二次型
2007-029-8
设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9
已知二次曲面方程为222123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）求正交变换把该二次
曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵????
?
?
???
???----=8111181111811118A (1)求二次型????
??? ??=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;
(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。
2007-001（A ）-1
化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.
2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型3132212
322
21321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都是1，则a = .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。
2007-031-6
设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21Λ为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21Λ线性无关.
2007-031-9
用正交线性替换将二次型
32212
322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=
化为标准型.
2007-032-1（3）（判断题）
两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
2007-032-6
设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。
2007-032-7
设12,,,n αααL 是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的
Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。
2007-033-3
给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。
2007-034-4
设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且
1()()n n A I B I B -=+-。
2007-034-6
设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。证明A B +的行列式
det()0A B +>。
2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）
设320222021A -??
?
=-- ? ?-??
，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。
2007-035-2（20）（计算与证明题）
设A B B D ?? ?'??
为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ?矩阵。证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。
2007-035-2（22）（计算与证明题）
设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。
2007-036-4
设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在
30X ≠，使得3()0f X =。
2007-019-4
证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。
2007-037-7
设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。
2007-037-11
（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：
222123412
4121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++ （2）t 取什么值时，二次型
222
123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++
为正定的？
2007-038-3
用正交化二次型222
12312
3121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。并写出所作
的正交变换。
2007-038-8
若A 是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B ，使得3A B =。并对二阶方阵13141413-??
?-??。
求出一个满足上面条件的矩阵B 。
2007-040-6
试将22212312
313(,,)2Q x x x ax bx ax cx x =+++划为标准形，求出变换矩阵，并指出,,a b c 满足什么条件时，Q 正定。
2007-040-7
设,A B 都是正定实对称矩阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =。（2）如果A B -正定，则11B A ---也是正定。
2007-041-6
设,A B 均是n 阶实对称矩阵，且B 正定，证明（ⅰ）B A λ-的根是实数;（ⅱ）设
0B A λ-=的根为i λ，1,2,,i n =L 且12n λλλ≥≥≥L ，则()f X X AX '=（X '是X 的转置）
在约束条件下1X BX '=下的最大值和最小值分别为1,n λλ。
2007-041-8
设2
11
1
n
n
i i n i i i f a x b x x -+===+∑∑，其中,a b 是实数，问,a b 满足什么条件时，二次型f 是正定
的？
2007-043-4
设一个二次曲面在直角坐标系[;,,]O x y z 下的方程为
2222323828824x y z xy xz yz ++-+-=，求一个正交直角坐标变换T ：
x u y T v z w ???? ? ?= ? ? ? ?????
使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。
2007-043-4
设A 为一个n 阶正定矩阵，B 为一个n 阶反对称矩阵，即B 满足：T B B =-。
1. 证明：存在n 阶实可逆矩阵T 使得T A TT =，其中T T 表示矩阵T 的转置矩阵。
2. 证明：B 的特征值或者是0或者是纯虚数。
3. 证明：A B +为可逆矩阵。
2007-044-7
设A 是一个n n ?实对称矩阵，λ是A 的最大特征值。证明：,1
1n
ij i j a n λ=≤∑。
2007-013-2
（1）证明：任意n 阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；
（2）设A 是n 阶实方阵，且对任意的非零列向量α，都有0A αα'>。证明：存在正定矩阵B 和反对称矩阵C 使得A B C =+。
2007-018-3
设12411024130041712
07A ??
? ?
=
?
?--??
，1234(,,,)X x x x x =，()f X X AX '=。问()f X 是否是一个正定二次型，为什么？
2007-018-6
设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足0X AX '=。（ⅰ）证明当A 为对称矩阵时0A =，
（ⅱ）如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵。 2007-018-9
设0001001001001000A ??
? ?
?=
? ? ??
?
L L L L L L
L L L 为21n +阶实对称矩阵，
试求正交矩阵P ，使得1P AP D -=为对角形矩阵，并求D 。
2007-018-10
证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）n 阶实反对称矩阵的行
列式大于等于零。
2007-013-9
证明下述1n +阶实矩阵A 是正定矩阵：2312
342123
21222223122222
34222221
2
3
21n n n n n n n A n n n n n ++++++?? ?+ ? ? ?=+ ? ? ? ?
?++++??
L L L L L
L
L
L 2007-007-1（9）（填空）
设A 是n 级实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充分必要条件是 。
2007-007-7
设实二次型12(,,,)n f x x x L 的系数矩阵为A ，若0A <，证明：必存在一组实数
12,,,n a a a L ，使12(,,,)0n f a a a 2007-046-7 设()ij n n A a ?=为一实对称阵，若A 是半正定的，则A 的一切主子式0k A ≥其中 11 12121 2221 2 k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ?????? =???????? L L L L L L L 且11k i i n ≤≤≤≤L 。 2007-004-5 设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。 2007-004-7 设二次型222 12 3121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准形22 232f y y =+，求参数,a b 及所用的正交变换。 2007-047-1（5）（填空） 复数域上C 上n 阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。 2007-048-8（5） 假设n n ?实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵，证明：11B A ---也是正定矩阵。 2007-026-10 讨论二次型22212312 3121323(,,)25484f x x x tx x x x x x x x x =+++--何时正定。 2007-024-1（7）（判断题） 任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。 2007-024-1（8）（判断题） 设()ij A a =为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。 2007-024-2（2）（填空题） 设实二次型112312323121(,,)(,,)000323x f x x x x x x x x ???? ??? = ??? ??????? ，则123(,,)f x x x 的矩阵 为 ，符号差 。 2007-024-2（3）（填空题） 实二次型222 12312 3121323(,,)52422f x x x x x x x x x x x x λλ=+++--是正定二次型当且仅当λ满足条件 。 2007-024-4 设112013221A ?? ? = ? ??? ，把A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。 2007-024-7 设A 是n 级正定矩阵，B 是n 级实矩阵并且0不是B 的特征值，证明：A B B A '+>。 2007-010-1（3）（填空题） 已知二次曲面2222221x y z ax xz byz +++++=经过正交变换x x y Q y z z '???? ????'=????'???????? 化成椭圆柱面22()2()1y z ''+=，则常数a 与b 应满足的条件是 。 2007-010-1（5）（填空题） 已知222 12 312132355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则参数c = 。 2007-010-4 设A 为正定矩阵。证明：存在可逆矩阵B 使得2A B =。 2007-010-8 用非退化线性变换化下列二次型为规范形，并写出所作的线性变换： 121323(1,2,3)422f x x x x x x x x x =-++。 关于矩阵正定的若干判别方法 数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖 指导教师吴春 摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。 关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言 代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况, 变量35个，样本31个（全国31个省）, 希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 一、问题描述 通过SPSS的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”， 无法给出KMO直，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 二、疑问 1）什么是正定矩阵？ 2）因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3）非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4）如何修正使得变成正定矩阵？ 三、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1）样本量太少，而指标过多 2）某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无 法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且 相关系数在以上： 但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况 估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问 题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只 选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现SPSS没有再提示“非正定矩阵”而是正常 的输出了KMO佥验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试， 当发现添加某个变量SPSS提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续 SPSS认为“非正定矩阵”的原因: 测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让 一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出 结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图： 上图的截图是“解释的总方差”显示所有变量的相关系数矩阵的所有特征值，大家可以看到在 用红色方框标注的5个特征值，他们的数值的数量级都是10的负16次方、17次方、18次方，甚 至出现了负值，几乎可以认为就是零了，远远小于其他特征值，根据之前的逐一测试法确认，这 5 个特征值是与之前发现的那5个变量是对应的，我想这就应该是为什么是这5个变量导致出现非正定矩阵的原因吧。 那进一步思考，特征值过小或者为负值说明了什么呢，根据正定矩阵的判定，正定矩阵的充分 必要条件是：特征值>0,所有出现负的特征值就肯定会出现“非正定矩阵”的原因，但就靠这点似 乎还不够，因为有些特征值是大于0的，只是非常非常小而已。我推测（仅仅是我推测），因为我 们在做主成分分析的时候，每个主成分的方差就等于对于特征值，特征值太小意味着主成分的方差 太小，方差太小意味着包含变量的信息量太少，而我们在做因子分析时往往也是用主成分法来抽取 公因子，所以特征值太小可能也无法满足正定矩阵的条件，当然这是我的推测。 四、总结 根据整个过程，我总结了一下几点： 1）出现非正定矩阵的情况，并不一定都是样本太少（本例中样本才31,变量有35个） 2）剔除变量的时候，可以利用逐一淘汰法来发现问题变量，再考虑是否要删除 3）非正定矩阵似乎对因子分析结果并无太多影响，因为我们往往只抽取了部分公因子（累计方差 正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application 目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22) 1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠ 内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩 内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application 摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件 Decision of Real Positive Definite Matrix and Its Important Conclusion Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix . Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition 禄 鹏 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000） 摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 2 实正定矩阵的等价定理 定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>. 定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定. 引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4 [] 7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的 主对角元均为正. 定理1 实对称矩阵n n R A ?∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10?∈≠n R X ，使0>AX X T . 二次型 2007-029-8 设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9 已知二次曲面方程为222 123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1） 求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8 已知矩阵???? ? ? ??? ???----=8111181111811118A (1)求二次型???? ?? ? ??=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ; (2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型; (3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基. (4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积) 2007-021-7 121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差. 2007-012-2 求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。 2007-001（A ）-1 化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 正定矩阵的判定 摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。 关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型 一、利用定义 （一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有 T X AX 0>。正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。 例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则T P AP 也是正定矩阵。 证明：因为A 是实对称阵，故T P AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ， 由于PX ≠0(P 是非奇阵),故() T T X P AP X 0>,即T P AP 是正定阵。 1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量 X =12x x ?? ? ? ??? ≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。 2．实对角矩阵1n d d ?? ? ? ??? 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2, n )。 3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等 于n 。 二、利用主子式 （一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。 证明：对n 作数学归纳法。当1n =时，()2 1111f x a x =，由条件11a >0，显然有 ()1f x 是正定的。假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。 令 111,111,11,1n n n n a a A a a ----?? ?= ? ??? ，11,n n n a a α-?? ?= ? ??? 一、案例介绍 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量35个，样本31个（全国31个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 二、问题描述 通过spss的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”，无法给出KMO值，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 三、疑问 1)什么是正定矩阵？ 2)因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3)非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4)如何修正使得变成正定矩阵？ 四、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1)样本量太少，而指标过多 2)某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在0.9以上： 但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现spss没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了KMO检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量spss提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让spss认为“非正定矩阵”的原因：一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图： 本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间： A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding: 摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值 Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum 泰山学院 毕业论文材料汇编 正定矩阵的判定 所在学院 专业名称 申请学士学位所属学科 年级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装订日期 2015 年 6 月 30 日. 材料汇编目录 一、开题报告 二、任务书 三、论文 1. 封面 2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录 5. 正文 6. 参考文献 7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告. 题目正定矩阵的判定 学院 年级 专业 姓名 学号 指导教师签字 学生签字 2014 年 12 月 15 日 . . . 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。 方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时， A 正定。 （二）研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排 1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。 2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。 3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献 [1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989. [3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版 社，2003. [6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003. 摘要............................................. 错误!未定义书签。关键词............................................. 错误!未定义书签。Abstract.......................................... 错误!未定义书签。Keywords.......................................... 错误!未定义书签。前言............................................... 错误!未定义书签。1预备知识........................................ 错误!未定义书签。二次型定义........................................ 错误!未定义书签。正定二次型定义.................................... 错误!未定义书签。 2 正定二次型的性质............................... 错误!未定义书签。 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用...................... 错误!未定义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用........ 错误!未定义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!未定义书签。 正定二次型在解线性方程组中的应用.................. 错误!未定义书签。正定二次型在物理力学问题中的应用.................. 错误!未定义书签。结束语.. (13) 参考文献.......................................... 错误!未定义书签。 毕业论文 题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 姓名周永辉 班级11级数应1班 学号20111010148 指导教师董芳芳讲师 提交日期2015/5/12 原创性声明 本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名: 年月日论文指导教师签名: 正定矩阵的判别及其应用 摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用. 关键词矩阵；正定性；判别；应用 Methods and the applications of the judgment of positive definite matrix Yonghui zhou (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained. Key Words matrix；positive definiteness；method；application 目录 ５－３ 正定二次型与正定矩阵 复习：５．２．４： ｎ元二次型 ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形： ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换： ????? ????? ???====++n n r r r r r z y z y z d y z d y 1111 1 11， 化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２ ＋…＋ｚｐ２ －ｚｐ＋１２ －…－ｚｒ２ ，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。 一、正定二次型与正定矩阵的概念 定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲 设ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维 实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ）Ｔ，都有Ｘ０Ｔ ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２ 二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ ［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］ ?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２ 。 作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１２ ＋３ｙ２２ ＋ 3 5ｙ３２ ，ｆ的正惯性指数为３，所以ｆ正定。 例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１２－ｚ２２ ，ｆ的正惯性指数为矩阵的判定条件
因子分析出现非正定矩阵案例
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编
正定矩阵的性质和判定方法及应用
实正定矩阵的判定及其重要结论
二次型和正定矩阵
正定矩阵的判定
因子分析出现非正定矩阵案例
正定矩阵及其应用
正定矩阵的判定
正定二次型的性质及应用
正定矩阵的判别及其应用
5-3 正定二次型与正定矩阵
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