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计算方法习题答案

计算方法第3版习题答案

习题1解答

1.1 解：直接根据定义得

*411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211

()10,()1026

r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤

1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433

5124124124

()()()

101010() 1.810257.563

r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++?

123()r a a a δ≤

123132231123

()()()

a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016=

1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故**

***(())

(())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x

δδδ-=

≈==

1.5 解：设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=±

2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++

***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤，

1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈=

现100,()1x S δ=≤，从而得()

()0.00522100

S x x

δδ≈

≤

=? 1.7 解：因S ld =，故

S d l ?=?，S

l d

?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+??

()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, ***

()

0.0744

()0.55%13.4784

r S S S l d S δδδ=

≈

1.8 解：（1）4.472 （2）4.47

1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减

(3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解（1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357

sin ..3!5!7!

x x x x x -=-+-，

（2）

(1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N

=N N +-N N +N +-?

(1)1ln

ln N +=N +N +-N

1.11 解：0.00548。 1.12解：21

3102

()()()

-? 1.13解：0.000021

1.14 解：1

,((75)3)18;1u y u u u x =

=-+++-

1.15 解；

101021

10 1.4110102

-≤??；不稳定

习题2解答

2.1解：略

2.2解:2

3310

2(1)3(1)(1)3

p e e x e x e x =+-+-+

- 2.3解

122

1211

19,()8max n

i i i i n

i i x x x x x

x ∞

≤≤========∑∑

2.4解

112

2111

6,7,()max max i n

n n

ij ij ij F

j n i j i j a a a ≤≤∞≤≤===A ==A ==A

==∑∑∑

1014,1420T -??

A A =??

-??

其特征值15λ=

2A 2.5解：略

2.6 证明：由于1max i i n

x x ∞

≤≤=，考虑111max max n

p p

i n

i x

x x n x n x ∞

∞≤≤≤≤==≤≤=∑

所以111

()n

p p

i i x

x n

x ∞

∞=≤≤∑,因为1lim 1p

p n →∞

=，故11

lim()n

i p i x x ∞→∞

==∑，即lim p

p x

x ∞→∞

2.7 解5)(,1,,5321===A ρλλλ 2.8解：3,32

a b a <<-

2.9

解：123,2A A A ∞===2.10

解：1

1,14

f f

∞

=== 2.11 解：17724191919190

1361919191921762619

1919

19A -??-

? ?- ? ?= ?-- ? ?

-- ???

2.12解：略 2.13解：略

2.14 解：定义内积 ?

)()()(),(dx x x g x f g f ρ，由教材式（7.2.5），（7.2.6）计算

x x x x x =-====

=001000000)()(,03

80),(),(,1)(?α?????α?

)()(5

381516),(),(,015160),(),(2011120011111111-=--==

=====

x x x x ?β?α?????β????α

x x x x x 14

)()(70

1516525136),(),(,05251360),(),(3122231122222222-

=--==

=====

?β?α?????β????α

2.15解：直接根据递推关系（6.7.6）及系数计算公式（6.7.7）即可算出结果。令

20000

011014

200

()

(,)2()1,()()(),

(,)

()

i i i i i i i x P

x xP P P x P x x P x P P P

x ωααω====-==

∑∑ 故： 1221102

(),

()()()()

p x x p x x P x P x αβ=-=-- {}4

210

11111214

2110010

()

(,)(,)1272384

46(),,,,,,5

5555(,)115(,)15

()

i i

i i i i

i i x p

x xp p p p p x p p p p p

x ωαβω==??

=---=

==????∑∑ 于是24246

()()()115515

p x x x =---。

习题3解答

3.1 (1) u=[y,x],(2) v=[x,y]

3.2 a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7] for n=1:length(a) if a(n)<0,a(n)=a(n)*2;end a

3.3 a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7] s=0;

for n=1:length(a) if a(n)>0,s=s+a(n);end end s

3.4 n=1:99; for k=1:99 if isprime(k)==1,n(k)=0;end end total=sum(n) %total=3890

3.5 function y=fun_ex(x) y=0.8*exp(-x)+x.^3.*sin(x);

3.6 function f=fun_es(x,n)

f=1;fa=1;

for i=1:n

da=fa*i;

f=f+x.^i/fa;

end

3.7 clear, close all

x=[0:0.01:4];

y=1/(1+(x-2).^2);

plot(x,y)

xlabel(`x`);ylabel(`y`);

axis([0,4,0,1])

3.8

C =A+B

5 3 5

3 3 5

3 1 4

D =A-B

-3 1 1

-3 -1 3

3 -1 0

E =A*B

10 8 10

3 6 9

12 5 10

F =B*A

10 9 20

6 8 19

6 1 8

3.9 det(B)=

inv(B) =

0.2500 0 -0.2500

-0.5000 0.6667 0.1667

0.2500 -0.3333 0.4167 B*inv(B)=

1.0000 0 0.0000

0 1.0000 0.0000

0 0 1.0000 3.10 幂级数的系数

5*poly([3 4 -1 -3])

ans =

5 -15 -80 240

习题4解答

4.1 解 1.369 4.2 解： (,)-∞∞ 4.3 解：①略

②取04x =，1233.5642, 3.3920, 3.3541x x x ===

45673.3483, 3.3475, 3.3474, 3.3474x x x x ====，取* 3.347

x ≈，其误差不超过310-。

③**'*

*1**()()2lim lim ()sin 3k k k k k

k x x x x x x x x x x ???+→∞→∞--===---故此迭代为线性收敛。 4.4 解：略

4.5 解：要求方法至少3阶收敛，则()0f x =的根*x 应满足**'*''*(),()0,()0x x x x ???===，于是有：*****2*()()()()x x p x f x q x f x =-- '**'*()1()()0x p x f x ?=-= 即*'*()1/()p x f x =，'()1/()p x f x =

''*'*'**''**'*()2()()()()2()()0x p x f x p x f x q x f x ???=---=??

''*''*'

22'*'*()

1()()()()()()/2()2()()f x f x f x q x p x p x f x f x f x f x ??=--=-???????????

故''**

3'*1()()2()f x q x f x =?????。于是''3

'1()

()2()f x q x f x =???

。当'1()()p x f x =， ''3

'1()

()2()f x q x f x =?????

时，**'*''*(),()()0x x x x ???===迭代法至少3阶收敛。 4.6 证: 这里迭代公式

101k x x +?=??=??

相应的迭代函数是

()x ?=容易验证,当[]0,2x ∈时[]()0,2x ?∈,且成立 1

'()12

x ?≤

< 因此上述迭代过程收敛于方程 210x x --=

的正根(12x *= 4.7 证：运用压缩原理分析迭代过程1()k k k x x f x λ+=-的迭代函数 ()()x x f x ?λ=-

这里，对于一切x 及任意λ，()x ?总是实数，因此封闭性条件自然满足再考察压缩性条件，据题设0'()m f x M <≤≤知

{}'()1'()max 1,1x f x M m ?λλλ=-≤--，{}max 1,1L M m λλ=--

当2

λ<<

时成立 1111M m λλ-<-<-<，故1,L <压缩条件成立。 4.8 解：牛顿迭代法为

1()

,0,1,2,

,()

k k k k f x x x k f x +=-='故 1()

()

k k k k f x x x f x +-=-

' 2

11211()()()()()k k k k k k k k x x f x f x f x f x x x +---'??-=-=??'-?? *2

1*21()()[()]()

[()()]k k k k f x f x f x f x f x f x --'--

'- 2*12*2

11()[()]()

()[()]()k k k k k k f f x x x f x f x x ξξ---''-=-''-

其中k ξ介于k x 与*x 之间，1k ξ-介于1k x -与*x 之间，因此

2**1122*2*111

()[()]()1()

lim lim 2()()[()]()()k k k k k k k k k k k k x x f f x x x f x x x f x f x x f x ξξ+-→∞→∞---''''--=-=-'''-- 4.9证这里迭代函数 2

(),

'()4444a

a x x x x

x ??=+=-

由于?=

而1

012

?<=<，这一迭代公式仅为线性迭代收敛。 4.10 略

4.11 证这里迭代函数23

(),

'()(1)333a

a x x x x

x ??=+=-

这时?=

而0,0??=≠,故这一迭代法为平方收敛。

4.12 解略

4.13解这里迭代函数为 3

0125()()()a a x x x x

?λλλ=++

令0???===,可列出方程 0120121

50150

λλλλλλλλ++=??

--=??+=?

据此定出012,,λλλ,知所求的迭代公式为2

5512824k k k k a a x x x x +=+- 4.14 解：所求的迭代公式为 2

125

55999k k k k a a x x x x +=+- 4.15解: 迭代4次

4.16 解略。

4.17 解:1(2)k k k x x ax +=- 4.18 解：10。 4.19

解：0a <<

4.20 解：111

k k x x +=

+，一。

习题5解答

5.1解：经消元得三角方程组12323324534223355x x x x x x ?

?++=?

+=?

=??

由回代公式，求得解1231x x x ===。 5.2解：12341,2,0,1x x x x =-===。 5.3解对增广矩阵按列选主元后做高斯消元

()02010616562232222322|43017430176165602010b --????

? ?

? ?A =→ ? ?---- ? ?--????

656616561113

5110411054333375186

111300

9041111333324111

020100

0611

33--??

--?? ? ? ?-- ?- ?

? ?→→ ?- ?-- ? ?

? ? ? ?????

61656111304

113375

620

09111142978000275

25--??

? ?

?→- ?

?- ??

故4321112,,1,32

x x x x =-===- 5.4 解 27

5.5 答案：1230,1,1x x x ==-= 5.6 略

5.7 解：43210,1,1,2x x x x ===-=

5.8 解：计算得：1234123451234,,,2345

34562,,,,2345

u u u u l l l l l =-=-=-=-

=====

，1111152111(,,,,),(,,,,)2345663236

y x ==

5.9 解：(5,4,3,2)T x =。

5.10 解：先求系数矩阵A 的LU 分解。1112

132122

233132

332111

1321

1221u u u A l u u l l u ??????

?== ? ??? ? ????????

对1k =，由公式计算得1111121213132,1,1u a u a u a ======

31212131111111

,22

a a l l u u =

=== 对2k =可求得32311222222112232321133222533

,,225

a l u u a l u u a l u l u -=-==-===

对3k

=有333331133

u a l u =-=，因此121

1153122

213312

55L U ?

??? ? ? ? ?

? ?== ? ? ? ? ? ? ? ????

由于(4,6,5)T b =，得1233

4,4,5

y y y ===， 1231x x x === 5.11解：略

5.12解：因A

的特征值1λ=±

，故()A ρ1116

5166A -??-

? ?= ? ???

，故()6Cond A ∞=。 5.13

解：2()3Cond A =

=+。

5.14解：当23a ≤时A 对称正定，故a

的取值范围(a ∈，取1a =时

0000

L ??? ?=??? ?

。

习题6解答

6.1解雅可比迭代矩阵

11022022()11011011220220J D L U ----??

????

? ?B =+=--=-- ?

? ? ? ? ?----??

????

3J λλI -B =，()01J ρB =<，故雅可比迭代法收敛。雅可比迭代格式为

(1)()()123(1)()()213(1)()()3

12221

3225

k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=-++?

=--+??=--+?

取初始值(0)(0,0,0)x T =，计算如下表，由(4)(3)8010x x -∞

-=<，故取 *(1,1,1)x T =。

6.2 答案:()J a

ρB =

，故2a >。 6.3解： 1

1100000()1000100000J a a B D L D a a a a a a --?-?-????????

?? ?

? ? ?=+=-+-=--?? ?

? ? ? ? ? ? ???--????????

?? 1<时，Jacobi 迭代法收敛。

23210010000()1

010*******G a a a

B D L U a a a a a a a a a a a ---??

????????

? ???

?=-==-=- ?

? ??

? ? ? ? ??? ?--??

????????

当且仅当221a <时，Gauss Seidel -迭代法收敛。

6.4 证明：该迭代公式的迭代矩阵为12112122

0a a B a a ?

?= ?- ???

谱半径为()B ρ=由于迭代收敛的充要条件为谱半径小于1，故应有1221

1122

1a a r a a =

<。 6.5 解，当0λ≠时，Jacobi 迭代法的迭代矩阵为2

201

1022

0j B λλλ

λλλ

??-

? ? ?

= ? ? ? ???

，其特征方程为 32

1det()022

j k kI B k k k λ

λλ

??- ? ? ?

-=--== ? ? ?-- ???

解得1230k k k ===，则得()0j B ρ=，所以取0λ≠的任意实数Jacobi 迭代法都收敛。 6.6 证明：（参考定理5.4.4的证明）

6.7 解：对A 可证当1

a -<<时正定，实际上2

1det 101a a a ??=->

???

，故1a <，又()2

321det()1231(12)02

A a a a a a =+-=-+>→>- 于是当1

a -<<时A 对称正定，故Gauss Seidel -迭代法收敛。

而对Jacobi 法迭代矩阵为000a a B a a a a --??

=-- ? ?--?? ()()()2

323det 3220I B a a a a λλλλλ-=-+=++=

故B 的特征值为,,2,()21a a a B a ρ++-=< 当1

a -<<时()1B ρ<，故Jacobi 迭代法收敛。 6.8 解：略

6.9 解：①因为5211422310A ??

=- ? ?-??

严格对角占优，故Jacobi 与Gauss Seidel -迭代法均收敛。

②Jacobi 迭代法的迭代公式是 (1)()()

23(1)()()

213(1)()()

121(122)5

1(202)

0,1,41(323)10k k k k k k k k k x x x x x x k x x x +++?=-++??

?=+-=??

?=-+??

取(0)(0,0,0)T x =，迭代到18次有(18)( 3.999996,2.999974,1.99999)T x =-

(17)(18)

40.414510x x -∞

-≤?

GS 法计算公式为(1)()()

23(1)(1)()

213(1)(1)(1)

121(122)5

1(202)

0,1,41(323)10k k k k k k k k k x x x x x x k x x x ++++++?=-++??

?=+-=??

?=-+??

取(0)(0,0,0)T x =，迭代到8次有(8)( 4.000036,2.999985,2.000003)T x =- (7)(8)

40.915610x x -∞

-≤?

6.10解：Jacobi 迭代为()(1)

1112211

()(1)2

2211221()1()k k k k x b a x a x b a x a --?=-????=-??

其迭代矩阵为12112122

0a a B a a ?

?= ?- ???

，谱半径为()B ρ=，而Gauss Seidel -迭代法为()(1)

1112211

()()2

2211221()1()k k k k x b a x a x b a x a -?=-????=-??

其迭代矩阵为1211122111220

0a a G a a a a ?

?= ? ??

?，谱半径为12211122

()a a G a a ρ= 由于()()B G ρρ=，故Jacobi 迭代法与Gauss Seidel -迭代法同时收敛或同时发散。

6.11解：（参考例5.4.2和例5.4.3）

（1）Jacobi 迭代法收敛。Gauss Seidel -迭代法不收敛。（2）Jacobi 迭代法不收敛。Gauss Seidel -迭代法收敛。 6.12解：Jacobi 和Gauss Seidel -迭代法收敛的充要条件是100

ab <

。 6.13 解：迭代矩阵132()12a

a B I aA a a +??=+= ?+??

，(13)

2det()(12)a a

I B a

a λλλ-+--=--+

[][][][]2(13)(12)2(14)(1)0

a a a a a λλλλ=-+-+-=-+-+=，故()max(14,1)1B a a ρ=++<，即141a +<及

11a +<，当1

a -

<<时，()1B ρ<迭代法收敛，反之亦然。当0.4a =-时，{}()0.6max 14,1B a a ρ=≤++因此时()B ρ最小，故收敛最快。

6.14解：略

6.15 解：是，ln ()ln 0.80.223B ρ-=-=

6.16解：110

022,21003

3J G S B B -???

? ? ?

? ?== ? ?-- ? ????

6.17

解：a <。

习题7解答

7.1解：记00112233(,)(1,0),(,)(2,5),(,)(3,6),(,)(4,3),3x y x y x y x y n ==-=-==直接代入公式得3(2)(3)(4)(1)(3)(4)

()0(5)(12)(13)(14)(21)(23)(24)

x x x x x x L x ------=

?+?-+------

32(1)(2)(4)(1)(2)(3)

(6)343(31)(32)(34)(41)(42)(43)

x x x x x x x x ------?-+?=-+------

7.2证明：①对()(0,1,,)k f x x k n ==进行n 次Lagrange 插值，

由于当k n ≤时，(1)()0n f x +=成立，故()0n R x =，于是

()n

k i i

i l x x

x =≡∑

②将()k

i x x -按二项式展开，得：0

()(1)k

k j j k j i i j k x x x x j

--=??-=- ???

∑

代入左端，得：

000()()((1))()n

k j j k j

i i i i i i j k x x l x x x l x j --===??-=- ???∑∑∑ 0000(1)()(1)(1)0k n k k

k j k j j k j k j j k k j i i j i j j k k k x x l x x x x j j j -----====??????

=-=-=-= ? ? ???????

∑∑∑∑ 7.3解：由于012(2)0.5,(2.5)0.4,(4)0.25f y f y f y ======，插值多项式为：

22( 2.5)(4)(2)(4)(2)( 2.5)

()0.50.40.250.050.425 1.15(2 2.5)(24)(2.52)(2.54)(42)(4 2.5)

x x x x x x x x x L ------=?

+?+?=-+------

于是 2()0.325(3)x f L =≈ 因为[]

42,463

,max ()(2)8()x f x f x f x ∈''''''=='''=-

，代入式11()()(1)!n

n n R x x M n ω++≤+得 2213

(3)(3)(3)(32)(3 2.5)(34)0.0312568

R f L =-≤?---=

7.4解 y=4.25

7.5解3

301230()()()()9()23()3()i i i l x f x l x l x l x l x l x ===+++∑32114511442

x x x =-

+-+ 311()18(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4N x x x x x x x =+-+---

---=32311451

1()442

x x x L x -+-+≡ 7.6考察0()l x 的牛顿插值公式

0000010001201001011()()(,)()(,,)()()(,,

)()()

()

n n l x l x l x x x x l x x x x x x x l x x x x x x x x x -=+-+--++--

注意到00()1l x =，而对1,2,i n =有0()0i l x =，计算0()l x 的各阶差商

00()1l x =

010********()()1

(,)()

l x l x l x x x x x x -=

-- 一般地，按差商展开式 00010

()

(,,

)()()

i k n

i i

i j i j i

l x l x x x x x x

x ===≠==

--∑

∏∏ 7.7证明因为

0()1n n

j i i i j i

i j

x x l x x x ==≠-=≡-∑∑∏

令j x j =，取x m = 则有

000(1)(1)(1)()!()1

()(1)1(1)()()!()

!(1)()!n

n i n i i i i j i m j m m m i m i m n m m n l m i j i i i n m n m i i n i -===≠---+----===?

--???-??-----∑∑∑∏于是有

1()()(1)

n i

m n

i i i C C l m m n m i

-====---∑∑ 7.8解注意到1

()n f x x +=关于节点01,,,n x x x 的插值多项式：10

()()n

n i i i p x x l x +==∑

其插值余项为：1

()()n

n n i i

j i j x

x l x x x ++==-=-∑∏，并令0x =即得。

7.9解:457()43(1)(1)(2)(1)(2)(4)660N x x x x x x x =--+------1

(1)(2)(4)(6)180x x x x +----

插值余项为：(5)()

4()()(1)(2)(4)(6)(7)5!

f f x N x x x x x x ξ-=----- (1,7)ξ∈

7.10答案：()33(1)6(1)(2)(1)(2)(3)p x x x x x x x =-+-+--+---

7.11证明：按差商展开式 010

0()

(,,

)0()

j k k

j j

i i i j

f x f x x x x

x ==≠==-∑

∏ 0,1,,k n =

而 010

()

(,,

,)()()

()n

j n n

j j

i j i

i i i j

f x f x f x x x x x

x x x x x ===≠=+

---∑

∏∏00

()

1()

i n i

i x x x x ==-=

≡-∏∏

7.12 证明：原式左端是()k f x x =关于节点(0,1,,)i x i i n ==的n 阶差商01(,,)n f x x x ，利用

差商与导数的关系知： ()01()

(,,

n n f f x x x n ξ=

由于当1k n ≤-时()k f x x =的n 阶导数值恒为0，故命题成立。 7.13证明：按题设，()f x 有表达式 1()()n

i i f x x x ==-∏

故原式左端

()

k k n

j j j j

i i i j

x x f

x x

x ===≠=-∑∑

∏

注意到上式右端等于()k g x x =关于节点(1,2,,)i x i n =的1n -阶差商12(,,),n g x x x 利用差商

与导数的关系得知 (1)120,0,1,,2()(,,

)1,1(1)!n n k n g g x x x k n n ξ-=-?==?=--?

7.14证明这四个求和公式的证明方法类同，均基于下列关系公式：101

n k n k f f f -=?=-∑ 证明时，只要验证：若定义其中某个式子右端n f ，则有0f ，且其左端的第k 项为1k f -?。

对于题①，若令1(1)2n f n n =+，则有00f =，而1111(1)(1)22

k k k f f f k k k k k --?=-=+--= 对于题③，若令1

(1)(2)3

n f n n n =++，则有00f =，而111

(1)(2)(1)(1)(1)33

k f k k k k k k k k -?=++--+=+

7.15解略

7.16解这里有6个节点，故()p x 其插值多项式的次数5≤。 3()1p x x x =-+ 7.17解：3230113()2()3()()313179,(1.5)(1.5) 2.625H x h x h x H x x x x f H =+-=-+-+≈= 7.18解略 7.19解：令b a

h n

，分点(0,1,)i x a ih i n =+=。在每个小区间[]1,i i x x +上造插值基函数 1

11111,,0,,0i i i i i i i i i

i x x x x x i x x x x x x x i n x x ---+++-?<<=?-??-≤<=?-????

除外除外其他， 2h 0

''22

11I ()()()2()()()2!244

i i i k k x x l x f h h R x x x x x ξ=+=≤--≤?=∑ 7.20解：令b a

h n

，分点(0,1,)i x a ih i n =+=。当[]1,k k x x x +∈时， 424

2111

1111()(12

)()(12)()k k k k k k k k k k k k k k k

x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x +++++++----=++++---- 3

2111114()(

)4()(

),0,1,1k k k k k k k k k k

x x x x x x x x x x k n x x x x +++++---+-=---

误差估计 1

(4)2

31()()max

max ()()4!

k k k k a x b

x x x f x R x x x x x ++≤≤≤≤≤--4

22()()2216

h h h ≤= 7.21答案：-2，3 7.22解：略

（1）[][][]3232320.480.180.2,

0,1() 1.04(1) 1.25(1) 1.28(1)0.5,

1,20.68(2) 1.86(2)0.68(2) 2.0,2,3x x x x s x x x x x x x x x ?-+∈?

=--+-+-+∈??---+-+∈? （2）[][][]

3232320.50.150.15,0,1() 1.2(1) 1.35(1) 1.35(1)0.5,

1,21.3(2) 2.25(2)0.45(2) 2.0,2,3x x x x s x x x x x x x x x ?-+∈?

=--+-+-+∈??---+-+∈?

7.23解：本题给出拟合曲线2y a bx =+，即201()1,()x x x ??==。故法方程系数

00004

24011100

2010

(,)()5

(,)5327,(,)7277699(,)271.4,(,)369321.5

i i i i i i i i i x x x y y y x y ?????????===============∑∑∑∑∑

法方程为 55327271.453277277699369321.5a b a b +=?

+=?

解得 0.9726045,0.0500351a b ==

最小二乘拟合曲线为 20.97260450.0500351y x =+ 均方误差为012

22(,)(,)0.0150321,

0.122622

a y

b y δ

??δ

=≥--==

7.24解:根据给定的拟合数据,最小二乘逼近y ax b =+的系数,a b 满足正规方程：

(1,1)(,1)(,1)(1,)(,)(,)x b y x x x a y x ??????= ??? ???????

这里，[][][]11,1,1,1,1,2,1,0,1,2,0,0.2,0.5,0.8,1T T T

x y ==--=-。故有

(1,1)5,(,1)(1,)0,(,)10i i

i i x x x x x x ========∑∑5

(,1) 2.5,(,) 2.6i i i i i y y y x y x ======∑∑

即系数,a b 满足的正规方程为50 2.5010 2.6b a ??????

??? ???????

解之得0.26,0.5a b ==，故所求的最小二乘拟合函数为：0.260.5.y x =+ 7.25 答案：3.04029， 1.24176

习题8解答

8.1解本题直接利用求积公式代数精确度的定义，则可求出求积公式的参数。（1）11121

,,,2636x C =A =B ==.，求积公式具有3次代数精确度。

（2）11084

,33h h -A =A =A =-，求积公式具有3次代数精确度。

(3) 1113

,,322

x h h h =A =B =，求积公式具有2次代数精确度。

8.2 解（1）113

h -A =A =

，043h

A =。公式至少具有3次代数精确度。

（2）求积公式具有2次代数精确度，所求节点为120.2898979,0.5265986x x =-=或120.6898979,0.1265986x x ==-

（3）1

α=

，求积公式具有3次代数精确度 8.3解：略

8.4解：令2()1,,f x x x =,分别代入求积公式。令公式两端相等，则得

01()1,1f x A A =+=，101(),2f x x A B =+=

，211(),3

f x x A == 求得010211,,336A A B ===，则有1'0211

()(0)(1)(0)336

f x dx f f f =++?

再令3()f x x =，此时1

3014x dx =

?，而上式右端1

=，两端不等，则求积公式对3()f x x =不精确成立，故它的代数精度为2次。

为求余项，可将3()f x x =代入求积公式1

''''0211

()(0)(1)(0)(),(0,1)336

f x dx f f f kf εε=

+++∈?，当3'2'''''(),()3,()6,()6f x x f x x f x x f x ====代入上式可得

13011643x dx k ==+?，即11116,431272k k =-=-=-，所以余项()'''

1(),(0,1)72

R f f εε=-∈。 8.5 解：本题的3个求积公式都只有1个求积节点，且求积系数与节点都已知，对只有1个求积点的情形可将被积函数()f x 在所给节点处做Taylor 展开，然后积分即得。 ①左矩形公式。将()f x 在a 处展开，得

'''2()()()()()()()()1

()()()(),(,)

b b b

f x dx f a dx f x a dx b a f a f x a dx

b a f a f b a a b εηηη=+-=-+-=-+-∈?

???

上式第二个积分，由于x a -在[],a b 上不变号，由积分中值定理有

''()()()()b

f x a dx f x a dx εη-=-?

②右矩形公式。将()f x 在b 处展开，并积分则得

21()()()()(),(,)2

f x dx b a f b f b a a b ηη=--

-∈?

③中矩形公式。将()f x 在

a b

+处展开，并积分则得 '''2

1()(

)()()()()22222

b b a

a a a

b a b a b a b f x dx f dx f x dx f x dx ε++++=+-+-?

???

''21()()()()222b a a b a b b a f f x dx η++=-+-?''

31()()()(),(,)224

a b b a f f b a a b ηη+=-+-∈

8.6解：略 8.7解：略 8.8解：略

8.9 ①解:(4)13243,23,7()720A A A R f η===-=

②解: 25(4)01012,12,()720A A h B B h R h f η===-==

③解: 5(4)0213,43,()90A A h A h R h f η====-

④解

: (4)00122123,0.6,4''()5;13,37()567A x R f A A x x R f ηη======-==- ⑤(4)001,21,252801

280

23,0.6,4''()175;,,128()4365993A x R f x A R f ηη====== 8.10解: 0112

A A ==

。 8.11解:这里关于拉格朗日基函数01(),()l x l x 直接求积知3

01003()()2

l x dx l x dx ==??

因此,所给求积公式是插值型的。含有2个节点的求积公式至少有1阶精度.再考虑2(),f x x = 原式左边=9,而右边=3

(14)2

+,左右两边不相等.因此,所给求积公式仅有1阶精度.

8.12解略

8.13解：[]2'

'0()(0)()(0)()212

h h f x dx f f h f f h ??≈++-???，求积公式具有3阶精度。 8.14解：2

''()

()7()16()7()()()30260b

a b a a b b a f x dx f a f f

b f a f b

-+-????≈+++-??????

，有5阶精度。 8.15解：1

12()((0)

f x dx f

f f -??

≈++???

?，公式有3阶精度。 8.16证明: 这个求积公式含有3个节点01222,2x x x ===

为要使它具有5阶精度,

它必须是高斯公式，其三个求积系数585

,,999

是高斯公式的求积系数,

只要引进变换2x t =+立即得知,它的3个节点 0122,2t t t ===确实是高斯点。 8.17解:做变换2x t =+使原式变为1

1(2

)()(0)()2

2222

A a

C a f t dt f f f -≈-++? 它与三点高斯公式1

1585()(

(0)999f x dx f f f -≈

++? 比较知 1016,,99A C B a ==

==8.18 解略

8.19 解:3次。 8.20 解: 作变换1

,3.1410682

t x +=

8.21 解:因为3()f x x =,由中心差商公式[]'001

()()()2f x f x h f x h h

≈+-- 取00.1,2,h x ==则有[]'1

(2)(2.1)(1.9)12.0120.1

f f f ≈

-=? 取00.01,2,h x ==则有[]'1

(2)(2.01)(1.99)12.000120.01

f f f ≈-=? 8.22 解三点求导公式

数值积分法，令()()g x f x '=，由 11()()()k k

x k k x f x f x g x dx ++=+?

，并对积分采用梯形公式得

1111()()()[()()]()212k k k k k k k k k x x x x f x f x g x g x g η++++--=++-Φ， 1(,)k k k x x η+∈

令0,1k =，得：011012212

()()[()()],

()()[()()]g x g x f x f x g x g x f x f x h

+≈-+≈-

同样对1

11()()()k k x k k x f x f x g x dx +-+-=+?

有

11111111()()()[()()]()212k k k k k k k k k x x x x f x f x g x g x g η+-+-+-+---''=++- , 11(,)k k k x x η-+∈

从而有 02201

()()[()()]g x g x f x f x

+≈-，代入数值，解方程即得(),0,1,2,k g x k =如表

8.23答案：（1）5；9（2）23

,34

（3）75（4）0.3178372

8.24 解: ,21n n + 8.25 解：2,1216

习题9 解答

9.1 解：本题可直接用给出的公式计算，由于00(,)1,0.1,0,1f x y y x h x y =-++===， Euler 法的计算公式为1(1)n n n n y y h y x +=+-++(1)0.90.10.1n n n n h y hx h y x =-++=++

0n =时，1000.90.10.1 1.000000y y x =++=。其余1,2,3,4n =的计算结果见表。对隐式Euler 法，计算公式为111(1)n n n n y y h y x +++=+-++解出 1111()(0.10.11)1 1.1

n n n n n y y hx h y x h ++=

++=+++ 当0n =时，1001

(0.10.11) 1.0090911.1

y y x =

++=，其余1,2,3,4n =的计算结果见表。对梯形法，计算公式为[]111(1)(1)2

n n n n n n h

y y y x y x +++=+-+++-++ 解得[]11

(2)()22n n n n y h y h x x h h h

-+++++ 1(1.90.20.21)2.1n n y x =++

当0n =时，11

(1.90.21) 1.0047622.1

y =

+=，其余1,2,3,4n =的计算结果见表。本题的精确解为()x y x x e -=+，表列出了三种方法及精确解的计算结果。

9.2解：将改进Euler 法用于上题的计算公式

[]11(1)((1)1)2

n n n n n n n n h

y y y x y h y x x ++=+

-+++---++++

(2)(1)(2)1()2222n n n h h h h h h h y x x h ---??

=-++++??0.9050.0950.1n n y x =++

9.3 解：用四阶R K -方法公式，00(,)1,0,1,0.1f x y y x x y h =-++===，于是当0n =，时

1000020010022

3002002323

400300(,)10

1111

(,)(1)(1)10.05

2222

1111(,)(1)(1)10.0475

222424

(,)(1)(1)10.09525

2424

k f x y y x k f x h y hk h y h x h h k f x h y hk h y h x h h h h k f x h y hk h y h x ==-++==++=-++-+==++=-+-+-++==++=-+-++-+-+= 于是1012340.1

(22)10.29025 1.0048375066h y y k k k k =++++=+?=，按公式可算出

23451.01873090, 1.04081842, 1.07032029, 1.10653094y y y y ====，

此方法误差：755() 2.810y y x --=?，改进Euler 法误差：455() 5.510y y x --=? 梯形法误差：455() 2.510y y x --=?，可见四阶R K -方法的精度比二阶方法高得多。

9.4 解：略 9.5 解略 9.6 解略

9.7 解:(1) 00.002;h <≤ (2) 对h 无限制.

(3) 可设()g x ax b =+,将其代入迭代公式中,有[]{}11000n n n n y y h y ax b a +=+---+ 将初值0(0)(0)y y g b ===代入上式,可得

[]{}[]{}1000100010000y y h y ax b a b h b a b a ah ba =+---+=+--?-+=+ []{}[]{}211110001000(2)y y h y ax b a ah b h ah b ah b a a h b =+---+=++-+--+=+

同理可得33(3)(),,()()n n y a h b y x y a nh b y x =+==+=

这说明,无论步长h 取什么值, 显示Euler 法总能得到该问题的真解.因此,步长选择无限制. 9.8 解：略

9.9 解：根据方法绝对稳定的定义，将模型方程用改进Euler 法求解，则得 []21

()()122n n n n n n h h y y y y hy h y λλλλλ+??

=+++=++????

当2()112h h λλ++≤时，1n n y y +≤，方法绝对稳定，条件2

()112h h λλ++≤等价于2()1112h h λλ-≤++≤，即2(1)02h h λλ-≤+≤。当2

()112

h h λλ++=时，得(1)02h h λλ+=，即

0h λ=及2h λ=-，

将间分为[](,2),2,0,(0,)-∞--+∞，仅当[]2,0h λ∈-时，2(1)02

h h λ

λ-≤+≤，故20h λ-≤≤即为绝对稳定区间。

9.10 证明：本题证明只要根据局部截断误差定义计算并利用Taylor 展开即可。由定义得 []'''11()()()4()()3()24

n n n n n n n h

T y x h y x y x h y x h y x y x h +??=+-

+--+-+-?? 将右端直接在n x 处Taylor 展开，得 23'''''41

()'()()()()()23!2

n n n n n n h h T y x hy x y x y x O h y x +=++++--

23'''''4''2

'''3'''''''

31()'()()()()[4('()()223!4()())()3(()()()())]22

n n n n n n n n n n n h h h y x hy x y x y x O h y x hy x h h y x O h y x y x hy x y x O h ??-+-+-++??

??+-+-++

2''3'''4111131113

(1)()(1)()()()()2224461228

n n n y x h y x h y x O h =--+--+++--+

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

计算方法——第二章——课后习题答案刘师少

2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。（2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于

计算方法引论课后答案.

第一章误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --

数值计算方法三套试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l )(( )，∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时= ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?=1 04)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时， SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ????????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，