课 题：1.5一元二次不等式（1）
教学目的：
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能
力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普
遍联系的辩证思想
教学重点：图象法解一元二次不等式
教学难点：字母系数的讨论；一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关
系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 教学过程：
一、复习引入：
1．当x 取什么值的时候，3x －15的值 （l ）等于0；（2）大于0；（3）小于0
（这是初中作过的题目） 2．你可以用几种方法求解上题？
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系(课本第17页的例子) 4．像3x －15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法 (1)图象解法：利用一次函数y ＝3x －15的图象求解
注：①直线与x 轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根
②图象在x 轴上面的部分表示3x －15＞0
(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解
注 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、讲解新课：
画出函数=y 62
--x x 的图象，利用图象回答：
（1）方程62
--x x ＝0的解是什么；
（2）x 取什么值时，函数值大于0； （3）x 取什么值时，函数值小于0
（这也是初中作过的题目）
结合二次函数=y 62--x x 的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程6
2
--x x ＝0的解是x ＝－2，或x ＝3；
当x<-2，或x>3时，y>0，即62
--x x >0； 当-2 --x x <0 经上结果表明，由一元二次方程数62 --x x ＝0的解是x=-2，或 x=3，结合二次函数 =y 62--x x 图象，就可以知道一元二次不等式62--x x >0的解集是{x|x<-2,或x>3}；一 元二次不等式62 --x x <0的解集是{x|-2 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2 <0的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线=y c bx ax ++2 与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 c bx ax ++2=0的根的情况 (2)抛物线=y c bx ax ++2 的开口方向，也就是a 的符号 总结讨论结果： （l ）抛物线 =y c bx ax ++2 （a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元 二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42 -=?三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定因 此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2 <0的解集 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页) 有两相异实根 有两相等实根 三、讲解范例： 例1 (课本第19页)解不等式02632 >+-x x 解：作出函数2632+-=x x y 的图像 因为3 3 1,3310263,0212 + =- ==+->?x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是?? ? ????? ??+<<- 331331x x . 例2 (课本第20页)解不等式2 223x x ->--. 解：整理得 02322 >--x x 因为2,2 1 0232,0212 =-==-->?x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是? ?????>- <2,21 x x x 或. 例3 (课本第20页)解不等式01442 >+-x x . 解：因为2 10144,0212 ===+-=?x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是? ?????≠ 21x x . 例4 (课本第20页)解不等式0322 >-+-x x . 解：整理，得0322 <+-x x . 因为032,02=+- <+-x x 的解集是?. 从而，原不等式的解集是?. 三、课内练习 (课本第21页)练习1-3. 答案：1.⑴{x| 31 -,或x ≥2 1}；⑶φ；⑷ R. 2．⑴x=2-3,或x=2+3；⑵x<2-3,或x>2+3；⑶2-3 解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2 >0(或<0)(a>0) ② 计算判别式?，分析不等式的解的情况： ⅰ.?>0时，求根1x <2x ，?? ?<<<><>. 002121x x x A x x x A ，则若；或，则若 ⅱ.?=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，?? ? ??=≤∈<≠>. 00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数； ，则若φ ⅲ.?<0时，方程无解，???∈≤∈>. 00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集. 五、作业: 课本第21页 习题1.5 1. 3. 5 思考题：解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值 也不同，故应先从讨论判别式入手. 解 )8(82+=+=?k k k k (1) 当02,08,02=-+>-<>?k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根. 所以不等式的解集是022≤-+k kx x ： ?? ????????++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x (2) 当02,0802=-+=-==?k kx x k k 方程时或即有两个相等的实根， 所以不等式? ?? ???- ≤-+4022 k k kx x 的解集是，即{}2,0； (3) 当02,08,02=-+<<- ≤-+k kx x 解集为?. 说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数 形结合研究问题. 六、板书设计（略） 七、课后记： 高次不等式、分式不等式解法 教学目的： 1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法； 2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法 教学难点：正确串根（根轴法的使用） 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图 象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法 2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 教学过程： 一、复习引入： 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?， 则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页) 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法 二、讲解新课： ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与? ??>+<-040 1x x 的解集的并集， 即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4 式： 解二：∵(x-1)(x+4)<0??? ?<+>-0401x x 或???>+<-0 40 1x x ?x ∈φ或-4 ∴原不等式的解集是{x|-4 一元二次不等式)0()0(022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的代数解法：设一元二次不等式)0(02 ≠>++a c bx ax 相应的方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， 则0))((0212 >--?>++x x x x a c bx ax ； ①若?? ?>>???<->-?? ?<-<->. , ,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1,x x R x ≠∈且. ②若?? ?>-<-?? ?>-<-<. , ,,.0,0,0,0,021212121x x x x x x x x x x x x x x x x a 或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得?∈x . 分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下： ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x 的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 思考：直接写出解集：2 可大致画 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 注意：奇过偶不过 例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图： ④∴原不等式的解集为：{x|-1 说明：∵3是三重根，∴在C 处过三次，2是二重根，∴在B 处过两次，结果相当于没过.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n 时，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇过偶不过”. 练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0； ②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图： ④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}. 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿过-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式： 07 3 <+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3| 073 <+-x x ????>+<-???<+>-0 7030703x x x x 或?x ∈φ或37<<-x ?37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵ 073 <+-x x ?? ??≠+<+-070)7)(3(x x x ?37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x 说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x ≠-7的条件，解集应是{x| -7 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母. 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为 ) () (x g x f 的形式. 例5 解不等式：03 22 32 2≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁. 解法2：∵0322322≤--+-x x x x ???? ??≠--≤--+-0 320)32)(23(222x x x x x x ? ? ? ?≠+-≤+---0)1)(3(0 )1)(3)(2)(1(x x x x x x ， ∴原不等式的解集为{x| -1 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解： 练习：1.课本P21练习：3⑴⑵；2.解不等式 25 3 >+-x x . 答案：1.⑴{x|-5 2解不等式： 12 3422 +≥+--x x x x .（答：{x|x ≤0或1 三、小结： 1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）. 2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 )()(x g x f >0(或) () (x g x f <0)的形式，转化为：)0 )(0 )()((0)(0)()(???≠ ?≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论. 5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、、布置作业 五、思考题： 1． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(x 2-x-12)(x+a)>0， ②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论： ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅱ当-3<-a<4，即-4 ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| x>-3}. ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| x>4}. 2．若不等式 13 642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.(提示：4x 2+6x+3恒正)（答：1 课 题：1.5 一元二次不等式（3） 含参一元二次不等式 教学目的： 1．掌握含参一元二次不等式的解决办法； 2．培养数形结合的能力，分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：含参一元二次不等式的解决办法 教学难点：对参数正确的分类讨论 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 1．函数、方程、不等式的关系 2．一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项 二、讲解新课： 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 解 )8(82+=+=?k k k k (1) 当02,08,02=-+>-<>?k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根. 所以不等式的解集是022≤-+k kx x ： ?? ? ???????++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x (2) 当02,0802=-+=-==?k kx x k k 方程时或即有两个相等的实根， 所以不等式? ?? ???- ≤-+4022 k k kx x 的解集是，即{}2,0； (3) 当02,08,02 =-+<<- ≤-+k kx x 解集为?. 说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题. 小结：讨论?，即讨论方程根的情况 例2．解关于x 的不等式：(x-2 x +12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(2 x -x-12)(x+a)>0， ②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论： ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅱ当-3<-a<4，即-4 ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| x>-3}. ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| x>4}. 小结：讨论方程根之间的大小情况 例3若不等式 13 642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 解：∵13642222<++++x x k kx x ?013 642222 <-++++x x k kx x ?03 643)3(222 2>++-+--x x k x k x ? 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)， ∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立. ∴?=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0?k2-4k+3<0?1 ∴k 的取值范围是（1，3）. 小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分 例4 已知关于x 的二次不等式：a 2 x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围. 分析：原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然y= a 2 x +(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且?<0. 解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须?? ? a ， 即???<---<0 )1(4)1(0 2 a a a a ????>--<012302 a a a ??? ???-<><31 10 a a a 或?a<-31. ∴a 的取值范围是a ∈(-∞,-31). 说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？） 练习：已知(2 a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 解：若2 a -1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R 和{x|x<2 1 }； 若2 a -1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ， 必须1530 )1)(1(4)1(010012 22 2<<-??????<----<-???? 53,1)∪{1}=(-5 3,1). 三、小结 含参一元二次不等式的解决办法 四、布置作业 1．如果不等式x2－2ax ＋1≥ 2 1 (x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 （0≤a ≤1） 2．如果对于任何实数x ，不等式kx2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 （0 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2 a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围（a ≥1或a<－8） 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2 α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围 (y=2 α ＋2β=4(k －45 )2 －4 17, k ≥3或k ≤0, 得y ≥2.) 五、板书设计（略） 六、课后记： 二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 一元二次不等式专题练习 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 例2 解下列分式不等式： （1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ． 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，，Y ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032． 例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 第2讲一元二次不等式及其解法 【高考会这样考】 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题． 【复习指导】 1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法． 2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法． 基础梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c (a＞0)的图 象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0) 的根有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1} ? ? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ? 一个技巧 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． 两个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2) 解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1,2)． 答案 D 2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.? ?? ??－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.? ? ???－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12. 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x，，那么a b x x- = + 2 1 ， a c x x= 2 1 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域． 【教学目标】 1． 了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2． 理解二元一次不等式的几何意义 3． 会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 【教学重难点】 教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义； 2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法 教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法 【教学过程】 一、 设置情境，引入新课 一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？ 问题1.那么信贷部如何分配资金呢？ 问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？ 二、合作探究，得出概念 （1）设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，由于资金总数为25000000元，得到 25000000≤+y x ① 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以 ()()30000%10%12≥+y x 即30000001012≥+y x 。 ② 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是0,0≥≥y x ③ 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：???? ???≥≥≥+≤+0 0300000101225000000y x y x y x 二元一次不等式组： 二元一次不等式（组）的解集的意义： （2）二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形 ①边界的概念 ②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求 ③判定方法（1）特殊点法（2）公式法 三、 典型例题 例题1画出不等式2x +y －6＜0表示的平面区域。 解：先画直线2x +y －6＝0（画成虚线）。 取原点（0，0），代入2x +y －6，∵2×0+0－6＝－6＜0， 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 一元二次方程总复习 考点1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程． 一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。 考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a=± b ∴1x =-a+b 2x =-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二 次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项： 方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案 一、选择题 1．解方程组： 222(1)20(2)x y x xy y -=??--=? 【答案】1212 14,12x x y y ==????=-=?? 【解析】 【分析】 先由②得x ＋y ＝0或x?2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=?? +=?或220 x y x y -=??-=?，然后解这两个方程组即可． 【详解】 222(1)20 (2)x y x xy y -=??--=?， 由②得：（x ＋y ）（x?2y ）＝0， x ＋y ＝0或x?2y ＝0， 原方程组可变形为：20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=? ， 解得：1212 1412x x y y ==????=-=??，. 【点睛】 此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组． 2．解方程组： ⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612 x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2 {1x y ==-；（2）3{45 x y z === 【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可． （2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解. （1）2 {1x y ==- ； (2) 3{45 x y z === “点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题. 3．解方程组：2322441x y x xy y +=?-+=?? 【答案】2112115,175x x y y ?=?=????=??=?? 【解析】 分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可． 详解：2322441x y x xy y +=?-+=?? ①② 由②得2 (2)1x y -=， 所以21x y -=③，21x y -=-④ 由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=?-=?? ，23 21x y x y +=?-=-?? 解方程组23 21x y x y +=?-=??得，{ 11x y == 解方程组2321x y x y +=?-=-??得，1575x y ?=????=?? ． 所以原方程组的解为：11 11x y =?=??，221575x y ?=????=?? 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解． 4．解方程组 一元二次不等式的解法（教案） 高三级第一轮复习 一、 教学目标 【知识技能目标】 （1） 让学生感受一元二次不等式源自实际生活，了解一元二次不等 式的有关概念； （2） 感受并理解一元二次不等式与相应函数、相应方程的联系； （3） 能借助二次函数的图像，解一元二次不等式； （4） 能用“穿针引线”解一些高次不等式。 【情感态度与价值观】 （1） 培养学生观察归纳，积极探究的学习态度； （2） 培养学生数形结合的思想方法与运动的观点，体会各知识点之 间是一个知识网络的关系。 二、 重点、难点分析； 重点：一元二次不等式和高次不等式的解法。 难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。 三、 教学手段：讲练结合、多媒体辅助教学 四、 教学过程 （一） 复习达标 填表： ax 2+bx+c<0 (a >0)的解集ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集ax 2+bx+c=0(a >0)的根 y=ax 2+bx+c (a>0)的图象 判别式△=b 2-4ac △>0有两相异实根x 1, x 2 (x 1 （二） 问题探究 ()2110x -> 思考题：解不等式 变式：解不等式 【设计意图】通过学生自主解题和讨论，掌握一元二次不等式的解法。 小结：解一元二次不等式的基本思想： （1）解对应的一元二次方程； （2）画出对应开口向上图象 （3）最后根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集. 解一元二次不等式的基本步骤： （1）先把二次项系数化成正数； （2）再解对应的一元二次方程； （3）最后根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出 不等式的解集. （大于取两端小于取中间） 例2：解下列不等式： 练习： 【设计意图】通过学生自主解题和讨论，掌握一些高次不等式的解法。 例1：解下列不等式： 2(3).230x x -+->2(4).(21)(1)0x m x m m -+++<2(2).4410 x x -+>2(1)10(1) ax a x a -++<>2(1)10(01)0ax a x a a -++<<<>、（） (1).(1)(3)(5)0 x x x +--≥23(2).(1)(2)(3)0 x x x -+->()3 2(3)(1)1(2)0x x x x ++--≤ 一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例 例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）： 5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+ 想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-? 一元一次与一元二次不等式的解法（复习课）课堂教学实录 师：同学们好！这节课我们来复习一元一次与一元二次不等式的解法。这是高考的重点,也是解其它类型不等式的基础。 师：请一位同学来给大家阅读这节课的学习目标。 注：这样做是让学生明确学习任务。 师：希望我们能共同努力，来完成这节课的目标！请大家做学案的前两个判断题。 判断正误： 1、bc ac b a >?>; 2、b a bc ac >?>22。 注：学生思考判断。 师：请一位同学给出答案并说明原因。 生1：第1题错，因为当0=c 时，bc ac =；当0 解决问题呢？下面请大家看第一块：一元一次不等式，填空并作例1。 一元一次不等式形式： 例1 解不等式 1>ax 。 注：学生积极思考，我请一名同学回答了这道题，他说得准确。 师：重温刚才的解题，请同学们思考解这道题用了什么样的数学思想？ 生2：分类讨论思想。 师：分类的依据是什么？ 生2：不等式的两边同乘以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变。 师：分析很好。大家继续思考：解不等式 b ax >。 注：在思考演算之后，请一位同学表述了她的答案。 师：思路很清晰，但题做到这儿就完了吗？ 注：多数学生点头表示赞同，有少部分同学没有表示。 师：请同学们再思考一下，解不等式时我们还要注意什么？ 生3：最后结果要写成集合的形式。 师：很好！这也是解不等式容易忽视的问题。 师：如果改成b ax ≤呢？前面大家对性质的使用掌握很好，我们就讨论一下0=a 的情况，哪位同学能够说一下？ 生4：当0≤b 时，R x ∈；当0>b 时，φ∈x 。 师：哪位同学能够评价一下？ 注：有同学小声说着什么，但是没有同学能够勇敢举手订正。教师的责任就是协助学生，理解错误并吸取其中合理的成分走向成功。 师：好的，同学们对你的解题没有异议，你刚才解决问题的依据是什么？ 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 一、解下列一元二次不等式： 1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x 4、0672≥+-x x 5、0122<--x x 6、0122>-+x x 7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x 10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x 13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x 16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x 19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x 22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x 25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x 28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x 31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x 34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x 37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x 40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x 43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x 46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x 49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-< 二.填空题 1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ； 2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式2 20mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ； 11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ . 13、若不等式2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题： 1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围． （1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ①二元二次方程组-解法-例题
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