浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用
文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.
例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________.
分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.
解 作仿射变换，令','a x x y y b
==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的
圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ?=== ??，不难
求得椭圆离心率,12e ??∈ ? ???
. 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.
例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________.
分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，
与圆的四个交点所形成的面积最大.
解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为
(,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14
，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当
0,2c ??∈ ? ??
时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02? ??，.
说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.
例2变式 已知椭圆22143x y +=，(1,)A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于P Q 、两点，若使得三角形OPQ 面积为3的弦PQ 存在两条，则m 取值范围为________.
例3 （2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于A B 、两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e （其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么m k
是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.
分析 此题按照常规解法较为繁琐，但利
用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射
变换后，点A B M P Q 、、、、分别变换为点
'''''A B M P Q 、、、、，对应直线的斜率变换为原来的a b
倍，且根据圆的性质，可得''''A B O Q ⊥，利用此性质可较容易求得m 与k 的比值关系.
解 作仿射变换，令','a x x y y b
==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，由'M 为''A B 中点，可得''''A B O Q ⊥.
（1）当A B 、两点分别是原坐标系中椭圆E 的右顶点及上顶点
时，经仿射变换得到()()22',0,'0,,,,,22a a a a A a B a Q M c bc ???? ? ?????
，此时线段''A B
所在直线斜率为1-，则''O Q 斜率为1，即22=1a a b c bc ?=,22
a a c =，计
算易得2a c ==，即椭圆E 的标准方程为2215x y +=. （2）经仿射变换后，''O P 是''''O M O Q 、的等比中项''A B 所在直线斜率变换为a
k
b ，则根据''''A B O Q ⊥，可得''O Q 斜率为，
2
''''2a O Q O P c k
===-，因为2''''('')O Q O M O P =g ，即
求得
''O M =，又因为tan '''=ak M O y b
-∠=，则''b m O M a =g ，化简计算易得''2b m O M k a
==-g ，即m k 为定值2-.
说明 本题原答案是利用直线AB 与椭圆联立求得M 点坐标，进而求得直线OQ 后，继续令直线OQ 与椭圆联立，求得P 点坐标，再利用三条线段成等比中项求得m 与k 的比值，运算量较大.但利用仿射变换的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解，运算量大大简化.
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计算机图形学报告仿射变换最小二乘法 姓名： 班级： 学号：
仿射变换的定义 仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 一个对向量平移一般可用如下公式表示： 等价于： 仿射变换可以由以下基本变换复合而成：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear），这些基本的变换如下图1表示： 图1 下图2中变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y') 图2
最小二乘法 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 这是一个示例：某次实验得到了四个数据点：、、、 （图3红色的点）。我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线 ，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组 的和： 图3 最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值： 最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得 到。 如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出： 也就是说直线是最佳的。
仿射变换最小二乘法 景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。而仿射变换的参数可以用最小二乘法进行估算。 设原图像为f(x,y)，畸变后的图像为F(X',Y')，要将F(X',Y')恢复为f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐标与(x,y)坐标的转换关系，这个转换关系称为坐标变换，表示为(x,y)=T(X',Y')。 景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。先计算出坐标变换的系数，仿射变换的表达式为:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋转矩阵，Q是2*1的平移向量，P、Q即为仿射变换参数，即： x= AX' + BY' + C y= DX' + EY' + F 因此，几何畸变的校正归根结底为坐标转换系数A,B,C,D,E,F的求解。 为了防止出现空像素，一般采用反向映射，由最小二乘法得(matlab)： vec1 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*U; vec2 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*V; 其中vec1＝[A B C]'; vec2 =[D E F]'; X Y U V I分别是x，y，X', Y', 1构成的向量。 最小二乘法估计就是估计原始坐标点与经过变换后的坐标点之间的关系，从通过这种关系进行矫正图像，大体步骤如下：
仿射变换
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:
第四章保距变换和仿射变换 本章教学目的：通过本章的学习,使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换,从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。 本章教学重点：(1）保距变换和仿射变换的定义和性质; (2）仿射变换的基本定理； (３）保距变换和仿射变换的变换公式; (４)图形的仿射分类与仿射性质。 本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理;仿射变换的变换公式的求法。 本章教学内容： §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1――对应与可逆变换 集合X到集合Y的一个映射f:X→Ｙ是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即?ｘ∈X,都决定Y中的一个元素f(ｘ)，称为点ｘ在ｆ下的像。对X的一个子集A,记 f(Ａ)={ｆ（a)|ａ∈A}， 它是Y的一个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集Ｂ,记 f-1(B）={x∈Ｘ|f(ｘ)∈Ｂ｝， 称为B在F下的完全原像,它是X的子集。 如果f是X到Y的映射,ｇ上Y到Z的映射,则它们的复合上X到Z的映射,记作 gｆ: Ｘ→Ｚ，规定为 g f(x)=g(f(ｘ）),?ｘ∈Ｘ. 对A?X， gｆ(A)＝ｇ(f(A)); 对C?Z， （g f)-1(C）＝f－１（g－1(C)). 映射的复合无交换律，但有结合律。 映射f: X→X称为X上的一个变换，iｄX: X→X,?x∈X，ｉd X（x）＝x,称为X的恒同变换。 对映射f: X→Y，如果有映射g：Y→X,使得 g f＝ idＸ：X→X,fｇ=ｉdＹ:Y→Y, 则说ｆ是可逆映射，称ｇ是f的逆映射。 如果在映射f： X→Y下X的不同点的像一定不同,则称ｆ是单射。如果f(Ｘ）=Ｙ，则称f是满射。 如果映射f: X→Ｙ既是单射,又是是满射，则称f为——对应。此时?f－1f=ｉd X,, ｆf-1= ｉdＹ,于是f是可逆映射,并且ｆ的逆映射是f-1。 一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。 1．2平面上的变换群 平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u：π→π为:?Ａ∈π，令P u AP（A）=u的点。称P u为π上的一个平移，称向量u是P u的平移量。（Ａ）是使得 u
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用 文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法. 例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的 圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ?=== ??，不难 求得椭圆离心率,12e ??∈ ? ??? . 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.
例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻， 与圆的四个交点所形成的面积最大. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为 (,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14 ，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当 0,2c ??∈ ? ?? 时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02? ??，. 说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
无论是在人脸识别或跟踪领域，还是在图像处理领域，在我们做训练或者分析局部数据之前，都需要把对应的图像数据提取出来，如果必要还应该做相应的Scale处理，下面介绍了一个应用仿射变换提取图像中目标块的例子。 采用仿射变化的优点是易于处理目标块旋转，尺度的变换。 应用背景： 如何提取目标块中的数据，并且对其进行resize处理？ 尤其是当目标块存在旋转的时候，我们如何把它正过来？ 其它优点：仿射变换还可以处理像斜变这种线性形变。 2008-12-1 王栋
例子affine_exp.m 注：目前程序只支持灰度图像数据 image = imread('lena.bmp'); figure(1); hold on; imshow(image); block_size = [ 320 320 ]; %%缩放后的目标大小 sz = [ 70 70 ]; %%原图中的目标大小 p = [ 146 156 70 70 0 0 ]; %%参数：依次为：X方向中心坐标，Y方向中心坐标，宽，高，旋转角度（弧度），斜变角度（一般取0） w = block_size(1); param = [p(1), p(2), p(3)/sz(1), p(5), p(4)/p(3), 0]; param = affparam2mat(param); drawbox(sz, param, 'Color','r', 'LineWidth',2.5); hold off; param = [p(1), p(2), p(3)/w, p(5), p(4)/p(3), 0]; param = affparam2mat(param); wimg = warpimg(double(image), param, block_size); figure(2); imshow(uint8(wimg)); 实验结果解释：实验中参数p = [ 146 156 70 70 0 0 ]说明了提取框的位置，大小，旋转信息。sz = [ 70 70 ]表明待提取图像的大小为70x70。block_size = [ 320 320 ]表明提取目标再进行resize后图像的大小 2008-12-1 王栋
图形复合变换的原理 复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。 复合变换具有形式： 在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换。 相对任一参考点的二维几何变换 相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1) 平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合。 (2) 针对原点进行二维几何变换。 (3) 反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。 例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换 相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下： 相对任意方向的二维几何变换 相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1) 旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。 (2) 针对坐标轴进行二维几何变换； (3) 反向旋转。
例. 将正方形ABCO各点沿(0, 0)→(1, 1)方向进行拉伸，结果如图所示，写出其变换矩阵和变换过程。 解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有： 坐标系之间的变换 问题：x'o'y'坐标系是在xoy坐标系中定义的局部坐标系，已知x'o'y'坐标系中的点P，求P点在xoy坐标系中的坐标值。 图6-12 坐标系间的变换
分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*，使P*点的坐标与P点在x'oy'坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p 点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将变换到P*点，即P*点的坐标是P点变换后P'点的坐标。 图6-13 坐标系变换的变换原理 故此坐标系间的变换可以分以下两步进行： (1)通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合。 (2)通过旋转变换使x'轴与x轴重合。 图6-14 坐标系变换的过程 于是有：
图形复合变换的原理复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。 复合变换具有形式: P-T = P (T{- 7；AT n) = P^T2-T3AT n (n>l) 在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换 相对任一参考点的二维几何变换 相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1)平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合 (2)针对原点进行二维几何变换。 (3)反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。 例1.相对点(xF,yF)的旋转变换 相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下: ■ 10 01cos 6^sin^ 0I Q0_ 0 1 0*cos^ 0■010 -yjr L 1 00 ]*L■ ■ ■cos 901 —-suiS GQS^-0 -V-cos Z? + sill sin￡1 相对任意方向的二维几何变换 相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1)旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。 (2)针对坐标轴进行二维几何变换； (3)反向旋转。
例?将正方形 ABCO 各点沿(0, 0)-(1,1)方向进行拉伸，结果如图所示, 1/2 3/2 0 坐标系之间的变换 问题：x'o'y'坐标系是在xoy 坐标系中定义的局部坐标系，已知 坐标系中的点P ，求P 点在xoy 坐标系中的坐标值。 图6-12坐标系间的变换 on(-4y ) ■ o t C0S45* sin4S* ■ T - -siru( ^4 5*) ms(-4 覽) 0 r 0 I -SU145* cos45* 0 ? 1 ° 0 1 0 0 1 0 ■ 0 1 MT 0 0 3/2 1/2 0 1/2 3/2 0 解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有: x'o'y' 写出其变换矩阵和变换过程。
《数字图像处理》实验指导书 信息科学与工程学院 袁子鹏 网络11-2班 3110757219 实验二、图像的几何变换 一、 实验目的 1掌握图像几何变换的原理； 2 利用MATLAB 实现图像的平移、比例缩放和旋转变换。 二、 实验原理 图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。 图像几何变换的一般表达式：[,][(,),(,)]u v X x y Y x y = ，其中，[,]u v 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， [,]x y 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。 平移变换：若图像像素点 (,)x y 平移到 00(,)x x y y ++，则变换函数为 0(,)u X x y x x ==+， 0(,)v Y x y y y ==+，写成矩阵表达式为： 00x u x y v y ??????=+???????????? 其中，x 0和y 0分别为x 和y 的坐标平移量。 比例缩放：若图像坐标 (,)x y 缩放到（ ,x y s s ）倍，则变换函数为： 00x y s u x s v y ??????=?????????? ?? 其中, ,x y s s 分别为x 和y 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。 旋转变换：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转θ角度，则变换后图像坐标为： cos sin sin cos u x v y θ-θ??????=??????θθ?????? 三、 实验步骤 1打开Matlab ，程序组中“work ”文件夹中应有待处理的图像文件； 2编写函数，对图像进行平移变换，使图像平移横坐标偏移量x 和纵坐标偏移量y ； 3编写函数，对图像进行比例缩放，使图像缩放横坐标偏移量x 和纵坐标偏移量y ； 4 编写函数，对图像进行旋转变换，使图像旋转某个角度angle ； 5 利用上面的函数，对一幅图像完成以下几何变换：先对x 方向缩小0.5倍，y 方向缩小0.25倍，然后平移[20,20]，最后旋转90度。 6记录和整理实验报告。 函数定义： function J=translate(I, x, y) %平移量x 和y 图象变换 imtransform
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用 文［1］介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换 的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简 化?笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿 射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法. 点，若椭圆上存在点P （异于点A ）,使得PO PA ，贝S 椭圆离心率的取 值范围为 ________ . 分析 此题中的点P 满足PO PA ，即点P 在以AO 为直径的圆上， 2 2 也即椭圆笃占1（a b 0）与以AO 为直径的圆有不同于点 A 的公共 a b 点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点P',则点P 与点P'的 纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比. 解 作仿射变换，令x' x,y' a y ，可得仿射坐标系x'O'y'，在此 b 坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a 2，原坐标系中以AO 为直径的 圆的方程为x 2 ax y 2 0，则b 上.? x ： . x o,-2，不难 a y' V a 2 x'2 \ a x' 2 求得椭圆离心率e —,1 . 2 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果 ，但由上 述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思 路? 2 2 例2已知椭圆笃爲i (a b 0),印F 2分别为椭圆左右焦点， a b 过F i F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于 M 、N 、P 、Q 四点，若 当两2 例1已知椭圆笃 a b 2 1(a b 0），O 为坐标原点, A 为椭圆右顶
条弦垂直于x轴时，点M、N、P、Q所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ________________ . 分析利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M、N、P、Q四点分别变换为M'、N'、P'、Q'四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M '、N'、P'、Q' 四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点F i F2，当OF! 为多少时，能使得过邱F2的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大. 解作仿射变换，令x' x,y'旦y，可得仿射坐标系x'0'y'，在此 b 坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a2，点F r F2坐标分别为(c,0)、(c,0)，过F「F2作两条平行的弦分别与圆交于M '、N '、P'、Q'四点?由平行四边形性质易知，三角形O'P'Q'的面积为M '、N'、P'、Q'四点所形成的平行四边形面积的1,故只需令三角形O'P'Q'面积的最大 4 值在弦P'Q'与x轴垂直时取到即可.由文［2］中的结论，易得当 c 0,-^a 时，三角形O'P'Q'面积的最大值在弦P'Q'与x轴垂直时取 2 到.故此题离心率的取值范围为0,丄. 2 说明此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
实验五二维图形的几何变换 一．算法名称：几何变换 二．算法分析： 图像的几何变换包括图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像几何变换的实质改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。 三．代码实现： int changge(int x, int y) { int i; for(i = 0; i < 3; i++) { ee((att[i].x+x),(att[i].y+y),(att[(i+1)%3].x+x),(att[(i+1)%3]. y+y)); } getch(); setcolor(0); for(i = 0; i < 3; i++) {
ee((att[i].x+x),(att[i].y+y),(att[(i+1)%3].x+x),(att[(i+1)%3]. y+y)); } return 0; } int change1(int x,int y) { int hh1[3]; int hh2[3]; int i; for(i = 0; i < 3; i++) { Hh1[i]=(att[i].x-att[0].x)*sx+att[0].x; Hh2[i]=(att[i].y-att0].y)*sy+att[0].y; } for(i = 0; i < 3; i++) { ee(hh1[i]+120,hh2[i],h1[(i+1)%3]+120,hh2[(i+1)%3]); } getch(); setcolor(0); for(i = 0; i < 3; i++)
{ ee(hh1[i]+120,hh2[i],arr_one[(i+1)%3]+120,hh2[(i+1)%3 ]); } return 0; } int change2(int x, int y, int a) { int i; int hh[3]; int hh1[3]; for(i = 0; i < 3; i++) { hh[i]=(att[i].x-x)*cos(a)-(att[i].y-y)*sin(a)+x; Hh1[i]=(att[i].x-x)*sin(a)+(att[i].y-y)*cos(a)+y; } for(i = 0; i < 3; i++) { ee(hh[i],arr_two[i],hh[(i+1)%3],hh[(i+1)%3]); } getch(); setcolor(0);
利用仿射变化解决椭圆问题 椭圆 )0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 经变换?? ? ??==Y a b y X x 后变成圆2 2 2 a Y X =+，在此变换下有 以下一些性质： ○ 1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b a 倍 ○ 2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b a 倍 ○ 3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b a S '= ○ 5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α α2 2 22 sin cos ||||b a PQ Q P + ='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 相切的充要条件是： 222)()(C bB aA =+ 证明：作仿射变换：? ? ? ??==Y a b y X x 椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线l 变为0:=++ 'C Y a bB AX l 直线l '与圆相切的充要条件是 圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+=2 222 | | 整理得：2 2 2 )()(C bB aA =+ ∴原命题得证。
2直线)(m x k y -=与椭圆： 12 22 2=+ b y a x 交于N M ,两点，试求||MN 解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θcos 2 c a b M F += '， θ c o s 2 c a b N F -= ' θ ρ2 2 2 2 c o s 2c a ab N M -= ''= 作仿射变换?? ? ??==a bY y X x ， 椭圆变为圆：2 2 2a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为 2 2 1)(||b ak akm d += ，2 2 2)(||b ak akc d += x y M F N A M ' N ' 弦长分别为：2 2 2 2 2 2 2 1)(2b k a b k m a a L ++-= 2 2 2 2)(1 2b ak k ab L ++= ， 长度之比是仿射不变量 ()ρ?++-= ∴2 2 2 2 22 2 b k b b k m a MN ()( ) 2 222 2 22222 2 122b k a k ab b k b b k m a ++?++-=
第一章MRI的基础原理（补充） 一、自由感应衰减FID 1、失相位的原因 ⑴、外磁场的不均匀性 ⑵、自旋间的相互作用 2、自由感应衰减FID（Free Induction Decay） ⑴、理想接收信号：正弦函数（旋转的横向磁化矢量） ⑵、实际接收信号：衰减正弦函数（螺旋状的横向磁化矢量）
二、TR和TE 1、基本概念：TR（Time of Repetition，脉冲重复时间） 两个连续的90度射频脉冲的间隔时间 2、基本概念 ⑴、基本概念：TE（Time of Echo，回波时间） 90度射频脉冲到回波采集的间隔时间 ⑵、理想情况：如果能够在关闭90度射频脉冲的同时，进行信号检测 ?则检测到的FID信号最大 ⑶、实际情况：需要等待一段时间，才能进行信号检测 三、饱和 1、基本概念：饱和：当90度射频脉冲，刚刚将纵向磁化矢量偏转到XY平面时 ?系统处于饱和状态 2、基本概念：部分饱和：经过一段时间，部分T1弛豫恢复 ?系统处于部分饱和状态
四、自旋回波 1、重聚脉冲 ⑴、作用：复相位 ⑵、关键：90度射频脉冲激发后，τ时刻后失相位 180度重聚脉冲激发后，τ时刻后复相位 2、自旋回波（Spin Echo，SE） ⑴、作用：利用重聚脉冲，去除外磁场的不均匀性所导致的失相位 ⑵、关键：TE＝2×τ
五、空间编码 1、Gz梯度 ⑴、基本概念：Gz＝层面选择梯度 ⑵、打开时刻：90度射频脉冲激发时 2、Gx梯度 ⑴、基本概念：Gx＝频率编码梯度 ⑵、打开时刻：回波采集时 3、Gy梯度 ⑴、基本概念：Gy＝相位编码梯度 ⑵、打开时刻：90度射频脉冲~180度射频脉冲之间 ⑶、理想过程：Step1：打开Gy梯度?各行质子以不同频率的进动 Step2：关闭Gy梯度?各行质子之间，永久性的相位移 Step3：打开Gx梯度?各列质子以不同频率的进动 Step4：归纳【各行各列的质子，具有不同的频率和相位】⑷、实际过程：每一次相位编码，都需要一个TR周期
利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）； 性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相 切，变换后仍相切）； 性质3变换前后对应图形的面积比不 变； 现以一些高考试题为例加以说明。 例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 ⑴若6 ，求k的值； ⑵求四边形AEBF面积的最大值。 分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理 ．．．．．求得D’点的坐标，再反求出D
点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。 解：依题设得椭圆的方程为1y 4 x 22 =+ 作仿射变换，令x ’=2 x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系 中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1) ⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=7 12 D ’F ’=7 2 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’= 2 ∴A ’D ’=7 2 4 D ’B ’= 7 23或A ’D ’= 7 23 D ’B ’=7 24 ∴''''B D 3 4D A =或''''D 4 3A = 由定比分点公式可得：D ’(7 374,)或D ’(7 473,) ∴D 点坐标为(7 378,)或(7 476,) ∴k=83或k=3 2 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ??sin ''''B A F E 2 1= θsin 2≤2（当θ =2 π时取“=”号， 此时F ’ ( 2 222,)） 由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π 根据性质3有π =π' S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤2 2 当且仅当F 坐标为(2 2222 ,)，即k=2 1时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面
Tracking-Learning-Detection原理分析 正如名字所示，TLD算法主要由三个模块构成：追踪器（tracker），检测器（detector）和机器学习（learning）。 对于视频追踪来说，常用的方法有两种，一是使用追踪器根据物体在上一帧的位置预测它在下一帧的位置，但这样会积累误差，而且一旦物体在图像中消失，追踪器就会永久失效，即使物体再出现也无法完成追踪；另一种方法是使用检测器，对每一帧单独处理检测物体的位置，但这又需要提前对检测器离线训练，只能用来追踪事先已知的物体。 TLD是对视频中未知物体的长时间跟踪的算法。“未知物体”指的是任意的物体，在开始追踪之前不知道哪个物体是目标。“长时间跟踪”又意味着需要算法实时计算，在追踪中途物体可能会消失再出现，而且随着光照、背景的变化和由于偶尔的部分遮挡，
物体在像素上体现出来的“外观”可能会发生很大的变化。从这几点要求看来，单独使 用追踪器或检测器都无法胜任这样的工作。所以作者提出把追踪器和检测器结合使用， 同时加入机器学习来提高结果的准确度。 跟踪器的作用是跟踪连续帧间的运动，当物体始终可见时跟踪器才会有效。追踪器根据物体在前一帧已知的位置估计在当前帧的位置，这样就会产生一条物体运动的轨迹，从这条轨迹可以为学习模块产生正样本（Tracking->Learning）。 检测器的作用是估计追踪器的误差，如果误差很大就改正追踪器的结果。检测器对每一帧图像都做全面的扫描，找到与目标物体相似的所有外观的位置，从检测产生的结 果中产生正样本和负样本，交给学习模块（Detection->Learning）。算法从所有正样 本中选出一个最可信的位置作为这一帧TLD的输出结果，然后用这个结果更新追踪器的起始位置（Detection->Tracking）。
数字图像处理与分析实验作业 作业说明：作业题目分为基本题和综合应用题。基本题主要是考察大家对教材涉及的一些基本图像处理技术的理解和实现。而综合应用题主要是考察大家综合利用图像处理的若干技术来解决实际问题的能力。 注：所有实验用图像均可从网上下载，文档中的图片只是示例。 作业要求： 编程工具：Matlab或者VC(可以使用OpenCV：https://www.doczj.com/doc/2c16428352.html,/）。因为很多基本的图象处理算法已经集成在很多的编程工具中，而编程训练中基本题的目的是让同学们加深对这些算法的理解，所以基本题要求同学们只能使用图像读取和显示相关的函数（例如Matlab的imread imshow，imwrite，OpenCV的cvCreateImage，cvLoadImage，cvShowImage），而不要直接调用相关的API（例如二维DFT，图象均衡等等），但在综合应用题中则无此限制。 上交的作业包括：实验报告和程序。其中实验报告要求写出算法分析（必要时请附上流程图），函数说明（给出主要函数的接口和参数说明），实验结果（附图）及讨论分析。提交的程序，一定要确保可以运行，最好能写个程序说明。 基本题一共有10道，可以从中任选2道题来完成。综合应用题有2道，可以从中任选1道来完成。 请各位同学务必独立完成，切忌抄袭！ 基本题 一、直方图变换 要求对原始Lena 图像实现以下三种取整函数的直方图均衡化： 线性函数： t k= int[(L -1) t k+ 0.5]； 对数函数： t k= int[( L-1)log(1+9t k) + 0.5] ； 指数函数： t k= int[(L -1)exp( t k-1) + 0.5] ； 要求给出： 1、原始图像和分别采用上述三种方式均衡化后的图像； 2、原始图像的直方图和上述三种方式对应均衡化后的直方图。
极速秒杀法-------椭圆经典结论 [结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +周长周长； [例题]：（1）椭圆22 131 x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ?的周长。 解：2AB F 周长 （2）过椭圆 221259 x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。 解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴周长。 [结论2]：焦点三角形离心率：1212 22F F c e a PF PF = =+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2 e αβ αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22 221x y a b +=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=，求离心率。 解：121222F F c e a PF PF = === + 。 （2）过椭圆 22 112m x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ?为正三角形，求椭圆方程。 解：3090 cos cos 22===830903cos cos 22 e m αβ αβ++= =- - 。 （3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。 解：1212212F F c e a PF PF = ===+ 。 （4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7 cos 18 B =- ，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。 解：2122 1225523 59328 3 F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。 （5）设22 2221 F x y a b +=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e. 解：1212212F F c e a PF PF = ===+。
仿射变换 一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆 仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22 a b k k BC AC -=?. 仿射变换定理二：b a S S ='（拉伸短轴）；a b S S =''（压缩长轴）. 拉伸短轴后点的坐标变化：), (),(00' 00y b a x A y x A →，横坐标不变，纵坐标拉伸b a 倍. 斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S a b S ??=（水平宽不变，铅垂高缩小）. 压缩长轴后点的坐标变化：),( ),(00' 00y x a b A y x A →，纵坐标不变，横坐标缩小a b 倍. 斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S b a S ??=（水平宽扩大，铅垂高不变）. 例1（2013·新课标）椭圆13 4:2 2=+y x C 的左、右顶点分别为21A A 、，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]1,2--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A. ??????43,21； B. ??????43,83； C. ??????1,21； D. ?? ? ???1,43. 例2（2016·北京）已知椭圆1:22 22=+b y a x C 过点)1,0(),0,2(B A 两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；
利用伸缩变换 解决圆锥曲线中的 线性问题 作者：赵呈海 天津市第一〇二中学 指导教师：马萍天津市第一〇二中学 严虹天津市第一〇二中学 纪洪伟天津市第一〇二中学 张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题 赵呈海天津市第一〇二中学 摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。 关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。 我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。这就是解析几何（坐标几何）。 解析几何，高考永恒的重点、难点。圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。 坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。 为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。