等高（等底）模型
练一练
1. 如图， E 在 AD 上， AD 垂直 BC 于 D， AD 12 厘米， DE 3 厘米．求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？
A
E
B D C
?
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF CF ，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8 平方厘米．平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？
D
C
F
A
E B
3. 如图，在长方形 ABCD 中， Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米， BC 8 厘米，求三角形 ZCY
的面积．
D C
Z Y
A B
4. 如图所示，一个面积是100 的长方形分成4 个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少？
5. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，面积是40， E 是 AB 的中点，求阴影部分的面积.
6. 如图， ABFE 和 CDEF 都是长方形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影
部分的面积是多少平方厘米？
A B
E F
D C
7.校园里有一块长方形的地长 18 米，宽 12 米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方形四个
顶点外，其余各点均为各边中点） . 一种设计方案如图，那么其中红花和黄花的面积和是＿
＿＿＿平方米 .
大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型 共角模型(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的 面积相等。 拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。 2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍， 那么它的面积也是另一个的n倍； 两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。 D A E D E A D D A E E A B C B C B C B 如图,S:S (AB AC):(AD AE) △ABC△ADE C 【例1】(★★)【例2】(★★★) 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大 三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3, 那么三角形BEF的面积为___________。
1
如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则 △DCF的面积等于。等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分， 求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。 【例5】（★★★）【例6】(★★★★) 已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行， 若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面积。 2
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 三角形等高模型与鸟头模型
E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．
小学数学公式大全整理（完整版） 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽 S=ab 正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形的底=面积×2÷高a=2S÷h 三角形的高=面积×2÷底h=2S÷a 平行四边形的面积=底×高 S=ah 平行四边形的高=平行四边形的面积÷底h=S÷a 平行四边形的底=平行四边形的面积÷高a=S÷h 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 梯形的上底=面积×2÷高-下底 梯形的下底=面积×2÷高-上底
梯形的高=面积×2÷（上底+下底）a=2S÷（a＋b） 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2
一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S
二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。
模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型
反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A
板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形． 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． 例题精讲 三角形等高模型与鸟头模型 （学生版）
小学奥数公式大全 1 、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2 、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3 、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4 、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5 、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7 、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长× 4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 、三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 、平行四边形 s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7 、梯形 s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8、圆形 S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 、圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 、圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = 【 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 》 E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A
等高（等底）模型 【知识点分析】 1 基础知识： 三角形面积=底.K高昇 斯哄：三角形面枳的丸小，取决于三角瞪底和高的乘积. 若底不变，高越大（小），面积越大a卜）； 若高不变，底越丸（小儿面积越大（小）； 2. 模型结论： ①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 女！■图S] * —a * b ②两个三角形底相等，面积比等于它们的髙之比： 特殊:等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线） 其他常用蛀论： （1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$*=￡*； 反之，如果则可知宜线曲平行于CD. （2）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； （3）三甫形罰积等于与它等底等高的平行四边珈圍积妁一半； （4）两个平行四边形高相等*面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
3、拓展结论： 拓展1: 图（1）: 四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，贝US阴二扌S正证明：连接BH、CH,根据等高等底知：S?=S②，S云S空S⑥三S⑥，所以正图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点、,则S阴气S正（证明方法同上） 图（3）:四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则S十丄 S长（证明方法同上） 2 拓展2： 图（2）: S赵S小正，证明同上（辅助线如图） 图（3）: S阴二大正，证明同上（辅助线如图） 图⑷：$阴=gs中正，证明：辅助线如图，根据平行s，、RE=S住阳, 所以,S阴冷S中
【典型例题】 W 1：如右因，E在AD上.AD至直BC?ylD = 12 ^耒，DE = 3圧米.求三角 形ABC的和积是三角形EBC面积的几倍？ 例2:长方形ABCD的面积为36, E> F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？ 例3:（第6届走美杯5年级决春第8題）央如图，A. B、C都是正方形边的中 A, ACOD比AAOB大15平方厘米。AAOB的面积为多少平方厘米？ D
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， 三角形等高模型与鸟头模型
小学数学公式大全整理（完整版） 小学数学几何形体周长面积体积计算公式长方形的周长=（长+宽）X2 C=（a+b）X2 正方形的周长=边长X 4 C=4a 长方形的面积=长乂宽S=ab 正方形的面积=边长X边长S=a.a= a 三角形的面积=底乂高* 2 S=ah^2 二角形的底=面积X 2—咼a=2S*h 三角形的高二面积X 2一底h=2S一a 平行四边形的面积=底乂高S=ah 平行四边形的高=平行四边形的面积一底h=S 一a 平行四边形的底=平行四边形的面积一高a=S 一h 梯形的面积=（上底+下底）X咼* 2 S= （a+ b）h*2 梯形的上底=面积X 2一高-下底 梯形的下底=面积X 2一高-上底
梯形的咼=面积x 2*（上底+下底） a=2S *（ a + b ） d *2 圆的周长=圆周率X 直径=圆周率X 半径X 2 c= n d =2 n r 圆的面积=圆周率X 半径X 半径 三角形的面积=底乂高* 2。 正方形的面积=边长X 边长 长方形的面积=长乂宽 平行四边形的面积=底乂高 梯形的面积=（上底+下底） 内角和：三角形的内角和= 长方体 的体积=长乂宽X 高 长方体（或正方体）的体积= 底面积X 高 公式：V=abh 正方体的体积=棱长X 棱长X 棱长 公式：V=aaa 圆的周长=直径X n 公式：L =n d = 2 n r 圆的面积=半径X 半径X n 公式：S = n r2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。 公式：S=ch=n dh = 2 n rh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的 圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2 n r2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式： V=Sh 圆锥的体积=1/3底面X 积高。公式：V=1/3Sh 直径二半径x 2 d=2r 半径二直径*2 r= 公式 S= a X h *2 公式S= a Xa 公式S= a Xb 公式S= a Xh X 咼* 2 公式 S=(a+b)h *2 180 度。 公式：V=abh
⑴直线AB 平行于CD ，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米 图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，H 是任意点。如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______。 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 。 共边模型 (★★) (★★★) (★★★★ )
⑴如图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 ⑵(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方 形面积的15%，黄色三角形面积是21cm 2 。问：长方形的面积是多少平方厘米 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE ＝，CF ＝2。长方形EFGH 的面积为 。 如图，已知BD ＝DC ，EC ＝2AE ，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积。 (★★★) (★★★★) (★★★★★)
请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦！ 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。 A ．452cm B ．502cm C ．602cm D ．482cm 2．下图是一个长为8cm ，宽为6cm 的长方形，其中E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上边上的中点，求阴影部分的面积 A ．122cm B ．102cm C ．142cm D ．202cm 3．长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =cm ，15AD =cm ，四边形EFGO 的面积为多少 A ．122cm B ．102cm C ．152cm D ．182cm 4．下图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为多少平方厘米。 A ．302cm B ．352cm C ．252cm D ．202cm 5．如图，ABCD 是梯形，ABFD 是平行四边形，CDEF 是正方形，AGHF 是长方形。又知AD ＝14厘米，BC ＝22厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米 A ．452cm B ．502cm C ．602cm D ．562cm 6．如图，AD ＝DE ＝EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米。 A ．142cm B ．132cm C ．122cm D ．112cm
知识框架 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2 ÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发 生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的 1 3，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S= △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 三角形等高模型和鸟头模型
板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():() ABC ADE S S AB AC AD AE =??△ △例题精讲 【例1】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？欢迎关注：奥数轻松学 余老师薇芯：69039270 E D C B A 【巩固】如图30-5，设正方形ABCD 的面积为1，E，F 分别为边AB，AD 的中点，FC=3GC，则阴影部分的面 积是多少?
奥数知识点分类汇总（包含公式） 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 8．周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰年：一年有366天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除； 平年：一年有365天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9．平均数 基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数
小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽S=ab 正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 二、单位换算 （1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米
小学奥数知识总结手册 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差； 再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式：设定1头牛1天吃草量为1份。 （1）草每天的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）； （2）草的原有量=（牛头数-草每天的生长量）×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数一草每天的生长速度）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草每天的生长速度。 平均数 基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法： ①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算. ②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
模型一三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式 ： 三角形面积二底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 ? 如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 ?但是，当三角形的底和高同时 发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的 3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来 3 的一样?这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积 ，而不仅仅取决于高或底的变 化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 ? 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ； ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如 图 S ：S 2 二a: b ④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）； ⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ； ⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等 ，面积比等于它们的高之比 ③夹在一组平行线之间的等积变形 反之，如果 ACD = BCD , ,如右上图 ACD = S A BCD ； 则 可知直线AB 平行于CD ?
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形 ⑶6个面积相等的三角形。 【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考 【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面积=12高＜2-6高 三角形ABC的面积（12 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高“2=2高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4倍； 3 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_______ 平方厘米。 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3一：一2=6（平方厘米）。
长方形的周长二（长+宽）x2 C=（a+b ）x2 正方形的周长二边长x4 长方形的面积二长x 宽 正方形 的面积二边长x 边长 三角形的 面积二底x 高m2 平行四边形的 面积二底x 高 直径二半径x2 d=2r 半径二直径m2 r= dm2 圆的周长二圆周率x 直径二圆周率x 半径x2 c=nd =2nr 圆的面积二圆周率X 半径X 半 径 三角形的面积=底>< 高三2。 公式 S= axh4-2 正方形的面积=边长x 边长 公式 S= axa 长方形的面积=长乂宽 公式 s= axb 平行四边形的面积=底乂高 公式 s= axh 一、小学数学几何形体周长 面积体积计算公式 梯形的面积二（上底+下底）X 高W2 S= (a+b) hv2 C=4a S=ab S =3.3= a S=ahv2 S=ah
梯形的面积=（上底+下底）X高W2 公式S=（a+b）hv2 内角和：三角形的内角和= 180度。 长方体的体积=长乂宽x高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积=底面积x高公式：V=abh 正方体的体积=棱长X棱长X棱长公式：V=aaa 圆的周长=直径xn 公式：L=nd=2TTr 圆的面积=半径X半径XTT公式：S = TTr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=ndh=2nrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2nr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积= 1/3底面x积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母 不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
⑴直线AB平行于CD，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个 三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比; $■心屯匚口= RD ■ JD t S' -1 共边模型 芋积变形口 .4 二、一丰轶童
三、焦昆龙圧 正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 二* (★★★) 图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是任意点。如果正方形的边长 是12,那么阴影部分的面积是_________ （2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的 面积是_____________ 。
⑴如图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部 分的面积是 ____________________ 平方厘米。 D C ⑵（第三届“华杯赛”初赛试题 ）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方 形面积的15%，黄色三角形面积是 21cm 2 。问：长方形的面积是多少平方厘米？ f (★★★★★) 如图，已知BD = DC , EC = 2AE ，三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积。 如图，正方形 ABCD 的边长为6, AE = 1.5, CF = 2。长方形EFGH 的面积为 O
【本周31懸】 请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦! 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为 10厘米和12厘米。 的面积。 2 2 A . 45cm B . 50 cm 2 2 C . 60cm D . 48cm AD 边上边上的中点，求阴影部分的面积? A . 12 cm 2 C . 14 cm 2 D G 求阴影部分 2. 下图是一个长为 8cm ，宽为6cm 的长方形，其中 H 分别为 BC 、CD 、 E 、 F 、 G 、