第2课时角平分线的判定
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解角的平分线的判定定理；
2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；
难点：角的平分线的判定.
三、教法学法
自主探索,合作交流的学习方式.
四、教学过程
温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.
（一）复习、回顾
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①推导
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
（二）合作探究
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
【典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是
∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．
证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），
∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．
又∵AC＝AC′（已知），
∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
∴∠ABC＝∠ABC′．
（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，
∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）
即∠BAC＝∠BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP
能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因
此要作出点P到三边的垂线段．
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
（三）巩固训练
（四）小结
请你说说本课的收获与困惑.
（五）作业
双基检测
1.如图4，在ABC
△中，90
C
∠=，AD平分CAB
∠，8cm5cm
BC BD
==
，，那么D点
到直线AB的距离是cm．
2.如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.
(1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明理由;
(2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数.
图4
A
B
D
C
P
A
B
D
3、如图6，所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点O。求证：AO⊥BC。
第2课时角平分线的判定
C 图6
1．掌握角平分线的判定定理．(重点)
2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)
一、情境导入
中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、合作探究
探究点一：角平分线的判定定理
【类型一】角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF
是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵
??
?
??BE＝CF，
BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【类型二】角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题
如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
探究点二：三角形的内角平分线
【类型一】利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO
，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝
1
2
∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝
1
2
∠ACB，∠ABC＋∠ACB ＝180
°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选A.
方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【类型二】三角形内角平分线的应用
已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P1、P2、P3、P4，共4处．
(2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
3．9角的平分线教学目标 1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．教学过程设计一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明1，复习引入课题．（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角平分线OC．2．画图探索角平分线的性质并证明之．（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE．（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理．（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．二、应用举例、变式练习练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P 在射线OC上，PD⊥OA于DPE⊥OB于E．∴（角平分线的性质定理）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ OP 平分∠AOB（）例1已知：如图3－87（a）， ABC的角平分线BD和CE交于F．（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；（2）求证：AF平分∠BAC；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图387（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？说明：（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB ⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA 于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．练习4 课本第54页的练习.说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．三、互逆命题，互逆定理的定义及应用1．互逆命题、互逆定理的定义．教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）直角三角形的两锐角互余；（3）对顶角相等；（4）全等三角形的对应角相等；（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；（6）等腰三角形的两个底角相等；（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．例4 判断下列命题是否正确：（1）错误的命题没有逆命题；（2）每个命题都有逆命题；（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；（5）每一个定理都一定有逆定理．通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．四、师生共同小结1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？五、作业课本第55页第3，5，6，7，8，9题．课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成．角平分
12.3 《角的平分线的性质》教案设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教案重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教案过程： 一、创设情景
学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二：
结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．
三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1
四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质
角的平分线的性质（二）教案 教学目标 1 ?掌握角的平分线判定定理的的内容。即：至蛹两边距离相等的点在角的平分线上 2 ?会用角的平分线的判定定理解决一些简单的实际问题. 教学重点 角平分线的判定定理及其应用. 教学难点 灵活应用角平分线的判定定理解决问题. 教学过程 I .复习巩固，弓I入新课 回顾一下角平分线的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 现在，我们来证明“到角的两边的距离相等的点是在角的平分线上”。看看是否能证明出来。 前面我们学过，要证明一个几何命题，首先要明确命题中的已知和求证，现在我们一起来看看这个命题的已知和求证。 U.导入新课 证明命题：“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上” ［师］这个命题的已知是什么？求证是什么？ ［生］已知：一个点到角的两边距离相等，求证：这个点在角的平分线上接下来，我们根据题意，作出图形，用数学符号表示已知和结论。 已知：如图，PD丄OA PE!OB 点D E为垂足，PD= PE 求证：点P在/ AOB的平分线上证明：经过点P作射线OC ??? PDL OA PE丄OB ??? / PDO=Z PEd 90° 在Rt△ PDC和Rt △ PEO中 PO = PO PD=PE ? Rt △ PDO2 Rt△ PEO( HL) ? / POD=Z POE ???点P在/ AOB的平分线上 通过上题可以得到角平分线判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
前面我们学习了角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。现在我们学习了角平分线的判定定理：至V角的两边距离相等的点在角的平分线上. ［师］角平分线的性质和判定有什么联系？ 总结：角平分线的性质和判定命题的已知条件和所推出的结论可以互换，它们是互逆定理. 新知应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，？离公路与铁路交叉处500m 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）? 1 .集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个定理来解决这个问题？ 2 .比例尺为1：20000是什么意思？ 结论： 1 .应该是用角平分线判定定理.？这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处. 2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，？这就涉及一个单位换算问题了. 1m=100cm所以比例尺为1: 20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思.作图如 下： 第一步：尺规作图法作出/ AOB勺平分线OP 第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm确定C点，C点就是集贸市场所建地了. 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
12.3 《角的平分线的性质》教学设计 （第1课时） 授课教师： 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角
的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 O B A O B P E 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1
第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD, ∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠ A)=90°+1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证： AD平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥ AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 1 2 CE·DN= 1 2 BF·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是 AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=1 2 BD.求证：BD是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可. 【证明】延长AE、BC交于点F. ∵AE⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC与△AFC中，
初二数学 第8课时 角的平分线的性质（1） 教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理． 2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点 角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、创设情境 导入新课 在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点． 求证：∠MOC=∠NOC ． 通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC?与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了． 思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =?? =??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ． 即射线AC 就是∠DAB 的平分线． 首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究 【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： 动手制图（尺规），边
12.3 角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重、难点与关键 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 3．?关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB ． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC?即为所求（课本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图11．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 1 2
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计 教材分析 本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。 教学目标 1．会使用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题． 教学重点及难点 重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用． 难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具 直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件 教学过程 (一)导入新课 问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？ 师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示． 问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？ 师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知
E 12.3 《角的平分线的性质》（第1课时） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 （2）理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度： 充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 二、、教学重点、难点 教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 三、教学方法 引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习 四、教学过程 一、创设情景 生活中的数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 探索体验 探索1：如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?
从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。 观察领悟作法，探索思考证明方法 画法： 以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N ． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． 作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性。 想一想：为什么OC 是角平分线呢？ 利用三角形全等证明角平分线，进一步 明确命题的题设与结论，熟悉几何证明 过程。 已知：OM=ON ，MC=NC 。 求证：OC 平分∠AOB 。 证明：在△OMC 和△ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC ≌ △ONC （SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 探索2： 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一
1 B A O E P D B D C A （第3题） （第2题） 角的平分线的性质及其练习题 1、尺规作图画角平分线 （1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 （2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。 （3） 、画射线OC 。射线OC 即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ， 则PE=PF 。 3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB 4、证明命题的步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 角平分线的性质（1） 一、选择题 1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ） A ．SAS B ．AAS C ．SSS D ．ASA 2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A ．PD ＝PE B ．OD ＝OE C ．∠DPO ＝∠EPO D ．PD ＝OD 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝． 三、解答题 4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ， AC 的垂线，垂足为F ，D ，且
12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定
角的平分线的画法 数学课上，探讨角平分线的作法时，黎老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． 根据以上情境，解决下列问题： (1)黎老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______．
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由． (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法． （要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明） 试题分析： （1）根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. （2）利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，根据全等三角形对应边相等解答. （3）利用刻度尺作出PM=PN，再利用“SSS”证明两三角形全等，即可得解： 在△MOP和△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析： （1）黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. （2）小聪的作法正确。理由如下： 在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. （3）如图： ①利用刻度尺上的刻度，在OA和OB上分别画点M、N，使OM=ON； ②用两个刻度尺作出MP=NP，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图（基本作图）.
角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.
例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B
全国100份试卷分类汇编 角平分线 1、（?雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．100° 考点：平行线的性质；角平分线的定义． 分析：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠D， ∴∠CAD=∠D， 在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°， ∴80°+∠D+∠D=180°， 解得∠D=50°． 故选A． 点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 2、（?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的 度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质 可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比． 解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 3、（?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）
角的平分线的性质 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线
A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1