高考总复习推理与证明
一、选择题
1．设1250a a a ，，，是从101-，，
这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，
且2221250(1)(1)(1)107a a a ++++
++=，则1250a a a ，，，中为0的个数为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为（ ） A ． 1+n B ． n 2
C ． 12++n n
3．某人进行了如下的“三段论”推理：如果0)('0=x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3
)(x x f =在0=x 处的导数值0)0('=f ，所以0=x 是函数3
)(x x f =的极值点。你认为以上推理的
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 结论正确
4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，()′＝－，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ ( ) A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x) 5．已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +=
=+ *x N ∈（）
，猜想(f x ）的表达式为（ ） A.4()22x
f x =
+ B.2
()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2
()21
f x x =+
6．用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时 ，应先假设（ ）
A. 没有一个内角是钝角
B. 有两个内角是钝角
C. 有三个内角是钝角
D. 至少有两个内角是钝角 7．设
N
n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+),()(,),()(),()(,sin )('1'12'010 ，则
=
)(2007x f （ ）
A. x sin
B. x sin -
C. x cos
D. x cos -
8．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是（ ） A （10，2） B.（2，10） C. （5，7） D .（7，5）
9．设数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，n
S n
+
+称
n
T 为数列
1a ，2
a ，……，
n
a 的“理想数”，已知数列1
a ，
2
a ，……，
500
a 的“理想数”为2004，那么数列2，
1
a ，
2a ，……，
500
a 的“理想数”为（ ）
A 、2008
B 、 2004
C 、 2002
D 、2000
10．对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“?”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,4)-
二、填空题
11．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是 12．观察下列等式：1121233?=
???,1
12232343
?+?=???, 1
1223343453
?+?+?=??? ,…, 照此规律，计算1223(1)n n ?+?+
++=
（n ∈Ｎ*）.
13．在平面几何里，已知直角三角形中，角C 为90 ，,运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：
若三角形的外接圆的半径为22
a b r +=，给出空间中三棱锥的有关结论：
14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
15．如图所示,从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室,图2表示蜂巢有2层共有7个室,图3表示蜂巢有3层共有19个室,图4表示蜂巢有4层共有37个室. 观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n 层时共有个室.
三、解答题
16
17． ，求证：,,a b c 中至少有
一个大于0.
18．已知3
2
a ≤-
，求证：关于x 的三个方程24340x ax a ++-=，()2210x a x a +-+=，241540x ax a +-+=中至少有一个方程有实数根.
19．已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+c
c
b a b b
c a a a c b 。
20．已知a ＞0＞0,且1,试用分析法证明不等式??
?
??+??? ?
?+b b a a 11≥
4
25.
21．已知数列{}中，是它的前n 项和，并且1=42（1，2，…），a 1=1. （1）设1-2(1,2,…)，求证：数列{}是等比数列； （2）设
n
n a 2(1,2,…),求证：数列{}是等差数列；
（3）求数列{}的通项公式及前n 项和公式. 22.设数列
的前项和为
，且满足
，
，
.
（1）猜想的通项公式，并加以证明；
（2）设
，且
，证明：
.
高中数学高考总复习---推理与证明
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参考答案
1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．三角形的内角都大于60度 12．1(1)(2)3
n n n ++
13．在三棱锥中，若三个侧面两两垂直，则2222
OAB OAC OBC ABC S S S S ????++=；在三棱锥中，
若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为,则其外接球的半径为222
2
a b c r ++=
14．2
5n n -+ 15．2331n n -+ 16．首先，我们知道
，
则有
， 所以，
同理，得，
，
则有
．
17．证明略18．见解析19．证明见解析20．证明略 21．（1）证明略（2）证明略（3）{}的前n 项和公式为（34）·21+2 22. (1)由
，得
，两式作差得，
即 ∵ ∴
，即
∴
是首项为1，公差为1的等差数列，∴
（2）要证，
只要证
代入
，即证
即证
∵，且∴即得证
高中数学推理与证明 高中数学推理知识点 1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。 2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。 3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1 高中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。 例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。 证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。 2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。
同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。 因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。 3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立 高中数学推理与证明 一、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理： 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明
③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=
3月5日 高二理科数学测试题 1．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．传递性推理 2．下列正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是由特殊到一般的推理 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤 3．下面几种推理中是演绎推理．．．． 的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ． 4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x)＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命 题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 7.观察下列等式： 1－ ； 1－ ；1－ ...... 据此规律，第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式：,……，根据上述规律， 第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=
高中数学证明方法高中数学证明 一、 现在正在学数学选修4-1《几何证明选讲》，做几何大题的时候，总是想不出来该怎么画辅助线，所以总是不会写，我数学不算差，可是面对这种证明题就老是蒙。求练习方法，要怎么办 首先你要熟知的几何中的所有定理!在做几何题的时候你就会熟练地运用!对于怎么画辅助线，当你看到一个几何题目的时候，自己要把题目中的已知摆出来!这样有助于你利用定理解决问题!的那个你确定用哪个定理时，你就判断还需要什么，这个时候画辅助线就变得简单啦!比如题目中有告诉你中点，你就会联想到中位线，30°所对直角边是斜边的一半,想到梯形，等等! 总之做这种几何题目时，要善于将已知信息联系定理，在看定理缺什么，然后就画辅助线使定理能使用!!! 直角三角形ABC中，∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC，交AF延长线于E，求证BC垂直平分DE。 ∵BE∥AC,∠BAC=90° ∴∠ABE=∠BAC=90° 由AF⊥CD易证 ∠ACD=∠BAE 由题AB=AC 得三角形ABE,CAD全等 易证BD=BE ∵∠ABE=90° ∴BDE为等腰Rt 易证BC为∠ABE角平分线 等腰三角形三线合一 ∴BC垂直平分DE 二、
遇到较难的，应该怎么入手哦， 我证明的不太好，有什么办法可以提高点吗? 或者提供几道证明题，最好附答案， 谢谢啦! 答案：可以利用反证法数学证明题的常用做法 定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定 中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是 可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题 得证。适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显。证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数 学家在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个 素数，设所有的素数是2=a1aii=1,2……n.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾 就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )
13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳
高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：
《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a
２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
2.1.1 合情推理—归纳推理 同步检测 一、基础过关 1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________ 2．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>7 2， 推测当n≥2时，有________． 3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3 2. 通过观察上述两等 式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的通项公式是________． 二、能力提升 6．设x ∈R ，且x≠0，若x ＋x － 1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________． 8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________． 9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题． (1)按照要求填表：
n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10＝________.(3)S n 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1 S n ＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4， 并猜想S n 的表达式． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？ (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 三、探究与拓展 13．在一容器内装有浓度r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液1 4a 升，搅匀后再倒出溶 液1 4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．
第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
阶段质量检测(二) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中() A．小前提错误B．大前提错误 C．推理形式错误D．结论正确 2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为() A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为() A．■B．△C．□D．○ 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面() A．各正三角形内任一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝() A．28 B．76 C．123 D．199 6．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是() A．a>b B．a
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2 8．已知a n ＝????13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： 记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.????1367 B.????1368 C.????13111 D.??? ?13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ?? ?? n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2 D.n (n ＋1)2 f (1) 10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( ) A ．S n ＝n 2 B ．S n ＝n 3 C ．S n ＝n 4 D ．S n ＝n (n ＋1) 11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7 B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7 C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8 D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8 12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1 a n ，则a 2 016等于( ) A.1 2 B ．－1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假
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归纳推理 1．归纳推理 【知识点的认识】 1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别 事实概括出一般结论的推理． 推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}， ?1具有属性? 具有属性?} ? ? ??类事物中的每一个对象都可能具有属性? ? 2．特点： （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容 的范围； （2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现 问题和提出问题． 3．作用： （1）获取新知，发现真理； （2）说明和论证问题． 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论． 1/ 4
（1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同． 例 1：下列表述正确的是（） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一 个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到 特殊的推理过程． 例 2：下列推理是归纳推理的是（） A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线 B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式 ?2 ?2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+ ?2 ?2 =1的面积 S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断． 2/ 4
推理与证明综合测试题 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =， ，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述
性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳 出式子为（ ） Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥