M
2 2M
13α r
绝密★启用前
2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
2.设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于
A.第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB ⋅BC =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
4．2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M
１，月球质量为M
２，地月距离为
R，L2 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有
引力定律，r 满足方程：
M
1 +M
2 = (R +r)
M
1 .
(R +r)2r2R3α=r α
3α3+ 3α4+α5≈3
设，由于
R 的值很小，因此在近似计算中
(1+α)2
，则的近似值
为
A.M
2 R
M
1
B.R
D ．3M
2 R 3M
1
5.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始
评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是
A.中位数B．平均数
C．方差D．极差
6.若a>b，则
A.ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A.α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x y2
+=1 的一个焦点，则p= 3 p p
A．2 B．3 C．4 D．8
π 9.下列函数中，以
2
ππ
为周期且在区间( ，
4 2
)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│D．f(x)= sin│x│π
10.已知α∈(0，
2 A.
1
5)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
B.
5
C.
3
x2 y2 D.2 5
5
11.设F 为双曲线C：
a2 -=1(a > 0, b > 0) 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的b2
圆与圆x2+y2=a2交于P，Q 两点.若PQ =OF A．，则C 的离心率为B．
C．3 3M
2 R
M
1
5 3
23
2
C．2 D．
12.设函数f (x) 的定义域为R，满足f (x +1) = 2 f (x) ，且当x ∈ (0,1] 时，f (x) =x(x -1) .
若对任意x ∈(-∞, m] ，都有f (x) ≥-8
，则m 的取值范围是9
A．⎛
-∞,
9 ⎤
B．
⎛
-∞,
7 ⎤
4 ⎥ 3 ⎥ ⎝⎦
C．⎛
-∞,
5 ⎤
⎝⎦
D．
⎛
-∞,
8 ⎤
2 ⎥ 3⎥ ⎝⎦⎝⎦
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点
率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.
14.已知f (x) 是奇函数，且当x < 0 时，f (x) =-e ax.若f (ln 2) = 8 ，则a =.
15.△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .若b = 6, a = 2c, B =π
，则△ABC 的面积3
为.
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为（.本题第一空2 分，第二空3 分.）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23 为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分
。17．（12 分）
5
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1 的正弦值.
18．（12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多
得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
19．（12 分）
已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1 = 3a n -b n + 4，4b n+1= 3b n-a n- 4 .
（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；
（2）求{a n}和{b n}的通项公式.
20．（12 分）
已知函数f (x)= ln x - x +1
. x -1
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y = e x
的切线. 21．（12 分）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−
1
迹为曲线C. 2
.记M 的轨
（1） 求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2） 过坐标原点的直线交 C 于 P ，Q 两点，点 P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为 E ，连
结 QE 并延长交 C 于点 G .
（i ） 证明： △PQG 是直角三角形；
（ii ） 求△PQG 面积的最大值.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0) 在曲线C : ρ = 4 sin θ 上，直线 l 过点
A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P .
（1）当θ = π
时，求 ρ 及 l 的极坐标方程；
3
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 f (x ) =| x - a | x + | x - 2 | (x - a ).
（1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) < 0 的解集；
（2） 若 x ∈(-∞,1] 时， f (x ) < 0 ，求a 的取值范围.
3
2 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案
1．A
2．C 3．C 4．D 5．A
6．C
7．B 8．D
9．A
10．B
11．A
12．B
13．0.98
14．–3
15．6 16．26； -1
17. 解：（1）由已知得， B 1C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， BE ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ，
故 B 1C 1 ⊥ BE ．
又 BE ⊥ EC 1 ，所以 BE ⊥ 平面 EB 1C 1 ．
（2）由（1）知∠BEB 1 = 90︒ ．由题设知Rt △ABE ≅ Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB = 45︒ ，故 AE = AB ， AA 1 = 2 AB ．
以 D 为坐标原点， DA 的方向为x 轴正方向， | DA | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，
则C （0，1，0），B （1，1，0）， C 1 （0，1，2），E （1，0，1）， CE = (1, -1,1) ，
CC 1 = (0, 0, 2) ．
设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则
⎩ ⎧⎪CB ⋅ n = 0, ⎧x = 0, ⎨CE ⋅ n = 0,
即⎨
x - y + z = 0, ⎪⎩
⎩
所以可取n = (0, -1, -1) .
设平面 ECC 1 的法向量为m =（x ，y ，z ），则
⎧⎪CC 1 ⋅ m = 0, ⎨
⎪⎩CE ⋅ m = 0,
⎧2z = 0,
即⎨x - y + z = 0.
所以可取m =（1，1，0）． n ⋅ m
1
于是cos < n , m >=
= - ．
| n || m | 2
所以，二面角 B - EC - C 的正弦值为
3
． 1
2
18. 解：（1）X =2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得
分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+ （1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X =4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×
0.4]×0.5×0.4=0.1 ．
19. 解：（1）由题设得4(a
+ b ) = 2(a + b ) ，即 a
+ b = 1
(a + b ) ． n +1
n +1
n
n
n +1 n +1
2 n n
又因为a 1+b 1=l ，所以{a + b } 是首项为1，公比为 1
的等比数列．
n
n
2
由题设得4(a n +1 - b n +1) = 4(a n - b n ) + 8 ，即 a n +1 - b n +1 = a n - b n + 2 ．
又因为a 1–b 1=l ，所以{a n - b n } 是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知， a + b =
1
， a - b = 2n -1 ．
n
n
2n -1
n
n
所以a = 1 [(a + b ) + (a - b )] =
1
+ n - 1 ， n
2
n n n n
2n 2
x - x x 0 0 x b = 1 [(a + b ) - (a - b )] = 1 - n + 1 ． n 2 n n n n
2n 2
20. 解：（1）f （x ）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
e +1 2 e 2 +1 e 2 - 3 因为
f （e ）=1- < 0 ， f (e ) = 2 - = > 0 ，
e -1 e 2 -1 e 2 -1
所以 f （x ）在（1，+∞）有唯一零点 x 1，即 f （x 1）=0． 又0 <
1
< 1， f ( 1 ) = -ln x + x 1 +1 = - f (x ) = 0 ， x x 1 x -1 1
1
1
1
1
故
f （x ）在（0，1）有唯一零点 ．
1
综上，f （x ）有且仅有两个零点．
1
（2）因为
= e
-ln x 0
1 ，故点 B （–ln x 0，
）在曲线 y =e x 上．
由题设知 f (x ) = 0 ，即ln x = x 0 +1 ，
1
- ln x x 0 -1
1
- x 0 +1 x 0 x x -1 1 故直线
AB 的斜率k = 0 = 0
0 = ． - ln x 0 - x 0 - x 0 +1 - x x 0
x 0 -1
1 曲线 y =e x
在点 B ( ln x 0 , 0 ) 处切线的斜率是 1 ，曲线 y = ln x 在点 A (x , ln x ) 处切 0
1
线的斜率也是
，
所以曲线 y = ln x 在点 A (x 0 , ln x 0 ) 处的切线也是曲线 y =e x 的切线．
21. 解：（1）由题设得
y ⋅ y = - 1 x 2 ，化简得 y 2 + = 1(| x |≠ 2) ，所以 C 为中心 x + 2 x - 2 2 4 2
在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i ）设直线 PQ 的斜率为 k ，则其方程为 y = kx (k > 0) ．
x x 0
4 2
⎧
y = kx ⎪ 2 由⎨ x 2 ⎪⎩ + y 2 = 得 x =±
记u = P (u , uk ), Q (-u , -uk ), E (u , 0) ．
于是直线QG 的斜率为 k 2 ⎧ y = k
(x - u ), ，方程为 y = k
(x - u ) ．
2
⎪ 2 由⎨ x 2 y 2 得 ⎪ + = 1
⎪⎩ 4 2
(2 + k 2 )x 2 - 2uk 2 x + k 2u 2 - 8 = 0 ．①
设G (x G , y G ) ，则-u 和 x G 是方程①的解，故 x G = u (3k 2 + 2) 2 + k 2 uk 3 ，由此得 y G = 2 + k 2
．
uk 3 2 + k 2
- uk 1
从而直线 PG 的斜率为 u (3k 2
+ 2) 2 + k 2 - u
=- ． k
所以 PQ ⊥ PG ，即△PQG 是直角三角形．
（ii ）由（i ）得
| PQ |= 2
| PG |=
22 + k 2 ，
2
8( 1 + k )
所以△PQG 的面积 S = 1
| PQ ‖PG |= 8k (1+ k ) = k ．
1 设 t =k + k
2 (1+ 2k 2 )(2 + k 2 ) 1+ 2( 1 + k )2
k
，则由 k >0 得 t ≥2，当且仅当 k =1 时取等号．
因为 S = 8t 1+ 2t 2
在[2，+∞）单调递减，所以当 t =2，即 k =1 时，S 取得最大值，最大值
16 为
．
9
16 因此，△PQG 面积的最大值为
．
9
1
3 π 22. 解：（1）因为 M (
ρ0 ,θ0 ) 在C 上，当θ π
0 = 3 时， ρ0 = 4sin π = 2 . 3
由已知得| OP |=| OA | cos 3
= 2 .
设Q (ρ,θ ) 为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中 ρ cos ⎛
θ - π ⎫ =| OP |= 2 ，
3 ⎪ ⎝ ⎭
经检验，点 P (2, π
) 在曲线 ρ cos
⎛
θ - π ⎫ = 2 上. 3
3 ⎪ ⎝ ⎭
所以，l 的极坐标方程为 ρ cos ⎛
θ - π ⎫ = 2 .
3 ⎪ ⎝ ⎭
（2）设 P (ρ,θ ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ = 4 cos θ ,
因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ 的取值范围是
⎡π , π⎤
. ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦
即 ρ = 4 cos θ ..
所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ρ = 4 cos θ ,
θ ∈ ⎡π , π⎤ .
⎢⎣ 4 2 ⎥⎦
23. 解：（1）当 a =1 时， f (x )=|x -1| x +|x - 2|(x -1) .
当 x < 1时， f (x ) = -2(x -1)2 < 0 ；当 x ≥ 1时， f (x ) ≥ 0 .
所以，不等式 f (x ) < 0 的解集为(-∞,1) .
（2）因为 f (a )=0 ，所以a ≥ 1 .
当 a ≥ 1 ， x ∈(-∞,1) 时， f (x )=(a - x ) x +(2 - x )(x - a )=2(a - x )(x -1)<0
所以， a 的取值范围是[1, +∞) .
绝密★启用前
2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
答案解析版
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A. (-∞，1)
B. (-2，1)
C. (-3，-1)
D. (3，+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，A ={x x2, 或x3}, B ={x x <1}，则A ⋂B ={x x <1}．故选A．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．
【详解】由z =-3 + 2i, 得z =-3 - 2i, 则z =-3 - 2i, 对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．
M 2
2M 1
3M 2 3
M 1
M 2 3
3M 1
3α r 3. 已知 AB =(2,3)， AC =(3，t )， BC =1，则 AB ⋅ BC =
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用
转化与化归思想解题．
【详解】由 BC = AC - AB = (1, t - 3) ， BC =
12 + (t - 3)2
= 1，得t = 3 ，
则 BC = (1, 0) ，
AB BC = (2, 3) (1, 0) = 2 ⨯1+ 3⨯ 0 = 2 ．故选 C ．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．
4.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 L 2 点的轨道运行．L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M 1
+
M 2
= (R + r ) M
1 . (R + r )2
r 2 R 3
α =
r α
3α 3 + 3α 4 + α 5 ≈ 3
设
，由于 R
为 的值很小，因此在近似计算中
(1+ α )2
B.
R ，则 的近似值
C.
R
D.
R
【答案】D
A.
M
M 1
2
R
M 2
3M 1
M 2
3M 1
【解析】
【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α 的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由α = r
R
，得r = α R
因为
M 1
+
M 2
= (R + r ) M
1 ，
(R + r )2
M 1 所以
r
2
R 3
+ M 2 = (1+ α ) M 1
， R 2 (1+ α )2
M 2 = α 2 α 2 R 2 1 R 2
α 5 + 3α 4 + 3α 3 3
即
[(1+ α ) - M 1
(1+ α )2 ] = ≈ 3α ， (1+ α )2
解得α =3
， 所以r = α R =3
R .
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
5. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始
评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D. 极差
【答案】A
【解析】分析】
可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】设
9 位评委评分按从小到大排列为 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 8 < x 9 ．
则①原始中位数为
x 5 ，去掉最低分 x 1 ，最高分 x 9 ，后剩余 x 2 < x 3 < x 4 < x 8 ，
中位数仍为x5，∴A 正确．
②原始平均数x =1
(x x'=1 x （ 2348 7 平均数受极端值影响较大，∴x 与x'不一定相同，B 不正确 ③S 2= 1 ⎡(x-x ) 2 +(x-x )2 ++(x -x )2 ⎤ 9 ⎢⎣11q⎥⎦ s'2= 1 ⎡(x-x')2+(x-x')2++(x-x') 2 ⎤由②易知，C 不正确． 7 ⎢⎣ 238⎥⎦ ④原极差=x9- x1，后来极差=x8- x2显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 6.若a>b，则 A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b C. a3−b3>0 D. │a│>│b│ 【答案】C 【解析】 【分析】 本题也可用直接法，因为a >b ，所以a -b > 0 ，当a -b = 1时，ln(a -b) = 0 ，知A 错，因为y = 3x是增函数，所以3a> 3b，故B 错；因为幂函数y =x3是增函数，a >b ，所以a3>b3，知C 正确；取a = 1, b =-2 ，满足a >b ，1 =a 【详解】取a = 2, b =1 ，满足a >b ，ln(a -b) = 0 ，知A 错，排除A；因为9 = 3a> 3b= 3，知B 错，排除B；取a =1, b =-2 ，满足a >b ，1 =a b ，所以a3>b3，故选C． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B. α 内有两条相交直线与 β 平行 C. α，β 平行于同一条直线 D. α，β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α 内两条相交直线都与 β 平行是α / /β 的充分条件，由面面平行性质定理知，若α / /β ，则α 内任意一条直线都与 β 平行，所以α 内两条相交直线都与 β 平行是α / /β 的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a ⊂ α , b ⊂ β , a / /b ，则α / /β ”此类的错误． 8. 若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 x y 2 + = 1 的一个焦点，则 p = 3 p p A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 p 的方程，即可解出 p ，或者利用检验排除的方法，如 p = 2 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A ，同样可排除 B ，C ，故选D ． p x 2 y 2 【详解】因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点( , 0) 是椭圆 2 + = 1 的一个焦点，所以 3 p p 3 p - p = ( p )2 ，解得 p = 8 ，故选D ． 2 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养 ． 2 π 9.下列函数中，以 2 π 为周期且在区间( 4 π ，)单调递增的是 2 A. f(x )=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│ C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│ 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择． 【详解】因为y = sin | x | 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为y = cos x = cos x ，周期为2π，排除C，作出y =cos 2x 图象，由图象知，其周期为 π ，在区间( π , π ) 单调 2 4 2 递增，A 正确；作出y = sin 2x 的图象，由图象知，其周期为 π ，在区间( π , π ) 单调递减，排除B，故选A． 2 4 2 【点睛】利用二级结论：①函数y = f (x) 的周期是函数y = f (x) 周期的一半； ② y = sin ωx不是周期函数； π 10.已知a∈（0， 2 ），2si n2α=co s2α+1，则sinα= A. 1 5 C. 3 3 B. 5 5 D. 2 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案． 【详解】 = cos 2α +1，∴4sin α⋅cos α = 2 cos 2 α . α∈⎛ 0, π ⎫,∴cos α > 0 ． 2 ⎪ sin α > 0, ∴ ⎝ ⎭ 2 s in α = cos α ，又sin 2 α + cos 2 α = 1 ，∴5sin 2 α = 1, sin 2 α = 1 ，又 5 sin α > 0 ，∴sin α = 5 ，故选B ． 5 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 11.设 F 为双曲线 C ： x a 2 y 2 - = 1 （a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的 b 2 圆与圆 x 2+y 2=a 2 交于 P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQ ⊥ x 轴， 2 sin 2α 2 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 又 PQ =| OF |= c ，∴| PA |= c , 2 ∴ PA 为以OF 为直径的圆的半径， ∴ A 为圆心| OA |= c ． 2 ∴ P ⎛ c , c ⎫ ，又 P 点在圆 x 2 + y 2 = a 2 上， ⎝ ⎭ c 2 c 2 2 c 2 2 2 c 2 ∴ + = a 4 4 ，即 = a , ∴ 2 e = = 2 ． a 2 ∴e = ，故选 A ． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 12. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，满足 f (x +1) = 2 f (x ) ，且当 x ∈ (0,1] 时， f (x ) = x (x -1) .若对任意 x ∈(-∞, m ] ，都有 f (x ) ≥- 8 ，则 m 的取值范围是 9 A. ⎛ -∞, 9 ⎤ B. ⎛ -∞, 7 ⎤ 4 ⎥⎦ 3 ⎥⎦ C. ⎛ -∞, 5 ⎤ D. ⎛ -∞, 8 ⎤ 2 ⎥⎦ 3⎥⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】 x ∈(0,1] 时， f (x )=x (x -1) ， f (x +1)=2 f (x ) ，∴ f (x ) = 2 f (x -1) ，即 f (x ) 右 移 1 个单位，图像变为原来的 2 倍． 如图所示：当2 < x ≤ 3 时， f (x )=4f (x - 2)=4(x - 2)(x - 3) ，令4(x - 2)(x - 3) = - 8 ， 9 整理得： 9x 2 - 45x + 56 = 0 ，∴(3x - 7)(3x - 8) = 0, ∴ x = 7 , x = 8 （舍）， 1 3 2 3 ∴ x ∈(-∞, m ] 时， f (x ) ≥- 8 成立，即m ≤ 7 ，∴m ∈⎛ -∞, 7 ⎤ ，故选B ． 9 3 ⎝ 3 ⎦⎥ 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到 2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 . 【答案】0．98. 【解析】 【分析】 本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【 详 解 】 由 题 意 得 ， 经 停 该 高 铁 站 的 列 车 正 点 数 约 为 10 ⨯ 0.97 + 20 ⨯ 0.98 +10 ⨯ 0.99 = 39.2 ，其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站所有高 铁平均正点率约为39.2 = 0.98 ．40 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 14.已知f (x) 是奇函数，且当x < 0 时，f (x) =-e ax.若f (ln 2) = 8 ，则a =.【答案】-3 【解析】 【分析】 本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为f (x) 是奇函数，且当x < 0 时，f (x) = -e-ax．又因为ln 2 ∈(0,1) ，f (ln 2) = 8 ， 所以-e-a ln2=-8 ，两边取以e 为底的对数得-a ln 2 = 3ln 2 ，所以-a = 3，即3π．【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算． 15.V ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .若b = 6, a = 2c, B =π ，则V ABC 的面3 积为. 【答案】6 【解析】 【分析】 本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用a, c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得b2=a2+c2- 2ac cos B ， 所以(2c)2+c2- 2⨯2c ⨯c ⨯1 = 62，2 即c2= 12 3 M 2 2M 13α r 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 2.设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于 A.第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB ⋅BC = A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有 引力定律，r 满足方程： M 1 +M 2 = (R +r) M 1 . (R +r)2r2R3α=r α 3α3+ 3α4+α5≈3 设，由于 R 的值很小，因此在近似计算中 (1+α)2 ，则的近似值 为 A.M 2 R M 1 B.R D ．3M 2 R 3M 1 5.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始 评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数B．平均数 C．方差D．极差 6.若a>b，则 A.ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面 8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x y2 +=1 的一个焦点，则p= 3 p p A．2 B．3 C．4 D．8 π 9.下列函数中，以 2 ππ 为周期且在区间( ， 4 2 )单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│D．f(x)= sin│x│π 10.已知α∈(0， 2 A. 1 5)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= B. 5 C. 3 x2 y2 D.2 5 5 11.设F 为双曲线C： a2 -=1(a > 0, b > 0) 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的b2 圆与圆x2+y2=a2交于P，Q 两点.若PQ =OF A．，则C 的离心率为B． C．3 3M 2 R M 1 5 3 23 2 学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国II 卷 本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟 (适用地区： z AB AC BC AB BC ? 2L 2 L 121223( )()M M M R r R r r R +=++设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中 345 32 333(1) ααααα+ +≈+，则r 的近似值为 A B C D ．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3 ?b 3 >0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α有无数条直线与β平行 B ．α有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 9．下列函数中，以 2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │ 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国Ⅱ卷） 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业 取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方 程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中 345 32 333(1) ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 19年全国2卷 理数 一、选择题： 1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ?= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++. 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b )>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 22 31x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2 π )单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin │x │ 10．已知α∈(0，2 π )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ．15 B 5 C 3 D 5 11．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点， 以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为 A B C ．2 D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意 (,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 2019年普通高等学校招生全国统一考试（2）理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅= A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121223()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很 小，因此在近似计算中345 32 333(1) ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，||BC u u u r =1，则AB BC ?u u u r u u u r = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根 据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223 ()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1) ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B C D 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 高考数学精品复习资料 2019.5 绝密★启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2 2 y x =± D ．32y x =± 6．在ABC △中，5 cos 25 C = ，1BC =，5AC =，则AB = A ．42 B ．30 C ．29 D ．25 7．为计算11111123499100 S =- +-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 112 B ． 114 C ． 1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 56 C ． 55 D ． 22 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=… A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率 为 3 6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 23 B ． 12 C ．13 D ． 14 开始0,0 N T ==S N T =-S 输出1i =100 i <1 N N i =+1 1 T T i =+ +结束 是否 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷 理科数学 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合{} 2 –56|0A x x x =+＞，{}–10|B x x =＜，则A B =I ( ) A .(–1)∞， B .(–2)1， C .(–3)–1， D .(3)+∞， 2.设–32z i =+，则在复平面内z 对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知()2,3AB =u u u r ，(3)AC t =,uuu r ，1BC =uu u r ，则AB BC =⋅uu u r uu u r ( ) A .–3 B .–2 C .2 D .3 4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动 定律和万有引力定律，r 满足方程：1212 23()()M M M R r R r r R +=++.设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ( ) A B C D 5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 ( ) A .中位数 B .平均数 C .方差 D .极差 6.若a b ＞，则 ( ) A .0()ln a b -＞ B .33a b ＜ C .330a b -> D .a b > 7.设α，β为两个平面，则αβP 的充要条件是 ( ) A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α，β平行于同一条直线 D .α，β垂直于同一平面 8.若抛物线()2 20y px p =>的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = ( ) A .2 B .3 C .4 D .8 9.下列函数中，以2π为周期且在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递增的是 ( ) A .()cos 2f x x = B .()sin 2f x x = C .()cos f x x = D .()f x sin x = 10.已知π20a ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，），2sin2cos2+1αα=，则sin α= ( ) A .15 B .5 C . 3 D . 5 11.设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A B C .2 D 12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-. 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标 卷二Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 【答案】D 【KS5U 解析】 把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】A 【KS5U 解析】 . ,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+= 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【KS5U 解析】 . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+ 4.钝角三角形ABC 的面积是1 2 ，AB=1， ，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【KS5U 解析】 . .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••== 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 A 【KS5U 解析】 2019年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）及答案 (时间：120分钟 总分：150分） 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=（ ） A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 2．设z=-3+2i ，则在复平面内z − 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t)，| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又 一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ， L 2 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： M 1 (R+r)2+M 2r 2=(R +r)M 1R 3 .设 α=r R ，由于 α 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2 ≈3α3 ，则r 的近似值为（ ） A ．√M 2M 1 R B ．√M 22M 1 R C ．√3M 2M 1 3R D ．√M 23M 1 3R 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去 掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a>b ，则（ ） A ．ln(a−b)>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a│>│b│ 2019年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修II) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在．试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、选择题：（每小题５分，共60分） 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ） A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 【详细解析】1(1)(1)(1)1211zz z i i i i i --=+--+-=---=- 【考点定位】复数与共轭复数的概念及复数的四则运算法则，考查复数的运算，属于简单题。 2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ） A ．24x y =（x R ∈） B ．24 x y =（0x ≥） C ．2 4y x =（x R ∈） D ．2 4y x =（0x ≥） 【详细解析】由y =0x ≥），得20,2y y x ≥=，故反函数为2 (0)4 x y x = ≥ 【考点定位】考查反函数的求法。属于简单题。 3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是（ ） A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．2 2 a b > D ．3 3 a b > 【详细解析】由a b >，可得1a b >+，反之不成立，故选A 【考点定位】考查不等式的性质与充要条件问题。属于简单题。 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【详细解析】 ()2 2 2 221,244245 n n k k a n S n S S k k k k +=-=-=+-=+=∴= 【考点定位】考查等差数列的前n 项和公式及计算，属于简单题。 5．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图象向右平移3 π 个单位长度后，所的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ） A ．1 3 B ．3 C ．6 D ．9 【详细解析】由题知：3 π 为周期的整数倍，所以2,63n n ππωω==得，所以ω的最小值 为6。 【考点定位】三角函数的图象及变换，属于简单题。 6．已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，若 2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距 离等于（ ） A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 12B-SX-0000020 - 绝密★启用前 _ _ 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 _ - _ _ - 理科数学全国 II 卷 _ _ - 本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 ： 号 - (适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 ) 学 - 注意事项： _ - _ _ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 _ - _ _ 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 _ _ - 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 _ _ _ 答题卡上。写在本试卷上无效。 _ 线 _ _ 封 _ 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 _ 密 _ _ - _ _ 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选 ：- 一、选择题：本题共 名 - 项中， 只有一项是符合题目要求的。 姓 - 2 - 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A ∩B= 班 - A ． (-∞， 1) B ． (-2， 1) C ．(-3 ， -1) D ． (3， +∞) _ _ _ - _ 2 ．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于 _ - _ _ A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 年 - _ _ _ _ 线 3 ．已知 AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB BC = _ _ 封 _ A ．-3 B ．-2 C ． 2 D ． 3 _ 密 _ - _ _ 4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆， _ - _ _ _ - 我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键 _ _ _ - _ 技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中 _ _ - _ _ _ - 继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2点的轨道运行． L 2点是平衡点， _ _ - _ M １，月球质量为 M ２，地月距离为 ： - 位于地月连线的延长线上．设地球质量为 校 学 - R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延 长线上．设地球质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ， L 2点到月球的距 离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： M 1 M 2 M 1 (R r) 2 r 2 (R r ) 3. R 设 r ，由于 的值很小，因此在近似计算中 3 3 3 45 3 3，则 R (1 ) 2 r 的近似值为 A ． M 2 R B ． M 2 R C ． 3 3M 2 R D ． 3 M 2 R M 1 2M 1 M 1 3M 1 5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分 .7 个有效评分 与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差 6．若 a>b ，则 A ． ln(a- b)>0 B ．3a <3 b C ． a 3- b 3>0 D ． │a │ >│b │ 7．设 α， β为两个平面， 则 α∥ β的充要条件是 A ． α内有无数条直线与 β平行 B ．α内有两条相交直线与 β平行 C ． α， β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 2 x 2 y 2 p= 8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆 1 的一个焦点，则 3p p2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
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