导数及其应用小结
导数及其应用小结
课标要求
（1）导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景.
② 理解导数的几何意义.
（2）导数的运算
① 能根据导数定义，求函数?Skip Record If...?的导数.
② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：
?Skip Record If...?(C为常数)；
?Skip Record If...?, n∈N+；
?Skip Record If...?；
?Skip Record If...?;
?Skip Record If...?;
?Skip Record If...?;
?Skip Record If...?;
?Skip Record If...?.
法则1 ?Skip Record If...?．
法则2 ?Skip Record If...?.
法则3 ?Skip Record If...? .
（3）导数在研究函数中的应用
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.
（4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.
知识结构
知识小结
1．导数的概念
(1)如果当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?有极限，就说函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处存在导数，并将这个极限叫做函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的导数(或变化率)，记作?Skip Record If...?或?Skip Record If...?，即?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是曲线?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的；瞬时速度就是位移函数?Skip Record If...?对的导数；加速度就是速度函数?Skip Record If...?对
______________的导数.
(2)如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每一点都可导，其导数值在?Skip Record If...?内构成一个新函数，这个函数叫做?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的导函数，记作或 .
2．几种常见函数的导数
(1) ?Skip Record If...?(C为常数)；
(2)?Skip Record If...?, n∈N+；
(3)?Skip Record If...?；
(4)?Skip Record If...?;
(5)?Skip Record If...?;
(6)?Skip Record If...?;
(7)?Skip Record If...?;
(8) ?Skip Record If...?.
3．可导函数的四则运算法则
法则1?Skip Record If...?(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2 ?Skip Record If...?.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ?Skip Record If...?(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
4．函数的单调性
函数?Skip Record If...?在某个区间?Skip Record If...?内，若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?为；若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?为；若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?
为。
5．如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。
6．（1）函数极值的概念
函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的函数值?Skip Record If...?比它在点?Skip Record If...?附近其它点的函数值都小，?Skip Record If...?；而且在点?Skip Record If...?附近的左侧，右侧，则点
?Skip Record If...?叫做函数?Skip Record If...?的，?Skip Record If...?叫做函数?Skip Record If...?的.
函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的函数值?Skip Record If...?比它在点?Skip Record If...?附近其它点的函数值都大，?Skip Record If...?；而且在点?Skip Record If...?附近的左侧，右侧，则点
?Skip Record If...?叫做函数?Skip Record If...?的，?Skip Record If...?叫做函数?Skip Record If...?的.
极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称
为.
（2）求函数极值的步骤：
①；
②；
③。
7．函数的最大值与最小值
在闭区间?Skip Record If...?上连续，?Skip Record If...?内可导，?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?上求最大值与最小值的步骤是：（1）；
（2）。
8．生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。
9．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题
的，写出实际问题中，根据实际问题确
定。
（2）求函数?Skip Record If...?的，解方程，得出定义域内的实根，确定。
（3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。
（4）还原到原实际问题中作答。
说明
1．导数是从众多实际问题中抽象出来的一个重要的数学概念，要从它的几何意义和物理意义来对这一概念加以认识，才能把握其实质；
2．导数的概念及其运算是导数就用的基础，是高考考查的重点内容.考查方式多以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义，也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题；
3．在对导数的概念进行理解时，特别要注意?Skip Record If...?与?Skip Record If...?是不一样的，?Skip Record If...?代表函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数值，不一定为0 ；而?Skip Record If...?是函数值?Skip Record If...?的导数，而函数值?Skip Record If...?是一个常量，其导数一定为0，即?Skip Record If...?=0；
4．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.
5．复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系，复合函数求导法则，像链
条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.
6．导数的应用包括以下几个方面:
(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;
(2)利用导数研究函数极值与最值;
(3)利用导数研究曲线的切线问题;
(4)利用导数研究不等式的证明问题;
(5)利用导数研究函数的零点;
(6)利用导数求参数的取值范围等.
在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：①f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)是减函数.②求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.③可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。
另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.
7．利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得?Skip Record If...?的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（小）值点。
8．实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。典型例题
导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：
导数及其应用小结
导数及其应用小结 课标要求 （1）导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. （2）导数的运算 ① 能根据导数定义，求函数?Skip Record If...?的导数. ② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式： ?Skip Record If...?(C为常数)； ?Skip Record If...?, n∈N+； ?Skip Record If...?； ?Skip Record If...?; ?Skip Record If...?; ?Skip Record If...?; ?Skip Record If...?; ?Skip Record If...?. 法则1 ?Skip Record If...?． 法则2 ?Skip Record If...?. 法则3 ?Skip Record If...? . （3）导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次. （4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题. 知识结构 知识小结 1．导数的概念 (1)如果当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?有极限，就说函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处存在导数，并将这个极限叫做函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的导数(或变化率)，记作?Skip Record If...?或?Skip Record If...?，即?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是曲线?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的；瞬时速度就是位移函数?Skip Record If...?对的导数；加速度就是速度函数?Skip Record If...?对 ______________的导数. (2)如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每一点都可导，其导数值在?Skip Record If...?内构成一个新函数，这个函数叫做?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的导函数，记作或 .
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）及起跳后的时间t（单位：s）存在关系()10 =t t t h， - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多
少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时， -=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049；
《导数及其应用》经典题型和知识点总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0 (2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则
考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。 总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/ / ≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
1.7 定积分的简单应用（共两课时） 一、感悟要点 1．知识与技能 能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。 2．过程与方法 通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。 3．情感态度与价值观 通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。 二、学习重难点 1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。 三、温习旧知 1．定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？ 2．曲边梯形的面积表达式是什么？ 3．匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？ 4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W呢？四、例题精析 例1计算由两条抛物线2y x=和2 y x =所围成的图形的面积. 解析： 【教学札记】 合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？ (1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限； (3)确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置； (4)写出平面图形的面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。 例2 计算由曲线y=直线4 y x =-以及x轴所围成的图形的面积. 解析： 【教学札记】
探究：这道题还有其它解法吗？ 解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差： 解法三：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此可 以取y 为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,, 函数y =2 2 y x =. 变式训练:计算有曲线2 2y x =和直线y=x-4所围成的图形面积. 作业：58P 练习，60P A 组第1题. 例3 一辆汽车的速度-解析： 【教学札记】 合作探究：这道题还有其他解法吗？ 针对训练：一物体沿直线以23v t =+（t 的单位是：s ，v 的单位是：m/s ）的速度运动，求 该物体在3到5秒间行进的路程。 例4：如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功． 解析： 【教学札记】 针对训练：一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与里F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F （x ）所做的功。 练习： 1（08年高考宁夏/海南卷）第10题 由直线1,2,2x x = =曲线1 y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） 15.4A 17 .4 B 1.l n 22 C .2l n 2D O
1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+???? ； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =； （3）解不等式' ()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
导数及其应用小结 课标要求 (1 )导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景? ②理解导数的几何意义? (2)导数的运算 2 1 ①能根据导数定义，求函数y = c, y = x, y = x2, y 的导数. x ②能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数? 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式： 法则1(C为常数)； / n n」+ (x ) = nx , n € N ; (sin x)\ cosx ；(cosx, - -sin x； (e x)、e x; (a x)^a x l na； 1 (In x)'; x 1 (log a x)' log a e. x 法则2[u(x)v(x)f-u'(x)v(x) u(x)v'(x). 法则3「u(x)「u (x)v(x) -u(x)v(x) ( (、0) [ ] 2 (v(x)= ). v(x) v (x) (3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多
项式函数一般不超过三次
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小 值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数般不超过三次 (4)生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题 知识结构 知识小结 1.导数的概念 (1)如果当x > 0时，-岂有极限，就说函数y二f(x)在点X =X0处存在导数，并将这 个极限叫做函数f (x)在点x =X o处的导数(或变化率)，记作f (X o)或y|x^ ,即 ___________f "(x o)的几何意义是曲线y = f (x)在点 (X o, f(X o))处的 _________________ ；瞬时速度就是位移函数S(t)对__________ 的导数；加速度就是速度函数v(t)对________________ 的导数. (2)如果函数f (X)在开区间(a, b)内的每一点都可导，其导数值在(a,b)内构成一个新函数，这个函数叫做f (x)在开区间(a,b)内的导函数，记作___________ 或___________ 2?几种常见函数的导数 (1)C'= ______ (C 为常数)； (2)( x n y=-_________ , n € N ； f(X0)=曲二
导数及其应用 知识点总结 1、函数 f x 从 x 1 f x 2 f x 1 到 x 2 的平均变化率： x 2 x 1 2、导数定义： f x 在点 x 0 处的导数记作 y x x 0 f ( x 0 ) lim f (x 0 x 3、函数 y f x 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 4、常见函数的导数公式： ① C ' 0 ；② (x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ；④ (cos x) ' x) f (x 0 ) ；． x x 0 , f x 处的切线的斜率． sin x ； ⑤ (a x )' a x ln a ；⑥ (e x )' e x ； ⑦ (log a x)' 1 ；⑧ (ln x) ' 1 5、导数运算法则： x ln a x 1 f x g x f x g x ； 2 f x g x f x g x f x g x ； f x f x g x f x g x 0 3 g x g x 2 g x ． 6、在某个区间 a, b 内，若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递增； 若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递减． 7、求解函数 y f ( x) 单调区间的步骤： （ 1）确定函数 y f ( x) 的定义域； （ 2）求导数 y ' f ' (x) ； （ 3）解不等式 f ' ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间； （ 4）解不等式 f ' ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x 0 0 时： 1 如果在 x 0 附近的左侧 f x 0，右侧 f x 0 ，那么 f x 0 是极大值； 2 如果在 x 0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0，那么 f x 0 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （ 1）确定函数的定义域 （ 2）求函数的导数 f ’ (x) （ 3）求方程 f ’(x)=0 的根 （ 4）用方程 f ’(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （ 5）由 f ’(x)在方程 f ’(x)=0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况 10、求函数 y f x 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤是： 1 2 求函数 将函数 y f x 在 a,b 内的极值； y f x 的各极值与端点处的函数值 f a ， f b 比较，其中最大的一个是最大值，最 小的一个是最小值．
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念(要求熟悉) 1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称为)(x f y =在0x x =处的导数，记 作)(0'x f 或0|'x x y =，即x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?)()()(00000'lim lim 。 3.1.3导数的几何意义（要求掌握） 1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率， 即k x x f x x f x f x =?-?+=→?)()()(0000'lim ； 2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上） ①求导函数)('x f ；②求切线的斜率)(0'x f ；③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。 3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标),(00y x ；②求导函数)('x f ；③求切线的斜率)(0'x f ；④由斜率间的关 系列出关于0x 的方程，解方程求0x ；⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。 3.2导数的计算（要求掌握） 1. 基本初等函数的导数公式：①0'=C ；②1)'(-=a a ax x ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>= a a a x x a 且；⑧x x 1)(ln '=. 2.导数运算法则：①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ；②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； ③2''')] ([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数 （1）在区间],[b a 内，)('x f >0,?f (x )为单调递增；)(' x f <0,?f (x )为单调递减。 （2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数f (x )的导数()f x '；③令()0f x '>解 不等式，得x 的范围就是递增区间；④令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间。 （3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '；②判断()f x '的符号；③给出单调性 结论。 3.3.2函数的极值与导数（要求掌握） 1．极值的定义：若导数在0x 附近左正右负，则在0x 处取得极大值；若左负右正，则取得极小值。 2．求可导函数)(x f 的极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③求方程f ′(x )=0的根0x ；④列表，方程的根0x 将整个定义域分成若干个区间，把)(),(,'x f x f x 在每个区间内的变化情况列在这个表格内；⑤判断，得结论。 3.3.3函数的最大（小）值与导数（要求掌握） 函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数)(x f 在(,)a b 内的极值； ②将函数)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值。