河北省承德市2021届新高考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥?∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③
C ．②③
D ．①②
【答案】C 【解析】 【分析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
2．若x 、y 满足约束条件220
100x y x y y --≤??
-+≥??≤?
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．9
C ．6
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】
作出满足约束条件220100x y x y y --≤??
-+≥??≤?
的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由32z x y =+，得322z y x =-
+，平移直线322z y x =-+，当直线322
z
y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =?+?=. 故选：C. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
3．若双曲线22214x y b -=的离心率7
2
e =
，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．3B ．2
C 3
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】
双曲线22214x y b -=的离心率7
2
e =
， 则2a =，7
2
c e a =
=
，解得7c =()
7,0， 所以22743b c a =-=
-=
则双曲线渐近线方程为3
2
y x =±
320x y ±=， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得37334
d ?=
=+
故选：C. 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.
4．已知函数22log ,0
()22,0x x f x x x x ?>=?++≤?
，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集
合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
2
k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，
，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件
的定义即可判断． 【详解】
作出函数()22log x ,0
f x x 22,0x x x ?>=?++≤?
的图象如图，
由图可知，]
D (2,4=，
函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，
也就是y kx =与()y f x =在
2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为1
2
； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为
01
x ln2
， 则切线方程为()2001
y log x x x x ln2
-=
-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2
， ∴k 的取值范围是11,2eln2??
???
， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
k 2
>”的充分不必要条件， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
5．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．3
()3x f x x
=-
B ．e e ()x x
f x x --= C ．2()f x x x =-
D ．||
e ()x
f x x
=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x x
f x x
--=为偶函数，不符合题意，排除B ；
其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||
e ()x
f x x
=在()0,∞+上无零点, 不符合
题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2
()f x x x
=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 7．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6 B ．6
C ．-6
D ．
132
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ?=，
所以9315366a a a =±?==±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B.
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
8．()cos sin x
e f x x
=在原点附近的部分图象大概是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
令sin 0x ≠，可得{}
,x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，
()()()()cos cos sin sin x x
e e
f x f x x x
--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；
当0πx <<时，cos 0x
e >，sin 0x >，则()cos 0sin x
e f x x
=
>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π
【解析】 【分析】
取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CE
CA E A E
∠=，即可得出结果. 【详解】
解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，
由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ?底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，
而EC ?平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=?，
∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33
CE CA E A E ∠=
== ∴13
πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
10．设1i
2i 1i
z -=++，则||z =
A ．0
B ．
12
C ．1 D
【答案】C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.
详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员?面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态?紧跟时代脉搏的热门APP ?该款软件主要设有“阅读文章”?“视听学习”两个学习模块和“每日答题”?“每周答题”?“专项答题”?“挑战答题”四个答题模块?某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ） A ．60 B ．192 C ．240 D ．432
【答案】C 【解析】 【分析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类． 【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不
同的方法数为31232
42243240A C A A A +=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．
12．已知函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t
+>++有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．(,2ln 2)-∞-
B ．(],2ln 2-∞-
C ．(,112ln 2)-∞-+
D ．(],112ln 2-∞-+
【答案】C 【解析】 【分析】
先求导得221
()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程
2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据?，12x x +，12x x ?，求出a 的取值范围，而
()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数
51()1ln(2)048h a a a a ?
?=-
--<< ??
?，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】
由题可得：221
()ax x f x x
-+='（0x >），
因为函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，
于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ?
??=->?
?+=>??
?=>??
解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+????
因为()()()12122f x f x x x +-+()2
2
11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+
()()()21212121223ln a x x x x x x x x ??=+--++??5
1ln(2)4a a
=---.
设51()1ln(2)048h a a a a ?
?=-
--<< ??
?， 2
54()04a h a a -'=
>，故()h a 在10,8??
???
上单调递增，
故1()112ln 28h a h ??
<=-+ ???
， 所以112ln 2t <-+，
所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5
2()x x
-的展开式中含3x 的系数为__________．（用数字填写答案） 【答案】10 【解析】
由题意得，二项式展开式的通项为5521552
()(2)r r
r r r r r T C x
C x x
--+=-=-， 令1r =，则1133
25(2)10T C x x =-=-，所以3x 得系数为10-．
14．已知曲线22
2
2:1(0)2x y Q x a a
-=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=．则a =_______．
【答案】± 【解析】 【分析】
设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ?B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，代
入曲线方程，两式作差可得
12121212114
1222
y y x x x x y y -+==?=-+，从而可得直线的斜率，联立直线AB 与Q 的方程，由||2AB =，利用弦长公式即可求解. 【详解】
因为AB 是圆的直径，必过圆心(2,1)点， 设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-
设A ?B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，