复旦附中高一上期末解析(2020.1)

复旦附中高一上期末数学试卷

2020.01

一、填空题

1．函数12

log (5)y x =-的定义域为 ．

2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数2

23

()(1)(,)m

m f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则

a m += ．

5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．

6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．

7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．

8．若函数6,

2,()3log ,2,

a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范

围 ．

9．已知1

()(33)2

x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的

最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．

10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三

边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1

x x e t

f x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围

是 ．

11．若关于x 的方程54

(4)|5|x x m x x

+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取

值范围是 ．

12．已知函数2131()1

log 1

2x x k x f x x

x ⎧-++⎪

=⎨-+>⎪⎩

≤，2()lg(2)()1

x

g x a x a x =⋅++

∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．

二、选择题

13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件

14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1

||

y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．2

3y x =

15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：

（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；

（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合

{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）

A ．[0,4)

B ．[1,4)-

C ．[3,5]-

D ．[0,7)

三、解答题

17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；

（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．

18．已知函数21()log 1

ax

f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4

{|1}7A x x

=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．

19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足

20.522,(016)

()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨

>⎩

≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．

（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；

（2）若函数5()2

x a

g x x -=

+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．