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高三数学模拟试卷精编(含答案及解析)

高三数学模拟试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A ＝{}1Z x x x ≤∈，，B ＝{}02x x ≤≤，则A I B ＝．答案：{0，1} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{}1Z x x x ≤∈， ∴A ＝{﹣1，0，1} ∵B ＝{}02x x ≤≤ ∴A I B ＝{0，1}

2．已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虛部相等，则实数a 的值为．答案：﹣3 考点：复数的运算

解析：z ＝(1＋2i)(a ＋i)＝a ﹣2＋(2a ＋1)i

由z 的实部与虛部相等得：a ﹣2＝2a ＋1，解得a 的值为﹣3． 3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．答案：18

考点：系统抽样方法

解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知

其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18．

4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．答案：13

考点：古典概型

解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得

特等奖有2种情况，所以P ＝2

＝13

． 5．函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为．答案：[0，1) 考点：函数的定义域

解析：由题意得：0

10x x ≥??->?

，解得0≤x ＜1，所以函数的定义域为[0，1)．

6．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为．

答案：3 考点：算法初步

解析：n 取值由13→6→3→1，与之对应的k 为0→1→2→3，所以当n 取1时，

k 是3．

7．若正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥P —BCC 1B 1的体积为．

考点：棱锥的体积

解析：由于AA 1∥平面BCC 1B 1，所以点P 到平面BCC 1B 1的距离就是点A 1到平面BCC 1B 1

3，所以V P —BCC1B1＝21

233

?43

． 8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已

知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为．答案：﹣13 考点：函数的切线解析：∵3103y x x =-+ ∴2310y x '=-

∵曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+ ∴23102x -= ∵P 在第四象限 ∴x ＝2，求得y ＝﹣9 ∴b ＝﹣9﹣2×2＝﹣13

9．已知函数()3)cos(2)f x x x ??=+-+(0＜?＜π)是定义在R 上的奇函数，则

()8

f π

-的值为．

答案：

考点：三角函数的图像与性质

解析：())cos(2)=2sin(2)6

f x x x x π

???=+-++-

∵()f x 是定义在R 上的奇函数

∴6

k π?π-=，k ∈Z ，由0＜?＜π求得6

∴()2sin 2f x x =，则()2sin()8

f ππ

-=-=10．如果函数2()(2)2(8)1f x m x n x =-+-+(m ，n ∈R 且m ≥2，n ≥0)在区间[12

，2]

上单调递减，那么mn 的最大值为．答案：18

考点：二次函数的性质

解析：当m ＝2时，()2(8)1f x n x =-+，要使()f x 在区间[1

，2]上单调递减，则n

＜8，此时mn ＝2n 无最大值，不符题意，舍去

当m ＞2时，2()(2)2(8)1f x m x n x =-+-+是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝

82n m --，要使()f x 在区间[12，2]上单调递减，则2≤82

m --，即0≤n ≤12﹣2m ，所以mn ≤m (12﹣2m )＝2m (6﹣m )≤26

2()2

?＝18，当且仅当m ＝3取“＝”，所以mn 的最大值为18．

11．已知椭圆22

12x y +=与双曲线22221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，其左、

右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为．

考点：圆锥曲线的定义、性质

解析：由题意得：F 1P ＝F 1F 2＝2，则PF 2

＝2，所以2a ＝2﹣

(2)＝4

﹣，

则a ＝2

，所以e

＝c

＝2．

12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：1

y x =上

位于第一象限内的一点，已知以AB 为直径的圆被直线l

所截得的弦长为

B 的坐标为．

答案：(6，3) 考点：直线与圆

解析：设点B(0x ，01

2x )，则

AB =求得点A 到直线l

的距离为

又因为弦长为所以AB

＝，

求得2004x x -- 120=，因为点B 位于第一象限，所以0x ＝6（负值已舍去），故点B 的坐标为(6，3)．

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2

221N 22N

n n n a n k k a a n k k *

+*?+=-∈?=?=∈??，，，，，则满足2019≤m S ≤3000的正整数m 的所有取值为．答案：20，21

考点：等差数列、等比数列前n 项和解析：当m 为奇数时，1

221(1)

2(21)12()222212

m m m m m m S -+++-+=

+=+--，显然m

S 是单调

递增的，又192019S <，2120193000S <<，233000S >，所以m 取21符合题意；

当m 为偶数时，1

2224

m m m S +=+-，又182019S <，2020193000S <<，223000S >，

所以m 取20符合题意．综上所述，正整数m 的所有取值为20，21．

14．已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =u u u u r u u u r

，点N 、T 分别为线段BC 、CA

上的动点，则AB NT BC TM CA MN ?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r

取值的集合为．答案：{﹣6}

考点：平面向量的坐标运算

解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(03，B(﹣1，0)，C(1，0)

由AM 2MB =u u u u r u u u r 得M(2

-3)，设N(n ，0)，直线AC 为：33y x =+T(t ，33t + 所以AB NT (1,3)(,33)23t n t t n ?=-?-+=+-u u u r u u u r

，

224

BC TM (2,0)(33)2333

t t t ?=?--=--u u u r u u u r ，

235

CA MN (3)(,33

n n ?=-?+=--u u u r u u u u r

则45

AB NT BC TM CA MN=232633

t n t n ?+?+?+-----=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单

位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是

．（1）求cos(α﹣

)的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5

，求α＋β的值．

解析：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是10

10，

所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝10

10.

从而cos α＝1－sin 2

α＝310

.(3分)

(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－2

2)＋

1010×22＝－5

.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－5

5，

所以cos β＝－

55，从而sin β＝1－cos 2β＝255

.(8分) 于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋

310

10×

255＝2

.(10分)

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π

2)，(12分)

从而α＋β＝3π

4.(14分)

16．（本小题满分14分）

如图，己知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝l ，M 是线段EF 的中点．

（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）求证：AM ⊥平面BDF ．

解析：证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， ∵ 四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点，

∴ O 是AC 的中点．

又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴ 四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分) ∵ OE

平面BDE ，AM

平面BDE ，

∴ AM ∥平面BDE.(7分)

(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.

∵ 平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD ⊥平面ACEF ，BD

平面ABCD ，

∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM

平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)

∵ 正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.

由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴ 四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)

又AM ⊥BD ，且OF ∩BD ＝O ，OF 平面BDF ，BD

平面BDF ，

∴ AM ⊥平面BDF.(14分) 17．（本小题满分14分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O 为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ ，其中P 、Q 分別在半圆O 与半圆C 的圆弧上，且PQ 与半圆C 相切于点Q ．己知AB 长为40米，设∠BOP 为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形COPQ 的周长为()f θ，求()f θ的表达式；（2）要使改建成的展示区COPQ 的面积最大，求sin θ的值．

解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2

)．

在△POC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC ·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)

因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，

所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ，

即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π

)．(7分)

(没写定义域，扣2分)

(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则

S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π

)．(10

分)

所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－2

sin θ＋2)，θ∈(0，π

)．(12分)

令S′(t)＝0，得sin θ＝34－2

列表：

答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为34－2

.(14分)

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22

221

x y

a b

+=(a＞b＞0)的左、右焦点

大学英语三模拟试卷和答案

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2018年高三数学模拟试题理科

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无机化学(上)模拟试卷3及参考答案

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保险试题及答案模拟试卷三

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