0319动点产生的等腰三角形问题
1．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．
（1）你能求出点A的坐标吗？
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．
4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=BC=10，AD=16．动点P、Q
分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）直接用含t的代数式表示：PA=；
（2）当t=秒时，PQ∥AB；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
8．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC
上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
10．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，
它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
11．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．
（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
12．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
13．如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x 轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
2017年03月19日马赛的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．（2010?济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．
【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；
②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
故选：C．
【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．
二．解答题（共12小题）
2．（2016秋?黄州区校级月考）如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．
（1）你能求出点A的坐标吗？
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用解方程组可得到A点坐标；
（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P 的坐标．
【解答】解：（1）解方程组得或，
所以A点坐标为（2，4）；
（2）①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1，
当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，
而A（2，4），
所以P点坐标为（4，0）．
②当OA=OP时，∵A（2，4），
∴OA==2，
则P（±2，0）；
③当AP=OP时，如图2，过点P作PQ⊥AO于点Q．
设P（t，0）．
则Q（1，2）．
故OA?PQ=OP×4，即×2×=t×4，
解得t=5，
即（5，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（5，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解是解题关键．
3．（2010秋?本溪月考）如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）根据双曲线y=过点A（1，2），利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据△AOB的面积为3，可得B点坐标，根据直线过A、B两点，利用待定系数法，可得直线解析式；
（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论，AB=AP，AB=BP，AP=BP，可得答案．
【解答】解：（1）∵双曲线y=过点A（1，2），
∴2=，k=2，
双曲线的解析式是y=，
∵△AOB的面积为3，底是OB的长，高是A点的纵坐标，
×2×OB=3，
∴B点坐标是（3，0），
∵直线y=ax+b过点A、B，
∴2=a+b ①，0=3a+b②，
②﹣①得
a=﹣1，b=3，
∴一次函数的解析式是y=﹣x+3；
（2）设P点坐标为（x，0），AB=，
当AP=PB时，，
x=3（不合题意，舍）或x=﹣1，
P点坐标（﹣1，0），
当AB=BP时，PB=2，
∴P点坐标为（3﹣2，0）或（3+2，0），
当AP=BP时，，
x=，
P点坐标是（，0）．
故P（﹣1，0），（3﹣2，0），（3+2，0），（，0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，（1）利用待定系数法求解是解题关键；（2）分类讨论是解题关键．
4．（2015秋?道外区期末）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A、B点坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）如图：
设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y=﹣x+3，
C在直线AB上，C（m，﹣m+3），D（m，﹣m2+m+3）．
CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m，
即d=﹣m2+2m；
（3）AC2=m2+（m）2，CD2=（﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m）2，①当AC=AD时，m2+（m）2=m2+（﹣m2+m）2，化简，得
（﹣m2+2m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=4（不符合题意，舍），m=1；
②当AC=CD时，m2+（m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得
（﹣m2+m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意，舍），m=；
③当AD=CD时，m2+（﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，
化简，得
﹣m2（m﹣）=0，解得m=．
综上所述：m的值为1、或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP ∽△BCD，利用对应边成比例即可求得t的值．
②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=，解得t．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD 其对应边成比例即可求得t．
（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，．由①，知当BP=PQ时，．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成
【解答】解：
（1）若△BPQ是等腰三角形．
①如图，当PB=PQ时，自点P向BC引垂线，
垂足为M，则有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得，
∴．
∴，解得．
方法二：
在Rt△BMP中，
．
∴，解得．
②当BQ=BP时，有t=5﹣t，解得．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．由Rt△BNQ∽Rt△BCD，得．
∴，解得．
（2）不能．
若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．
由（2）②，知当BQ=BP时，．
由（2）①，知当BP=PQ时，．
∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，
∴△PBQ不可能为等边三角形．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，是一道难题．
6．（2013春?邢台期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=BC=10，AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）直接用含t的代数式表示：PA=16﹣2t；
（2）当t=秒时，PQ∥AB；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据已知求出即可；
（2）根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP，求出即可；
（3）求出CD和PN，分为三种情况：①PE=AP，②AE=AP，③PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵AD=16，DP=t，
∴AP=16﹣2t，
故答案为：16﹣2t．
（2）当BQ=AP，
∵BC∥AD，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴此时PQ∥AB，
即t=16﹣2t，
t=，
故答案为：．
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，理由是：
过B作BM⊥AD于M，
∴∠BMA=90°，
∵∠C=90°，
∴∠D=∠BMA，
∴CD∥BM，
∴四边形CDMB是矩形，
∴CD=BM，BC=DM=10，
∴AM=16﹣10﹣6，
在Rt△BMA中，AB=10，由勾股定理得：BM=8，
分为三种情况：①当PE=AP=16﹣2t时，
如图1，过P作PN⊥BC于N，
则四边形CDPN是矩形，
∴PN=CD=8，CN=DP=2t，
∵PE=AP，
∴∠A=∠E，
∵BC∥AD，
∴∠EBQ=∠A，
∴∠E=∠EBQ，
∴EQ=BQ=t，
在Rt△PNQ中，由勾股定理得：82+（10﹣2t﹣t）2=（16﹣2t﹣t）2，
t=；
②如图1，当AE=AP时，
∵AE=AP，
∴∠E=∠EPA，
∵BC∥AD，
∴∠EPA=∠CQP，
∵∠EQB=∠CQP，
∴∠E=∠EQB，
∴EB=QB=t，
∵AE=AP，BC=10，
∴10+t=16﹣2t，
t=2；
③如图1，当PE=AE时，∵BC∥AD，
∴∠EQB=∠EPA，∠EBQ=∠A，
∵AE=PE，
∴∠A=∠EPA，
∴∠EQB=∠EBQ，
∴QE=BE，
∵AE=PE，
∴BC=PQ=10，
在Rt△PNQ中，NQ=10﹣2t﹣t=10﹣3t，pn=8，PQ=BC=10
由勾股定理得：82+（10﹣3t）2=102，
t=；
④当p在DA的延长线上时，若PA=AE，则2t﹣16=10﹣t，
解得：t=，而点Q运动到点C所用时间是10秒，＜10，符合题意
即设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，t的值是秒或2秒或秒或秒．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊．
7．（2012秋?宝安区期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
【分析】（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得=，求出AD的长．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∴AH===4，
=BC?AH=×6×4=12．
∴S
△ABC
（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴，
∴a=．
（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得=，
即=，解得DE=x，
当BD=DG时，5﹣x=x，x=，
当BD=BG时，=，解得x=，
当BG=DG时，=，解得x=，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=或或．
【点评】本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．
8．（2013?金城江区三模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经
过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF 与三角形外角的性质，易证出∠CEM=∠BAE，从而可证得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM 与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6 m=±．
2014年中考数学计算题专项训练 一、集训一（代数计算） 1. 计算： （1）30 82 145+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷1 2 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 2 2161-+-- （9）( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° （10）()()0332011422 ---+÷- 2.计算：345tan 3231211 0-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：()( ) 11 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：12010 0(60)(1) |2(301) cos tan -÷-+-
二、集训二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422 ---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）（a ﹣1+）÷（a 2 +1），其中a= ﹣1． （3）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a （4）)2 5 2(423--+÷--a a a a ， 1-=a （5）)1 2(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.
2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形 知识点1.等腰三角形的性质与判定： 例1.如图，在△ABC中，AB AC，BC6，AM平分BAC，D为AC的中点，E为 BC延长线上的一点，且2CE BC. （1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形. 知识点2.等腰三角形的存在性问题： 例2.如图，在矩形ABCD中，AB4，BD2AB，BE平分ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间 为t秒，△BPQ的面积为S. （1）若t2时，求证：△DBA∽△PBQ；（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值； （3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由.
1x2bxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，A2，0，例3.如图，若抛物线y 2 C0，1. （1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 基础训练： 一、选择题： 1.如图，在△ABC中，ABBC10，AC的垂直平分线交AB、AC于D和E，则 △BCD的周长为（） A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图，在△ABC中，BD平分ABC，ED//BC，AB3，AD1，则△AED的周 长为（） A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，OB、OC分别平分ABC、ACB，MN//BC，若AB34，AC20， △AMN的周长为（） A.60 B.54 C.68 D.72 4.如图，在△ABC中，AD BC于点D，ABBD CD，C25，则B （） A.25 B.30 C.50 D.60
课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题 教学目标：1、通过实际问题的探究，使学生经历画图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生等腰三角形存在性问题一般解题方法 2、掌握数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的实际运用、 教学重点：探究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法 教学难点：分类讨论思想 教学辅助：多媒体课件，圆规，尺子 教学过程： 一、情境引入 函数动点问题是近几年中考中的热点问题，也是中考试卷的压轴题。特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。本节课我们将探讨解决此类问题的一般方法。 我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思考以下问题： 1、若△ABC是等腰三角形，请写出相等的边。 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知线段O D，点P是x 轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，请画出P点的位置。说说你的方法。 变式：若其他条件不变，点P是坐标轴上的一个动点。请画出点P 的位置。 （说明：通过写出相等的边，画等腰三角形。让学生回顾：知道一边时，这个边可能是底点也可能是腰，体现分类讨论思想） 二，合作探究 例题：如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理 思考（1）、求解析式我们需要求出解析式的什么？有几个未知的需要确定，确定未知的我们需要几个条件。请写出解题过程。
（2）、相似三角形的判定方程法有哪些？根据此题的已知条件，我们选用哪个方法合适？ 试试看。请写出证明过程。 （3）存在与否我们怎么确定？用什么方法合适呢？不妨大家先画图试试看。若存在你能求出点P 的坐标吗 小结：通过以上问题的解题过程。你能总结一下解决此类问题都用了那些数学思想方法。 归纳 解题思路： 1、本题点的移动贯穿始终，对于等腰三角形的确定需要分类讨论，如果△PBC 是等腰 三角形，那么存在①PB ＝PC ，②BP ＝BC ，③CP ＝CB 三种情况．(分类讨论） 2、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合。（数 形结合 ） 解题步骤：几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（方程 思想） 三、课后小结 谈谈本节课你的收获 四、作业。 五、教后反思 附加思考 如图，已知抛物线 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ． （1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数； （3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 221y x x m =-++-
因动点产生的等腰三角形问题 1、（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4， ∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x （3）存在， 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，
当y=2时，在Rt △POD 中，∠PDO=90°，sin ∠POD==， ∴∠POD=60°， ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P 、O 、B 三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P 的坐标为（2，﹣2） ②若OB=PB ，则42+|y+2|2=42， 解得y=﹣2， 故点P 的坐标为（2，﹣2）， ③若OP=BP ，则22+|y|2=42+|y+2|2， 解得y=﹣2， 故点P 的坐标为（2，﹣2）， 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2 ）， 2、（湖州中考） 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点。P （0，m ）是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交A B 的延长线于点D 。 ⑴求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； ⑵当△APD 是等腰三角形时，求m 的值； ⑶设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2），当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动。请直接写出点H 所经过的路径长。（不必写解答过程） 3、（盐城中考）如图，已知一次函数y =- x +7与正比例函数y = 4 3 x 的图象交于点A ， 且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴． A O C P B D M x y A O C P B D M x y （第24题图） 图1 图2 E
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线 1 l:y x 2 上，若以A、B、C三点 为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【解析】如图，AB的垂直平分线与直线 1 l: y x 2 =相交于点C，则以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形。 ∴AB=BC=CA。 点C的个数是1。 故选A。 2.如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10． （1）求梯形ABCD的面积； （2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）40；（2）①不存在；②或或. 【解析】 1334 3 t - = 45 t≤<56 t<≤
.. 《方程》 一、选择题 22x1=0xkxk1的取值范围是的一元二次方程﹣．若关于有两个不相等的实数根，则﹣（） Ak1 Bk1k0 Ck1 Dk1k0≠且＜≠．＜＞﹣．．＞﹣．且 2mx5=01x2x=的一个解，则方程的另一个解是（ +．已知）﹣﹣是一元二次方程A1 B5 C5 D4．﹣．．﹣． 3“”“10把你珠子的一半给我，我就有．小龙和小刚两人玩游戏，小龙对小刚说：打弹珠x”“10”颗，只要把你的给我，我就有颗珠子，如果设小刚的弹珠数为．小刚却说：颗y）颗，则列出的方程组正确的是（小龙的弹珠数为 B A．． D C．． ba5）的值为（的解，则是二元一次方程组．已知﹣ 1 A1 2 D3BC．．﹣．． 22x=065x）﹣．一元二次方程的解是（ = x=Cx=0xxDx=0= =0xAx=0= Bx，，，．，．．．212211127）的解是（．一元一次方程 2x=x= AB1 Cx=1 D﹣．．．﹣． 2anx1=08bxx则式子﹣，的一元二次方程的两实数根，+的值是（）．已知是关于 22222nCn2
nAn2 BD2 ﹣．．﹣．++﹣．﹣ =2x9），那么方程的解是（．已知方程| | x=4=2xxD=2 2 BAx=2 x=C．，．．．﹣﹣212221β2009βα11=0xβ10α9x2009α） +）的值是（．设，是方程则++的两根，（++）（+ 4 000 0001 0 ABD2000 C．．．． 11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的）图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ;. .. BA．． DC．． 2xaxbxc=0a0x12，则两根与方程系≠++，（．阅读材料：设一元二次方程）的两根为212x6x3=0xx=x?x=xx，+已知．+数之间有如下关系：是方程﹣，根据该材 料填空：+112221）的两实数根，则的值为（ + 8 CD6 A4 B10．．．． 3200413月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运．右边给出的是年）用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是
P y 中考专题复习等腰三角形的分类讨论 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 二、遇边需讨论 2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。 (2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。 3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。 (2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 5、为美化环境,计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形(重点,考点 类型之一:三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。 10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0.
因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M 有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由BH PH BO CO ，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2
压轴题 1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式； （2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。 解：（1）42033 y x =- + （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似． 当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ， ∵t>2.5，∴ 符合条件． ②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ， ∵t>2.5，∴ 符合条件．
综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似． （3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（ 10 9 , 531） 。 2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标； （2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=o ， 2222125EF EB BF ∴=+=+=． 设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠． ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =，2 2 1(2)5n ∴+-=． 解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
2021中考数学专题训练：等腰三角形 一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为() A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm 2. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于() A.15° B.30° C.45° D.60° 3. 如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长是() A.12 B.13 C.14 D.15 4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形 的周长是() A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于() A. 6 5 B. 9 5 C. 12 5 D. 16 5 6. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为 ()
A .(1，1) B .(1，) C .(，1) D .( ) 7. 如图，在△ ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N.若△AMN 的周长为18，BC=6，则△ABC 的周长为 ( ) A .21 B .22 C .24 D .26 8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150° 9. (2019?梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==， ，则BEC △的周长是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 10. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，且AB ∥ED ，∠EAB ＝120°， 则∠BCD 的度数为( )
2019-2020年中考数学专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题 （含解析） 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存 在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相 似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思 想准确地进行分类。 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线 1 l:y x 2 上，若以A、B、C三点 为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
分式 A 级 基础题 1．(2017年重庆)若分式1x －3 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D．x ＝3 2．(2018年浙江温州)若分式x －2x ＋5 的值为0，则x 的值是( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－5 3．(2017年北京)如果a2＋2a －1＝0，那么代数式? ????a －4a ·a2a －2 的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．(2018年湖北武汉)计算m m2－1－11－m2 的结果是________． 5．(2017年湖南怀化)计算：x2x －1－1x －1 ＝__________. 6．(2018年浙江宁波)要使分式1x －1 有意义，x 的取值应满足________． 7．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a 的值为________． 8．(2017年吉林)某学生化简分式 1x ＋1＋2x2－1出现了错误，解答过程如下： 原式＝1x ＋1x －1＋2x ＋1x －1(第一步) ＝ 1＋2x ＋1x －1(第二步) ＝3x2－1 .(第三步) (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________________． (2)请写出此题正确的解答过程． 9．(2018年湖北天门)化简：4a ＋4b 5ab ·15a2b a2－b2 .
10．(2018年山西)化简：x －2x －1·x2－1x2－4x ＋4－1x －2 . 11．(2018年四川泸州)化简：? ?? ??1＋ 2a －1÷a2＋2a ＋1a －1. 12．(2018年广西玉林)先化简，再求值：? ????a －2ab －b2a ÷a2－b2a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－2. B 级 中等题 13．在式子1－x x ＋2 中，x 的取值范围是______________． 14．(2017年四川眉山)已知14m2＋14n2＝n －m －2，则1m －1n 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－14 15．(2017年广西百色)已知a ＝b ＋2018，则代数式 2a －b ·a2－b2a2＋2ab ＋b2÷1a2－b2 的值为________． 16．(2018年山东烟台)先化简，再求值：? ????1＋x2＋2x －2÷x ＋1x2－4x ＋4 ，其中x 满足x2－2x －5＝0.
一、选择题 1. （2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD． ②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是（） A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED= 1 2CD·OE 【答案】C 【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故答案选择C. 【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质 2. （2019浙江省衢州市，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。 C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 A.60° B.65° C.75° D.80° 【答案】D 【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO, ∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°, 所以∠O=25°, ∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。 【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质 3. （2019重庆A卷，12，4）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得 到△BDC'，DC'与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC'的距离为（）A．2 3 3 B．7 21 3 C．7D．13
A B C D E F 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、如图，在等边ABC ?的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE ∠ 的大小不变，求证：?=∠60CQE （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确
x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 3、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？ 4、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． （1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ； （2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3
因动点产生的等腰三角形问题 例1、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC 上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．
2017级中考数学专题训练—求阴影面积 一．选择题（共17小题） 1．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．D．+ 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（） A．4πB．2πC．πD． 3．如图所示，在半径为2cm的⊙O中，点C、点D是的三等分点，点E是直径AB的延长线上一点，连结CE、DE，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．﹣D．+ 4．在矩形ABCD中，AB=，BC=2，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为（） A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣ 5．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．2 C．πD．1 6．如图所示，在半径为2cm的⊙O中，点C、点D是弧AB的三等分点，点E是直径AB的延长线上一点，连结CE、DE，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．D．+ 7．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=45°，以AB为直径作半圆O，AB=8，则阴影部分面积为（） A．24﹣4πB．16﹣4πC．24﹣2πD．16﹣2π 8．如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=8，则图中阴影部分的面积为（） A．B．32﹣8πC．4﹣πD．8﹣2π 9．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（） A．3πB．6πC．5πD．4π 10．如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）
例一：平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 例二：如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点。 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P. ①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积； ②当m=?3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
例三：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点A（-4，0），B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE. （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由.
例四：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线L经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与 抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为，。 （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标。 （2）试探究抛物线上是否存在点F，使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。 (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m)，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形。
0319动点产生的等腰三角形问题 1．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A． （1）你能求出点A的坐标吗？ （2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．
4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？ （2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由． 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=BC=10，AD=16．动点P、Q
分式方程 一、选择题 1．下列各式中，是分式方程的是（） A．x+y=5 B．C．=0 D． 2．关于x的方程的解为x=1，则a=（） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3．分式方程=1的解为（） A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．下列关于分式方程增根的说法正确的是（） A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为零就是增根 C．使分子的值为零的解就是增根 D．使最简公分母的值为零的解是增根 5．方程+=0可能产生的增根是（） A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 6．解分式方程，去分母后的结果是（） A．x=2+3 B．x=2（x﹣2）+3 C．x（x﹣2）=2+3（x﹣2）D．x=3（x﹣2）+2 7．要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（） A．2x（x﹣2）B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 8．河边两地距离s km，船在静水中的速度是a km/h，水流的速度是b km/h，船往返一次所需要的时间是（） A．小时B．小时 C．小时D．小时 9．若关于x的方程有增根，则m的值是（） A．3 B．2 C．1 D．﹣1
10．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000㎏和15000㎏．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，若设第一块试验田每公顷的产量为x㎏，根据题意，可得方程（） A．=B．= C．=D．= 二．填空题 11．方程：的解是． 12．若关于x的方程的解是x=1，则m=． 13．若方程有增根x=5，则m=． 14．如果分式方程无解，则m=． 15．当m=时，关于x的方程=2+有增根． 16．用换元法解方程，若设，则可得关于的整式方程． 17．已知x=3是方程一个根，求k的值=． 18．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程． 三．解答题 19．解分式方程（1）；（2）． 20．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？21．某服装厂准备加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服？22．为了过一个有意义的“六、一”儿童节，实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中，五年级一班捐赠图书100册，五年级二班捐赠图书180册，二班的人数