4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题
薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：
{}([][]{})e p e D D σβ?=-? （4-7-1）
式中
{}[,,]{}[,,]T x y xy T
x y xy e σσστεεγ??=????
??=?????
（a ） 分别为应力增量分量和应变分量增量。而弹性矩阵
????
?
???
?
??
?--=210
001011][2μμ
μ
μE D e （b ） 塑性矩阵
[][]
[][]T
e e e T e
f f D D D f f H D σσσσ??????
??????????=??????'+????
??????
（4-7-2） 这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件
0s f σσ=-= （4-7-3）
式中
2221/2
(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）
式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹
塑性过渡区，取
b
a s
a σ
σσσβ--= （d ） 上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。板的应力偏量
)(3
1
)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）
将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：
????
??????-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 222
2)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ
（4-7-5）
其中
E
H S S S S Q xy
y x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）
分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有
}{}{}{P e M M M ?+?=? （f ）
式中
T xy y x M M M M ],,[}{???=? (g)
弹性弯矩增量和挠度增量的关系
?
???
???
??????--=????+???-=????+???-=?)()1()]()([)]()([2
222222
22w y x D M w x w y D M w y w x D M e
xy e
y e
x
μμμ （4-7-6）
式中，)1(122
3
μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。 板的静力平衡条件有：
0)()(2)(2
2222=?+???+????+???e
y xy x q M y
M y x M x （4-7-7） 将式（f ）代入，同时考虑到方程（4-7-6），则得薄板弹塑性弯曲的控制方程：
]444
4224[()2()()
0e p D w w w q q x x y y ????+?+?-?+?=???? （4-7-8）
其中e q ?为对应于弹性变形的外载荷增量，而
)()()(22222p y p xy p x p
M y
M y x M x q ???+????+???=? （4-7-9）
称为塑性载荷项，它与当前的应力水平有关。
设有一正方形薄板，边长为a ，取无量纲量
{}{}???
?????=?-?=??=?====Eh V V Eh a q q h w w a h a h h a a x p n p n y x x x ,)1(,,,,2
2
2μγ
ηξ （h ） 取板弯曲的挠度函数
})]{([)]([)()(1111
1
A A w N i M j j
i
ij
??Φ=Φ?=
?∑∑+-=+-=η?ξη?
ξ （i ）
式中，?为克罗内斯克（Kronecker ）乘积符号，而)]([)],([ηξΦΦ是由五次B 样条函数构成的基函数。
由于位移试函数既不满足控制方程（4-7-8），又不满足边界条件，因此采用加权残值法中的混合法。将试函数（i ）代入控制方程（4-7-8）及有关的边界条件，同时取样条结点为配点坐标，得残值方程：
}}{}{}]{[}{p q q A H R ?+?-?= （j ）
方差泛函
}){}{}]{)([}{}{][}({}{}{}{p T p T T T T q q A H q q H A R R I ?+?-??+?-?== （k ） 方差最小二乘极值条件
0}
{}
{=???A I （I ） 求得
})({][])[]([}{1p T T q H H H A ?=?- （4-7-10）
上式中}{p q ?是由塑性变形所引起的内力修正项，它随着载荷的增加不断变化，因此只能用数值逼近法求解。其基本思想是，对每一步载荷增量，}0{}{=?p q ，则控制方程（4-7-8）变成：
0)]()(2)([44
22444=?-???+????+???e q w y
w y x w x D （m ） 上式为完全弹性方程。求解方程（m ），计算应力，应变及位移，并进行屈服判断，当)(ij f σ＜0时，板属于弹变形；当)(ij f σ≥0，板发生塑性变形。对于应力超过屈服面的部分，求修正应力分量，进而求内力修正项}{p q ?。再将}{p q ?当作外载荷代入方程（m ）中求解。如此循环反复，直到}{p q ?减小到允许范围，即可结束这一步加载。下一步的载荷增量类似处理，直到所有载荷加完。
作为具体算例，四边固定理想弹塑性矩形薄板， 承受均布载荷q 作用，计算参数8.0.6,2.0,100.3,3.04=====?==M N m b a m h MPa E 取μ。图4-7-1给出了板中点处的载荷挠度曲线及屈服域扩展顺序图。
最小二乘配点法分析圆形弹性地基板的弹塑性弯曲问题
用最小二乘配点法，对任意分布载荷作用下弹性地基上圆板的弹塑性弯曲问题进行了分析。方法简便可行，具有良好的精度。
已知文克勒（Winkler ）地基上圆形薄板的静力平衡微分方程为：
22222111()2[()]()()(,)0r r rM M M M kw r q r r r r r r
θθθθθθ?????++-+-=?????（4-8-1）
圆板的Misses 屈服条件为
2
22
2
3s r r r
σ
τσσσσθ
θθ=++- （4-8-2）
相应于Misses 屈服条件下的Levy-Missis 弹塑性本构关系为
(2)(2)6p r r r p
r p
r r r d d d d d d d d d θθθθθθθ
εελσσεελσσγγλτ?
==-?==-?
?==?
（4-8-3） 这里忽略了弹性变形。为了求得应力分量，反解上式，并应用几何方程：
222
2
2111r r w
w w z z r
r r r w r z r r θθεεθθ?
?????=-=-+? ?????
????????=- ???????
（a ）
则得
22
222
22222
(2)112()()()33(2)22()()()331()66r r r r r d d z dw dw dw d d r r r r d d z dw dw dw d d r r r r d z dw d d r r θθθθθεεσλλθεεσλλθγτλλθ???+???==-++?????????
???+????
==-++?????????
????????==- ???????????
(4-8-4)
将上式代入屈服方程（4-8-2），解得比例系数：
s
z d σψλ3=
(4-8-5)
式中
2
/12
2222222
22
22)(1)(1)()()(141)(1)(1?
??????????+??+????+?????????????? ??????+?????
???+??=dw r dw r r dw r dw r dw r r dw r dw r r θθθψ （b ）
对各应力分量沿板厚度积分，得塑性弯矩及塑性扭矩：
22
22222222
112()()()22()()()1()r r M dw dw dw r r r r M dw dw dw r r r r M dw r r θθθθθ??????=-
++?????????
???????
=++?????????????????=- ???
???????? （c ）
式中
2/1222)3(θθθr r r s M M M M M M ++-= （d ）
将式（c ）代入力的平衡方程（4-8-1），可得用挠度增量表示板塑性区域的控制微分方程：
222
2222
2
22
22
2221112()()()1112()122()()()()(,)0
n
i i dw dw dw r r r r r dw r r r r M dw dw dw r r r r r r k dw dw q r θθ
θθθθ=????????++?????????????????
?++??? ?????????
????????????-++??????????++-=∑ （4-8-6） 式中，dw 为相应于当前载荷的挠度，∑=n
i i dw 1
为前几个载荷增量所产生的挠度之
和。
在任意轴对称分布载荷作用下，式（4-8-6）蜕化为如下形式：
222
222112()()12()()()()0
n
i i dw dw r r
r r M dw dw r r r r r k dw dw q r =???????
+? ??????????????
++? ???????++-=∑ （4-8-7） 对于板上弹性变形区域的控制方程，用增量表示为
22
(,)0
dw kdw dq r θ??+-= （4-8-8）
设文克勒尔地基上有一周边简支圆板，半径为α，板上表面作用均布载荷q 。取板的挠度增量试函数为：
∑=+-+=n
i i B A a r X C dw 1
221)( （4-8-9）
式中，X 1为克雷洛夫函数，A ，B 均为任意系数，由圆板简支边界条件确定：
2
3344111
12()(1)n
i i n
i i A C i X i X B C X μμ==?=-?+?
??=-??
∑∑ （e ） 其中
1133441cos()(),sin()()2
1[sin()()cos()()]
4X ia ch ia X ia sh ia X ia ch ia ia sh ia ?
==?
??
?=-??
（f ） 将式（4-8-9）代入式（4-8-8），得弹性区残值方程：
()43223
12341
2220334411[148/4/4/2
()()](1)
n
e i i R C i X i X r i X r iX r r r i X i X X dq μμ==--+-+-+-++∑
（4-8-10）
式中X 1，X 2，X 3，X 4均为克雷洛夫函数。
将式（4-8-9）代入式（4-8-6），可得塑性区残值方程：
}4322312341322
2342
22342222234103344111248/4/4/)
[1612/8/(84/)]()
8(4/)2()()/(1)n
p i i k
i i M R C i X i X r i X r X i r M i X i X r iX r r
i X iX r r r
n X iX r X r r i X i X X k dw q
ψψψψμμ==?=--+-?-+-???+?+-????+++-++-+-∑∑
（4-8-11）
令
111;;
n
ej e e
ij
ej i ij
i i n k
pj e e ij pj i ij j i j i
R P R C P dq C R P R C P dw C ===??
==-?
??
???==+???
∑∑∑ （g ） 在弹性区选L 个配点，在塑性区选H 个配点，可得关于C 1，C 2，…,C m 待定系数的代数方程组：
111111221111111100()0L
n H n k
e e p p
ij i ij ij i mj j j i j i m L n H n k e e p p ij i j ij i mj j j i j i m n n k e e p p ij i nj ij i mj nj i i m P C dq P P C k dw q P P C dq P P C k dw q P P C dq P P C dw q P =============????-++-= ? ?????????-++-= ? ?????
??-++-= ???∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
11L H j j ==?????
???
???∑∑
（h ）
写成矩阵形式：
}0{][}]{[=-F C A （i ）
解此方程组可得C 1，C 2，…，C n ，从而可求得dw 的表达式。
算例：简支板取α=4.0m ，h=0.30m, k=2.344×104kN/m 3，E=2×104Mpa ，q=991kN/m 2，μ=0.5。计算结果见表4-8-1。其中取n=2。
对于周边固定圆板，可同样计算，q=2084 kN/m 2，结果见表4-8-2。其中n=2。
-2
-2
扁壳弹塑性问题的加权残值法解
用加权残值法中的配点法求解扁壳弹塑性问题，所用试函数为壳中面位移u ，υ取双三次B 样条函数，法向位移w 取双五次B 样条函数。首先求扁壳的弹性解，选逐渐增大载荷，一旦网格点达到弹性极限，将相应的应变分为弹、塑性两部分，再根据弹塑性本构关系获得与塑性应变有关的等效载荷，以一系列迭代过程得到扁壳的弹塑性解。
图4-9-1为矩形底面的双扁壳，它的应变分量可写为
????
???
?????-??+??=??--??=??--??=y x w z
x y u e y w z w k y e x w
z w k x u e xy y y x x 22222)(21υυ （4-9-1）
超过弹性极限后的应变包含两个部分，即弹性部分和塑性部分。设塑性应变
部分用p （右上角）表示，则应力与应变之间弹性关系：
22[()()]1[()()12()
p p x x x y y p p y y y x x p xy xy xy E e e e e E e e e e G e e σμμ
σμμτ?=
-++?-?
?=-++?-?
?=-??
（4-9-2） 如壳厚为h ，则单位宽度截面的内力和内力矩分别为：
????
?
???
???-????
????+??=-???
?????? ??-??+???? ??-??-=-?????????? ??-??+???
??-??-=
xy xy y x y x x y x x N x y u Gh N N w k x u w k y Eh N N w k y w k x u Eh N υμυμυμμ22
11 （4-9-3）
其中
?
?
?+-=
+-=
??
--2
/2/2
2
/2
/2
)(1,)(1h h p
x p y h h y p y p x x dz e e E
N dz e e E N μμμμ ?
-=2
/2
/2h h p xy xy dz e G N
?
????????
?-????
?????--=-???
?
????+??-=-????
?
???+??-=xy xy y y x x M y x w D M M x w y w D M M y w x w D M 22222222
2)1(μμμ （4-9-4） 其中
???
?
???-=+=+-=+-=???---)1(12,1)(1,)(12
32/2/22/2/22/2/2μμμμμμEh D zdz e E M zdz e e E M zdz e e E M h h p
xy xy h h p
x p y h h y p y p x x 扁壳的平衡微分方程为：
???
?
???=+????
????+???+??++-=??+??-=??+??02)(,22222z y M y x M x M N k N k Y y N x N x y N x N y xy x y y x x y xy xy
x （4-9-5） 将式（4-9-3）、（4-9-4）代入式（4-9-5）得扁壳的控制微分方程：
??
?
????
????????+=?+??????++++??-+??--+-=?????????? ????+??-??+??-+???+-+-=???
??
????? ????+??-???++??-+??-Z Z w D k k k k w k k y k k x u Eh Y Y y w k y w k y x y x u Eh X X x w k x w k y x y u x u Eh
y x y x x y y x x y y x 42
2
2
222222222222
)2()()(1)()()
(21211)
()()(21211μμυμμμυυμμμμυμμμ （4-9
-6） 其中
?????
?
???????
?
?????-+???+??+???+??++-+---=??-+??--=??-+??-=?????????---------2/2/22/2/222/2/2/2/2
/2/2
222/2/2/2/22/2
/2/2/212)())()()(12)(12)(1h h p xy h h p
x p y h h h h h h p
y p x p
x p y y p y p x x h h p xy h h p
x p y h h p xy h h p
y p x zdz e y x E zdz e e y zdz e e x
dz e e k dz e e k E Z dz e x G dz e e y
E Y dz
e y G dz e e x E X μμμμμμμμμμ （
c ）
双曲扁壳的边界条件为：
1．固定边界：x 为常量边的边界条件是：
0,00,0=??===x
w
w m
u υ （4-9-7） 2．简支边界：x 为常量边的边界条件是： 0,
00,
0====x x M w m N υ （4-9-8）
令u,υ用双三次样条基函数表示，w 用双五次样条基函数表示。为使试函数满足不同边界条件，可以将它们作不同的线性组合。现将试函数统一写成：
?
???
?
??
??
===∑∑∑∑∑∑======n i m
j j i ij n i m
j j i ij n
i m
j j i ij y x r w y x r y x r u 000000)(~)(~~)()()()(ψφψφυψφ
将式（4-9-9）的u ，υ，w 代入扁壳的控制微分方程（4-9-6），列出残值为零的条件，在扁壳区域内配点。消除残值方程为：
{}}0{}){}({}]{[=+-=Q Q R K R 内
式中，[K]为不随迭代过程变化的线性矩阵，{R}为系数矩阵，{Q}为载荷列阵，}{Q 为由塑性应变引起的等效载荷列阵。
为了计算塑性应变，引用Von Mises 屈服条件及相关流动法则，将单轴应力-库变曲线加以推广，得：
)(σf e p i = （4-9-11）
其中
2
/1222))()()((3
2p xy p y p x p y p x p i e e e e e e +++=
（d ） 2/1222)3(xy y x y x
τσσσσσ+-+= （e ）
应用塑性增量理论，式（4-9-11）可写为增量形式：
????
???+?-+?-'=?xy i xy y i x y x i y x i p i f e σστσσσσσσσσσ32222)( （4-9-12） 利用Prandtl-Reuss 关系，可得：
σ
τσσσσ2322p
i xy p
xy x y p y y x p x e e e e ?=?=-?=-? （4-9-13）
这给出了关于多维载荷应力-应变增量的关系式。
对于迭代过程，用下标n 表示迭代到第n 步。假定在第n-1步，我们已经知道位移u n-1, υ
n-1
, w n-1,应力11)(),(,)(--n xy y n x τσσ增量载荷，{△Q}和增量等效载荷
{△Q}，则可用式（4-9-10）、（4-9-9）求得u n , υn , w n ,即得△u n = u n -u n-1, △υ
n
=υn -υ
n-1
, △w n =w n -w n-1。另一方面，由已知11)(),(,)(--n xy y n x τσσ，根据式（4-9-12）、
式（e ）可以求得p
ni e ?。这样，由式（4-9-13）求得p xyn
p yn p xn e e e ???,,。从这些增量塑性应变可以计算出}{Q ?，代入式（4-9-10）、（4-9-9）又一次求得u,υ,w 和Δu,Δυ,Δw 。重复上述步骤，直到边续两次的Δu,Δυ,Δw 差值可以忽略为止。
作为算例，图4-9-2为30m ×30m 正方形扁壳，四边简支，受均布竖向载荷q 0=40kN/m 2，矢高f a =f b =2.5m ，壳厚h=0.06m ，E=2×107kN/m 2。图中曲线表示扁壳中心线上挠度w 。
最小二乘配点法解圆柱形扁壳的弹塑性问题
在建筑工程中，常用圆柱形扁壳作为屋盖。
本节所讨论的圆柱形扁壳的控制微分方程，可以从§4-9中式（4-9-6）蜕化得
???
?
??
???+=?+??????+??-??--+-=???
?????-??+??-+???+-+-=???
?????-???++??-+??-Z Z w D R w x R x u R Eh Y Y y w R y x y x u Eh X X x w R y x y u x u Eh 4
22
22
222222222211)(121211)(21211υμμυυμμμμυμμμ （4-10-1） 其中
??????
?
???
?????????++???+??+?
?????+??++---=??-+??--=??-+??-=
????????--------2/2/22/2/222/2/2/2/2222/2/2/2/22/2/2/2
/212)()()(112)(12)(1h h p xy h h p
x p y h h h h p
y p x p y p x h h p xy h h p x p y h h p xy h h p
y p x zdz e y x E zdz e e y zdz e e x dz e e R E Z dz e x G dz e e y E Y dz e y G dz e e x E X μμμμμμμμμ （a ） 式中h 为壳厚。
为求这个圆柱壳的弹塑性解，取位移试函数为： ??
??
?
?
???===∑∑∑∑∑
∑==-==-==-n i m
j i ij n i m
j i ij n
i m
j j ij l s j y b w l x j y b l x j y a u 13.1113.1113.11cos
cos sin
ππυπ （4-10-2）
其中l 为x 向跨度。
将式（4-10-2）的三个位移代入圆柱形扁壳的控制微分方程（4-10-1）和相应边界条件。并在V 域内选若干点，在边界上选若干点，合并后，得到残值方程：
}0{}){}({}]{[}{=+-=Q Q r K R （4-10-3）
式中，{R}为加权残值列向量，{K}为不随迭代过程变化的系数矩阵，{r}为待定系数向量，{Q}为载荷向量，[Q]在引起u ，υ,w 位移方面和{Q}有同样效应，因此可以把它看成为由塑性应变引起的等效载荷向量。
根据最小二乘法原理，使残值最小，得
}){}({][}]{[][Q Q K r K K T T += （4-10-4）
图4-10-1 圆柱形扁壳载荷与自由边中点竖向位移的关系 改写为
KC=F （4-10-5）
与§4-9相同，引用Von Mises 屈服条件及其流动法则，可以获得多维载荷应力-应变增量的关系式（4-9-13）。由此，经过迭代过程，可以获得所要求的位移和应力。
如图4-10-1所示圆柱形扁壳是理想的弹塑性材料，弹性模量E=2.1×104
MN/m 2，波桑比μ=0，屈服级限σ0=4.1MN/m 2，半跨长度L=7.6m ，半径R=7.6m ，壳厚h=0.076m ，α=40°，受竖向均布载荷作用，图中曲线表示文献[4.18]和本文计算的载荷与自由边中点B 的竖向位移之间的关系。
配点法分析大挠度板壳的弹塑性问题
用加权残值法求解弹性力学（线性、非线性）问题的文章较多，而求解材料线性力学问题的加权残值法其研究工作较少，特别是大挠度弹塑性的板壳力学问题的研究工作几乎是空白的。用加权残值法中的配点法可获得大挠度矩形和大挠度双曲扁壳的弹塑性解。
如§4-9中的图4-9-1所示的扁壳，它的应变分量可写为：
????
???
?????-????+??+??=??-??+-??=??-??+-??=y x w z
y w x w x y u e y w z y w w k y e x w z x w w k x u e xy y y x x 2222222)(21)(21)(21υυ （4-11-2）
其中，u ，υ，w 为壳体的中面位移，k x , k y 为中面在x 和y 方向的曲率。
超过弹性极限后的应变仍然包含两个部分，即弹性部分和塑性部分。应力与应变之间弹性关系见式（4-9-2），则每单位宽度截面的力和力矩分别为：
?
????
?
?????-????
??????+??+??+=-???
???????? ????+???? ????++-??+??-=-???
?
???????? ????+??? ????++-??+??-=
xy
xy y x y y x y x x N y w x w x y u Eh N N x w y w w k k x y Eh N N y w x w w k k y x u Eh N υμμμυμυμμμυμμ)1(2221)(1221)(12
22222
（4-11-2） 其中
????
???
??=+-=
+-=???---2
/2/2/2/2
2
/2/2
2)(1)(1h h p xy xy
h h p
x p y
y h h p
y p x x dz e G N dz e e E
N dz e e E N μμμμ （a ） ?
???
?????-???-=-????
????+??-=-????
????+??-=xy xy y y x x M y x w
D M M x w y w D M M y w x D M 2
22
22222
2)1(μμμ （4-11-3）
其中
????
???
??=+-=
+-=
???---2
/2/2/2/22
/2/2
2)(1)(1h h p xy xy
h h p
x p y
y h h p
y p x x zdz e G M dz e e E
M dz e e E
M μμμμ (b)
扁壳大挠度的力的平衡微分方程为：
????
?
?
?
??
????=+??+???+??+++??+???+??-=??+??-=??+??0
222222222222q y w
N y x w N x w N N k N k y M y x H x M Y y H x N X y H x N y xy x
y y x x y xy x y xy xy
x （4-11-4） 将式（4-11-2）、（4-11-3）代入式（4-11-4）得
?????
?
?????
+'+=?+'+-=??
??????+????
????-???++??-+??-+'+-=???
?????+??? ????-???++??-+??-q q q w D Y
Y Y y w k y w k y x u x y Eh X
X X x w k x w k y x y u x u Eh x y x 42222
222222
22)()(21211),()(21211μμυμυμμυμμ
μ（4-11-5）
其中
??
???
?
??
???
??+???+??++='???????????++???? ????-+????--='???????????++???? ????-+????--
='22222222222222222
22121121211y w
N y x w N x w N N k N k q y x w x w x w y
w y w Eh Y y x w y w y w x w x w Eh
X y xy x y y x x μμμμμμ （c ） ??????
????
???+??--???+-+??--=??????-??++??-+=??????-??++??-+=???????-------2/2/2222/2/2/2
/2
2222/2/2/2/22/2/2/2/2)(112)(1)1()(1)1()(1h h p
x p y h h h h p xy p x p y h h h h p
xy p x p y
h h h h p
xy p y p x zdz e e y E zdz e y x E zdz e e x E q dz e x dz e e y E Y dz e y dz e e x E X μμμμμμμμμμμ 令u ，υ的试函数用双3次B 样条函数，w 的试函数用双5次样条函数表示。
为使试函数满足问题的边界条件，应根据扁壳的不同边界条件选取相应的试函数。为了书写方便，试函数统一写成：
?
?
??
?
??
??
===∑∑∑∑∑∑======m o i j n
j i ij m o i j n
j i ij m
o i j n
j i ij y x r w y x r y x r u )()()()()()(000ψφψφυψφ (4-11-6)
采用Kronecker 乘积符号?，上式可写为：
??
?
??
?=?=?=}~]{~[]~[}]{[][}]{[][r w r r u ψψψψυψψ (4-11-7)
其中
??
?
?
???
====T
mj j j j j T T n T T T n m r r r r r r r r r r ][}{]}{}{}{}[{}{][][]
[][210210210210 ψψψψψφφφφφ （e ） 形式与上同]~
[],~[],~[],[],[],[r r ψφψφ。
将式（4-11-7）的u ，υ，w 代入式（4-11-5），列出消除残值方程。为此在扁壳区域内配点，则在区域内部的消除残值方程为：
}{}){}{}({}]{[Q Q Q Q R K =+'+= （4-11-8）
式中，[K]为不随迭代过程变化的线性矩阵；{R}为系数列阵；{Q}为荷载列阵；{Q ′}为有限横向位移的非线性影响列阵；}{Q 为塑性应变的非线性影响列阵。
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
弹塑性力学简答题 2002年 1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量、、不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。
卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？协调方程和边界条件。 8薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 10什么是随动强化？试用单轴加载的情况加以解释？ 2004 1对于各项同性线弹性材料，应用广义胡克定律说明应力与应变主轴重合？ ，当某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零，这说明应力的主方向与应变的主方向重合。 2应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3虚位移原理等价于哪两组方程？这说明了什么？
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 30106.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα= --=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+?=----+=-?+=-?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =500300800300 03008003001100-???? +-?? ??--? ? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。 题—图 16
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
第二章 2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =?? ?? ??????1003100031001000000 （应力单位） 求出： （a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位； （c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。 解答： (a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n T i ，得 n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n T 3=σ3j n j =157.31 所以，应力矢量n T 的大小为 =n T [(n T 1 )2 +(n T 2 )2 +(n T 3)2]1/2=314.62 (b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0 其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3 其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。 将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， μ0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0） 注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算 σotc =1/3（0+100+300）=133.3 τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56 (e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题： （1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么？ （6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？ （9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别？ (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 二、计算题 1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n = 3 111 021 2 0ij σ?? ??=?????? 2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be 2 141 404 01ij σ-?? ??=????-?? Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.
弹塑性力学课程作业 1 参考答案 一．问答题 1. 答：请参见教材第一章。 2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。 3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问 题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意 义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材） 7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。 8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料 的塑性变形行为。 12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意 义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。 13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的 区别请参见教材。 14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程 详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。 二、填空题： 1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ； 三．选择题参考答案：
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷（参考答案） 2010~2011 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟 32 学时， 2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 90 % 一、名词解释题（每小题3分，共15分） 1、应力强度因子： 2、弹塑性共存： 3、应力集中： 4、弹塑性体 5、
二、填空题 (每小题2分，共24分) 1、主应力平面上的切应力等于零；主切应力平面上的正应力 不一定等于零。 2、全量应变是 某时刻变形之后的应变量 ； 应变增量是 变形某时刻的应变微分量 。 3、在应力分量表达式σij 中，下标i 表示 应力分量所在平面的外法线方向 ， 下标j 表示 应力分量本身的作用方向 。 4、已知主应变ε1>ε2>ε3，则最大剪应变为：γmax = ε1-ε3 。 5、表征变形体内各应力分量之间相互关系的是 应力平衡微分 方程，表征各应变分量之间相互关系的是 应变连续/协调 方程。 6、在滑开型裂纹扩展模式中，应力的作用方向与裂纹扩展方向 平行 ，裂纹面与应力作用方向 平行 。 7、如图所示，受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，随着外载荷增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点，受压应力的是 b 点。 8、如图所示为变形体内某点处单元体的受力状态，已知σ=σs （屈服应力），用Tresca 屈服准则判别，该点处于 塑性变形 状态；用Mises 屈服准则判别，该点处于 弹性变形 状态。 9、圆柱体在Z 向受压缩，产生均匀塑性变形，则其塑性应变之比为：=p x p x p x εεε::。 10、 11、 12、 题二（8）图 题二（7）图 1.5σ σx
字号：[ 放大、标准] 塑性成形： 是利用金属的塑性，在外力作用下使金属发生塑性变形，从而获得所需形状和性能的工件的一种加工方法，因此又称为塑性加工或压力加工。 塑性： 是指金属材料在外力作用下发生变形而不破坏其完整性的能力。 与其他加工方法相比，金属塑性成形有如下优点： （1）生产效率高，适用于大批量生产 （2）改善了金属的组织和结构 （3）材料利用率高 （4）尺寸精度高 根据加工时金属受力和变形特点的不同，塑性成形可分为体积成形和板料成形两大类。前者的典型加工方法有锻造、轧制、挤压和拉拔等；后者则有冲裁、弯曲、拉延和成型等。
虽然塑性成形方法多种多样，且具有各自的个性特点，但他们都涉及一些共同性的问题，主要有： （1）塑性变形的物理本质和机理； （2）塑性变形过程中金属的塑性行为、抗力行为和组织性能的变化规律； （3）变形体内部的应力、应变分布和质点流动规律； （4）所需变形力和变形功的合理评估等。 研究和掌握这些共性问题，对于保证塑性加工的顺利进行和推动工艺的进步均具有重要的理论指导意义，本章将环绕这些方面作简要介绍，以为读者学习各种塑性成形技术奠定理论基础。 三、塑性变形成形理论的发展概况 塑性成形力学，是塑性理论（或塑性力学）的发展和应用中逐渐形成的：
1864年法国工程师H.Tresca首次提出最大切应力屈服准则 1925年德国卡尔曼用初等应力法建立了轧制时的应力分布规律； 萨克斯和齐别尔提出了切块法即主应力法；再后来，滑移线法、上限法、有限元法等相继得到发展。 四、本课程的任务 目的： 科学系统地阐明金属塑性成形的基础和规律，为合理制订塑性成形工艺奠定理论基础。 任务： 1）掌握塑性成形时的金属学基础，以便使工件在成形时获得最佳的塑性状态，最高的变形效率和优质的性能； 2）掌握应力、应变、应力应变关系和屈服准则等塑性理论基础知识，以便对变形过程进行应力应变分析，并寻找塑性变形物体的应力应变分布规律； 3）掌握塑性成形时的金属流动规律和变形特点，分析影响金属塑性流动的各种因素，以合理地确定坯料尺寸和成形工序，使工件顺利成形； 4）掌握塑性成形力学问题的各种解法及其在具体工艺中的应用，以便确定变形体中的应力应变分布规律和所需的变形力和功，为选择成形设备和设计模具提供依据。 字号：[ 放大、标准]
弹塑性力学试题Revised on November 25, 2020
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、 概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得： 则该问题的应力和位移分量的解分别为： 三、已知弹性半平面的o 量为： 这些力到所设原点的距离分别为y y
解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为： 四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。 解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2 02221???? ? ???== 外力做功为：?=-=l l x kw qwdx T 02|2 1 总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =??+-??????=-=∏|2 1 21202 022 第二步：由最小势能原理可知： 0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。 l x l l w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =??+-???? ????????=|0 22022δδδ （*） 其中=???? ?????????dx dx w d dx w d EI l 22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ????????? ? ????????δ022 将其代入（*）式并整理可得： y
1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
一、简答题 1答：（1）如图1所示，理想弹塑性力学模型： e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 （2）如图2所示，线性强化弹塑性力学模型： () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 （3）如图3所示，幂强化力学模型：n A σε= （4）如图4所示，钢塑性力学模型：（a ）理想钢塑性： s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 （b ）线性强化钢塑性： ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 （a ） （b ） 图4钢塑性力学模型 2答：
3答：根据德鲁克公设， ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中，可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的，因此，在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义： ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥，?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值，要使上式成立，?必须为锐角，因此屈服面必须是凸的。 4 答：逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律，然后分析它所对应的边界条件，以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数，从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答。否则需另外假定，重新求解。 二、计算题 1解：对于a 段有：0N a a a a F A E a a σσεε==?= ，对b 段有：0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解：代入公式，116I =，227I =-，30I = 故117.5MPa σ=，20MPa σ=， 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解：（1）代入公式，110I =，2200I =-，30I = 故主应力：120MPa σ=，20MPa σ=， 310MPa σ=-
第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即
第一次作业 高轩 2014312070109 1.利用指标记法证明()φ???=0。 证明：()12,,...,n x x x ??= ,i i φ??=e ()(),,,,()i i i i j j ij i ij kji k j φe x ????????=??=? =?=?e e e e e e 将i,j 对换后值不变，即 ,,,ij kji k ji kij k ij kji k e e e ???==-e e e 所以()φ???=0。证毕。 2.证明im jm ij l l δ=和mi mj ij l l δ=。 证明：i m im i m im i m l δ?==?=e e e e e e ，同理可以得到：jm jm l δ= 故im jm ij l l δ=。同理可得mi mj ij l l δ=。证毕。 3.证明??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。 证明：设123(,,)r x x x 为曲面123(,,)x x x ?=常量上任一点123(,,)x x x 的矢径（从原点出发，到123(,,)x x x 的矢量）。那么对于123(,,)()i i i i dr x x x d x dx == e e ，其必然平行于此平面在123(,,)x x x 点处的切平面。对于123(,,)x x x ?=常量的平面，123(,,)0i i d x x x dx x ???==?，又i i x ????=?e ，所以123(,,)0i i j i ij i j j i dr x x x dx dx dx x x x ????σ?????=?===??? e e 。 故??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。证毕。
弹塑性力学试题 (土木院15研) 考试时间：2小时 考试形式：笔试，开卷 一﹑是非题（下列各题，你认为正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。每小题3 分，共21分） 1． 孔边应力集中的程度与孔的形状有关，圆孔应力集中程度最高。（ ） 2． 已知物体内P 点坐标P （x, y, z ）, P '点坐标P '（x+dx, y+dy, z+dz ）, 若P 点在x, y, z 方向的位移分别为u, v, w ，则P '点在x 方向的位移为dz z w dy y v dx x u u ??+??+??+ （ ） 3． 任何边界上都可应用圣维南（St. Venant ）原理，条件是静力等效。。 （ ） 4． 塑性力学假设卸载时服从初始弹性规律。（ ） 5． 弹性力学空间问题应变状态第二不变量为2 2 2 - yz xz xy z y z x y x γγγεεεεεε--++。（ ） 6． 弹性力学问题的两类基本解法为逆解法和半逆解法。（ ） 7． 全量理论中，加载时应力—应变存在一一对应的关系。（ ） 二﹑填空及简答题（填空每小题3分，共23分） 1． 弹性力学平面问题，结构特点是（ ），受力特点是（ ）。 2．求解塑性问题，可将应力——应变曲线理想化，分为5种简单模型，它们分别是（ ）。 2． 薄板小挠度弯曲中内力弯矩和剪力的量纲分别为（ ）、（ ）。 3． 比较Tresca 屈服准则和von Mises 屈服准则的相同点与不同点。（5分） 4． 弹性力学的几何方程是根据什么假设条件推导出来的?（4分） 6．简述弹性力学量纲分析的基本思路。（5分） 三﹑计算题（共56分） 1. 写出圆形薄板轴对称弯曲的弹性曲面方程。若受均布荷载0q 作用，推导（必须有推导过程）出其挠度w 的表达式。（8分） 2. 已知应力函数)(A 2 3 xy x +＝?，A 为常数。试求图中所示形状平板的面力（以表面法向和切向应力表示）并在图中标出。(8分)
考试科目 ：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+- =+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y