刘徽
刘徽中国山东人．公元3世纪．数学．
刘徽生平不详．自述“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意．是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”．《晋书》、《隋书》之《律历志》称“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章》”．《九章算术注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海岛算经》为名单行．前九卷仍与《九章算术》合为一体行世．唐初李淳风奉敕编纂《算经十书》，《九章算术》和《海岛算经》列为其中两部．《九章算术注》之图及《海岛算经》之自注和图今已不传．
《九章算术》——刘徽继承的数学遗产
刘徽从事数学研究时，继承了一分以《九章算术》为主体的堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产，其基本情况是：
世界上最方便最先进的十进位置值制记数法和计算工具算筹在中国首创并已使用至少千年．算筹的截面已由圆变方，长度已由西汉的13厘米左右缩短为8—9厘米．
《九章算术》于公元前一世纪成书，至此时已300余年．光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、《九章算术》”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作．《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，《九章算术》或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式．公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面．
然而，《九章算术》也有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理．东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对《九章算术》的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大．其具体情况在论述刘徽的贡献时要提到．
面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上．率——计算的纲纪
《九章算术》上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求．刘徽《九章算术注》的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述．
为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量
之间的关系．中国古代数学概念“率”承担了这个职责．“率”的本意是规格、标准、法度．《孟子?尽心上》：“羿不为拙射变其彀率．”《墨子?备城门》：“城下楼卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之．”反映了“率”逐步转化成一个数学概念的过程．《九章算术》的许多术文和问题题设应用了率，提出了“今有术”和勾股数通解公式等重要成就，然有的应用却偏离了约定俗成的内涵．刘徽则大大发展了率的思想，从而把《九章算术》的算法提高到系统理论的高度．
刘徽关于“率”的定义是：“凡数相与者谓之率．”“相与”即相关，这里是一种线性相关．“数”实际上是一组量．现今的比率是最直观且应用最广泛的一种率关系，但是，率的涵义却比比率要深刻、广泛得多．由率的定义，刘徽得出率的重要性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已．”即一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数．根据率的这一性质，刘徽提出了乘、约、齐同三种等量变换．它们最初都是从分数运算中抽象出来的．事实上，分数的分子和分母可以看成率关系．刘徽关于“率”的定义就是在“经分术”(即分数除法)注中提出来的．那么，关于分数运算的三种等量变换自然推广到率的运算中．成率关系的一组量如有等数即公因子)，则可用此等数约所有的量(称为“约”)，而不改变率关系，这就是“约以聚之”．相反，成率关系的所有数可以同乘某一数，亦不改变率关系，这就是“乘以散之”．利用这两种等量变换可以把成率关系的任意一组数(在现今实数范围内)化成没有公因子的一组数，而不改变率关系，从而提出了“相与率”的概念：“等除法、实，相与率也．”两个量的相与率实际上是今天互素的两个数．在运算时，刘徽一般使用相与率．几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而产生了齐同术：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也”．而对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组量，要通过齐同化成同一率关系，这就是“齐同以通之”．齐同原理成为率的一种重要运算．刘徽说：
乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？
显然，刘徽把率看成运算的纲纪．
“今有术”在《九章算术》算法中起着基础性作用．
今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．
法．它传到印度和西方后被称为三率法．刘徽认为：
诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也．
这里前三句是说设法找出各种率关系，而“平其偏颇，齐其参差”就是齐同术．对复杂的计算问题，一般说来必须通过齐同才能使用今有术或其他运算．刘徽说：“齐同之术要矣．错综度数，动之斯谐．其犹佩解结，无往而不理焉”．下面简要介绍刘徽关于率及齐同的应用．算术问题中的应用．“诸率悉通”．若甲、乙之率为a、b，乙、丙之率为c、d，b≠c，欲从甲求丙．《九章算术》两次应用今有术，先从甲求乙，再从乙求丙，刘徽称之为“重今有术”．刘徽认为，还可以应用齐同原理，先同两率关系中乙的率，化为bc，然后使甲、丙的率与之相齐，分别化为ac、bd，三率悉通，直接用今有术由甲求丙．刘徽指出：“凡率错互不通者，皆积齐同用之．放此，虽四、五转不异也．”显然，刘徽的方法比《九章算术》简便．
“齐同有二术，可随率宜也．”同一问题，常有不同的途径实现齐同，可以灵活运用．刘徽认为《九章算术》卷六第20—26问尽管对象不同，其数学方法都与凫雁问同类．凫雁问是：
今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日．刘徽提出两种齐同方式：一是“齐其至，同其日”，“并齐以除同，即得相逢日．”此问63日凫9至，雁7至，故相逢日为63/(9+7)．二是定距离为1，求出凫雁一日所行，“齐而同之”，
途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性．
盈不足术中“齐其假令，同其盈”．盈不足术是中国古算的传统问题，在《九章算术》中单列一章，占有重要地位．即使一般算术问题，通过两次假设，均可化为盈不足问题求解(在非线性情况下只可得近似解)，因此传入欧洲后称之为双设法．《九章算术》给出了盈不足问题的一般解法：
置所出率，盈不足各居其下．令维乘所出率，并，以为实．并盈不足为法．实如法而一．刘徽认为“盈维乘两设者，欲为齐同之意”，即“齐其假令，同其盈．”，即不足．若假令a1，盈b1，假令a2，不足b2，同其盈为b1b2，使假令与之相齐，则分别为a1b2和a2b1，那么b1+b2次假令，共出a1b2+a2b1而不盈不，所以每次假令为(a1b2+a2b1)/(b1+b2)即为不盈不之正数．
代数问题中的应用．方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就．刘徽把率及其齐同原理拓展到方程术中．首先，他借助率提出了方程的定义：
群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．
“令每行为率”大体相当于现今行向量的概念．用率定义方程，因此对方程各行施行“乘以散之，约以聚之．齐同以通之”．同时，他提出：“举率以相减，不害余数之课也．”即方程的整行与其他行相减，不影响方程的解．刘徽把它当作不必加以证明的真理，成为方程消元的理论基础．
《九章算术》采用直除消元法，即以一行某项系数乘另一行，然后以该行多次相减那一行，直至该项系数为0．刘徽指出：方程的直除消元法符合齐同原理．他说：“先令右行上禾乘中行，为齐同之意．为齐同者谓中行直减右行也．从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣．”这里“同”是使两行欲消元的系数相同(通过直除作到)，“齐”是使一行中其余各项系数及常数项与该项系数相齐(通过乘实现)．齐同既达到了消元的目的，又保证了“举率以相减”，故其变换不影响方程的解．在深刻理解方程消元符合齐同原理的基础上，刘徽创造了互乘相消法以代替《九章算术》的直除法．他在“牛羊直金”问注说：“假令为同齐，头位为牛，当相乘，右行定：更置十、羊四、直金二十两；左行：牛十、羊二十五、直金四十两．”牛数相同，可以一次相减消去．刘徽说：“以小推大，虽四、五行不异也．”刘徽通过互乘，同时作到齐同，比直除法简便得多．
刘徽还创造了“方程新术”．他通过诸行相减求出诸元的两两相当之率，施行齐同，对易其数，得出诸元的相与之率，然后用衰分术或直接用今有术求解．
上述这些原理和方法在负系数方程中同样适用．刘徽说：“赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率．然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也．”此处“赤黑”即正负数．《九章算术》在方程直除消元过程中提出了正负术：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．
这是世界数学史上第一次引入正负数概念及其加减法则．前四句讲正负数减法，设a≥0，b＞0 ，即(＋a)-(±b)=a b，(-a)-( b)=-(a b)；后四句讲正负数加法，同样，设a≥0，b＞0，即(＋a)＋( b)=a b，(-a)+(±b)=-(a b)．刘徽解释了这些法则的正确性，并且认为用正负数足可以列出任何一个方程，而通过正负数的加减运算(实际上把率和齐同原理推广到负系数方程中)足可以对任何一个方程消元．
五家共井问六个未知数，方程只有五行．《九章算术》由于没有方程的定义，实际上把它的一组最小正整数解作为定解，而不知有无数组解．刘徽指出，《九章算术》的解是“举率以言之”，实际上承认它是不定问题，这是中国古算中第一次明确提出不定方程问题．几何问题中的应用．刘徽把率广泛应用于面积、体积和勾股等几何问题的计算中．刘徽指出《九章算术》圆面积公式中周、径为“至然之数”，求出了周径相与之率即π的近似值；堑堵中“阳马居二，鳖居一，不易之率也”．这两个重要问题，下面要专门分析．这里介绍一下率在勾股、测望问题中的应用．
《九章算术》以率的形式表示出勾股形三边的关系：
此处(c＋a)∶b=m∶n，m，n实际上互素．这是世界数学史上第一次提出完整的勾股数组通解公式．不过，《九章》的术文未离开具体数字，刘徽则用出入相补原理对其一般形式作了证明．
相似勾股形中勾股弦“相与之势不失本率”，是刘徽概括出的一个重要原理．《九章算术》利用勾股数组通解公式解勾股形，即基于这一原理．刘徽还用这一原理援引今有术、衰分术解决勾股容方、容圆及测望问题．我们试举二例．
《九章算术》勾股容圆问已知勾a、股b，问勾中容圆径d，其公
个公式：
又画中弦以观除会，则勾、股之面中央各有小勾股弦．勾之小股、股之小勾皆小方之面，皆圆径之半，其数故可衰．以勾、股、弦为列衰，副并为法，以勾乘未并者，各自为实，实如法而一，得勾面之小股可知也．以股乘列衰为实，则得股面之小勾可知．在这里刘徽过圆心作平行于弦的直线，称为中弦，分别与垂直于勾、股的半径及勾、股形成与原勾股形相似的小勾股形，且其周长分别等于勾、股．设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则a1∶b1∶c1=a∶b∶c，且a1＋b1＋c1=a．由衰分术b1=ab/(a＋b+c)，d=2b1=2ab/(a ＋b＋c)．同样，由股上小勾股形亦可求出此公式．
《九章算术》“出南北门求邑方”问是：
今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木．出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实．并出南、北门步数为从法，开方除之，即邑方．
如图3，设出北门BC为a，出南门DC＇为k，西行C＇A＇为b＇，邑方为x，则《九章算术》术文给出了二次方程：
x2+(a+k)x=2ab＇．
刘徽注的第一部分为：
此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为勾，以出北门二十步为勾率，北门至西隅为股率，即半广数．故以出北门乘折西行股，以股率乘勾之幂．然此幂居半，以西行，故又倍之，合东，尽之也．
刘徽根据勾股形ABC与A＇BC＇相似，BC∶BC＇=AC∶A＇C＇，
重差问题的公式亦可借助于勾股相与之势不失本率的原理来证明．
总之，刘徽使用率证明了《九章算术》大部分算法、大多数题目，使率的应用空前广泛、深入，提高到理论的高度．
出入相补原理
“出入相补”见之于刘徽为《九章算术》勾股术——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界历来有不同看法，图4的两种方法，分别将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ移到Ⅰ＇、Ⅱ＇、Ⅲ＇，是比较常见的两种推测．“出入相补”在卷一、卷五刘徽注中又称作“以盈补虚”．它是中国古算中证明面积和体积问题的主要方法，应该说，在刘徽之前，甚至在《九章算术》成书时代，人们就已熟悉这种方法．刘徽则对它作了概括、发展．我们仍以上文提到的“勾股容圆”和“出南北门求邑方”两问为例说明．对勾股容圆，刘徽注的出入相补方法是：
勾股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二，倍之则为各四．可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合成修幂：圆径为广，并勾、股、弦为袤．故并勾、股、弦以为法．这是将勾股形由圆垂直于勾、股、弦的半径分成朱、青、黄三块，将两个勾股形合成一个长方形(其面积为ab)，则有朱、青、黄各二块．再加倍，则各四块．将朱、青各中分，则此四朱、青、黄拼成以圆径为宽，勾、股、弦之和为长的长方形，其面积为2ab，显然d=2ab/(a ＋b＋c)．
“出南北门求邑方”问刘徽注的第二部分是：“此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑方为袤，故连两广为从法，并以为隅外之幂也．”如图6，画出长方形BEA＇C＇，勾股形BEA＇和BC＇A＇面积相等，AGA＇和AFA＇面积相等，故长方形BEGC
等于2ab＇，它可以分解成x2和x(a+k)，即BC和DC＇之和为从法．这就证明了术文的正确性．
出入相补原理对解决平面直线图形是行之有效的，刘徽用这种方法解决了大量问题．据信，重差问题亦用出入相补原理证明．《周髀算经》中测望太阳的“日高术”奠定了重差问题的基础．刘徽在介绍了日高术之后说，《九章算术》的测望问题“皆端旁互见，无有超邈若斯之类．”他说：“虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下”，即《九章算术注》第十卷，今之《海岛算经》．刘徽说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差．”从测量技术上说，刘徽使用了重表、连索、累矩三种基本方法，有的要测望三次或四次．刘徽说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入．”而就数学内容上说，望海岛(同日高术)、望松、望深谷代表了望高、知远、测深三个基本结果，其余诸题皆可由这三个基本公式得出．由于刘徽自注已佚，他怎样证明这些结果，学界未有定论．根据刘徽的数学水平，以率的原理和以出入相补原理来证明都是可信的，很可能同时采用这两种，如上两例然．此以立两表测海岛为例说明怎样以出入相补原理证明．已知表高、表间，以及使人目、表末及岛峰叁相直从两表却行的距离，两却行之差称为相多，刘徽提出岛高公式
岛高=表间×表高/相多+表高，
前表去岛公式
去岛=表间×前表却行/相多．
吴文俊认为证明方法如下：
∵ IK= IB， HJ= HB，
相减得
IK－ HJ= IC，
或
后表却行×(岛高－表高)－前表却行×(岛高－表高)
=表间×表高，
岛高=表间×表高/(后表却行－前表却行)+表高，此即岛高公式，又从 HJ= HB得
前表去岛×表高=前表却行×(岛高－表高)，
代入岛高公式，即得前表去岛公式．
立体问题中也可应用出入相补原理．棊验法就是如此．刘徽说：“说算者乃立棊三品，以效广深之积．”说明棊验法是刘徽前的一种传统方法．它是将所要讨论的立体分解或拼合成三品棊，即长、宽、高均为一尺的立方、堑堵、阳马(如图8)，适当加倍(如果需要的话)，重新拼合成一个或几个方体，从而推知其体积．显然，这种方法只适用于可分解或拼合成三品棊的特殊多面体，而对一般尺寸的多面体则无能为力．刘徽指出了它的局限性．例如三个长、宽、高一尺的阳马合成一个正方体，那么阳马棊的体积为正方体的1/3，这种方法对长、宽、高不等的阳马则无能为力．又如，上底宽1尺、长2尺，下底宽3尺、长4尺，高1尺的刍童可以分解成2个立方棊、6个堑堵棊、4个阳马棊(图9(1))．6个这样的刍童共12个立方棊、36个堑堵棊，24个阳马棊．它们可以重新组合成一个长10尺(两下底长加上底长)、宽3尺(下底宽)高1尺的长方体及一个长8尺(两上底长加下底长)、宽1尺、高1尺的长方体(图9(2)，(3))．因此，一个这样的刍童的体积为此两长方体体积之和的1/6．显然，它对一般的刍童是不适用的．
刘徽通过以盈补虚即出入相补证明了堑的体积公式
h的长方体，从而证明了公式．(图(10))
刘徽还用出入相补证明开平方、开立方程序的正确性．如开A的立方，初商a1，则
减根方程
无穷小分割在数学证明中的应用
1．割圆术——圆面积公式的证明．
《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“半周半径相乘得积步”，即
其中S、L、r分别表示圆面积、周长和半径．在刘徽之前，人们以圆内接正6边形周长代替L，以正12边形的面积代替S，出入相补，拼成一个长为正6边形周长、宽为r的矩形，验证(1)式，这实际上取π=3，当然不是严格证明．刘徽指出，以周三径一的论证“皆非也”，提出基于极限思想的割圆术严格证明了(1)式．
首先，刘徽从圆内接正6边形开始割圆，依次得到圆内接正6?2n边形(n=1，2，3，……)．他认为，割得愈细，即n愈大，圆内接正多边形与圆面积之差愈小．“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”即在不可割的状态，正多边形与圆周重合，其面积之差为0，换言之，若正6?2n边形的面积为Sn，有
另一方面，圆内接正多边形每边与圆周间有一余径rn．若以每边长ln乘余径rn得lnrn，加到Sn上，显然S6?2n＋6?2nlnrn＞S，亦即S6?2n＋2(Sn+1-Sn)＞S．但在正多边形与圆合体的情况下，“则表无余径．表
最后，将与圆合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小等腰三角形．由于以每边乘半径等于每个小等腰三角形面积的两倍，那么这无数个小等腰三角形面积之和应是半周与半径的乘积，正如刘徽所说：“以一面乘半径，解而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”即
这就完成了圆面积公式(1)的证明．
2．刘徽原理——锥体体积公式的证明刘徽极限思想最精彩的应用当推他关于阳马和鳖体积公式的证明．鳖是有下宽无下长，有上长无上宽，即每面都是勾股形的四面体(图13(1))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，六而一．”即
其中a是下宽，b是上长，h是高．阳马是一棱垂直于底面的四棱锥(图13(2))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”即
a、b为底的宽、长，h是高．刘徽指出，在a≠b≠h的情况下，由于“鳖殊形，阳马异体”，用棊验法“则难为之矣”，无法证明(2)、(3)式．他只好另辟蹊径．为此，刘徽首先提出一个重要原理：
邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖．阳马居二，鳖居一，不易之率也．
即对任一堑堵，将其分解为一阳马与一鳖，则恒有
Vy∶Vb=2∶1． (4)
(3)两式是显而易见的．这个原理可以称为刘徽原理．刘徽用无穷小分割证明了它．
他将一个鳖 (红色)与一个阳马(黑色)拼成一个堑堵①(图14(1))．再用三个互相垂直
的平面平分堑堵的长、宽、高(图14(2))，则阳马被分解为一个小长方体(Ⅰ)、两个小堑堵(Ⅱ、Ⅲ)和两个小阳马(Ⅳ、Ⅴ)(图14(3))；鳖被分解为两个小堑堵(Ⅱ＇、Ⅲ＇)和两个小鳖 (Ⅳ＇、Ⅴ＇)(图14(4))．鳖中两小红堑堵Ⅱ＇、Ⅲ＇与阳马中两小黑堑堵Ⅱ、Ⅲ拼成两个小长方体Ⅱ－Ⅱ＇、Ⅲ－Ⅲ＇，与小黑长方体Ⅰ，共三个全等的小长方体，其中属于阳马与属于鳖的体积之比为2∶1．两小红鳖Ⅳ＇、Ⅴ＇与两小黑阳马Ⅳ、Ⅴ恰是两小堑堵Ⅳ－Ⅳ＇、Ⅴ－Ⅴ＇、它们又可合成第四个全等的小长方体Ⅳ－Ⅳ＇－Ⅴ－Ⅴ＇，阳马与鳖在其中体积之比仍未知．总之，在原堑堵的3/4中已证明(4)式成立，在1/4中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”．(图14(5))
刘徽指出：“余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣．”就是说，在余下的1/4中能证明可知部分阳马与鳖体积之比仍为2∶1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖体积之比为2∶1．为什么呢？由于所余1/4中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似(图14(6))，因此可以重复刚才的分割，同样
(4)式尚末被证明．这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细．至细曰微，微则无形．由是言之，安取余哉？”无限分割到最后，没有证明(4)式成立的部分为0，换言之，在整个堑堵中证明了(4)式．
下面将看到，刘徽原理是刘徽体积理论的核心．
3．牟合方盖和截面积原理．
在证明其他面积和体积，尤其是曲面面积和圆体体积时，刘徽以另一种方式使用了无穷小分割．
刘徽指出，《九章算术》“开立圆术”所蕴涵的球体积公式
是错误的，其中D是球直径．他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖(图15)．他指出，球与外切牟合方盖的体积之比为π∶4：“合盖者，方率也；丸居其中，即圆率也．”刘徽虽然没能求出牟合方盖的体积，却指出了彻底解决球体积的正确途径．二百多年后，祖冲之父子求出了牟合方盖的体积，从而求出了球体积的正确公式．
刘徽能指出《九章算术》球体积公式的错误并指出应使球与牟合方盖比较，基于他对截面积原理的深刻认识．从《九章算术》商功章诸题的编排及刘徽注，可以看出，《九章算术》时代，人们通过比较有某种关系的两个等高立体的最大的截面积(通常是底面积)来解决圆体体积，而没有认识到必须任意等高处的截面积之比都等于最大截面积之比，方能作比较，从而错误地认为球与外切圆柱之比为π∶4．刘徽扬弃了《九章算术》的错误，认识到，必须两立体任意等高处的截面积都成定比．我们从他说的“上连无成不方，故方锥与阳马同实”(图16)，清楚地看出了这一思想．成，训层．就是说，等高同底的方锥与阳马因为每一层都是相等的方形，所以其体积才相等．显然，刘徽的这一思想与后来西方的卡瓦列利的不可分量原理十分接近．刘徽基于这种认识．提出了圆锥与外切方锥(图17(1))，圆亭与外切方亭、球与牟合方盖的体积之比均为π∶4，圆锥与等高的以圆锥底周为底边长的方锥体积之比是25∶314(相当于1∶4π，图17(2))．刘徽把中国古代关于截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖暅最后提出“缘幂势既同，则积不容异”的祖暅原理(即卡瓦列利原理)作了准备．
刘徽还提出圆锥表面积与外切方锥表面积(底除外)之比为π∶4．
4．极限思想在近似计算中的应用．
首先是圆周率的计算．刘徽指出，(1)式中的周、径“谓至然之数，非周三径一之率也．”因而需要求这个数即π的精确值．他利用上述的割圆程序，割直径为2尺的圆，由圆半径r 和圆内接正6?2n边形边长ln，两次运用勾股定理并开方，可以求出6?2n+1边形边长ln+1，刘徽依次求出l1，l2，l3，l4，算出正96(=6?24)边形面积
积S的近似值，利用(1)式反求出圆周长：“以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数．”接着“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也．”此即π=157/50
积的近似值，利用同样的程序求出π=3927/1250．并求出l8，算出S9，验证了这个值．这是中国古代第一次提出求圆周率的正确方法，它奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础．据信，祖冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字精确到8位．
刘徽指出《九章算术》弧田(弓形)术不精确．他由弧田的弦和矢，利用勾股定理，求出圆径，利用割圆思想，将弧割为二等分，由勾股定理，求出小弧之弦、矢，再将小弧二等分，如此继续下去(图18)，“割之又割，使至极细．但举弦矢相乘之数，则必近密率矣．”显然，求这些三角形的面积之和，可以将弧田面积精确到人们所需要的程度．
另一个杰出的应用便是开方中提出求微数的思想．《九章算术》在开方不尽时，“以面命之”．这是以被开方数的方根定义一个数，相当于无理数．至于其近似值，刘徽之前有的表示成：
以面命之，加定法如前，求其微数．微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也．”在开立方中也有类似的方法．显然，这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相同．并且，这种方法也源于他的极限思想．刘徽求微数的意义十分重大．求圆周率每一步都要开方．刘徽说：“开方除之，下至秒忽．又一退法，求其微数．微数无名者以为分子，以十为分母．”倘无求微数，计算精确的圆周率是不可能的．求微数是保证中国圆周率计算长期领先的先决条件．同时，刘徽的微数开创了十进小数的先河，对中国在宋、金时代最先使用小数起了促进作用．
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系
刘徽通过为《九章算术》作注，把自己的数学知识分散开来，好象杂乱无章，前后失次，实际上并不是这样．他说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已．”这个端是什么呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共．”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，度量指度、量、衡，表示数量关系．刘徽的话说明他认为数学方法起源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一．
由上文所列出的证明看出，其中的推理是演绎推理，因而其证明是演绎证明．刘徽证明的前提是若干公认的事实及已经证明过的公式、解法，这在上文已经述及．当然，还必须提
出许多定义．
在中国，数学定义最初出现在先秦的《墨经》中，可是，这种传统没有继承下来．《九章算术》没有任何定义，数学概念的含义靠约定俗成．刘徽继承墨家的传统，提出了若干定义．前面已经谈到率、方程的定义．又如正负数：“两算得失相反，要令正负以名之．”这个定义表明，两个相反的数，一个为正，则另一个必为负，不再是以盈为正，以欠为负的素朴描述，具有高度抽象性．根据这个定义，方程中各行系数，可以根据消元的方便而定：“可得使头位常相与异名．”面积：“凡广从相乘谓之幂．”根据这个定义，可以计算曲面的面积，甚至看来与面积无关的两数相乘问题，都可化为面积问题而解决．关于体积，刘徽没写出定义，但是，徧察《九章算术注》，刘徽只对《九章算术》53个问题的术文没写注，其中有52个问题(分别在卷二、三、八)，或者已注过总术，或已注过同类术文，刘徽主张简约，当然不必再注．那么，此外刘徽没作注的只有商功章方堡(方柱体)的体积公式．这不是疏忽，应该说，刘徽把它看成不能证明的事实，因此可以理解为定义．
刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法直至数学各部分之间的关系，以使数学成为“约而能周、通而不黩”的体系．不言而喻，刘徽的体系是与《九章算术》不同的．以体积问题为例．《九章算术》直至刘徽前，以棊验法为主要方法，只能证明特殊尺寸的多面体体积，而对《九章算术》大部分一般性体积公式无能为力，其正确性是归纳的结果．刘徽的体系则不然，他认为鳖臑(四面体)和阳马体积的证明是关键，在用无穷小分割完成其证明之后指出：“不有鳖臑，无以知阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也．”他又着力证明了几种不同的
刍甍、刍童、羡除等多面体分割成有限个长方体、堑堵、阳马及鳖臑，然后求其和以证明其体积公式．刘徽注清楚地表明，他的多面体理论是从长方体出发，以四面体体积公式的证明为核心，以演绎推理为主要方法的理论体系．又如，《九章算术》粟米、衰分和均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错、重复．刘徽用率统一了这三章的方法，不仅把比例、比例分配归结为今有术，而且将分数、追及、行程、程功、利息、均输等一般算术问题都化为今有问题，指出：今有术，“此都术也．”刘徽又推而广之，将率应用于面积、体积、解勾股形、盈不足、方程等问题，使率成为计算问题的纲纪．
总之，把刘徽分散到九章、上百条术文、246个题目中的数学知识根据他形诸文字者进行梳理，就会看到，数学在刘徽头脑中形成了一个独具特色的体系．它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数等的定义，运用齐同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪，其中没有任何循环推理．它“约而能周，通而不黩”，全面、简洁地反映了到公元三世纪为止的中国人民的数学知识．刘徽《九章算术注》不仅有概念、有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理．它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系，完成了由感性向理性，由惑然性向必然性的升华．
时代的产物学者的风度
何以在公元3世纪又何以是刘徽完成这样杰出的《九章算术注》？这需要分析当时的时代背景和刘徽的品格．
中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋时期发生了大变革，经济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封建社会进入一个新的阶段．与此相适应，繁琐的两汉经学和谶讳迷信被冷落；儒学衰微，代之而起的是以研究三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与活跃局
面．“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理胜，成为思想界的风气．汉末及三国时的社会动乱固然不利于数学的发展，然生产关系的变革及其带来的政治上的变革给数学的发展以新的机制．儒学影响的削弱，思想上的解放，使知识分子较能按自己的特长和社会的需要发挥才智，而少受追求功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，这就打开了数学研究中发挥创造性的大门．以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要证明其正确性，而以“析理”为要件的辩难之风的兴起促进了这个过程的完成．刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映．刘徽主张“要约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，都与嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，他们的许多用语、甚至句法也都相近．因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理，是不言而喻的．同时，我们由此断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，那么当生在公元3世纪20年代后期，或其后，他注《九章算术》时年仅30岁左右．随着儒学的衰微，不仅名家、道家重新抬头；即使秦汉以来视为异端的墨家也受到人们的重视，玄学家们经常孔、墨并称；此时，埋没200余年的王充《论衡》也传播开来．刘徽的无穷小分割思想中“不可割”的观点与墨家“不可”一脉相承，“微则无形”的观点源于《庄子》“至精无形”，刘徽的推理方式受到王充影响，等等，当然也是时代的产物．
北宋大观三年(1109)刘徽被封为淄乡男，据同时受封者多依其里贯来看，刘徽当是淄乡人．据《汉书》的资料，淄乡在今山东境内，可能在邹平县境．今山东地区，古是齐鲁之邦，是儒学的发祥地，稷下学宫招徕全国著名的学者，成为百家争鸣的中心之一．经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚，2、3世纪更出现了若干著名思想家，如徐干、仲长统、郑玄、王弼，曹魏时期，齐鲁地区是正始之音辩难之风的中心之一，刘徽注中不仅明确引用《墨子》、《考工记》、《左氏传》的话，而且对《周易》、《论语》、《管子》、《庄子》等先秦典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，说明他谙熟诸子百家言，是和他生活在齐鲁地区，受到良好的文化教养并置身于辩难之风之中分不开的．另一方面，公元2、3世纪，齐鲁地区数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、高堂隆、王粲等数学家，这就给刘徽少年时师承贤哲，成年后“采其所见”，深入研究准备了丰富的资料．在这样的客观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验、忽视理论研究的传统，向既重视实践，又重视理论研究的方向转化．而刘徽本人具有一个科学家的素养，则是他成功的内在因素．首先，他继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统．刘徽不管是证明《九章算术》的公式、解法，还是谈及数学起源的哲理问题，都是实事求是，没有神秘的成分．他说：“不有明据，辩之斯难．”全部《九章算术注》，其推理、证明都有可靠的论据和前提．他针对广为流传的“隶首造数”的说法，指出“其详未之闻也”．他在充分肯定了数学的作用之后说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也．”从根本上否定了圣人创造数学的看法．他批评张衡数学研究中欲协其阴阳奇偶而不顾数学上疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也．”与数字神秘主义划清了界限．刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用于自己的数学创造．但是他不迷信古人．《九章算术》在东汉已是经典著作，刘徽为之作注，对之自然十分推崇．然而刘徽并不盲从．他在全面论证了《九章算术》的公式、解法的同时，指出了它的若干错误及不精确处．如批评宛田术和开立圆术的错误．指出它有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆非也．”批评前人“世传此法，莫肯精覈，学者踵古，习其谬失．”同样，刘徽相信自己设计的牟合方盖是解决球体积的正确途径，然“判合总结，方圆相緾，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积．然而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，坦率地表示“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己的坦荡胸怀．刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的基础上尽量使用灵活的方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一端”．他以《庄子》中“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，
犹刃也．易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤．”因此，他对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，常常提出不同的理解途径，大大丰富了《九章算术》的内容．
当然，我们在表彰这位数学巨匠的功绩时，我们也不能不指出他的某些不足．刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者．就他的数学水平，完全可以写出一部水平更高的自成体系的著作来，然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》当然大有裨益．但作注的形式却限制了他的数学创造、数学方法的展开，也限制了他的思想对后世的影响．比如就极限思想而言，从现存中国古算著作看，在李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至没有达到刘徽的水平．刘徽说：“一者，数之母，”即把任何数都看成可以用1的积累表示出来，在有理数的范围内这无疑是正确的．同时，这种思想对求圆周率的近似值，求无理根的近似值而不必考虑哲学上的困难，无疑也是有贡献的．然而，这同时也关上了通向无理数的大门，使无理数的发现失之交臂．
2019年度初中数学名师工作总结 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 年度名师工作总结 时间飞逝，在繁忙和有序中xxxx年悄然而过。回顾加入“淮北市邱广东初中数学名师工作室”以来，我感受到这个集体给我带来的动力和收获，也让我在这个团队中快乐成长。这一年我虽然在原来的基础上取得一定的成绩和荣誉，但工作室导师及同事们的好学上进、乐于进取、勇于开拓的精神给予我很大的震撼力，让我在教育教学实践的岗位迈着坚实的步伐。成长是一个过程、成长是一份辛苦、成长格式一种快乐！一年来我收获了很多，同时也看到了自身不足，现将一年工作总结如下： 一、对话名师引领发展 名师工作室为我提供了一个很好的学习平台，市教育局岳局长在名师工作
室成立的大会上反复强调：名师工作室是我市官方承认的名师，是优秀教师的聚集地，应起到引领和辐射的作用。领导的殷切希望激励着我的前行。为我们的工作指明了方向！在领导的关心和首届名师的指导下，我于xxxx年8月初参加了安徽省级骨干教师的培训，聆听了我省部分教育专家的讲座，深刻领会“有效评价”命好题的含义，使我在理论水平上有所提升。一年来在邱广东老师的指导下，在邱老师的人格魅力和孜孜不倦的敬业精神感召下，还有汪敬潮老师拖着不太健康的身子工作的精神及体现的深厚的教育教学理论底蕴，深深的感染着我，牛新荣、李大兵、张传义、陈雨等年轻教师娴熟的课堂技能，满腔热情的工作态度时时激励着我。还有其他老师的工作能力和创新力在驱使着我，使我不能停下脚步，并让我在这个环境和氛围内不由自主的成长。市教研室陶学礼老师站在一定高度的点拨使我们更快成长成熟，教法逐步成型，形成工作室
初中数学教学案例 探索平行线 一、案例主例分析与设计 本案例是探讨华东师大版第四章第八节内容：平行线的性质。它是平行线的继续是后面研究平移等内容的基础，是空间和图形的主要组成部分。 《教学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展过程；动手实践、自主探究、合作交流。本节课将以“生活、数学活动、思考、表达、应用”为主线，以学生看的到、感受得到的基本因素创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考，积极探索主动获取数学知识，从而促进研究性学习方式的形式，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性的学习精神。 二、案例教学目标 1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问 题。 2、数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观 察、比较、联想、分析、归纳、猜想的全过程。 3、解决问题：通过探索平行线的性质，使学生形成数形结合 的数学思想，以及建模能力创新意识和创新精神。 4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与 研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作，
勇于探索、锲而不舍的精神。 三、案例教学的重点难点 1、重点：对平行线性质的掌握与应用。 2、难点：对平行线性质1的探究。 四、教学用具 多媒体课件、三角尺、量角器、剪刀 四、教学用具 五、教学过程 ㈠创设情景，设疑激思 1、播放一组幻灯片 内容：①空中架设的高压线 ②音乐书里的五线谱 2、师问：日常生活中我们会经常遇到平行线，你能说出平 行线的条件吗？ 3、学生活动，针对问题，学生思考后回答： 生1：同位角相等，两直线平行。 生2：内错角相等，两直线平行。 生3：同旁内角互补两直线平行。 4、教师肯定学生的回答，并引出新问题，若两直线平行那 么同位角，内错角，同旁内角各有什么关系。从而引出 课题§4．8探索平行线性质（板书） ㈡数形结合，探索性质
《二元一次方程组》教学设计 一、教学目标 1．知识与技能目标： （1）理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义； （2）会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解； （3）通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力。 2．过程与方法目标 从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩”“填一填”“试一试”“做一做”，加深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元一次方程组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。 3．情感与态度目标 从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，培养一种社会的责任感。 二、教学重点、难点 重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。 难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。 三、教学准备 多媒体、实物投影仪。 四、教学方法和手段 基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。 五、教学过程 环节一创设情境，探索新知
问题1：假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝，将这根铁丝首尾相连围成一个正方形，围出来的正方形都完全一样吗？ 问题2：同样用这根20厘米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样吗？你能用二元一次方程来表示吗？ 【设计意图】 ①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义； ②为探索新知做好铺垫。 问题3：前面两个问题中都存在二元一次方程10 = +y x,为何围成的长方形有无数种情况，而围成的正方形只有一种情况？ 【设计意图】 通过两个问题的对比，让学生感受到10 = +y x与y x=同时满足时，存在解的唯一性的过程，为二元一次方程组的形成做铺垫。 问题4：你能否通过增加一个条件，使同学们围成的长方形都完全一样吗？希望大家能增加更多不同类型的条件。 【设计意图】 ①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲，而且通过该开放性问题让学生真正感受二元一次方程组的形成； ②培养学生的合作意识以及团队精神； ③通过此问题引出二元一次方程组的概念。 【操作形式】 ①学生先思考，再分组合作，小组汇报； ②根据学生的汇报，教师引导，从而引出二元一次方程组的概念； ③教师备用： 10101010 ,,, 6223 x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+= ???? ???? ==-== ???? 。 巩固概念 请在下列方程中选出两个方程，组成二元一次方程组。 2 23,4,2,3,10 x y x y x y x y z -====++=。 问题5：你怎么能肯定，你所增加的一个条件就一定使长方形确定下来了
初中数学名师教案设计范文参考精选 教案是老师进行教学的重要道具，对教学有重要的作用，可以帮助老师更好地把控教学节奏。有了教案，老师可以更好地进行教学，提高自身的教学水平，更好地实现教学目标。优秀的教案设计对老师的帮助是非常大的，这里给大家分享一些优秀的教案设计，供大家参考。 初中数学勾股定理教案设计 一、教材分析：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。 教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。 据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。 2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。 3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。 4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。 二、教学重点：勾股定理的证明和应用。 三、教学难点：勾股定理的证明。
四、教法和学法: 教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点： 以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。 五、教学程序:本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下： (一)创设情境以古引新 1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。 2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。 3、板书课题，出示学习目标。(二)初步感知理解教材 教师指导学生自学教材，通过自学感悟理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼学生主动探究知识，养成良好的自学习惯。
初中数学教学课例 ——平行线的特征本节课是北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第二章第3节内容——平行线的特征，它是直线平行的继续，是学生八年级学习平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以“生活·数学”、“活动·思考”、“表达·应用”为主线开展课堂教学，教师要留给学生充分探索和交流的空间，鼓励学生运用多种方法进行探索，要重视学生的实际操作以及在操作过程中的思考，这对于发展学生的空间观念、理解平行线的特征是非常重要的。 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平行线的特征，并能解决相关问题。 2、过程与方法：在平行线的特征的探究过程中，让学生经历观察、比较、 联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程；通过探究平行线的特征使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识。 3、情感态度与价值观：通过学生动手操作、观察，来发展他们的空间观 念，培养其主动探索和合作的能力。 二、教学重、难点： 1、重点：有两直线平行得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 2、难点：平行线的特征与直线平行的条件的综合应用。 三、教学方法：小组讨论法
四、教具准备： 1、教具：多媒体平台及多媒体课件 2、学具：三角尺、量角器、剪刀 五、教学过程 （一）创设情境，设疑激思 播放一组幻灯片：①火车的铁轨；②笔直的公路； 师：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗（针对问题，学生思考后回答） 生1：同位角相等两直线平行； 生2：内错角相等两直线平行； 生3：同旁内角互补两直线平行； 师：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢我们这节课就一起来探索平行线的特征。 （二）数形结合，探究特征 画图探究，归纳猜想 师：请同学们在练习本上任意画出两条平行线（ a ∥ b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字 标角）（生动手画图，教师巡回指导） 师：请同学们指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
初中数学公开课教案[整理] 初中数学公开课教案 授课人陈丽美时间 2007年1月11日地点胶州26中多媒体教室科目数学年级七年级课题一元一次方程的应用 借助“线段图”分析行程问题中的数量关系～继续利用路程时间速度三个量之间的 关系～列方程解应用题。教学 目标通过观察、类比进一步培养学生的数学创新能力～培养学生与人合作的能力～培养 学生学习数学的热情。 通过新课的学习～学生已经掌握一元一次方程应用基本的解题思路、方法～会分析学情 简析解决简单的实际问题～但整个知识掌握不系统、不全面～解题正确率不高。教法发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件、彩色粉笔、小黑板等教学过程 教学环节教学内容教师活动学生活动创设问题趣味数学: 引导观察思考回答情境小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同提问 向而行～小明每小时走7千米～小刚每小时走 5千米～小明带了一只小狗～小狗每小时跑10 千米～小狗随小明同时出发～向小刚跑去～碰 到小刚后就立即回头向小明跑去～碰到小明后 再回头跑向小刚……,直到小明追上小刚时才 停住～求这条小狗一共跑了多少路,
回顾旧知温故知新提出问题思考回答 1.路程问题中路程速度时间三者的关系: 2.列方程解应用题的一般步骤: 3.路程问题中的两种基本题型: 例题赏析例1:一列慢车从某站开出～每小时行驶48千 米～45分钟后～一列快车也从该站出发～与慢 车同向而行～如要1.5小时追上慢车～快车每 小时需行多少千米, 过程展示: 相等关系:快车路程=慢车先行路程+慢车后行讲解分析计算 路程 解:设快车每小时行x千米～由题意得 1.5x=48×3/4 +48×1.5 解得:x=72 答:快车每小时需行72千米 巩固练习练习1:小红和小明家距离300米～两人沿同个别指导计算一条路线出发去某地～小明每秒跑4米～小红 骑自行车每秒行10米～若小明在小红的前面, 则小红多长时间可追上小明, 练习2:一队学生去校外进行军事野营训练～反馈纠正 以5千米/时的速度行进～走了12分钟的时候～ 学校要将一个紧急通知传给队长～通讯员从学 校出发骑自行车以14千米/时的速度～按原路 追上去～通讯员用多少时间可以追上学生队
刘徽 刘徽中国山东人．公元3世纪．数学． 刘徽生平不详．自述“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意．是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”．《晋书》、《隋书》之《律历志》称“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章》”．《九章算术注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海岛算经》为名单行．前九卷仍与《九章算术》合为一体行世．唐初李淳风奉敕编纂《算经十书》，《九章算术》和《海岛算经》列为其中两部．《九章算术注》之图及《海岛算经》之自注和图今已不传． 《九章算术》——刘徽继承的数学遗产 刘徽从事数学研究时，继承了一分以《九章算术》为主体的堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产，其基本情况是： 世界上最方便最先进的十进位置值制记数法和计算工具算筹在中国首创并已使用至少千年．算筹的截面已由圆变方，长度已由西汉的13厘米左右缩短为8—9厘米． 《九章算术》于公元前一世纪成书，至此时已300余年．光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、《九章算术》”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作．《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，《九章算术》或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式．公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面． 然而，《九章算术》也有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理．东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对《九章算术》的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大．其具体情况在论述刘徽的贡献时要提到． 面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上．率——计算的纲纪 《九章算术》上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求．刘徽《九章算术注》的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述． 为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量
初中数学教学案例——探索平行线的性质初中案例——探索平行线的性质 者海二中傅锜 一、案例实施背景 ⑴播放一组幻灯片。 内容：①供火车行驶的铁轨上；②游泳池中的泳道隔栏；③横格纸中的线。 ⑵提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？ ⑶学生活动：针对问题，学生思考后回答——①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行。 ⑷教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：探索平行线的性质(板书)。 2.数形结合，探究性质 ⑴画图探究，归纳猜想。
教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c 与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字标角） 教师提出研究性问题一： 指出图中的同位角，并度量这些角，填写结果： 第一组：同位角（）（）角的度数（）（）数量关系（） 第二组：同位角（）（）角的度数（）（）数量关系（） 第三组：同位角（）（）角的度数（）（）数量关系（） 第四组：同位角（）（）角的度数（）（）数量关系（） 教师提出研究性问题二： 将图中的同位角任先一组剪下后叠合。学生活动一：画图—剪图—叠合—猜想学生活动二：画图—剪图—叠合—猜想让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：两直线平行，同位角相等。 教师提出研究性问题三： 再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：探究、按小组讨论，最后得出结论：仍然成立。 ⑵教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想 ⑶教师展示平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等） 3.引申思考，培养创新 教师提出研究性问题四： 请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？学生活动：独立探究——小组讨论——成果展示。 教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生说理 因为a∥b（已知）所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等） 又∠1＝∠3（对顶角相等）∠1+∠4＝180°（邻补角的定义） 所以∠2＝∠3（等量代换）∠2+∠4＝180°（等量代换）
初中数学名师讲课心得体会3篇 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《初中数学名师讲课心得体会3篇》的内容，具体内容：听了名师上的数学课，受益匪浅。本文是初中数学名师讲课的心得体会，欢迎阅读。初中数学名师讲课心得体会一：通过观摩名师讲课，我懂得了做一名师优秀的数学老师，不仅仅是知识传出去... 听了名师上的数学课，受益匪浅。本文是初中数学名师讲课的心得体会，欢迎阅读。 初中数学名师讲课心得体会一： 通过观摩名师讲课，我懂得了做一名师优秀的数学老师，不仅仅是知识传出去，而且需要的是怎样让学生把知识吸收进来。他们的做法，给了我答案：培养学生数学学习的兴趣，让他们做学习的主人。经过一番思考，本人今后打算从培养学生兴趣入手，力争让人人都能在学数学中找到乐趣，具体做法如下： 1、让爱心充满课堂数学学科本身很抽象，有时候甚至很枯燥，因而课堂教学应是学科渗透，师生互动思想碰撞，相互交流，师生共同成长的历程。上课热情洋溢，激情似火，不讥笑学生，就能点燃学生心中求知的火焰，尽力给予学生鼓励性的评价，保护学生的自尊和自信，细心洞察任何一个学生乐趣的闪光点。 2、让学生自己当老师强调能者为师，才能充分体现和实现学生的主体地位，让学生畅所欲言，尽情表述自己对某知识点的理解与想法，带着知
识走向学生，不过是"授人以鱼"，带着学生走向知识，才是"授人以渔"。学生在学习过程中，有时一题多解，可以采取学生交流，讲解的办法。通过不同学生的不同展示，使学生意识到知识的活性，增强一部分学生的兴趣及另外一部分学生的信心，从而对整个班集体的学习起到一定的推动作用。 3、善用教师的人格魅力教师的言语，行为、情趣、人品是影响学生发展成长的关键因素。运用数学本身的魁力激发学生求知的欲望和情感，同时，教师本身以饱满的热情，强烈的求知欲、热爱数学学科的兴趣及广阔的知识，带领学生去探索数学世界的奥秘，就会对学生的学习兴趣产生影响。 4、创设新颖的问题情境教学过程中，教师要从教学效果出发，通过精心设计，将最新的教学理念融入到每节课的教学过程中，注意广泛收集教学学科最新成果，结合教学内容，巧妙地包装，隆重地介绍;激发学生的求知欲和兴趣，在教学过程中，教师还可以指导学生运用实验法，谈活法，调查法等学习方法，使学生从被动的学习方式中解脱出来，进行自立主式研究性学习。 初中数学名师讲课心得体会二： 曾经看过这样一段话：名师是大树，能改善一方环境，且在枝叶间闪动精彩。最重要的是，名师启发了我们，课堂是个有魅力的地方。于是，我渴望能有机会与名师近距离接触，希望能聆听他们的教育思想，目睹他们的教学风采，也好让自己从中受到启迪，向他们靠边近一点点。去年夏天，有幸聆听了东北三省专家型体育教师和各学科带头人的新课程教学观摩
课题：二元一次方程 一、教学目标： 1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念; 2．学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 3．学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示; 4.在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育. 二、教学重点、难点： 重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念. 难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程. 三、教学方法与教学手段： 通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点. 四、教学过程： 1.情景导入： 新闻链接：桐乡70岁以上老人可领取生活补助, 得到方程：80a+150b=902 880. 2.新课教学： 引导学生观察方程80a+150b=902 880与一元一次方程有异同？ 得出二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程. 做一做： （1）根据题意列出方程: ①小明去看望奶奶，买了5 kg苹果和3 kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg , 梨的单价y元/kg ； ②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，可得方程： . （2）课本P80练习2. 判定哪些式子是二元一次方程方程. 合作学习： 活动背景爱心满人间——记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动. 问题：参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人. 团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行? 为什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等? 由学生检验得出代入方程后，能使方程两边相等. 得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 并提出注意二元一次方程解的书写方法.
初中数学海兰名师工作室三年发展规划 大魏庄中学严海兰 (2018.10～2021.10) 一．指导思想 工作室以科学发展观为指导，以创新为主旋律，立足学科实际，用先进的教育思想来引领，紧扣初中数学学科教学发展需求，搭建促进中青年教师专业成长以及名师自我提升的发展平台，打造一支初中数学教学领域中有成就、有影响的教师团队，努力促进我校科研工作的科学发展。 二．三年工作目标 (一)总目标：工作室将围绕清苑区教育局的指导意见，以“专业引领、同伴互助、交流研讨、共同发展”为宗旨，以教育科研为先导，以课堂教学为主阵地，以网络为交流载体，融科学性、实践性、研究性于一体，遵循优秀教师的成长规律，通过三年为一个周期的工作计划的实施，有效推动名师工作室成员的专业成长，力争形成在全区内有较大影响的、具有引领和辐射作用的中学数学骨干教师研修队伍。 (二)具体目标 1．打造一个有特色的教研团队。力求在一个工作周期内使工作室成员在师德规范上出样板，课堂教学上出精品，课题研究上出成果，实现工作室所有成员的专业成长和专业化发展。 2．做好一个有价值的课题研究。利用集体的智慧，积极开展“动态生成式课堂”教学研究。让兴趣的种子根植于学生课堂之中，使学生都能够经历数学学习的三种境界（做数学、玩数学、享受数学），让学生从中享受到数学学习的快乐。 3．上好一节高质量的课堂观摩。工作室的每一位成员，每年都要在区或区以上上一节高质量的观摩课，并邀请有关专家进行指导点评，借此机会利用工作
室的平台组织召开研讨会、报告会、名师论坛，有目的、有计划、有步骤地传播先进的教育理念和教学方法，充分发挥名师的带头、示范、辐射作用。 4．搭建一个多功能的网络平台。开创本工作室网络平台，及时传递工作室成员之间的学习成果，交流“工作室”的研究成果，使网络平台能成为中学数学学科教学动态工作站、成果辐射源和资源生成站，以互动的形式面向广大教师和学生及家长，使师生广泛受益。 5．取得一批有意义的科研成果。工作室教育教学、教科研等成果以论文、研究报告、案例、录像课等形式向外输出，汇集成册。 三．三年目标的分步实施方案 第一阶段（2018年12月至2019年10月） 各成员根据自身基础和发展潜力，制订个人三年发展规划，明确自身追求目标，并进行合理分解。工作室以公开教学、组织研讨、现场指导、专题研究、课题研究等形式广泛开展活动，营造成员间相互学习、交流、研究、合作的良好环境，促使成员自身专业能力较以前有显著提高。 第二阶段（2019年10月至2020年10月） 有成员在区级及以上课堂教学评比中获奖，建立起工作室成员学科教育教学活动资源库。各成员有明确的教学心得和思考，并有一定的研究成果，并以论文、专题讲座、网络等形式向同行辐射、示范，显现成果，形成一定影响。 第三阶段（2020年10月至2021年10月） 不同基础的成员，实现不同跨度的发展，努力培养出几名区级及以上的骨干教师和学科带头人。同时，全面总结和整理工作室的研究成果和经验，并利用各种形式呈现，打造工作室的特色。 四．工作任务 1．组织研修成员理论学习，快速提高专业素养
初中数学课堂教学案例分析 一、教学案例实录 教学过程： （一）．导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程 来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．师：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。 （二）.探索新知 问题情境：有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析:（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？（5）解方程并得出结论，对比几种方 法各有什么特点？ 解答:设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮 传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。 于是可列方程：1+x+x(1+x)=121 解方程得x1=10，x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人。 思考：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？ 活动方略：教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的 方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题。 设计意图：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验。 (三).当堂训练及分析 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出 多少小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支， 则1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0。 解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去） 答：每个支干长出9个小分支。
漫漫教学路，吾将上下而求索 我喜欢这样一句话：“人有人的品性，鱼有鱼的逻辑，树有树的尊严”，作为老师，我尊重自己教的每一个孩子，尊重每一个独立的个体，在教学上，我不断的努力、学习、调整，尽量的适应更多的人喜欢听，听得懂，在课堂有效的时间内，老师对知识清晰的讲授、正确有效的引导、培养学生独立学习、合作交流是课堂组成最主要的部分。在这个信息时代、知识时代、经济时代，学生需要学会、掌握的知识越来越多，获得知识技能的途径和方法也越来越多，初中数学教师讲授只是学生获得知识的方法之一。所以，课堂上有效的教与学，老师的教学风格显得非常重要，好的老师授课时常常是友好的、幽默的、热情的且流畅的。它能激发出学生的潜能、开启学生的心智、促使他们全身心地参与，引导他们在师生、生生互动中自主地建构知识。 在研读《新课程标准》过程中，给我打开了新的视野，教师的教学讲授并不是要“宣布”某种事先存在的、不容置疑的金科玉律，而是要在互动与对话中，通过教师提供的自身对教材内容的“理解”，来促进、引导和支持学生运用已有的经验，进行知识的自主建构。因此，较为成熟的，有老师自我风格的，自我意识的言语讲授，无论是从出发点，还是操作上就根本不同于以往的“灌注”的做法。长此以往的努力，终将形成了较为鲜明的自我教学风格。这个是需要自己在长期教学实践中逐步形成的、富有成效的一贯的教学观点、教学技巧和教学作风的独特结合的作用，是教学工作个性化的稳定状态的标志。下面结合我自己的教学经历，说一说我是怎样在数学教学中逐步形成自己的教学风格、渗透自己的教育理念的。 一、初生牛犊不怕虎，自我满足阶段 自从成为了一名老师，除了刻苦钻研大纲、教材，大量解题，深入研究解题规律，苦练教学语言、板书、黑板画等教学基本功以外，我还把自己的课调开，争取每天听同课老师的课，听完再讲，一有机会也听其他年级、其他科目老师的课，通过听课、观摩，学习老师们的优良教风，吸取他们教学技艺、教学风格中的精华，结合自身条件和特点，扬长避短，以模拟起步。更加珍惜外出学习的机会，那些名家高手在教学中富有特色的一招一式都有很高的示范价值。当时我的想法是：博采众长，把这些老师各自教学特色中最亮丽的“闪光点”汇聚起来，用心领悟其真谛，归纳出在数学教学中遵循的若干个“要”和“不要”，并从讲台形象、语言特点、教法技巧等方面给自己“量体裁衣”，进行总体设计，在脑海中构画出一个理想化的教学风格“样板模型”，供自己在实践中模拟，力求形成自己行之有效的教学特色。 经过十四年的反复实践、反复磨练，我初步形成了自己教学风格的基本式样：讲台形象——朴实、镇定、自信，精神抖擞；教学思路——脉络分明，条理清晰；语言表达——严谨、生动、幽默；板书——工整，详略得当；黑板画——规范、
听初中数学名师讲课的体会篇一：初中数学课听课心得体会 初中数学听课心得体会 本周我有幸在我的母校东郭中学听课学习，观摩了几位老师数学优质课，半天的听课学习我收获很大，从几个老师的讲解中，我了解了：新课程理念下的数学教学，强调数学来自于生活，又回归于生活。生活中的数学教学本质是培养学生的应用与创新能力。下面结合自己的教学实际谈谈自己在数学教学实践中的一些做法。 一、教师善于创设情境 教师在教学过程中创设的情境，目标明确，能为教学服务。通过创设情境，让学生感觉数学是有趣的。学生的学习是认知和情感的结合。每一个学生都渴望挑战，渴望挑战带来的成功，这是学生的心理共性。成功是一种巨大的情绪力量，它能使学生产生主动求知的心理冲突，因此，教师在课堂教学中，要有意识地设各种情境，为学生提供挑战的机会，不失时机地为他们走向成功。 二、教师精心设计了教学课件 教学课件制作精良，充分发挥了多媒体技术在课堂教学中的重要作用，从课题材料的搜集上和视听效果上，都非常富有创意，如花似锦，引人入胜，而且都非常贴近学生生
活，做到学数学用数学。体现了数学来源于生活，运用到生活中使枯燥的数学教学变得形象直观，充分激发学生的学习兴趣更有利于学生对所学知识得牢固掌握。 三、教师的教学语言富有感染力 教师的教学语言是至关重要的，不但要有准确的数学专业用语，让学生听懂理解知识，而且要有些诙谐幽默的话，吸引学生的注意力，使课堂气氛活跃。教师要有及时的课堂评价，随时关注了学生的情感，多表扬来能调动学生学习的积极性。 四、师生互动环节引人入胜，氛围融洽。 在数学教学中，根据学生的心理发展特点，把枯燥、呆板的课堂教学改变了，从而也培养了学生学习数学的兴趣，激发了孩子的求知欲。尤其是在听课过程中，我更加深刻的体会到这些数学教师教学方法的与众不同，我感受到老师和学生之间是如此的默契……看到每个老师都精心的设计每一堂课，从板书、内容，结构紧凑，环环相扣。既学习了新知识，又增加了练习量，还激发了学生大脑思维的深度，那种工作态度与热情都值得我们每个人去学习，在他们的课堂上很少有见到不学习的孩子，因为他们都深深地被老师的课所吸引着。 五、以学生为主体，教师为主导
初中数学教学案例及反思 ——多边形内角和 一、教学目标 1、知识目标：了解多边形内角和公式。 2、数学思考：通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 4、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 二、教学重、难点 重点：探索多边形内角和。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 三、教学方法：引导发现法、讨论法 四、教具、学具 教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器 五、教学媒体：大屏幕、实物投影 六、教学过程： （一）创设情境，设疑激思 师：大家都知道三角形的内角和是180o，那么四边形的内角和，你知道吗？ 活动一：探究四边形内角和。 在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的
方法。 方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360o。 方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360o。 接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。 师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？ 活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。 学生先独立思考每个问题再分组讨论。 关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。 （2）学生能否采用不同的方法。 学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和） 方法1：把五边形分成三个三角形，3个180o的和是540o。 方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180o的和减去一个周角360o。结果得540o。 方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180o的和减去一个平角180o，结果得540o。 方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180o加上360o，结果得540o。 师：你真聪明！做到了学以致用。 交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。 得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、十边
莱布尼茨 莱布尼茨 数学 微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列 0，1，4，9 16，… 的性质，例如它的第一阶差为 1，3，5，7，…， 第二阶差则恒等于 2，2，2，… 等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和 莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的： 初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献． 对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值． 利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题： (1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx． (2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和． 有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我
初中数学名师工作室成员2016年度个人研修计划 初中数学名师工作室成员2016年度个人研修计划 转眼从教已十六年，始终勤于研讨，积极创新，摆脱职业倦怠，敬业乐业。2015 年有幸成为**区数学名师工作室的一员，深感荣幸，又倍感责任重大，为了更好地参与2016年研修工作，特制定2016年个人研修的研修计划： 1 、参加研修活动 积极参加工作室组织的各种集体活动，积极撰写研修心得，及时发布博客，在研修活动中向专家和同行多请教，多学习，争取尽快提高自己的教育教学水平。 2 、争取上公开课 平时要多看一些名师课堂，多听一些专家的报告，及时反思和总结，将专家的先进教学理念纳入到课堂教学之中，2016年在主持人的统一安排下，要积极开展公开教学，在实践中发现不足，在实践中寻求进步，进而尽快实现自身的专业成长。 3 、阅读专业期刊 2016年继续自费订阅相关数学专业期刊，认真阅读研究期刊中的文章，进一步提高自身的理论水平和课堂教学的实践能力。 4、参与课题研究 提倡教科研一体化。在做好教学工作的同时还要进行专项课题的深入研究，以研促教，围绕工作室课题展开探讨，查阅资料，搜集材料，使教学和科研更有机的结合，做到教与学的完美统一。 5、撰写论文 通过撰写论文不断提升教育教学的理论素养，提高写作水平和能力。为了撰写好一篇高质量的论文，我要努力做好平时课堂教学实践的积累，尤其是教学中精彩的片段，有趣的活动，新颖的设计，巧妙的安排，有效的方法，合理的组织等等，将每一个素材进行分析与总结。每学年完成一篇高质量的论文。
以上是2016学年我要完成和探索的目标，为此我会努力工作提升自己，在名师工作室同仁们的帮助下，取得更大的进步！
《二元一次方程》教学设计 一、教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育人教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 二、教学目标 (一)知识与技能： 1．了解二元一次方程概念； 2．了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性； 3．会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。 (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、教学重点与难点 教学重点：二元一次方程及其解的概念。 教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 四、教法与学法分析 教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、教学过程 1．创设情境，引入新课
从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。（1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球) 师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？ （2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球) 师：这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了x个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。 （3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题。 （设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点燃学习新知识的“导火索”，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”“乐学”。） 2．探索交流，汲取新知 概念思辨，归纳二元一次方程的特征 师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答） 师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学们思考后回答） 师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？ 活动：你自己构造一个二元一次方程。