二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题

【学前思考】

二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我

们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.

【知识要点&例题精讲】

二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：

CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定

说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数

图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.

解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内

(i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.

例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ .

例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是

CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化

说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.

解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求

二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与

给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析：

(i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间

2a

l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)；

(ii) 若^-―

2a 2a

上单调递减，在［_2q］上单调递增，此时［f (X)］min= Cf)，［f(x)］maχ= f(P) 2a 2a

或f(q),至于最大值究竟是f(p)还是f(q),还需通过考察对称轴与给定区间

的中点的位置关系作进一步讨论：若p<-- <-^-q,则［f(x)］max = f (q)；若

2a 2

导g ,则［f (X)］max = f (P)；

2 2a

(iii) 若- —q ,即对称轴在给定区间∣p,q丨的右侧，则函数f(x)在给定区间

2a

l P,q 1 上单调递减，此时［f(x)］max = f(P) , ［f (X)I min = f (q).

综上可知，当a 0时,

b f(q), 若

! 2：

f(p),若-—- L 2a

P q 2 P q 2

[f (X)I maX

[f (X)]max =< f(—〒)，若 P≤-丁 ≤q ； 2a 2a

f (q),若-:b >q 2a

例4、已知χ2 <1且a _ 2 ,求函数f (χ) = x 2 ? ax ? 3的最值?

例5、求函数f(χ)= -χ(χ - a)在区间［-1,1 ］上的最大值.

例6求函数f (X )=χ2 —2ax —I 在区间Io,2］上的最大值和最小值.

2

例7、设函数f (χ^ x 2 ax b ( a,b ? R ),当b = a 1时，求函数f (χ)在区

4 间1—1,1］上的最小值g (a )的解析式.

[f(x)]min =廿(

通过同样的分析可得到：当a ：： 0时,

f (p),若

f(q),若- 2a q

f (P),若 2a

[f(x)]min b P q

f(q),

若一 2T=

f(P ),若-瓠专

2

［解析］函数f (x) =χ2亠ax 亠b =χ2亠ax 亠a 1 =(x 亠a )2 T 的图像是开口向上，对称轴为直线 x -

的抛物线 4 2

2

(i )若 _? ：.? /,即 a 、2 2 此时函数f (X)在［_1,1上单调递增 2 2 a a 于是 g (a) = f ( _1) =1 . a 1 a 亠2 4 4

(ii )若 .1,即a 门

此时函数f (x)在［一1,1上单调递减 2 2 a a 于是 g(a) =f (1) =1 a 1

a 2 4 4

(iii )若 _1 ≤-?a ≤1,即 _2 ≤a ≤2 —2 — _ _ 此时函数f (X)在［/, _勺 于是 g(a) =f (—日)=1 2

C 2 a a 亠2, a ?2 i 4 综上可知，g(a) = 1,-2乞a 乞2

2

:七 +2, a ￡-2 4

例8、已知函数f(χ)=χ2 mx —1 ,若对于任意的X ［m,m 1］,都有f(x) ：： 0成 立，则实数m 的取值范围是 ____________ .

CaSe M 、给定区间变化，对称轴位置确定

说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数 ?解决此类 问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分 对称轴在给定区间的左侧、

内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值? 解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求 二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行 分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其 对称轴的横坐标?解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.

例9、已知函数f(x>=(x-1f?1定义在区间∣t,t ■ 1 ( r R )上，求f(x)的最小值.

例10、已知函数f(x)=x 2-2x?3 ,当X Fl t ,t ' 1 ( L R )时，求f(x)的最大值.

CaSeIV 、与二次函数最值问题有关的综合题型

利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题:

(1) 求函数的最值或最值的取值范围；

(2) 求函数的解析式；

上单调递减，在［—a ,1］上单调递

增

(3)证明不等式；

(4)求参数的取值范围；

(5)探究参数是否存在；

例11、设函数 f X = χ2 2ax - a -1，X m∣0,2 1，a 为常数.

(I)求f X的最小值g(a)的解析式；

(II )在(I )中，是否存在最小的整数m,使得g(a)-m辽0对于任意a R均成立.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【解析】(I )函数f X l=X2?2ax-a-1=(x ?a)2 -a2-a-1的图像是开口向

上，对称轴为直线X = -a的抛物线

(i )若-a ：：：0 ,即 a 0

此时函数f(x)的对称轴x =「a不在区间∣0,2 1上，f(X)在区间∣0,2 ]上单调递增于是g(a)

(ii )若—a 2 ,即 a ：：：-2

此时函数f(x)的对称轴X =-a不在区间∣0,2 1上，f(x)在区间1.0,2 ]上单调递减于是g(a) =[f(χ)]min = f(2) =4 4a-a-1=3a 3

(iii )若0 _ —a乞2 ,即一2乞a乞0

此时函数f (x)的对称轴x=-a在区间∣0, 2上，f (x)在区间IO^aI上单调递

减，在区间∣-a,2 I上单调递增

于是g(a) =[f (x)]min = f (-a) —a2 -a-1

-a -1,a 0

综上可知，g(a) = -a2「a-1厂2乞a乞0

I 3a+3,a￡—2

(II )要使g(a) -m<0对于任意的a? R均成立，只需m_［g(a)］max , - a? R 下求

［g(a)］maχ

—1 1 —

由函数g(a)的图像可见，g(a)在(_二，一_］上单调递增，在［_—,?：：)上单调递减

2 2

III 3

［g(a)］max 弋(一；)一(一；)2一(二)一仁盲

4

于是m _ _ 3

4

又m Z

故m的最小值为O

例12、已知函数f(x) =χ2-2aχ? b( a,b? R ),记M是If(X)I在区间［0,1］上的最大值. (I)当b = 0且M =2时，求a的值；

1

(U)若M < -,证明0乞a^1.

2

【解析】(I )函数f(x) =x2 -2ax ■ b = (x-a)2 -a2 b的图像是开口向上，对称轴为直线X =a的抛物线

而函数f(x)的图像是将函数f(x)在X轴上方的图像保持不变、把它在X轴下方的图像翻折上去得到的

(I)当 b =0时，函数 f (x) = X2-2ax = (x-a)2-a2

(i)若 a <0

此时函数f(x)的对称轴x=a不在区间［0,1］上，f(x)在区间［0,1］上单调递增于是M =［∣f(x)］max=maχ{∣f(0)」f (1卩=max {。,1 —2a∣}= 1 —2a = 2

— 1 3

=T -2a =2或1 -2a - -2 ,即a =…(舍去a =)

2 2

(ii )若 a 1

此时函数f(x)的对称轴x=a不在区间［0,1］上，f(x)在区间［0,1］上单调递减于是M =［∣f(x)］max=maχ{∣f(0)」f (1)} = maxS,1 —2a∣}= 1 —2a = 2

3

ι

=■ 1 - 2a = 2或1 - 2a - -2，即 a (舍去 a = 2

2

(iii ) 若 OmaEI 此时函数f(x)的对称轴x = a 在区间［0,1］上，f(x)在区间IO,a ］上单调递减，在 区间la,1 ］上单调递增 于是 M =[ f(x)] max =max V(a), f (1)} = max {a 2, 1 —2a } = 2 当 a 2 =2 时，<2 [0,1],舍去

当 1—2a ∣ = 2 时，1—2a=2 或 1_2a=_2 =? a = —3 或 a = 3 ,均舍去

2 2

综上可知，a ---或a =—

2 2

1+b —f(1) 1 + f(0)—f(1)

I f(O) —f(1) …a = — —

2 2 2 2 又7 M J

2

于是有-1 Ef(0) -f(1)E1

例 13、( 2015 浙江高考)已知函数 f(x)=x 2?aχ?b ( a ，b? R ),记 M(a,b) 是f(x)在区间∣-1,1 上的最大值.

(1) 证明：当 a 兰2 时，M (a,b) 32 ；

(2) 当a ，b 满足M(a,b)辽2时，求a - b 的最大值.

【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的 最值问题.解决此类问题的关键是正确理解“ M(a,b)是f(x)在区间∣-1,11上的

二If(O)兰2，I f(1)兰2

3 1

(Ii )l / f (0) =b

f (1)=1 -2a b

=-1

< f (0)

2 1 1 -厂 f(1r

丄a 丄Ifcla

2 2 2 即 a [0,1]

高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：

二次函数在闭区间上的最值 (经典)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

(整理)二次函数在各种区间上的最值.

二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．

中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变

中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -

二次函数的区间最值及应用教师版

二次函数的区间最值及应用 模块一：二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值． （2）若2b n a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． （3）若2b m a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． （4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =， max y y =． 2．动轴或动区间 对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m ，n 与2b a -的大小． 模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 b

分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当 20 x -≤≤ 时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时． 【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值； （2）∵在右侧， ∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值； （3）∵在左侧， ∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值； （4）∵，且， ∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． 【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图． 试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值． 【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++ ∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：， 又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，． 【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 2 317248y x ? ?=--+ ?? ?34x =1783 4 x =20x -≤≤0x =2x =-13-3 4 x =13x ≤≤1x =3x =8-3 124-≤≤331244-->-34 x = 17 81x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25 244 t -≤≤25 244t - ≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,255 x -±=33x -≤≤55 x -+=min 4y =254t =- 9516y =24t =845y =9845516 >24t =3x =max 845y =

二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时， 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1．当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

《求闭区间上二次函数的最值的方法归纳》

闭区间上二次函数的最值 二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-242在区间[] 03，上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[] 03，上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。 图1 例2. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 解：由已知232x x ≤，可得032≤≤ x ，即函数f x ()是定义在区间032，? ? ????上 的二次函数。将二次函数配方得f x x ()=+? ? ???+1234 2 ，其对称轴方程x =-12，顶

点坐标-?? ???1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，? ?????内，如 图2所示。函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 3219 4 ?? ???=。 图2 解后反思：已知二次函数f x ax bx c ()=++2（不妨设a >0），它的图象是 顶点为--?? ? ??b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =- 2、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[] m n ，上f x ()的最大值或最小值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???= -2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] -?b a m n 2，时 若-

有限区间上含参数的二次函数的最值问题

有限区间上含参数的二次函数的最值问题 执教：吴雄华 时间：2006-9 班级：高三（1） 班 教学目标： 知识与技能： 1．掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法； 2．掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法； 过程与方法： 3．加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验； 情感、态度与价值观：4．通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心； 5．培养学生严密的分析和解决问题的能力。 教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解。 教学难点：分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。 教学内容 教师活动 学生活动 一．复习一元二次函数最值的求 法。 1． 没有限定区间的情况。 2． 有限定区间的情况。 提问一：我们已学习了哪些一元二次函数求最值问题？请同学指出类型和求解方法。 回答一：两种情况，分别为没有限定区间的情况和有限定区间的情况。 前者用配方法即可，后者先配方，再借助图像来观察函数在给定区间上的单调性，从而得出函数的最值。 二．研究定义在变化区间上的一 元二次函数最值问题的求解。 例1已知函数()222++=x x x f ， （1）若R x ∈，求函数的最值； （2）若[]1,3x ∈，求函数的最值； （3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值； （4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。 ?? ? ??-<++-<≤--≥++=.3,106;13,1; 1,2222min a a a a a a a y ?????-<++-≥++=. 2,22;2,1062 2max a a a a a a y 给出例1。 借助（1）（2）（3）复习，请同学口头回答解法。 提问二：（4）题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？ 提示后请同学们完成（4）题。 允许讨论。 其中请两位同学在黑板上分别完成（4）（5）题。 教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。 学生完成后讲评。 提问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。 读题后思考（1）（2）（3）题，口头回答解法。 回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。 区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。 先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。 回答三： 最小值：对此区间是否有函数的对称轴穿过进行讨论； 最大值对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。

闭区间上二次函数最值问题教案

闭区间上二次函数的最值问题 一、?教材分析 1、教学背景 二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。 2、学情分析 从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。

从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 3、教学重难点 重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题 难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题 二、?教学目标分析 1.会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学 生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。 2.了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 3.经历从“轴动区间定”到“轴定区间动”的类比推理，培养学生类比推理能力； 使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 三、教学方法：类比推理法，讲授发现法

《二次函数在闭区间上的最值问题》教学设计

《二次函数在闭区间上的最值问题》教学设计 潼关中学郭传涛 1．教材分析 二次函数是高中数学的重要内容，是在学习了《函数》一节内容之后编排的。通过本节课的学习，既可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习其它函数，尤其是利用函数的图像来研究函数的性质打下坚实的基础，而含参数的二次函数是进入高中以后学生遇到的新的问题，虽然在初中学生接触过二次函数，但是初中的要求比较低，只需掌握必要的求配方、顶点坐标，对称轴方程、作图等即可，而高中数学要教会学生利用函数的图像和性质去研究函数在给定区间上的最值，可能还会涉及到分类讨论的思想、数形结合思想，以便培养中学生分析问题、解决问题的能力。2．教法分析 在本节课的教法设计中，我力求通过这一节课的教学达到不仅使学生理解并能简单应用所学的知识，更期望能引领学生掌握一般思路和方法，为今后研究其它的函数做好准备，从而达到培养学生学习能力的目的。我根据自己对“启发式”教学模式和“情景式”教学模式的认识，将二者结合起来1.创设问题情景2.突出图象的作用3.注意数学与生活和实践的联系和体现。 3．学法分析

（1）领会常见的数学思想方法。在借助图象研究问题时会遇到分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 （2）在互相交流和自主探究中获得发展。在生活实例的课堂导入、问题研究、例题与训练、课内小节等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的认知过程。（3）注意学习过程的循序渐进。在问题、图象、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异，引导学生利用函数图像来解决。 4．教学手段 在教学手段方面我选择了几何画板和ppt网页等多媒体辅助教 学的方式。为教师进行教学演示和学生的观察和发现提供了平台。【教案】 一、三维目标 1、知识与技能 学会利用二次函数的图象和性质，解决在区间变化或对称轴变化时的最值问题。 2、过程与方法 经历用多媒体技术探索二次函数当区间变化或对称轴变化时对 函数最值的影响；

二次函数在区间上的最值

《二次函数在区间上的最值》学案 教师：任后兵 一、目标 知识与技能：理解函数最值的概念,会用函数的单调性找出二次函数在给区间上的最值 过程与方法：经历求二次函数最值的求法，通过课件实验归纳求二次函数在给定区间上最值的一般方法,通过问题串的形式，层层递进。 态度、情感与价值观：感知在函数最值当中求法，在学习中，提高观察、分析、归纳、概括的能力，体验函数思想、数形结合与分类讨论的数学思想方法。 二、重点、难点 （－）重点:二次函数在给定区间上最值的一般方法． （二）难点:对称轴与区间的相互位置关系的讨论． 三、教具学具准备：多媒体（PPT 、几何画板），直尺 1）教学过程：1设f x ax bx c a ()()=++≠20，求x ∈R 的最大值与最小值（必修1教材16页）。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()在a<0时，它的图象是开口向下的抛物线，f x ()的最大值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()取最大值还是取最小值与a 正负有关， （－）定义域为R 的二次函数的值域（教材16页） 问题1：求y=-2x +2x+3在x ∈R 值域为： （二）定义域不为R 的二次函数的值域 问题2：例１、当x ∈[2,3]时，求函数y=-2x +2x+3上的值域。 问题3：当x ∈[2,3]改为x ∈（2,3] 问题:4：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,1] 问题5：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,2] 问题6：当x ∈[2,3]改为x ∈[0,4]

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2 ()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 | 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 ： 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间