全国教师教育网络联盟2004年秋季入学联考
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高等数学
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目 录
第一章 函数 1
一、内容提要 1
二、典型例题 2
第二章 极限与连续 6
一、内容提要 6
二、典型例题 8
第三章 导数与微分 13
一、内容提要 13
二、典型例题 15
第四章 导数的应用 20
一、内容提要 20
二、典型例题 22
第五章 不定积分 27
一、内容提要 27
二、典型例题 28
第六章 定积分及其应用 32
一、内容提要 32
二、典型例题 33
第七章 多元函数微积分 37
一、内容提要 37
二、典型例题 39
第一章 函数
一、内容提要
1、函数
（1）定义：设有两个变量x与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。
（2）定义中两要素：定义域与对应法则。
定义域：自变量x的取值范围。
对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。
（3）注意两点：
①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。
2、反函数
（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。
（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。
3隐函数
定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。
4、函数的简单性质
有界性，奇偶性，单调性与周期性。
5、复合函数
（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[(x)]。
（2）几个注意的问题：
①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。
②要使复合函数y=f[(x)]有意义，必须满足函数u=(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。
6、基本初等函数与初等函数
（1）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
（2）初等函数
由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
二、典型例题
1、函数定义域
例1 求函数y=
的定义域
解 要使函数表达式有意义，x要满足：
即
所以函数的定义域为[-1，0) (0，1].
例2 求函数的定义域.
解 要使函数表达式有意义，x要满足：
即
所以函数的定义域为（1，2）（2，4].
例3 求函数f(x)=的定义域.
解 函数f(x)的定义域是[0，2].
例4 设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+a)的定义域.
解 f(x)的定义域为[0，1] 0
由0 得
所以函数f(x+a)的定义域为[-a，1-a] .
小 结
所谓的函数的定义域就是自变量x的允许取值范围，因此
（1）对于用数学表达式表示的函数，其定义域就是使表达式有意义的x的取值范围，因此要注意某些运算对函数的限制。一些常见的限制有：
①在分式中的分母不能为零；
②在根式中负数不能开偶次方根；
③在对数中，真数要大于零；
④在反三角函数中，要符合反三角函数的定义域。
（2）对于已知f(x)的定义域，要求y=f[(x)]的定义域，只要将f(x)中的x的变化范围当成(x)的变化范围，再从中解出x的变化范围，这个x的变化范围就是函数 f[(x)]的定义域。例如，函数f(x)的定义域为[1，2]，则可得f(ax)（a>0）的定义域为。
（3）对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。
（4）如果函数的表达式由若干项组成，它的定义域是各项定义域的公共部分。
2、函数值与函数记号
例1 若f(x)=x3+1，求f(x2)，[f(x)]2，f(0)及f(a+1).
解 f(x2)=(x2)3+1=x6+1.
[f(x)]2=(x3+1)2=x6+2x3+1
f(0)=03+1=1，
f(a+1)=(a+1)3+1.
例2 设f(x+1)=x2+4x-3，求f(x)，.
解 令x+1=t，解得x=t-1，代入原式得
f(t)=(t-1)2+4(t-1)-3=t2+2t-6 .
故 f(x)=x2+2x-6 .
=
例3 设f(x)= ，求（1）f(x-1)；（2）f(x)-1；（3）；
（4）f [].
解 （1）f(x-1)=
（2）f(x)-1=
（3）=
（4）f []=f
例4 设f(x)= 求f(-2)，f，f(1.5) .
解 f(-2)=
f=
f(1.5)=2
小 结
（1）已知函数f(x)的表达式，要求某一点x0的函数值f(x0)或求函数f[(x)]的表达式，只要将f (x)表达式中的字母x换成x0或(x)，再进行计算整理即得所求。
（2）若已知f[(x)]的表达式，要求f (x)的表达式，一般可令(x)=t，从中解出x=，将(x)=t及x=代入原表达式可得关于变量t的函数表达式，再将字母t换成x，即得函数f(x)的表达式。
（3）若求分段函数在某点x0处的函数值，要先判断x0在哪个分段区间，再用相应的表达式求出函数值。
3、反函数的求法
例1 设y=1+lg(x+2)，求它的反函数。
解 因为y-1=lg(x+2)
所以x+2=10y-1
即x=10y-1-2 所求的反函
数为y=10x-1-2 ，
例2 求函数y= 的反函数
解 由y=得y=
因为 故
所以 所求的反函数为
小 结
求函数y=f(x)的反函数的基本方法为：
第一步 由y=f(x)解出x=(y)；
第二步 把x=(y)中的字母x换成y，y换成x，得y= (x), y= (x)就是函数y= f (x)的反函数。
第二步 写出反函数的定义域（它就是直接函数的值域）
4、判断函数的奇偶性
例 判断下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数：
(1)f(x)=sinx-cosx； (2)f(x)=
(3)f(x)=
解 (1)f(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx
f(x)是非奇非偶函数
(2) f(-x)=
f(x)是奇函数.
(3)f(-x)=
=f(x).
f(x)是偶函数。
小 结
（1）判断函数f(x)的奇偶性的基本方法是先求出f(-x)的表达式，然后与f(x)的表达式相比较，若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数，若f(-x)= -f(x)，则f(x)是奇函数，若f(-x)既不与f(x)相等，也不与- f(x)相等，则f(x)是非奇非偶函数。
（2）有几个结论需记住：两个奇函数的乘积是偶函数，两个偶函数的乘积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
第二章 极限与连续
一、内容提要
1、函数的极限
（1）函数f(x)在x0处的极限
如果当x无限地接近x0（但不等于x0）时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限。记为
f(x)=A
（2）函数f(x)当时的极限
如果当x的绝对值无限增大时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x趋于无穷大时的极限，记为f(x)=A
（3）单侧极限
如果当x从x0的左侧无限趋于x0时，对应的函数值无限地接近于某一个确定的常数A，则称A为函数f(x)在x0处的左极限。记为f(x)=A或f(x)=A 或
如果当x从x0的右侧无限地接近x0时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A，则称A为f(x)在x0处的右极限，记
为f(x)=A或f(x)=A
（4）极限存在的条件
函数f(x)当时极限存在的充分必要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且相等，即
f(x)=Af(x)= f(x)=A
2、极限的四则运算法则
设f(x)=A，g(x)=B，那么
[f(x)g(x)]=f(x) g(x)=AB;
[f(x)? g(x)]=f(x) ?g(x)=A?B, kf(x)=KA;
上述法则对也成立。
3、两个重要极限
（1）
（2）(1+x)=e 或(1+)x=e
4、无穷小量与无穷大量
（1）无穷小量的定义
若f(x)=０（或 f(x)=0）,则称函数f(x)为（或）时的无穷小量，简称无穷小．
（2）无穷大量的定义
若当x无限接近于x0时 （或x的绝对值无限增大时），函数的绝对值能大于任意给定
的正数M，则称f(x)
是当（或）时的无穷大量，简称无穷大，且简记为f(x)=或（ f(x)=）。
（3）性质与关系
①有限个无穷小的和仍是无穷小；
②有界量与无穷小的积仍是无穷小；
③在自变量的同一变化过程中，如果函数f（x）为无穷大，则为无穷小；如果f(x)为无穷小且f(x)0，则为无穷大。
5、函数的连续性与间断性
（1）函数的连续性定义
设函数y= f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果f(x)= f(x0)，则称函数y= f(x)在点x0处连续，点x0称为函数的连续点。
（2）函数连续性等价定义
f(x)= f(x0) （其中
（3）单侧连续
若f(x)= f(x0)，则称f(x)在x0处左连续；
若f(x)= f(x0)，则称f(x)在x0处右连续；
函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在x0处既左连续且右连续。
（4）区间上连续
若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)内连续。若f(x) 在(a,b)内连续，且在区间的左端点a处右连续，在区间右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a，b]上连续。
（5）间断点
若函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处间断，点x0称为函数的间断点。
（6）初等函数的连续性
初等函数在其定义域内的每一点都是连续的，由此可得初等函数的定义域就是该函数的连续区间。
6、闭区间上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必能取到最大值和最小值。
（2）介值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必能取到最大值M和最小值m之间的任何一个中间值C（m
求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限（此法将在第四章导数应用中作专门介绍）等。
1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限
例1 求
解 == -9
例2 求
解 ==
例3 求
解 =
==
=
例4 若=4，求K值
解 设x2-2x+k=（x-3）（x-a），则
==（x-a）=3-a，
因为=4，所以3-a=4，即a= -1，
于是有x2-2x+k=(x-3)(x+1)，x2-2x+k=x2-2x-3，
所以 K= -3.
2、利用两个重要极限求极限
例1 求
解 =令u=
例2 求
解 =
=.
例3 求
解 =
=.
例4 求下列函数的极限：
（1）； （2）.
解 （1）= 令t=3x .
（2）=3x=0（因为，而sin3x是有界函数）
例5 求xsin
解 xsin=
小 结
我们经常会碰到利用
二个重要极限求函数的极限，解题的基本技巧是通过恰当的变换，把所求函数极限化为重要极限的标准结构形式，另外在利用重要极限计算函数极限时，
一定注意自变量的变化趋势，如=e，但就不等于e了，而是才等于e .
3、求分段函数在指定点的极限
例 设 求：（1）f(x) ; (2) f(x) .
解（1）因为0(-1,1),所以f(x)= 3x=0.
（2）因为f(x)=3x=3，
f(x)=3x2=3，
所以f(x)=3.
小 结
求分段函数在某点x0的极限,如果要求的点x0的左、右两侧函数的表达式不相同，则必须先分别求出f(x)在x0点处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)，若f(x0-0)与f(x0+0)都存在且相等，那么f(x)存在且与它们相等，若f(x0-0)与f(x0+0)中有一个或两个不存在，或f(x0-0)f(x0+0)，则f(x)不存在，如果要求的点x0的左、右两侧函数表达式相同，那末就不必分左、右极限求，直接就可求它的极限。
4、利用无穷小量求极限
例1 求
解 而
=0
例2 求=
而
=0
5、判断函数在指定点的连续性
例1 判断函数 在x=0处的连续性。
解 因为f(x)= =
=.
又因为 f(0)= ，
所以函数f(x)在x=0处连续。
例2 若f(x)=在x=0处连续，求A。
解 f(x)= =[]=e，
而f(0)=A，且f(x)在x=0处连续，
所以 A=e
例3 设f(x)=在x=0处连续，求A。
解 f(x)= A=A=A
而f(0)=2，且f(x)在x=0处连续。
A=2
小 结
判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。
6、求函数的连续区间
例 求函数f(x)=的连续区间。
解 因为f(x)的定义域为x2-3x+20，即(x-1)(x-2)0得x1且x2。
所以函数f(x)的连续区间是
小 结
由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。
7、求函数间断点。
例1 求函数f(x)＝的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使(x+2)2=0的点为x= -2，
x= -2是函数f(x)的间断点。
例2 求函数f(x)=的间断点。
解 f(x)= =(1-x)=2
而f(-1)=0 故f(x)f(-1)
x= -1是f(x)的间断点。
第三章 导数与微分
一、内容提要
1、导数的定义
设函数y= f(x)在点x0的某一领域内有定义，如果极限=存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y= f(x)在点x0处的导数，记为(x0)或。
如果极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。
导数
的另一种表达形式为(x0)=。
2、导数的几何意义
函数y= f(x)在点x0处的导数(x0)表示曲线y= f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。
如果曲线y= f(x)在点x0处可导，则曲线y= f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为
y-(x0)= ( x0)(x-x0).
3、求导方法
（1）基本初等函数的导数公式
=0 （c为常数）；
=axa-1 （a为任意实数）；
=axlna， (ex)ex；
(log)， (lnx);
(sinx)cosx; (cosx) -sinx; (tanx)sec2x=;
(cotx)-csc2x= -; (secx)secxtanx;
(cscx) -cscxcotx;
(arcsinx) (-1
(arccotx).
（2）导数的四则运算法则
若u=u(x), v=v(x)均为可导函数，则有：
(uv)u' ;
(uv) +;
；
(cu)cu′（c为常数）；
（3）复合函数的求导法则
设u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应的u点可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且或简化为
（4）隐函数的求导法则
设函数y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的可导函数,则其导数可以由方程F(x,y)=0求得,具体求法可分两步:
第一步:将方程F(x,y)=0两边对自变量x求导,视y为中间变量,得到一个关于的一次方程；
第二步：解方程，求出。
（5）高阶导数
设函数y=f(x)可导，如果 (x)的导数存在，则称它为函数y=f(x)的二阶导数，记为.
如果二阶导数的导数存在,则称它为三阶导数,如果y=f(x)的(n-1)阶导数的导数存在,则称它为f(x)的n阶导数，记为f(n)(x)或或y(n)。
4、函数的微分
设函数y=f(x)在点x处有导数(x)，自变量x的增量为，则称乘积(x)x为函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy= (x) 。此时，称函数在点x处可微。
二、典型例题
1、 求导数
例1 求下列函数的导数：
（1）y=x3++arctanx+ln2,求；
（2）y=，求(1)；
（3）y=,求.
（4）y=，求
解（1）=3x2+.
（2）y=,
=
(1)=
（3）
（4）=
例2 求下列函数的导数：
（1）y=sin3x； （2）y=sin3x； （3）y=sinx3.
解(1)=3sin2xcosx.
(2)=cos3x=3cos3x.
(3)=cosx3x2=3x2cosx3.
例3 设y=sin2,求.
解=2sin(sin)2sincos()2sincos.(-)
= -sin
例4 设y=e-3x+ln(2x3+1), 求.
解 y'= e-3x (-3x)'+
= -3e-3x+
=-3e-3x +
例5 设y=ln(x+) (a>0),求
解 =(x+)(1+)
=
小 结
求导数的难点和重点是复合函数求导。求复合函数的导数，关键在于如何把一个复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算，在求导时要按照复合次序由外到里，一层层地对中间变量求导，直
到对自变量求导为止，计算熟练后，中间变量可以不必写出来，只要心里搞清楚就行了。
2、 隐函数求导
例1 设y是由方程x3+y3-3axy=0所确定的函数,求
解 方程两边同时对x求导：3x2+3y2-3a(y+x)=0,
即(3y2-3ax)=3ay-3x2
=
例2 求隐函数x2-xy+y2=7在点(2,-1)处的一阶导数。
解 方程两边对x求导有：2x-(y+x)+2y=0
即 (-x+2y)=y-2x
=
3、 高阶导数
例1 设f(x)=x3+cos(2x+)+e2x,求(0).
解 + 2e2x.
+ 4e2x.
=0-4
例2 求f(x)=ln(ln2x)的二阶导数.
解 ，
= -
4、导数的几何应用
例1 求曲线y=上过点（2，3）的切线的斜率。
解 =
所求切线的斜率为2.
例2 求抛物线y=x2上点处的切线方程.
解
抛物线y=x2上点处的切线方程为
y-=
即 4x+4y+1=0.
例3 在曲线y=上求一点M0，使过M0的切线平行于直线x-2y+5=0，并求过点M0的曲线的切线方程。
解 由直线方程得y=
那末直线的斜率K=，
由曲线方程y=得=，
曲线上M0(x0,y0)点处的切线斜率为，
切线与直线平行，
=，解得x0=1，
代入曲线方程得y0=1
故曲线上点M0(1，1)处的切线平行于已知直线，
过点M0(1，1)的切线方程为
y-1=(x-1)
即 x-2y+1=0
小 结
曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率为(x0)，切线方程为y-y0=(x0) (x-x0).
6、求微分
例 设y=lnsinx，求dy
解 dy=ctgxdx
例 设y=sinx2，求dy.
解 =cosx2 .2x dy=2xcosx2dx
例 设y=xy+ey 求dy.
解 方程两边对x求导：得
=y+x+ey (1-x-ey)=y,
=
dy=dx.
小 结
求函数y=f(x)的微分，只要求出f(x)的导数(x)，再乘以dx就可以了，即dy =(x)dx
第四章 导数的应用
一、内容提要
1、罗必达法则
（1）罗必达法则一：求型未定式的极限
条件：函数f(x)，g(x)满足
①f(x)= g(x)=0；
②在x0的某一邻域内（x0除外），f和g都存在且g0；
③ （或）。
结论：==A（或）.
（2）罗必达法则二：求型未定式的极限
条件：函数f(x)，g(x)满足
①f(x)= g(x)=；
②在x0的某一邻域内（x0除外），f和g都存在，且g；
③=A（或）
结论：==A（或）.
（3）几点附注
①法则一与法测二中可改为，此时只需要把第二个条件改为当充分大时，f，g都存在，且g，那末法则仍成立。
②对于其他、、等末定型，可通过适当变换化为型或型，再利用罗必达法则求极限。
2、函数增减性
（1）函数单调性的判断定理
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则
如果在(a,b) 内(x)>
0，则f(x)在[a,b]上单调增加；如果在(a,b)内(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减少；如果在(a,b)内，(x)0，则f(x)在[a,b]上为常数。
（2）单调区间的确定
求函数f(x)的单调区间的步骤：
求出f(x)的定义域，并求(x)；
在定义域范围内求出使(x)=0和(x)不存在的点的全体（使(x)=0的点称为驻点）；
用上述各点作为分界点将定义域分成若干个小区间，并在每个小区间上确定(x)的符号，同时确定函数f(x)在每个小区间的增减性，由此求得函数的单调区间。
3、函数的极值
（1）函数极值的定义
设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对该邻域内任意一点x，恒有不等式f(x)f(x0)成立，则称f(x)在点x0处取得极大值f(x0)；如果对该邻域内任意一点x，恒有不等式f(x) f(x0)成立，则称f(x)在点x0处取得极小值f(x0)，函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点。
（2）极值存在的必要条件
若f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则(x0)=0.
（3）极值存在的充分条件
第一充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且(x0)=0。
若当x
若当x
若在x0的两侧(x)的符号相同，则f(x0)不是极值。
第二充分条件:设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且(x0)=0，(x0)0：
若(x0)<0，则f(x0)是f(x)的一个极大值；若(x0)>0，则f(x0)是f(x)是一个极小值；若(x0)=0，不能判定f(x0)是否为极值。
4、曲线的凹向与拐点
（1）曲线的凹向与拐点的概念
设函数f(x)在（a,b）内可导，如果在(a,b)内曲线y= f(x)都位于其每一点切线的上（或下）方，则称曲线y= f(x)在(a,b)内上凹（或下凹）。曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。
（2）曲线凹向的判别法
如果函数 f(x)在(a,b)内二阶可导，且(x0)>0(或(x)<0),则曲线y= f(x)在(a,b)内上凹(或下凹).
5、函数的最值
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤为：
在(a,b)内求出所有的驻点和使导数不存在的点；
计算上述各点及两个端点处的函数值；
比较上述所有函数值，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。
注：如果函数在其定义域内只有一个驻点，且该点又是极值点，那末该点一定是最值点。
二、典型例题
1、 求未定型、、、、型的极限
例1 求下列函数的极限：
（1）； （2）=; (3) ;
（4）.
解 (1) ====2x2=2.
(2) ======
=
(3) =====0.
（4）==========
例2 求下列函数的极限：
（1）（1-x）tan； （2）x2e； （3）;
(4) .
解：（1）（1-x）tan======
=.
(2) x=====
=e
(3) ======
= -
(4) ======
====
例3 求极限，
解 设y=，两边取对数得
lnx====
y=e-1，即= e-1
小 结
（1）罗必塔法则是求型和型未定式极限的有效工具，但罗必塔法则既不是能的，也不一定是最简的。
（2）罗必塔法则可以连续使用，但每一次使用前都必须检查是否满足法则的条件，只有三个条件都满足了，才能继续使用。
（3）使用罗必塔法则时，要及时化简。若不存在，并不说明也不存在，此时要改用其他方法求极限。
2、函数的单调性
例1 求函数y=x4-2x2-5的单调区间。
解 函数的定义域为（-）
=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x-1)(x+1)
令=0 得 x1=0，x2=1，x3=-1
列表
X
(-,-1)
(-1,0) (0,1)
(1,+) 一
+
-
+
y
↘
↗
↘
↗
函数在（-，-1）及（0，1）内单调减少，在（-1，0）及（1，+）内单调增加
例2 求证2>3-（x>1）
证明 设f（x）=2-，则(x)=
当x>1时 (x)>0 故f（x）单调增加，
于是有当x>1时 f (x)>f(1)=0
即2->0 即2>3-
3、函数的极值
例 求函数的极值点及极值
解 函数的定义域是（-，+）
+=
令=0 得驻点x=
又在x=1处函数的导数不存在。
x
(-, (,1)
1
(1,+) 一
0
+
不存在
+
y
↘
极小值点
↗ ↗ x=是函数的极小值点，其极小值为f（）= 。
小 结
寻求函数极值点的基本方法是先在定义域内把驻点和不可导点全部找出来，然后判断这些点的左、右两侧(x)的符号是否相异，若在某点的左侧(x)是负号，而在这一点的右侧(x)是正号，那末这一点是极小值点；若在某一点的左侧(x)>0，而在这一点的右侧(x)<0,则该点是极大值点；若在某点的两侧(x)的符号相同，则这一点不是极值点。
4、函数的凹向与拐点
例 讨论曲线f(x)=（a>0）的凹向，并求拐点。
解
(x)=
=
令(x)=0，得x1=0，x2=-3a，x3=3a
函数无二阶不可导点，f(x)的定义域为（-，+）
x
(-,-3a)
-3a
(-3a,0)
0
(0,3a)
3a
(3a,+) +
0
-
0
+
0
-
y 拐点 拐点 拐点
曲线在（-，-3a）及（0，3a）内上凹，在（-3a,0）及（3a，+）内下凹，拐点为（-3a，a），（0，0），（3a，a）。
5、函数的最值
例1 求函数y=x5-5x4+5x3+1在区间[1，2]上的最大值和最小值。
解=5x4-20x3+15x2=5x2(x-3)(x-1)
令y'=0得驻点x=0、x=3、x=1，其中0，1[-1，2]，
计算x=0,x=1及端点x=-1，x=2处的函数值得
f(0)=1,f（1）=2，f(-1)= -10, f(2)= -7
函数在[-1，2]上的最大值为f(1)=2,最小值为f(-1)= -10。
例2 设某商品的需求函数为P=10-，成本函数为
C=50+2Q，求产量多少时总利润L最大。
解 P=10-， C=50+2Q
R=PQ=10Q-
L=R-C=10Q--50-2Q=8Q--50
=8-Q
令=0 得Q=20
=- Q=20是极大值点
驻点唯一
当产量Q=20时总利润L最大.
注:
知道如下一些经济函数，对求解有关经济问题的应用题时是有益的。
成本函数 C=C（Q）=C1+C2（Q）
其中C1为固定成本，C2为可变成本；Q为产量。
收益函数R=R（Q）=
其中Q为销售量，P为商品价格，Q与P的关系由需求函数或供给函数给出；
利润函数L=L（Q）=R（Q）-C（Q）
其中R（Q）为收益函数，C（Q）为成本函数。
第五章 不定积分
一、内容提要
1、不定积分的概念
（1）定义：设函数f(x)是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数F (x)，对于该区间上的每一点x都满足(x)= f(x)，则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间的一个原函数。函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作
（2）性质：一个函数如果有原函数存在，那末它就有无穷多个原函数，且若F(x)是f(x)的一个原函数，则=F(x)+C（C为任意常数）。
（） f(x)， =
= f(x)+c ， =
（3）基本积分表
2、换元积分法
换元积分法就是把积分变量作适当代换，使代换后的不定积分成为积分表中所列形式。
（1）第一类换元法
通过凑微分，把所给不定积分化为可积形式，常见的凑微分形式有：
dx=d(ax+b); xdx=dx2; dx=2d;
-dx=d; dx=dlnx; cosxdx=dsinx;
sinxdx=-dcosx; sec2xdx=dtanx; csc2xdx=-dcotx;
exdx=dex; dx=darcsinx; dx=darctanx等。
（2）第二类换元法
通过作变量代换x=（t）化为可积形式。第二类换元法常作变量代换消去根式。
3、分部积分法
公式：。利用分部积分公式可将原不易积分的形式化为
可积分形式。
二、典型例题
1、利用公式直接积分
例1 求不定积分
解 原式=
=
例2 求不定积分
解 原式===x-arctanx+c.
例3 求不定积分
解 原式=
例4 求
解 原式=
2、第一类换元法
例1 求不定积分
解
-
例2 求不定积分
解
=
例3 求下列不定积分：
（1）； （2）.
解 （1）=
=
例4 求
解
例5 求
解
例6 求.
解 原式=
=
3、第二类换元法
例1 求
解 令，则x=2-t2，dx=-2tdt代入原式得
原式=
=-2
=
=
例2 求
解 令，则
原式=
=
=
=x
4、分部积分法
例1 求
解
=
例2 求
解
=x（lnx-1）+C.
例3 求
解
=
例4 求
解
=xarctanx-
例5 求
解 令 ，则x=t2， dx=2tdt，
=2
=2
第六章 定积分及其应用
一、内容提要
1．定积分的概念
（1）定义：设函数在区间上有定义，如果和式极限存在（其中，则称这个极限值为函数从a到b的定积分，记作，即
=
（2）几何意义：当时，表示由x轴、直线x=a、x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积（如图）
2．定积分的基本性质
（1）；
（2） （k为常数）；
（3）；
（4）；
3．积分上限函数及其性质
（1）定义
设函数在上可积，则称函数为函数在上的积分上限函数（其中）。
（2）性质
① 如果在上可积，则积分上限函数在上连续；
② 如果在上连续，则积分上限函数可导，且。
4．牛顿--莱布尼兹公式
设在上连续，是的一个原函数，则
。
5．定积分的换元法
设在上连续，在上单值且有连续的导数，，则
6．定积分的分部积分法
设在区间上都有连续导数，则
7．定积分的应用
（1）平面图形的面积
二、典型例题
1．积分上限函数
例1 求下列函数对x的导数：
（1） （2）
解 （1）
（2）
例2 求
解
例3 求在上的最大值和最小值，
解
令 得驻点
在上的最大值为，最小值为
小 结
积分上限函数有一个重要性质：积分上限函数对积分上限的导数等于被积函数，即
对积分下限函数只要利用定积分的性质，先把积分下限函数化为积分上限函数，即再按积分上限函数运算方法进行运算。
2．定积分的计算
例 计算下列定积分：
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）
（2）
（3）令则当时
当时
（4）
小 结
计算定积分采用牛顿--莱布尼兹公式，该公式将计算定积分归结为先求被积函数的一个原函数，再求该原函数在其积分上限与积分下限处的函数值之差。
这里需要注意的是在用换元法求定积分时，若引入新的变量，则积分上、
下限必须作相应的变换（如例（3））。
3．平面图形的面积
例1 求曲线与直线围成的平面图形的面积。
解 由联立方程组，求得交点坐标为（-1，1）及（2，4）
例2 求由曲线及直线所围成的平面图形的面积
解 由联立方程组求得交点坐标为与、（0，0）
例3 求由曲线与围成的平面图形的面积，
解法一 选y为积分变量
由解得交点为（1，1），（4，-2）
=
解法二 选x为积分变量
小 结
求平面图形面积的一般步骤为：
画出平面图形的草图；
求出有关曲线的交点及边界点；
根据图形选择适当的积分变量，确定积分限及面积的定积分表达式（若选x为积分变量，则边界曲线方程写成形式；若选y为积分变量，则边界曲线方程写成形式）；
计算定积分的值
第七章 多元函数微积分
一、内容提要
⒈二元函数
定义：设有变量，当变量在一定范围内任取一组数值时，变量按照一定的规律总有确定的数值和它们对应，则称变量为变量的二元函数，记作：
或
其中称为自变量,称为因变量，的取值范围D称为函数的定义域，二元函数的定义域D是平面上的某一个区域。
⒉偏导数
（1） 偏导数的定义
定义：设二元函数在点（）的某一邻域内有定义。如果极限：
存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数，记作：
或
如果极限 存在，则称此极限值为函数
在点处对的偏导数，记作：
或
（2） 偏导数的求法
设二元函数为
当求对的偏导数时，只要将二元函数中的看作常数，而对求导数就行了，同理，求对的偏导数时，要将看作常数，而对求导数。
3．偏导数、全微分的计算公式
（1）复合函数的偏导数
设，而则
（2）全导数
设，而则
（3）全微分
函数的全微分为
4隐函数求导
设函数是由方程所确定的隐函数，则
5.二重积分
（1）二重积分的定义
设是定义在有界闭区域D上的二元函数，将D任意分成n个小区域：
在每个小区域中任取一点作乘积
并求和（积分和）
当无限增大，各小区域中最大者的直径趋近于零时，如果积分和的极限存在，则称此极限值为函数在区域D上的二重积分，记作
（2）二重积分的性质
=
其中 D=
（3）直角坐标系下的二重积分的计算
计算二重积分的基本方法是把二重积分化为累计积分。
如图，若积
分区域D是由直线曲线和曲线所围成的区域，那末
若积分区域D是由直线曲线和所围成的区域，那末
二、典型例题
1．求偏导数
例1 设，求，
解
例2 设求。
解 ，
例3 设求
解：
例4 设求二阶偏导数
解
例5 求下列复合函数的偏导数:
（1）设 ， ， 求 , ;
（2） 设， ， 求
解 （1）
(2)
又解 将代入Z中得
小 结
二元函数在对x求偏导时，把变量y视为常量，然后用一元函数求导法则对x求导；对y求偏导时，把变量x视为常量，用一元函数求导法则对y求导。
求二元函数复合函数的偏导时，可先画一下函数的结构图，分析清楚此函数有几个自变量，几个中间变量，再搞清是求偏导数，还是求全导数（有两个以上自变量时是求偏导数，若自变量只有一个，那就是求全导数），另外要记住对自变量求导时，必须经过每一个中间变量。
2．隐函数求导
例 设函数，由方程所确定，求
解 设，则
3．全微分
例1 求的全微分
解：
例2 求函数在点上（1，4）处的全微分
解
5．二重积分的计算
例1 计算二重积分，其中D满足，
解
例2 计算二重积分，其中D是曲线xy=1与直线y=x,x=2所围。
解
例3 计算二重积分，其中D是由曲线所围成的平面区域。
解
小 结
计算二重积分的基本方法是化二重积分为累次积分。计算二重积分的一般步骤是：先画出积分区域D的图形；然后确定积分次序及确定积分上下限，并计算定积分。
定限的原则是后积分的先定限，其上、下限均是常数，先积分的后定限，其积分限是后积分变量的函数或常数。
在选用直角坐标计算二重积分时，要根据积分区域及被积函数的特点确定积分次序。
7．交换积分次序
例1 交换二重积分的积分次序
解
例2 交换二重积分的积分次序
解
例3 交换二重积分的积分次序
解
例4 交换二重积分的积分次序
解
小 结
交换积分次序的一般步骤是先按所给的二重积分的积分限画出
积分区域D，再按积分区域D确定新的积分次序的积分限。
??
??
??
??
2