静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．文：1．计算：=++∞→7
12lim
22
n n n . 理：已知集合{}
0,2>==x x y y M ，{}
)2lg(2x x y x N -==，则=N M . 2．文：同理1
理：设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 3．文：已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为4，则该数列的前n 项和=n S ________． 理：不等式01
27
1<--
x 的解集是 . 4．文：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果.（用数值作答）
理：如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6
π
，则该四棱锥的体积是 .
5．文：不等式
01
24
<--x x 的解集是 . 理：已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和
=n S .
6．文：同理2
理：已知两个向量a ，b 的夹角为30
3=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若
c b ?=0，则t = .
7．文：已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为3
2π
的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
理：已知11)(+-=x x x f ，4
5
)2(=
x f (其中)0>x ，则=x . 8．文：已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线)0(2≤-=x x y 上，则=α2sin .
理：已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小
A B
C
D
P
是 .（结果用反三角函数值表示） 9．文：同理6
理：若α、β是一元二次方程0322=++x x 的两根，则
β
α
1
1
+
= .
10．文：已知两条直线的方程分别为01:1=+-y x l 和022:2=+-y x l ，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）
理：已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2
,2(π
πβ-
∈，则βα+= .
11．文：同理10
理：直线l 经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 . 12．文：同理11
理：已知实数x 、y 满足1+≥y x ，则
x
y 2
-的取值范围是 . 13．文：同理12 理：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围是 . 14．文：同理13 理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分. 两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在下列幂函数中，是偶函数且在),0(+∞上是增函数的是 ( ) A ．2
-=x y ； B ．2
1-
=x
y ； C ．3
1x y =
； D ．3
2x y =
16．已知直线06)2(3:1=++-y k x l 与直线
02)32(:2=+-+y k kx l ，记3
2)
2(3-+-=
k k k D .0=D 是
两条直线1l 与直线2l 平行的( )
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件 ；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件
17．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z
i
+的点是 ( ) A ．M B ．N C ．P D ．Q
18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( )
x
A ．1个；
B ．4个；
C ．7个；
D ．8个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在锐角ABC ?中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足b
a A 23
sin =. （1）求∠B 的大小；
（2）若b =
ABC ?的面积ABC S ?=
，求a c +的值.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. 某地的出租车价格规定:起步费a 元，可行3公里，3公里以后按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算（这里a 、b 、c 规定为正的常数，且b c >），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）若取14=a ，4.2=b ，6.3=c ，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费y （元）与行车里程x (公里)之间的函数关系式)(x f y =.
21．文：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .
（1）求异面直线PN 与11C A 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥BMN P -的体积.
理：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线
1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .
（1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；
（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
A B C
D A 1
B 1
C 1
D 1
P
M N
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
M
N
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数)1(log )(2x x x f a ++=（其中1>a ）. （1）判断函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）文：求函数)(x f y =的反函数)(1
x f y -=；
理：判断
n
m n f m f ++)
()(（其中R n m ∈,且0≠+n m ）的正负号，并说明理由；
（3）若两个函数)(x F 与)(x G 在闭区间],[q p 上恒满足2)()(>-x G x F ，则称函数)(x F 与
)(x G 在闭区间],[q p 上是分离的.
试判断)(x f y =的反函数)(1
x f
y -=与x a x g =)(在闭区间]2,1[上是否分离？若分离，求出
实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由.
23．(本题满分16分) 文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分. 在数列{}n a 中，已知12=a ，前n 项和为n S ，且2
)
(1a a n S n n -=.（其中*N n ∈） （1）文：求1a ；
理：求数列{}n a 的通项公式； （2）文：求数列{}n a 的通项公式； 理：求2
lim
n S n n +∞
→；
（3）设n
n n a b 31
lg +=
，问是否存在正整数p 、q （其中q p <<1），使得1b ，p b ，q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(q p ；否则，说明理由.
静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷
参考答案
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．理：)2,0(；文：12
1
； 2. 理：25628=；文：)2,0( 3. 理：)4,21(；文：n n +22； 4. 理：2
1
；文：45
5. 理：)2
12(4n n
-；文：)4,21(； 6. 理：-2，文： 25628=
7. 理：221log 2+=x ；文：π3； 8. 5
5arccos ；文：54
-
9. 理：31-；文：-2； 10. 32π-；文：10103arccos （或3
1
arctan ）
11. 理：03213=++-y x 或03213=-+--y x ； 文：3
1
-
12．理：]2,2[-； 文：
03213=++-y x 或03213=-+--y x
13. 理：12S <<；文：]2,2[-； 14. 理：2
28+=+n C nk ．7或者14；文：12S <<
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ； 16．B ； 17． D ；18．C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）根据正弦定理
B
b A a sin sin =
，得b B b a A sin 23sin ==，所以23
sin =B ，………（4分） 又由角B 为锐角，得3
π
=B ；…………………………（6分）
（2）B ac S ABC sin 2
1
=
?，又ABC S ?=3=ac ，…………………………（8分） 根据余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得
1037cos 2222=+=+=+B ac b c a ，…………………………（12分）
所以ac c a c a 2)(222++=+=16，从而a c +=4．…………………………（14分）
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分. （1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）
（2）
, )10( 107c )013( 3b )30( ,??
?
??>-++≤<-+≤<=x c b a x x b a x x a y 文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. （1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ， 又BD MN ⊥，所以2
222==
=MD ND MN ………………（ 2分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）
在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。 即异面直线PN 与11C A 所成角的大小为2arctan 。………………………（ 8分） （2）2
2
22-
=BN ，………………………（9分） BN MN PM V BMN P ????=-2
1
31，………………………（ 12分）
计算得三棱锥BMN P -的体积为
4
1
。………………………（ 14分） 理21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）在△APM 中，552x PM =
，5
5x
AM =； ………………………（ 2分） 其中520< 52(22x MN -= ， …………………………（ 4分） 在△PMN 中，25 52109PN 2+-=x x ，)52,0(∈x ……………………………（ 6分） （2）当952= x )52,0(∈时，PN 最小，此时3 4 =PN ．……………………………（8分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，…………………（ 11分） ………………（ 6分） ………………（ 10分） ………………（1 4分） 在△PMN 中，∠PMN 为直角，42tan =∠PNM ，所以42arctan =∠PNM ， 异面直线PN 与11C A 所成角的大小42arctan （或3 1 arcsin 等）……………（ 14分） 22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分. （1）因为 012≥+>++x x x x ，所以函数)(x f y =的定义域为实数集 R ；…………………………（ 1分） 又0)1(log )1(log )1(log )()(2222=-+=-++++=-+x x x x x x x f x f a a a ， 所以函数)(x f y =是奇函数．…………………………（4分） （2）因为1>a ，所以)1(log )(2x x x f a ++=在),0[+∞上递增，以下给出证明：任取 2 10x x <≤， 设 1 2 111x x u ++=， 2 2 221x x u ++=，则 )(1 1212 22 122 2 121x x x x x x u u -++++-= - =0)11 1)( (2 22 12 121<+++++-x x x x x x ，所以2 10u u <<，即102 1 << u u ，0log )()(2 1 21<=-u u x f x f a ．……………………（ 6分） 又)1(log )(2x x x f a ++=为奇函数，所以)()(n f n f -=-且)1(log )(2x x x f a ++=在 ),(+∞-∞上递增． 所以)(n m n m --=+与)()()()(n f m f n f m f --=+同号，0) ()(>++n m n f m f ． 所以，当1>a 时， 0) ()(>++n m n f m f ．……（ 8分） （3）x x a a x f 21 21)(1-=-，R x ∈ …………………………（ 10分） 22121>--x x x a a a 在区间]2,1[上恒成立，即21 21>+x x a a ， 或41 >+ x x a a 在区间]2,1[上恒成立，…………………………（ 12分） 令t a x = 因为1>a ，],[2a a t a x ∈=，t t 1+ 在],[2a a t ∈递增，所以41 )1(m i n >+=+a a t t ，解得32+>a ； 所以，),32(+∞+∈a ．…………………………（ 16分） 文：(1)同理22（1）； （2）由012>++x x 且当-∞→x 时012→++x x ，当+∞→x 时+∞→++x x 12得 )1(log )(2x x x f a ++=的值域为实数集。 解)1(log 2x x y a ++=得x x a a x f 2121)(1 -= -，R x ∈……（ 8分） （3） 22121>--x x x a a a 在区间]2,1[上恒成立，即21 21>+x x a a ， 或41 >+ x x a a 在区间]2,1[上恒成立，…………………………（ 11分） 令t a x = 因为1>a ，],[2a a t a x ∈=，t t 1+ 在],[2a a t ∈递增，所以41 )1(m i n >+=+a a t t ，解得32+>a ；所以，),32(+∞+∈a ．…………………………（ 16分） 23．文(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3 小题满分7分. （1）因为2)(1a a n S n n -= ，令1=n ，得02 ) (111=-=a a a ，所以01=a ；………（ 3分） 或者令2=n ，得2 ) (21221a a a a -=+，所以01=a （2）当2≥n 时， 2 )1(2))(1(1 111++++= -+=n n n a n a a n S 2 2)1(111n n n n n na a n S S a - += -=+++，11-=+n n a a n n ，推得1331-=+n a a n ，…………（7分） 又12=a ，3223==a a ，所以n a n =+1当2,1=n 时也成立，所以1-=n a n ，（*N n ∈）………………………（ 9分） 理23．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分. （1）因为2)(1a a n S n n -= ，令2=n ，得2 ) (21221a a a a -=+，所以01=a ；（ 2分） （或者令1=n ，得02 ) (111=-=a a a ） 当2≥n 时， 2 )1(2))(1(1 111++++= -+=n n n a n a a n S 2 2)1(111n n n n n na a n S S a - += -=+++，11-=+n n a a n n ，推得1331-=+n a a n ，…………（5分） 又12=a ，3223==a a ，所以n a n =+1当2,1=n 时也成立，所以1-=n a n ，（*N n ∈）（ 6分） （2）2 lim n S n n +∞ →= 2 1 ………………………（ 9分） （3）文理相同：假设存在正整数p 、q ，使得1b ，p b 、q b 成等比数列，则1lg b ，p b lg 、q b lg 成等差数列，故 q p q p 3313 2+=，（**）………………………（ 11分） 由于右边大于3 1 ，则3132>p p ，即613>p p ． 考查数列??????p p 3的单调性，因为032133111<-=-+++p p p p p p ，所以数列? ?? ???p p 3为单调递减数 列．………………………（ 14分） 当2=p 时，61923>=p p ，代入（**）式得91 3 =q q ，解得3=q ；当3≥p 时，913≤p p （舍）． 综上得：满足条件的正整数组),(q p 为)3,2(．………………………（ 16分） （说明：从不定方程q p q p 3313 2+=以具体值代入求解也参照上面步骤给分）
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