特殊三角形专题复习
【构造等腰三角形解题的常见途径】
一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
当一个三角形中岀现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中，若4D 平分 ZB4C, AD//EC,则/VICE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分ZBAC, DE//AC,则ZVIDE 是等腰三 角形；如图1③中，AQ 平分ZBAC, CE//AB,则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分ZBAC, EF //AD,则ZV1GE 是等腰三角形.
例2如图3,在△ABC 中，ZBAC 、ZBCA 的平分线相交于点0,过点。作DE 〃人C,分别交4B 、BC 于点ZX E.试猜想线段AD. CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由.
例3 如图4, AABC 中，AD 平分ABAC, E 、F 分别在3￡＞、AD 上，且DE=CD
求证：EF//AB ?
例1 如图2, /XABC 中，AB=AC,在AC _k 取点P,过点P 作EF 丄BC,交 BA 的延长线于点E,垂足为点F.求证：AE=AP.
B
C B
图1
二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5 中，若AD平分
ZBAC, AD丄DC,则ZVIEC是等腰三角形.
例 4 如图6,已知等腰Rt/\ABC中，AB=AC, ZBAC=90° , BF 平分ZABC, CD 丄BD交BF的延长
线于D.求证：BF=2CD.
A
三、利用转化倍角，构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图7①中，若Z4BC=2ZC,如果作3D平分ZABC.则是等腰三角形；如图7②中，若Z4BC=2ZC, 如果延长线CB到D 使连结AD,则△4DC是等腰三角形；如图7③中，若kB=2ZACB,如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ZACD=ZACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.
例 5 如图8,在△ABC 中，ZACB=2ZB, BC=2AC.求证：ZA=90°?
四、模拟画图例6已知在如图1的ZLABC中，AB=AC, ZA=36°,
仿照图1，请你再用两种不同的方法，将AABC分割成3个三角
形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工
具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰
三角形的内角度数）
.
图8
图1图3
【学力训练】一、基础夯实1.
（第2
题）2.
（第3题）
沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三
3.
4.
（第1题）
如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，
角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是_____________ ?
如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点Pi，P2，P3，…, 卩2（）08的位置，则点^2（X）8的横坐标为___________ ?
将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方
法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结杲如下表：
所剪次数1234?
?
n
正三角形个数471013?
?
a n
则a n=（用含n的代数式表示）.
5. 如图，在四边形ABCD中，AB=8, BC=1, ZDAB=30° , ZABC=60°,四边形ABCD的面积为5^3 , 求AD的长.
B
6.已知：如图，AB二AC, BD丄AC,垂足为点D。求证：ZDBC=1 ZA.
2
D
B
二、提高训练：
7.若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是力，给出下列结论：
①以c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以肠，丽，的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a + b, c + h, h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以丄，丄的长为边的三条线段能组成直角三角形
a b c
其中所有正确结论的序号为________________ .
8.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结用、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连结CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；A
(2)若FA二PB二PC,则APMC是三角形；
若PA:PB:PO\ :迈：翻,试判断的形状，并说明理由.
9.(2008杭州)如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC于点E,连接BP交4C于点F.
(1)证明：ZCAE = ZCBF；
(2)证明：AE = BF；
(3)以线段AE, BF和AB为边构成一个新的三角形ABG (点E与点F重合于点G ),记厶ABC和△ABG的面积分别为S△仙。和S△磁，如果存在点P，能使得S△初c=S△磁，求ZC的収值范围.
H
（第9
题）
特殊三角形专题练习 一．选择题(共9小题) 1.已知等腰三角形的周长为２4,腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x<6 C．6＜ｘ＜12 D．0＜x<12 2.若实数x,y满足﹣4０，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 16或２０ D. 20 A．12 B．16 Ｃ . 3．如图,在△中，∠９0°,,是经过A点的一条直线,且Ｂ,C在的两侧,⊥于Ｄ，⊥于E,2,6,则的长为（） ３ C. 5 D. 4 A. 2 Ｂ . 4．等腰三角形一条边的边长为３,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程ｘ2﹣１20的两个根，则k的值是（）A．27 B．3６Ｃ 2７或3６ D．１8 ．
5．如图,在△中,，平分∠交于点D,∥交的延长线于点Ｅ．若∠３5°,则∠的度数为（） Ａ．40° B. 45°Ｃ ． ６0° D. 70° ６．如图，△中,⊥于D,⊥于Ｅ，与相交于F，若，则∠的大小是（ ) A．4０°B．45°C．5０°Ｄ ． 60° 7.如图,,若∠80°，则∠（ )
A. ８０°Ｂ 1０0°C．140° D. 160° . ) 8.已知如图,∥，⊥，⊥,，2，3，则△的面积为（ 5 D. 无法确定 ． 9．如图，已知△的面积为10２,为∠的角平分线,垂直于点Ｐ, ) 则△的面积为（ A. 62B．52 C. ４2Ｄ ． 二.填空题（共８小题) 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，
特殊三角形 主讲教师：傲德 我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形 重难点易错点解析 等腰三角形 题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C． 等边三角形 题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE． 直角三角形 题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF． 请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．
金题精讲 题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D． 求证：BD=2CD． 题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长． 题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形． 思维拓展 题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交． 学习提醒 重点： 等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理
特殊三角形 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一：证明略 点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一 等腰三角形的判定——等角对等边 题二：证明略 点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半 题三：证明略 点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理 直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理 金题精讲 题一：证明略 题三：证明略 思维拓展 题一：证明略
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为 6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为 B O D B O
《2017-2018中考数学复习专题 -直角三角形》 一．选择题（每小题3分，共计36分） 1．直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（） A．45°B．135°C．45°或135°D．由两个锐角的大小决定2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（） A．5 B．C．5或D．不能确定 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（） A．BC=2 B．BD=1 C．AD=3 D．CD=2 4．将一副三角板按如图所示方式放置，则∠1与∠2的和是（） A．60°B．45°C．30°D．25° 第3题图第4题图第5题图 5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（） A．44°B．60°C．67°D．70° 6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD 的 长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10 7．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC 于点F，AC=4，则EF的最小值是（） A．4B．4 C．2D．2 第6题图第7题图第8题图 8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个 9．下列条件：（1）∠A+∠B=∠C，（2）∠A：∠B：∠C=1：2：3，（3）∠A=90°﹣∠B，（4）∠A=∠B=∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4
特殊三角形专题练习 一．选择题（共9小题） 1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12 2．若实数x，y满足﹣40，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A．12 B．16 C．16或20 D．20 3．如图，在△中，∠90°，，是经过A点的一条直线，且B，C 在的两侧，⊥于D，⊥于E，2，6，则的长为（） A．2B．3C．5D．4 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣120的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18 5．如图，在△中，，平分∠交于点D，∥交的延长线于点E．若∠35°，则∠的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70° 6．如图，△中，⊥于D，⊥于E，与相交于F，若，则∠的大小是（） A．40°B．45°C．50°D．60° 7．如图，，若∠80°，则∠（） A．80°B．100°C．140°D．160° 8．已知如图，∥，⊥，⊥，，2，3，则△的面积为（） A．1B．2C．5D．无法确定
9．如图，已知△的面积为102，为∠的角平分线，垂直于点P，则△的面积为（） A．62B．52C．42D．32 二．填空题（共8小题） 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形的顶点E、F、G、H分别在正方形的边、、、上．若正方形的面积=16，1；则正方形的面积= ． 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每个直角三角形的
初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形 一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；…… 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。 二、例题分析 例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2， BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。 例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.
例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。 例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。 例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。 例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。 例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。
直角三角形专题复习 知识点回顾：：直角三角形的性质定理及特殊直角三角形的性质： ①、两锐角和等于90°； ②、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； ③、任意两边的中位线，平行且等于中位线所对边的一半； ④、等面积计算，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积； ⑤、勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方； ⑥、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半， 三边之比为2:3:1； ⑦、在等腰直角三角形中，两直角边相等，两锐角相等为45°，三边之比为2:1:1. ⑧有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ⑨两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ⑩在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若这三边满足a 2+b 2=c 2 则△ABC 是 三角形 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 12、角的平分线上的点到教的两边都距离相等。 教学过程 直角三角形的定义：有一个角是 的三角形是直角三角形. 中，∠C=90°，则∠A+∠B= .（数学语言） 追踪训练1. 有两个长度相同的滑梯（即BC=EF ），左边滑梯的高度 AC?与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC+∠DFE= ． 【点评】此例主要依据是直角三角形全等，直角三角形两锐角互余． Rt △ABC 中，D 为AB 边上的中点，则 . . 追踪训练2. 在Rt △ABC 中，∠ ACB=90° ，D 是斜边AB 上的中线。 （1）若∠B=50°，则∠A= . （2）若BC=CD ，则∠A= . Rt △ABC 中，D 为AB 边上的中点， 为AC 边上的中点，则 . 文字叙述: 任意两边的中位线，平行且等于中位线所对的边的一半. 追踪训练3. 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 边上的中点， E 为AC 边上的中点.F 为BC 边中点，求证：四边形ECFD 是矩形. B C A D
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 初中数学直角三角形专题 知识点一：直角三角形的基本概念 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 2 .如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、TQ ＝PQ B 、∠MQT ＝∠MQP C 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQT N T Q P M 3.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）. （A ）3米 （B ）4米 （C ）5米 （D ）6米 4.直角三角形的周长是2+6,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.（2006年希望杯 ） 5. 如图6，直角△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连接 AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是______． 6.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个 相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和 42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm . 7. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数是 度 8、如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。 9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。 A B 24 7 3题图 (第6题) D B 直角三角形存在性问题 方法提炼： ●找点 已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置； ●直角三角形存在性问题探讨 1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论 2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解 方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解； 例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形 （1）求点A、B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO ＝45°． （1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由． 例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ●针对性演练： 1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式； （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。 （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. D B A A B C D E F G 第2题图 2019-2020年中考数学专题复习训练直角三角形 一、选择题 1．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( ) A ．2.5 B ．3 C ．4 D ．5 2．如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ） （A B ）C ）D ）3．在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点 B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ） （A ）4 cm （B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm 第5题 5．图中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式： （A ）b c a << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）a b c << 6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 二、填空题 1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝ ． 2．已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等 腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 第1题图 A 第4题 B C D E C （第1题） 2018中考复习解直角三角形专题训练 C ，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机1.如图1P 60秒到山顶D的米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10以300D 千米，求这座山的高C正上方处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12 千米）（精确到0.112千 G A B 1 图 2．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测17cm E AB=4米，斜面得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离B DEBC=4.25米，斜坡总长米．=85距离 A D的度数（结果精确到1°）；（1）求坡角∠C D F （第2题）? 17cm）若这段斜坡用厚度为的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶（2 l M （如图）MN，在码头西端3．在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头北B的正西A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于19．5 km 处有一观察站又测得该轮分钟，20处；相距的北偏西A 30°,且与A40km的B经过1小时38CA，且与相距处．km的60°A船位于的北偏东C（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正l东A MN靠岸？请说明理由．好行至码头MN 工人师. 4. 如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性， 4AB长为已知原传送带改为使其由傅欲减小传送带与地面的夹角，45°30°. . 米的长度；AC）求新传送带1（． 米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走。C（2）如果需要在货物着地点的左侧留出26352，， (说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈2.45)≈1.41，≈2.24≈1.73 BEQEAEPABPQ＝和＝两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线74°上点5．如图，大海中有，∠处测得∠EFBFFAFP＝处测得∠1km＝60°，∠＝Q60°，．30°；在点）判断ABAE的数量关系，并说明理由；（1 sin74°≈，B之间的距离（结果精确到 0.1km）．（参考数据：3≈1.73，）求两个岛屿（2A和），cos74°≈0.28tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24 A B QEFP 6．如图为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的 长． 7．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都CAACBBCC处测24m的引线（线段).现已知风筝，在的引线（线段）长20m，风筝）长固定在地面上的处(如图 AB的仰角为45°. 的仰角为60°得风筝，风筝AB谁离地面更高？与风筝（1）试通过计算，比较风筝B A 导 学 过 程 设 计 一、看图说话 二、知识梳理 复习等腰、等边、直角三角形的性质与判定 三、我来闯关 探究一:等腰、直角三角形边、角计算 1.如果等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为___________. 2.如果等腰三角形的一个内角为50°，则其它的底角的度数是___________. 3.如果一个等腰三角形的一个内角为 100°，则它的顶角的度数是________. 4.已知直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边的长为 ________. 探究二:等腰、直角三角形的性质与判定 1.如图1，在△ABC 中，已知∠ABC 与∠ACB 的角分平线相交于点O ，过O 点作DE 平行于 BC 交AB 点D ，交AC 于点E ，已知DE ＝5，则BD+CE ＝________. 2.如图2，在△ABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，O 是BC 边的中点，连接OD 、OE 、 DE ，猜想△ODE 是等腰三角形吗？请说明理由。 3.如图3，在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＝DE ，∠B ＝∠E ，F 是CD 的中点，求证： 恩江中学数学中考总复习课导学案 图3 图1 探究三:等腰、直角三角形在平面直角坐标系中的应用 1.如图1在平面直角坐标系中，OA=OB=13,点B 在x 轴上，OB ＝10则点A 的坐标是________. 2.如图2在平面直角坐标系中，OA=AB=2,点A 在x 轴上，∠OAB ＝150°则点B 的坐标是________. 3.如图3在平面直角坐标系中，OA=2,OA 与x 轴的夹角是30° ，点P 在坐标轴上运动，若 速度从A 向点B 运动，到达B 点停止， （1）求当点P 运动多少秒时，△ACP （2）求当点P 运动多少秒时，△ACP 四、当堂检测 1.如果一个等腰三角形的周长10,其中一边长为4，则它的腰长为_________. 2.如果一个等腰三角形的一个外角为50°，则其它的顶角的度数是__________. 3.在直角三角形中，已知两直角边分别为3和4，则斜边上的高为__________. 五、课堂小结 六、 课后作业 七、教学反思 B 数学培优专题(一) 直角三角形 知识要点： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理公式：_____ _ 勾股定理逆定理：_____ _ 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的半（边角关系）、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。 培优练习： 1、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1+∠2等于__________. 2、已知一直角三角形木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为__________ 3、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________ 4、在三角形ABC 中，AB=5，AC=9，AD 是边BC 上的中线，则AD 的取值范围_______ 5、如图，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形ADE ，再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形AFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为_______ 6、等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为____________ 7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 浙江省温州市平阳县鳌江镇第三中学九年级数学复习：特殊三角形专题教案新 人教版 教学目标 知识目标 通过复习过程，使学生进一步理解折叠问题的本质是图形的轴对称变换，会利用轴对称变换的性质进行有关的计算和证明。培养学生运用知识的能力。 能力目标 能运用转化的数学思想方法解决问题,提高解题的灵活性,并学会归纳总结解题方法。 情感目标 通过学生动手操作, 激发学生学习的兴趣,培养学生的自主学习的能力,让学生主动参与到学习探索的过程中来,加强其进一步学习的自信心。 教学重点 通过动手操作,应用轴对称性解决折叠问题。 教学难点 学生通过折叠自己进行解题过程较难,思维不易发散. 教学过程 巧设情境，设疑引入 通过对特殊三角形一章的学习我们对直角三角形已经有了一定的认识和了解。今天我们继续探讨和直角三角形有关的折叠问题。 【动动手，动动脑】：如图操作，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处． (1)你能找出其中全等的三角形吗？△ADC ≌△ADE (2)图中有哪些有相等的角和相等的线段？ ∠1=∠2; ∠3=∠4=∠C=90°;∠5=∠6; AE=AC;DE=CD (3)图中的对称轴是哪条线段所在的直线？ 线段AD 所在的直线 从操作中不难看出，折叠操作“折”是过程，“叠”是结果。但是，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠的本质又是什么呢？ 学生归纳:折叠问题的实质是图形的轴对称变换。利用轴对称变换得到对应的角相等和对应的线段 相等。 运用性质，归类探究 【归类一】：求角的度数 例1：如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在AB 上的点E 处．已知∠B=30°， ∠C=90°，则∠BAD= ,∠ADE= 解：∵△ADE 由△ADC 折叠而来 ∴ △ADE ≌△ADC ∴AD 是∠BAC 的平分线即∠BAD=∠DAC ∴∠AED=∠C=90° ∵∠B=30°, ∠C=90°∴∠BAC=90°-30°=60°（为什么？） ∴∠BAD=∠DAC=2 1×(90-30)°=30° ∴∠ADE=90°-30°=60° 点评：利用折叠的本质求角的度数，当条件中有某些角的度数已知时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角之间的关系，从而求得未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考呢？ 体验感悟：（1）如图：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M 是斜边的中点，将三角形ACM 沿CM 折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A= ． 解 ∵M 是AB 的中点，∠ACB=90° 下笔如有神读书破万卷中考专题：直角三角形一、填空题。在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝15，∠B＝45°，则α＝ 1.513. 在Rt △ABC中，∠C＝90°， sinA= ，则cosB＝2.，则底角的余弦值为，底边长为 2 . 3.等腰三角形的腰长为3＝αBC的高，如果。 BC＝a，∠B＝，那么AD4.在Rt△ABC中，AD是斜边2i。＝l∶，则坡角α的正弦值为 5.一个斜坡的坡度二、选择题：3B22sinB=等于（，则 cos）6.若∠B是Rt△ABC的内角，且33122322 D. A. C. B. 7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在C的北偏东60°，灯塔B在C的东南方向，则灯塔A在灯塔B的（） A．北偏东7.5° B．北偏西7.5° D ．南偏西 7.5° 7.5°C．南偏东 8.如图，PT切⊙O于T，BP为经过圆心O的割线，如果 PT＝4，PA＝2那么cos∠BPT等于（） 41334582 D B ． C．．A ． 已知A、B为直角三角形ABC的两个锐角，那么方程tanAx-2x+tanB=0( ) 29. A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 D. 根的情况不确定没有实根C. 10.已知等腰梯形ABCD的腰AB＝CD＝a，AB⊥BD，∠ABC＝α，则BC+AD＝（） α2asin．D αasin．C αacos．B αA.2acos 读书破万卷下笔如有神 三、解答下列各题： 11.（20XX年哈尔滨中考题）在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的 B处测得∠CBD＝3O°， 特殊三角形专题复习 【构造等腰三角形解题的常见途径】 一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形． 例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交 BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ． 例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ． 求证：EF ∥AB ． C A B E D O 图3 图4 F C D E B A 图2 F B A C P E 图1 ① A D C B E ② E C B D A B A C D E ③ ④ A B F C D E G 二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形． 例4 如图6，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ． 三、利用转化倍角，构造等腰三角形 当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC ＝2∠C ，如果延长线CB 到D ，使BD ＝BA ，连结AD ，则△ADC 是等腰三角形；如图7③中，若∠B ＝2∠ACB ，如果以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作∠ACD ＝∠ACB ，交BA 的延长线于点D ，则△DBC 是等腰三角形． 例5 如图8，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°． 四、模拟画图 例6 已知在如图1的△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC 分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）． E 图5 A B C D 图6 B F D C A 图7 B C D A ① ② B C D A ③ B C D A 图8 C B A 直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34， 那么AD= 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位 有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8 B 、4.8 C 、3.6 D 、1.2 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （ ） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=45o，∠C=120o，AB=8，则CD 的长为（ ） A 、 638 B 、64 C 、238 D 、24 15、在平面直角坐标系内P 点的坐标为（cos30o，tan45o），则P 点关于y 轴对称点A 的坐标为（ ） A 、（ 23，1） B 、（—1，23） C 、（1,23-） D 、（1,2 3 --） 16、若等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为60o，则等腰三角形的面积为（ ）cm 2 A 、25 B 、325 C 、350 D 、50 17、如图4，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为 A ． h sin a B ． h tan a C ． h cos a D ． h ·sin a 18、在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2 =-+-A B ，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 19、河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米 20、计算：（1）、?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin （2）、?-?+? -? -?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 222 图2 a C A E B D A B 图1 B C D A 图3 图4 图5 专题一直角三角形的存在性问题 【考题研究】 主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。 【解题攻略】 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走： 第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程； 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 【解题类型及其思路】 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究： （1）当动点在直线上运动时，常用的方法是：① 121 k k?=-，②三角形相似，③勾股定理； （2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法① 121 k k?=-，②三角形相似，③勾股定理； （3）当动点处作直角的方法：寻找特殊角 【典例指引】 类型一【确定三角形的形状】 典例指引1． （2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示． 中考数学专题练习：特殊三角形（含答案） 1．（·柳州)如图,图中直角三角形共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,点D在BC上,且AD平分∠BAC,则AD的长为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 3．在直角三角形中,如果有一个角是30°,那么下列各比值中,最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( ) A．3∶4∶5 B．1∶1∶ 2 C．5∶12∶13 D．1∶3∶2 4．（·扬州)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( ) A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC 5．（·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（·宿迁)若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( ) A．12 B．10 C．8 D．6 7．等腰三角形的一个内角为40°,则它的顶角的度数为_______________． 8．（·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于__________．9．（·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE＋DF＝______． 10．（·内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形． 证明：∴△BDE是等腰三角形． 参考答案 1．C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7．100°或40°8.2.5 9.2 3 10．证明：如解图,∵DE∥AC,∴∠1＝∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2, ∴∠2＝∠3. ∵AD⊥BD, ∴∠2＋∠B＝90°,∠3＋∠BDE＝90°, ∴∠B＝∠BDE,即BE＝DE, ∴△BDE是等腰三角形．初中数学直角三角形专题
专题：直角三角形存在性问题
2019-2020年中考数学专题复习训练直角三角形
完整版2018中考复习解直角三角形专题训练
特殊三角形专题复习
八年级数学培优专题(一) 直角三角形
中考数学复习特殊三角形专题教案新人教版
中考专题直角三角形
第3讲特殊三角形专题复习
直角三角形的边角关系专题复习
专题01 直角三角形的存在性问题(解析版)
中考数学专题练习：特殊三角形 (含答案)
相关主题
文本预览