正方形，则操作终止．当n =3时， a 的值为_____________．
三、解答题：本大题共7小题，共
64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17． (本题满分6分)
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
得 分
评 卷
第一次操作 第二次操作
A
3(2)412 1.3-x x x
x -≤-??
+?>-??，
18． (本题满分8分)
2011年5月9日至14日，德州市共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A 、B 、C 、D 表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：
(1) m ＝ ，n ＝ ，x ＝ ，y ＝ ；
(2)在扇形图中，C 等级所对应的圆心角是 度；
(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到
优秀和良好的共有多少人
得 分
评 卷
19．(本题满分8分)
如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ．
（1）求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．
20． (本题满分10分)
某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD
得 分
评 卷
得 分
评 卷
A
B
C
E
D
O
一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．
21． (本题满分10分)
为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．
得 分 评 卷
（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天
（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．
22． (本题满分10分)
●观察计算
当5a =，3b =时， 2a b
+
_________________． 当4a =，4b =时， 2a b
+
_________________．
●探究证明
如图所示，ABC ?为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．
（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ； （2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系 （用含a ，b 的式子表示）．
得 分
评 卷
A
A B
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2
a b
+与ab 的大小关系是：_________________________． ●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
23． (本题满分12分)
在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(3
2x x
y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．
②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的2
1
．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
得 分 评 卷
A
P 23
y x
=
x
y
K O
德州市二○一一年初中学业考试
数学试题参考解答及评分意见
评卷说明：
1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．
2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种或两种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．
3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分． 一、选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
二、填空题：(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
9．（－1，－2）； 10．3；11．2π；12．
2；13．① ④；14．3； 15．12 ; 16．35或34
． 三、解答题：(本大题共7小题, 共64分) 17．(本小题满分7分)
解：3(2)41
2 1.3
-x x x x -≤-??
+?>-??，
解不等式①，得 x ≥1 ----------2分
解不等式②，得 x ＜4． 所以，不等式组的解集为：
1≤x ＜4 ---------------------------4分
在数轴上表示为：
--------------------------6分
18．(本题满分8分)
解：（1）20， 8， ， -----------------------------4分 （2） ----------------------------6分 （3）由上表可知达到优秀和良好的共有19+20=39人，
①
②
39
500=39050
?
人． -----------------------------8分 19．(本题满分8分) 新课标第一网
（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分
(2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，
∴ △ADO ≌△AEO ． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO ．
即OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7分 又∵AB =AC ，
∴ OA ⊥BC ． ………………………………………8分 20．(本题满分10分)
解：设建筑物CD 与EF 的延长线交于点G ，DG =x 米． …………1分 在Rt △DGF 中,tan DG GF α=
，即tan x
GF α=． …………2分 在Rt △DGE 中，tan DG GE β=
，即tan x
GE
β=． …………3分 ∴tan x
GF α
=
，tan x GE β=．
∴tan x EF β=
tan x
α
-
． ………5分 ∴4 1.2 1.6
x x =-． ………6分 解方程得：x =． ………8分
A
C
D
B E F β α G A
B
E
D O
∴ 19.2 1.220.4CD DG GC =+=+=． 答：建筑物高为20.4米． ………10分 21．（本题满分10分）新课标第一网
解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x +25）天．………………………………1分 根据题意得：
3030125
x x +=+． ………………………………3分 方程两边同乘以x （x +25），得 30（x +25）+30x = x （x +25）， 即 x 2-35x -750=0．
解之，得x 1=50，x 2=－15． ………………………………5分 经检验，x 1=50，x 2=－15都是原方程的解．
但x 2=－15不符合题意，应舍去． ………………………………6分 ∴ 当x =50时，x +25=75．
答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天． ……………………7分
（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 方案一：
由甲工程队单独完成．………………………………8分
所需费用为：2500×50=125000（元）．………………………………10分 方案二：
甲乙两队合作完成．
所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．……………………10分 其它方案略．
22．（本题满分10分）
●观察计算:
2a b +>ab ， 2
a b
+=ab . …………………2分 ●探究证明： （1）2AB AD BD OC =+=， ∴2
a b
OC +=
…………………3分 AB 为⊙O 直径, ∴90ACB ∠=?.
90A ACD ∠+∠=?，90ACD BCD ∠+∠=?， ∴∠A =∠BCD .
∴△ACD ∽△CBD . …………………4分 ∴
AD CD
CD BD
=
. 即2CD AD BD ab =?=,
∴CD ab =. …………………5分 （2）当a b =时,OC CD =,
2
a b
+=ab ； a b ≠时,OC CD >, 2
a b
+>ab ．…………………6分 ●结论归纳: 2
a b
+≥ab ． ………………7分
●实践应用
设长方形一边长为x 米,则另一边长为
1
x
米,设镜框周长为l 米，则 1
2()l x x
=+ ≥144x x ?= ． ……………9分
当1
x x
=
,即1x =（米）时,镜框周长最小． 此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. ………………10分
23．（本题满分12分）
解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切， ∴ PA ⊥OA ，PK ⊥OK ．
A
P 23
y x
=
y
B
C
O D
∴∠PAO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，
∴ ∠PAO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKPA 是矩形． 又∵OA =OK ，
∴四边形OKPA 是正方形．……………………2分 （2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x
3
2． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =PA =PB =PC ． ∴△PBC 为等边三角形．
在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =PA =， PG =
x
3
2． sin ∠PBG =PB
PG
，即2332x x =． 解之得：x =±2（负值舍去）．
∴ PG =3，PA =B C=2．……………………4分 易知四边形OGPA 是矩形，PA =OG =2，BG =CG =1， ∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3．
∴ A （0，3），B （1，0） C （3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．
O
A
P 23y x =
x
y
B
C
图2
G
M
据题意得：0930a b c a b c c ?++=?
++=??
=?
解之得：a
b
=， c
=．
∴二次函数关系式为：2y x x =
-+……………………9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：
2u v u v +=???+=??
解之得：u
v
=-
∴直线BP
的解析式为：y =-．
过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM
的解析式为：y =+
解方程组：233y y x x ?=+?
?=-??
得：110x y =???=??；
227
x y =???=??
过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM
的解析式为：y t =+． ∴
0=t ．
∴t =-
∴直线CM
的解析式为：y =-．
解方程组：233y y x x ?=-?
?=-??得：1130x y =??=? ；
224
x y =???=??．
综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，
分别为：（0
3，0），（4
7
，…………………12分
解法二：∵12
PAB PBC PABC
S S S ??==
，
∴A （0C （3，0）显然满足条件．
延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =PA ． 又∵AM ∥BC ， ∴12
PBM PBA PABC
S S S ??==
．
∴点M
又点M 的横坐标为AM =PA +PM =2+2=4．
∴点M （4
点（7， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，
分别为：（03，0），（47，…………………12分 解法三：延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =PA ． 又∵AM ∥BC ， ∴12
PBM PBA PABC
S S S ??==
．
∴点M
即
233
x x -=． 解得：10x =（舍），24x =．
∴点M 的坐标为（4
点（7， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，
分别为：（03，0），（47，…………………12分
