５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲
１２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。
证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。
因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
Ａ
Ｘ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
ＢＸ都是正定二次型。实二次型ｈ（ｘ１，ｘ
２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴ
ＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有
ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）
＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ
（Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。
证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。
因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有
Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０；
Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０Ｔ
ＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。
Ｐ２６３ 总自测题 证明题
（２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。 证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…，
０），ｊ＝１，２，…，ｎ。有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。
８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵：
（１）??????????111121111；（２）??????????------211121112；
（３）???????
???????
?
?----
52
1212112
1
1。 解（１）：Ａ＝????
?
?????111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。
解（２）：Ａ＝????
??????------211121112是实对称矩阵，第三个顺序主子式 Δ３＝A ＝2
1112
1
112
------＝2
1
112
1
00----＝０，Ａ不是正定矩阵。 解（３）：实对称矩阵Ａ＝?????
??
????????
?
--
--
52
12121
12
1
1所有顺序主子式为： Δ１＝１＞０；Δ２＝
1
2
121
1
-
-
＝43＞０；
Δ３＝5
2
1
2121
1
2
11--
--＝52
142
1
21241
----＝1
42
1
21241---＝2
11241--＝43＞０
所以Ａ是正定矩阵。
９、确定参数λ的值，使下列二次型正定：
（１）５ｘ１２＋ｘ２２＋λｘ３２
＋４ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３；
（２）２ｘ１２＋ｘ２２＋３ｘ３２
＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。
解（１）：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝????
??????----λ11112125，Ａ的顺序主子式为：
Δ１＝５＞０； Δ２＝1
22
5＝１＞０
Δ３＝λ
1
111
2
125
----＝1
0111
21
1--λ＝1
111-λ＝λ－２。
ｆ正定?Ａ正定?Δ３＞０?λ－２＞０?λ＞２。
解（２）：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝????
??????3010112λλ，Ａ的各阶顺序主子式为： Δ１＝２＞０；Δ２＝
1
2λλ＝２－λ２
； Δ３＝301
01
12λ
λ
＝0
35011
2λ
λλ--＝λ
λ351--＝－３（λ２
－35）；
ｆ正定?Ａ正定????
??>-->-0)35(30222λλ???
???<<352λλ?35<λ。 １０、设有二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２＝１（ａ＞０）。证明：当ｂ２
＜ａｃ时，
曲线为一椭圆；当ｂ２
＞ａｃ时，曲线为一双曲线。
证明：对二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０），
对应的实二次型为：ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
（ａ＞０），
ｆ的矩阵为Ａ＝?
?
????c b b a ，Ａ是实对称矩阵，且A ＝2b ac -。 对实二次型ｆ（ｘ，ｙ），存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵）化为标准形： ｆ（ｘ，ｙ）＝λ
１
2x '＋λ
２2y '，其中λ１，λ２是Ａ的特征值。
这个正交变换，化二次曲线ａｘ２
＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２
＝１（ａ＞０）为如下形式： λ
１
2x '＋λ
２
2y '＝１
该二次曲线是椭圆?λ
１
，λ
２
都是正数?ｆ（ｘ，ｙ）正定?Ａ的所有顺序
主子式都大于零?Δ１＝ａ＞０，Δ２＝A ＝2
b a
c -＞０?ｂ２
＜ａｃ。
该二次曲线是双曲线?λ１
，λ
２
一个是正数，另一个是负数?λ
１
λ
２
＜０。因
为λ
１
λ
２
＝A ＝2
b a
c -，所以该二次曲线是双曲线?2
b a
c -＜０?2
b a
c <。
１１、如果矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ是正定矩阵，证明：ａｉｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）。
证明：令εｊ＝（０，…，０，１，０，…，０）Ｔ
，ｊ＝１，２，…，ｎ。有
εｊＴ
Ａεｊ＝ａｊｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ。
因为Ａ＝（ａｉｊ）是ｎ阶正定矩阵，对任意ｎ维非零实列向量Ｘ，都有ＸＴ
ＡＸ＞
０，特别对Ｘ＝εｊ结论也成立，所以ａｊｊ＞０，ｊ＝１，２，，ｎ。
１３、利用定理５．３的推论２证明：实对称矩阵Ａ正定的充要条件是存在可逆矩阵Ｍ，
使得Ａ＝ＭＴ
Ｍ。
证明：必要性：如果Ａ正定，则存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴ
ＡＣ＝Ｅ，于是，
Ａ＝（ＣＴ）－１ＥＣ－１＝（Ｃ－１）ＴＣ－１。令Ｍ＝Ｃ－１
，则Ｍ是可逆矩阵，使
Ａ＝ＭＴ
Ｍ。
充分性：如果Ａ是实对称矩阵，且存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ，即Ａ＝ＭＴ
ＥＭ，
所以（ＭＴ）－１ＡＭ－１＝Ｅ，即（Ｍ－１）ＴＡＭ－１＝Ｅ，其中Ｍ－１
是可逆矩阵，故Ａ与Ｅ合同，从而Ａ正定。
１４、如果矩阵Ａ正定，且存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ＝Ｂ。证明：矩阵Ｂ是正定矩阵。
证明１：因为Ａ正定，所以Ａ是实对称矩阵。又因为存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ＝
Ｂ，故Ｂ也是实对称矩阵。
因为Ａ正定，所以存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴ
Ｍ，于是有
Ｂ＝ＣＴＡＣ＝ＣＴＭＴＭＣ＝（ＭＣ）Ｔ
（ＭＣ），其中ＭＣ是可逆矩阵，于是Ｂ是
正定矩阵。
证明２：当Ｂ＝ＣＴ
ＡＣ［Ｃ可逆］时，由Ａ是实对称矩阵知，Ｂ也是实对称矩阵。 对每一个非零列向量Ｘ，有ＣＸ是非零列向量，且Ａ是正定矩阵，所以
ＸＴＢＸ＝ＸＴ（ＣＴＡＣ）Ｘ＝（ＣＸ）Ｔ
Ａ（ＣＸ）＞０， 所以Ｂ是正交矩阵。
Ｐ２１７ 第五章自测题
２、单选题
（２）（２）二次型ｆ＝ＸＴ
ＡＸ（Ａ为实对称矩阵）正定的一个充要条件是（ ）。
（Ａ）det （Ａ）＞０； 必要不充分
（Ｂ）存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴ
ＡＣ成为对角矩阵； 所有实对称矩阵的共性 （Ｃ）Ａ可逆； 必要不充分
（Ｄ）存在可逆矩阵Ｍ，使得Ａ＝ＭＴ
Ｍ。 Ｐ２１６，１３题 解：选Ｄ。
（５）已知矩阵Ａ＝???
???c b b a 正定，ｋ１和ｋ２都是正常数，则矩阵Ｂ＝?
?
????c k b k k b k k a k 22122121（ ） （Ａ）不是对称矩阵； （Ｂ）是正定矩阵；
（Ｃ）必是正交矩阵； （Ｄ）是奇异矩阵。 解：显然Ｂ是实方阵。已知 Ａ＝??
?
?
??c b b a 正定，顺序方子式a a =＞０，c b b a ＞０。因为ｋ１和ｋ２都是正常数， Ｂ的顺序主子式：Δ１＝a k 2
1＝ｋ１２
ａ＞０，
Δ２＝c
k b k k b k k a k 2
212212
1＝c k b k b k a k k k 212121＝c b b a k k 2221＞０，Ｂ是正定矩阵。选（Ｂ）。 ３、计算题
（３）若二次型ｆ＝２ｘ１２＋６ｘ２２＋ｔｘ３２
－２ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３正定，求实数ｔ的
取值范围。
解：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝????
??????----t 01061112，Ａ的顺序主子式为：Δ１
２＞０，
Δ２＝
6
11
2--＝１１＞０，Δ３＝t 0
1
061
112----＝t 0
1
6011112----＝t
1
611--
＝１１ｔ－６。ｆ正定?Ａ正定?１１ｔ－６＞０?ｔ＞
11
6。 （４）设矩阵Ａ＝????
?
?????--30082010101，试判别二次型ｆ＝ＸＴ（ＡＴ
Ａ）Ｘ是否正定？其中Ｘ
＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ
。
解１：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，而Ｂ＝ＡＴ
Ａ是实对称矩阵，据２１６页１３
题知，Ｂ是正定矩阵，从而ｆ是正定二次型。
解２：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，对任意３维非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是３维非
零实列向量，且有
ｆ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＝（ＸＴＡＴ）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ
（ＡＸ）＝2
AX
＞０，所
以ｆ是正定二次型。 ４、证明题
（２）设Ａ是正定矩阵，证明Ａ２
也是正定矩阵。
证明１：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２
也是实对称矩
阵。正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＥＡ＝ＡＴＥＡ得，Ａ２
与Ｅ合同，故Ａ２
也是正定矩阵。
证明２：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２
也是实对称矩
阵。正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＴＡ，据１３题结论知Ａ２
也是正定矩阵。
证明３：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２
也是实对称矩
阵。正定矩阵Ａ是可逆矩阵，且ＡＴ
＝Ａ，对任意非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是非零实列向量，且
ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡ２Ｘ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＝（ＸＴＡＴ）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ
（ＡＸ）
＝2
AX
＞０，所以ｆ（Ｘ）是正定二次型，从而Ａ２
是正定矩阵。
Ｐ２１９ 总自测题
１、填空题
（１０）若矩阵Ａ＝????
?
?????t 20220002正定，则ｔ的取值范围是 。 解：实对称矩阵Ａ的顺序主子式为：Δ１＝２＞０，Δ２＝2
00
2＝４＞０，
Δ３＝t 20220
02＝2
002200
02-t ＝４（ｔ－２）； Ａ正定?ｔ－２＞０?ｔ＞２。
２、单选题
（１０）若实对称矩阵Ａ与矩阵Ｂ＝????
??????-400020001相似，则二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３
）
＝ＸＴ
ＡＸ是（ ）
（Ａ）正定的； （Ｂ）负定的； （Ｃ）不定的； （Ｄ）半正定的。
解１：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使
实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２
。ｆ的正惯性指数ｐ＝２，ｆ的负惯性
指数ｒ－ｐ＝１，ｆ是不定的，选（Ｃ）。
解２：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使
实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２
。ｆ的正惯性指数ｐ＝２＜３，ｆ不正定；
ｆ的负惯性指数ｒ－ｐ＝１＜３，ｆ不负定，也不半正定；选（Ｃ）。
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算
1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。
５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲 １２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。 证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。 因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ Ａ Ｘ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ ＢＸ都是正定二次型。实二次型ｈ（ｘ１，ｘ ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴ ＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有 ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ） ＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ （Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。 证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。 因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有 Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０Ｔ ＢＸ０＞０； Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０Ｔ ＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。 Ｐ２６３ 总自测题 证明题 （２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。 证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…， ０），ｊ＝１，２，…，ｎ。有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。 ８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵： （１）??????????111121111；（２）??????????------211121112； （３）??????? ??????? ? ?---- 52 1212112 1 1。 解（１）：Ａ＝???? ? ?????111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。
二次型 2007-029-8 设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9 已知二次曲面方程为222 123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1） 求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8 已知矩阵???? ? ? ??? ???----=8111181111811118A (1)求二次型???? ?? ? ??=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ; (2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型; (3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基. (4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积) 2007-021-7 121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差. 2007-012-2 求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。 2007-001（A ）-1 化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.
正定矩阵的性质及应用 摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。 关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用 前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即： （1）aii＞0，i=1，2，……，n； （2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元； （3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式； （4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立； 而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生姓名：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
摘要............................................. 错误!未定义书签。关键词............................................. 错误!未定义书签。Abstract.......................................... 错误!未定义书签。Keywords.......................................... 错误!未定义书签。前言............................................... 错误!未定义书签。1预备知识........................................ 错误!未定义书签。二次型定义........................................ 错误!未定义书签。正定二次型定义.................................... 错误!未定义书签。 2 正定二次型的性质............................... 错误!未定义书签。 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用...................... 错误!未定义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用........ 错误!未定义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!未定义书签。 正定二次型在解线性方程组中的应用.................. 错误!未定义书签。正定二次型在物理力学问题中的应用.................. 错误!未定义书签。结束语.. (13) 参考文献.......................................... 错误!未定义书签。
5..4 正定二次型 一、定义：假设12(,)(),T n f x x x f X X AX == 为实二次型，T A A =，12(,)T n X x x x O =≠ ，则 1、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==> ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵。 2、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==< ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵。 3、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≥ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半正定二次型，矩阵A 称为半正定矩阵。 4、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≤ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半负定二次型，矩阵A 称为半负定矩阵。 二、判定定理： 1、二次型12(,)n f x x x 正定A ?为正定矩阵12(,)()0T n f x x x f X X AX ?==> 12(,)n f x x x ? 的标准型222 1122n n d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n >= 12(,)n f x x x ? 的正惯性指数等于n 12(,)n f x x x ? 的规范性为222 12n y y y +++ A ?合同于单位矩阵E ?存在可逆矩阵C 使得T A C C =A ?的顺序主子式全大于零12(,)n f x x x ?- 负定。 证明：（1）二次型222 1122n n d x d x d x +++ 正定0,1,2i d i n ?>= 事实上，如果0,1,2i d i n >= ，则对任意的12(,)n x x x O ≠ ， 22211220n n d x d x d x +++> ，即222 1122n n d x d x d x +++ 正定。 反之，如果222 1122n n d x d x d x +++ 正定，则对于向量12(1,00),(0,10)(0,01)n εεε=== 有()0,1,2i i f d i n ε=>= （2）非退化现行替换不改变二次型的正定性
浅谈正定二次型的判定方法 摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性 及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。 关键词 二次型 矩阵 正定性 应用 1 引 言 在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义 设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式 22121111212131311 (,,,)22n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++= ∑∑ ),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称 为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即 12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型. 定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性 22222 121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum
关于正定矩阵应用的综述 数学与应用数学专业 数学1201班 XXX 指导老师 XXX 摘 要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充. 关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵； 1. 引言 矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注. 正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义. 由正定矩阵的一些基本性质 , 并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质. 二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用. 2. 正定矩阵的应用 2.1. 矩阵正定在运算中的性质应用 定理1:若A 与B 都 是同阶正定矩阵,则矩阵AB 的特征根都大于零. 证明：AB 都是正定矩阵,故有非奇异矩阵P Q 、,使,T T A P P B Q Q ==,于 是,()()1T T T T T T T T A B P PQ Q Q QP PQ Q Q PQ PQ Q -?===因为T PQ 非奇异,故 () ()T T PQ PQ 是正定阵,从而与它相似的矩阵AB 的特征值都是正数. 应注意的是,定理1中仅指A B ?的特征值是大于零的,而由于AB 不一定是对称阵,所
５－３ 正定二次型与正定矩阵 复习：５．２．４： ｎ元二次型 ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形： ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换： ????? ????? ???====++n n r r r r r z y z y z d y z d y 1111 1 11， 化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２ ＋…＋ｚｐ２ －ｚｐ＋１２ －…－ｚｒ２ ，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。 一、正定二次型与正定矩阵的概念 定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲 设ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维 实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ）Ｔ，都有Ｘ０Ｔ ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２ 二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ ［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］ ?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２ 。 作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１２ ＋３ｙ２２ ＋ 3 5ｙ３２ ，ｆ的正惯性指数为３，所以ｆ正定。 例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１２－ｚ２２ ，ｆ的正惯性指数为
５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲 １２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。 证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。 因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ Ａ Ｘ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ ＢＸ都是正定二次型。实二次型ｈ（ｘ１，ｘ ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴ ＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有 ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ） ＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ （Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。 证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。 因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有 Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０Ｔ ＢＸ０＞０； Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０Ｔ ＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。 】 Ｐ２６３ 总自测题 证明题 （２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。 证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…， ０），ｊ＝１，２，…，ｎ。有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。 ８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵： （１）??????????111121111；（２）??????????------211121112； （３）??????? ???????? ?---- 52 1212112 1 1。 解（１）：Ａ＝???? ? ?????111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。