧长公式可知l r α=，由第1圈、第2圈的弧长不完全归纳出第n 圈的画出，体现了由特殊到一般的思想. 探究2：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是 .
论数学中的美 数学这门学科是充满美的，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的。只要你愿意去感受，数学随时都能给师生带来一种美好的享受。正如高斯所说的：“给我最大快乐的，不是已懂得的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。” （一）数学的简洁美 数学知识之所以强烈地吸引人们去研究，去探索，去追求，其中的原因之一便是它能对纷乱繁杂的数学现象进行高度的概括，使学习者能从中感受它概括的简洁美。在数学语言的研究中，通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言。 品味简洁的数学美。 表示椭圆的三种语言都体现了简洁美。 椭圆的符号语言简洁、明了。如椭圆概念的符号表示P={M|∣MF 1 ∣＋ |MF 2||=2a,2a>|F 1 F 2 |},关系紧凑,言简意赅；椭圆的两个标准方程具有简单整齐 之美；离心率 c e a 易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。 椭圆的文字语言通俗易懂。用到椭圆定义中“到平面内 两个定点F 1、F 2 的距离之和”这个常数；而将关系式转化成 数学代数式用到两个定点F 1、F 2 的坐标。这就需要将“到平 面内两个定点F 1、F 2 的距离之和”和| F 1 F 2 |用字母表示。建 系后,将条件转化成关系式。 椭圆的图形语言形象生动。以经过焦点F 1、F 2 的直线为 x轴,线段F 1F 2 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图1),设M(x,y)是椭圆上 的任意一点,焦距是2c(c>0),Ｍ与F 1,F 2 两点距离之和绝对值等于常数2a。 （二）数学的对称美 对称在我们生活中随处可见，图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的 平分，角的平分线；平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩 图1
极限思想在小学数学教学中的渗透-小学数学论文-教育期刊 网 极限思想在小学数学教学中的渗透 浙江湖州市织里镇轧村小学（３１３００８）陆小琴 极限思想作为社会实践的产物，在近代数学中有着极其重要的地位，它主要是通过极限概念分析和解决数学问题，由于其本身固有的思维功能，在现代数学中有着广泛的应用，更是微积分的基本思想。 一、数学教学中融合极限思想 小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。 如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明： 假设x＝０．９９９…… １０x＝９．９９９…… １０x－x＝９．９９９……－０．９９９…… 即９x＝９，所以x＝１。 这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限
等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。 二、数学概念推导中渗透极限思想 数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。 如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。 随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从
浅谈数学史融入中小学数学教材的意义和教育价值
浅谈数学史融入中小学数学教材的教育价值 数学作为自然科学的基础学科，伴随人类产生而产生、发展而发展，数学史折射着人类的发展史。随着人类文明的进展，数学科学不断赋予数学新的功 能，现在数学的思想已开始嵌入我们的文化之中。2001年7月《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》出台，其第四部分的“课程实施建议”，每个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”，说明数学史在小学数学教学中的作用已受到关注。陈省身先生曾说道“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”，可 见传播数学史是了解数学的重要部分。李文林先生在《数学史概论》中也谈到“数学史在整个人类文明史上的特殊地位，是由数学作为一种文化的特点所决定的”。 但是，结合安徽省宿州市萧县当地的实际教 学情况来看数学史教育并没有得到应有的重视 和推进，由于地区偏僻，教学思想较其他大城市 来说比较落后很多，教师对有关的数学史知识要 么一带而过，要么视而不见，农村地区的教学设 施更加简陋，师资力量缺乏，而师范毕业生大多要走上教师 岗位，一些教师在教学中虽然深刻感受到数学史知识的重要性，但由于在校期间一直未接触数学史知识，因此只能心有余而力不足。同时中小学由于受课时的限制，教师在上数学课时也很难系统地讲解数学史知识，学生对此的莫名其 妙也就不难理解了。再加上中小学生年龄小、知识面窄、心理不稳定，数学思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的初级阶段等特点，数学史教育还是与中小学数学课堂有较大的距离。
五十多年来，我国的数学教育形成了以注重系统的基础知识和基本技能（即“双基”）的掌握与训练为特征的优良传统，但也存在严重忽视学生的情感、态度和价值观等方面的问题。“人文教育与科学教育的融合”这一主题是近几年来各国教育界乃至世界各国政府和社会都在关注的问题，随着社会的发展，教育对经济的发展越来越显示出重大的影响，如何培养“全人”越来越受到关注。在中小学数学教学中渗透数学史文化教育必然可以为此做出应然的贡献。 渗透数学史教育可以开阔学生视野，激发学习兴趣 就大多中学数学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥和乏味的，这样如何把数学课讲得引人入胜、生动活泼就成为数学教师的一大挑战。中国古代格言：“习之者不如好之者，好之者不如乐之者。”例如，在人教版二年级乘法口诀教学后，开辟了“你知道吗？”栏目，介绍了我国两千多年前就有了“竹木简·九九歌”，“小九九”“大九九”，让学生感受到古人的聪明和智慧，让学生认识到古人的治学精神和亘古以来中华人民的求真务实的精神，适时向学生介绍这些数学历史文化，可以丰富教学的内容，拓宽学生的眼界，提高学生的兴趣。教师虽然不是数学家，但却可以培养出数学家。许多数学家走上数学研究道路都与中学时代遇到一位善于激发学生兴趣的教师有密切关系，由此看来，教师对学生的影响是显而易见的，有些教师甚至成为发现千里马的伯乐。
浅谈数学史在中学数学教学中的应用 摘要：本文主要讨论数学史在中学数学教学中的应用，数学史在中学数学教学的意义，原则方法及其怎样才能在中学数学教学中更好的渗透数学史。为今后更好的把数学史融入到中学数学教学当中，使学生们更加有激情的学好数学做好准备。最后分析了当前影响数学史在中学数学中的概况以便更好的、有效的应用到其中。 关键词：数学史；中学数学；教学 自1972年数学史与数学教育的关系国际小组成立以来，数学史的研究在国内外受到了高度的重视，尤其在国内，新课程标准的颁布奠定了数学史在课堂教学中的重要地位。很多教育研究者从不同的角度和层面对数学史进行了研究，其中对数学史的意义及作用、教师数学史知识的研究比较多。但是，对于如何将数学史与初中数学课堂教学整合，直接应用数学史的内容比较少，有的只是后边的阅读。基于此现象本文主要编写数学史融入初中数学教学中的应用及其相应的意义。数学史是研究数学概念、思想和方法的起源与发展，及其与社会政治、经济、文化的联系的一门学科.数学史不单单是数学成就的编年纪录，人类对数学的认识史，它也是数学发展对社会生产、政治、科技、军事、文化的关系史，同时还是一部数学思想的发展史。数学史在数学教育中的应用一直是人们关注的重要研究课题之一.在数学课程改革背景下，数学史在激发学生学习兴趣、培养学生数学思维等方面的教育价值逐渐被人们所认同，但是在实际教学中数学史的应用却十分有限，或只停留于单纯加入和简单介绍的层面。但是随着课程标准的改革中的要求数学史融入中学数学教学更加受到了人们的广泛关注。 1.数学史融入中学数学教学的背景 数学史在数学教育中的重要性已普遍被人们所认同，而怎样借助数学史来使数学教学活动得到改善和优化，成为数学家、数学教育家、数学史学家等所关注的新问题.因此，为了促进数学史教育价值的实现，为了加强国际间
英语中的对称美 法国雕塑家罗丹说过："生活中并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。"英语的语言也是如此。英语的美表现在诸多方面，这里我们主要谈谈英语习语构成的对称美。 一、成语的对称美：表现为成语排列形式上的对称美，可分为相同词的对称、同词性的对称、反义词的对称、同类词的对称等几种情况。 1、相同词的对称。以介词、连词或动词为"对称轴"对称，从视觉上就能给人以美的享受，令人愉悦；读起来琅琅上口，颇具韵味；意义简洁明了，形象生动。其中有关体态语言的一些对称成语，确实能让人领会到对称美在英语中的体现。例如： day by day 逐日 day after day 每日 one by one 逐个 bit by bit 一点点地 little by little 渐渐地 step by step 逐步地 by and by 逐渐 side by side 并排 face (nose) to face (nose) 面对面 back to back 背靠背 hand in hand 手拉手 arm in arm 挽手 mouth to mouth嘴对嘴 heart to heart 交心，谈心 neck and neck 并驾齐驱 eye to eye 赞同 head to head 交头接耳 shoulder to shoulder 并肩 on and on 继续 word for word 逐词地 out and out 十足的 inch by inch 一点一点地 like for like 以牙还牙 like attracts like 物以类聚 wheels within wheels 复杂的结构 diamond cut diamond 棋逢对手 2. 同词性的对称。以连词and 为"对称轴"的非完全对称，以形容词性词组居多。通过两个或多个形容词的重叠来强化形容词的特征。例如： one and only 独一无二 down and out 穷困潦倒 free and easy 随和 hard and fast 不能改变的
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application
新课标下数学史与初中数学的整合 在新一轮中学数学课程改革中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用(如建筑、计算机科学、遥感、CT 技术、天气预报等)，这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。义务教育阶段各科课程标准都围绕三个基本方面：知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，对于理科课程，还进而包括理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融合。 一、在新一轮中学数学课程改革中，数学史首先应被看作理解数学的一种途径 1、认识数学的发展规律，了解榜样的激励作用，减少学生走数学学习的“弯路”。 数学史让我们认识数学发展的规律，了解昨天，指导今天，预见明天。从前人研究数学的经验教训中获取鼓舞力量，以指导和推动我们今天的数学学习和研究，少走弯路。平时的教学中，要结合数学史教育，把精力用在基础知识的学习和基本技能的提高上，多做一些有意义的探究活动，以适应新课改学习方式的需要。 许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会(这往往能够获得比从正面讲解更好的效果)，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵。 2、了解数学理论发展的历史背景，加深理解数学理论、公式、定理和数学思维。 一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。它既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，而历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。写在书本上的数学公式、定理、理论都是前人苦心钻研经过无数次的探索、挫折和失败才形成的，是在当时社会生产、人们的哲学思想、数学家的独创精神联系在一起的活生生的数学。但是，我们从书本的条文上，已看不到数学成长、发展的生动的一面，而只看到数学家的浓缩的形式，这就妨碍我们对这些数学理论的深刻理解。如在七年级教空间与图形部分前，可以向学生介绍有关的数学背景知识，特别介绍欧几里得的《几何原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。 3、抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数学新途经。 对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人
数学中的对称美 古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的美，即数学美．数学美是一种理性的美、抽象的美．数学美的主要特征有：简洁性、对称性、统一性、奇异性．它们各有其独特的魅力，给人带来不同的愉悦和享受．在初等数学和高等数学中，对称美表现得尤为突出． 对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系．自然界的许多事物都呈现对称性，例如，人体是左右对称的，太阳是对称的，就连蜂巢、蛛网也成正多边形等等．从数学的观点看，对称有两方面的含义：第一，对称只不过是一类很特殊的变换，具有对称性的图形，是指在对称变换下仍变成它自己的图形．以此观之，在其他变换下不变的图形，也应该具有对称美．第二，在抽象意义上，对称意味着数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系．数学中的对称美是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”．因而，对称美是数学美的重要组成部分．在数学教育中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，从而培养学生的美感和解决问题的能力．下面以数学中的实例来说明数学的对称美及其在数学研究和解题中的应用． 1 数学图形中的对称美是数学美的主要体现]1[ “为什么把车轮做成圆形？”这个有趣的问题就体现了数学的对称美．几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释．在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；平行四边形是中心对称的；圆关于圆心是对称的，关于直径也是对称的；球形则最为特殊，它既是中心对称的，又是轴对称的，也是面对称的图形．正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆．”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受．正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案和精美的建筑，从而陶冶了人们的情操． 2 数学中的对称美是数学美的重要内容 对称是数学美的重要内容，它给人们一种圆满而匀称的美感和享受．下面从不同角度来看数学中的对称美． 2.1 数和式中的对称美 奇数和偶数，质数和合数，约数和倍数，整数和分数，正数和负数等都体现了数学中数的对称