第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用
第一节 概述
分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。各单元在结点处为铰结。图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体
以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。
谈形体所受体力分量可表示为
[
]
T
y
x
y x p p p p p =???
?
????= (8-1)
所受面力分量可表示为
[
]
T
y
x
y x p p p p p =???
?
????= （8-2）
体内任一点应力分量可表示为
[]T xy y x τδδδ= （8-3）
任一点的应变分量可表示为
[]T xy y x γεεε= （8-4）
任一点的位移分量可表示为
[]T
v u =δ （8-5）
弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为
??
????
????????
???
???+??????=????????????=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为
?
????
?
??????????
?????????
?--=
?????
?
??????xy
y x xy y x E γεεμμμ
μτσσ210
0010112 （8-7）
或简写成为
εσD = （8-8）
式中
????
??
?
??????
?--=210
0010112μμμ
μ
E D （8-9） 称为弹性矩阵。
平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成
2
1μ
-E
，μ换成
2
1μμ
-，因此得出
????
??
?????????
??
?-----+-=
)1(2210
00110
11)21)(1()1(2
2
μμμμμμ
μμμE D （8-10）
平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功
方程代替平衡微分方程和应力边界条件。虚功方程的矩阵表达式为
?????***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）
式中：[
]
T
v u f
**
*
=，表示虚位移；
[]T
xy
x x *
***=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。 为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结
点荷载。设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示
[]T
n n V U V U V U F ?=2211
与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为
[]T
n
n v u v u v u *
******?=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为
F v V u U v V u U v V u U T n n n n **
*****=++?++++δ22221111
如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。于是，式（8-11）所示虚功方程可写成
??**=tdxdy F T T σεδ （8-11）
虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。
所以，通常称为变形体虚功方程。
第二节 单元分析
图8-2所示为一个三角形单元。三个结点按逆时针顺序编号分别为i 、j 、m ，结点坐标分别为),(),(),(m m j j i i y x m y x j y x i 、、。
图8-2
由于每个结点有两个位移分量，单元共有六个结点位移分量：
m m j j i i v u v u v u 、、、、、，如图8-2a ）所示，因此三角形单元的结点位移分量δe 可表示为
[]
T
m m j j i i
e v u v u v u =δ （8-13）
与这六个结点位移分量相对应得结点力也有六个分量，如图8-2b)所示
[]
T
m m j j i i e V U V U V U F = （8-14）
在每个单元上，都可以把结点力用结点位移来表示，即建立如下关系式
e e e k F δ= （8-15）
式中k e
称为单元刚度矩阵。寻求k e
的过程称为单元分析。单元分析按如下步骤
一、位移函数
为了求单元内任一点（x ，y ）的位移，设该点的位移u 、v 为其坐标x 、y 的某种函数，单元有六个结点位移分量，在位移函数中取六个任意参数αi （i=1，2，…，6），并将位移函数取为线性函数，即
?
??
++=++=y x y x v y x y x u 654321),(),(αααααα （8-16）
一般情况下，一个弹性变形体在外界作用下，内部点的位移变化比较复杂，不能用简单
结点 位移 内部各 点位移 应变 应力 结点力 k e
的线性函数描述。但是，当把弹性体离散为许多微笑单元时，在每一个单元内部有限小的局部内，各点位移可以用线性函数描述。式（8-16）可写成矩阵形式
?????
???
???
?????????????????????=????????=65432110000001ααααααy x y x v u f （8-17）
为了求出内部结点位移f 与结点位移δe
之间的关系，需求出δe
与α间的关系。降格结点坐标和位移代入式（8-16），可得
????
?
?
??????????????????=????????????3211
11αααm m
j j i i m j i y x y x y x u u u （a ）
????
?
?
????????????????
??=????????????654111αααm m j j i i
m j i y x y x y x v v v （b ） 三角形单元的面积为 m
m
j j i
i
y x y x y x A 111
2
1
=
（8-18）
求解方程组(a)得
????
??
??????????????
??
?
?=
??????
??????m j i m j
i m j i m j i u u u c c c b b b a a a A 21321ααα （c ） 求解方程组(b)得
????
???
?????????????
??
?
?=
??????
??????m j i m j
i m j i m j i v v v c c c b b b a a a A 21654ααα (d) 式中，m m m i i i c b a c b a 、、、、
、、?由下式计算
?
?
?
??
+-=-=-=m
j i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a （i 、j 、m ）
上式中的（i 、j 、m ）表示脚标依次轮换，可写出计算a j 、b j 、c j 以及a m 、b m 、c m 的另两组公式。
将式（c ）和(d)代入（8-16）并展开，得到以结点位移表示的位移函数
????????
???
???????????????????
??=????????j i j i j i m j i m j i v u v u v u y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x v y x u ),(0),(0),(00),(0),(0)
,(),(),( （8-20） 式中，m j i N N N 、、反映了单元的位移形态，故称为单元位移的形态函数或形函数。矩阵N 称为形函数矩阵。 选取得位移函数是否合理，要看随着单元网格的逐步细分，有限元解是否逼近于精确解。为了保证收敛型所选择的单元位移函数应满足以下条件： （1） 包含单元的刚体位移； （2） 包含单元的常量应变；
（3） 保证相邻单元在公共边界处位移的连续性。 二、单元的应变和应力
选择了位移函数并以结点位移表示单元内点的位移后，重新写出平面问题的几何方程
????
?????
????????
??
??????
?????????
=????????????=v u x y y x xy y x 0
0εεεε （f ） 由式（8-20）得
??
?
??++=++=m m j j i i m m i j i i v N v N v N v u N u N u N u （g ）
将式（g ）代入式（f ），并利用下式
???
?
???
=??=??A c y N A b x N i i i i 22 （i 、j 、m ） (h)
得单元应变
???????
????
?
???????????????????????
?=
????????????m m j j i i m m
j
j
i
i m j i m j i xy y x v u v u v u b c b c b c c c c b b b A 00000021γεε （8-24） 或简写成 e B δε= （8-25） 式中
????
?
??????
?=
m m
j
j
i
i m j i m j i b c b c b c c c c b b b A B 00000021 （8-26） 式（8-25）就是由结点位移求应变的转换式，其转换矩阵B 称为几何矩阵。
将（8-25）代入平面问题的物理方程式（8-8）有
e e DB D δεσ== （8-27）
或写成 e
e
S δσ= （8-28）
S=DB (8-29) 称为应力矩阵。 三、单元刚度矩阵
在有限单元法中，常利用虚功方程代替平衡方程。图8-3a)所示为三角形单元的实际力系，
其结点力为F e ，应力为σ；图8-3b)所示为单元虚位移状态，其结点位移为δ*e ,应变为ε*
。利用式（8-12）可得
图8-3
tdxdy F T e eT σεδ??**= （8-30）
式中：为单元虚应变。为单元结点虚位移；*
*εδe
由式（8-25）可知
e B **=δε
因此 T eT T
B **=δε
将此公式代入式（8-30），由于e
*ε中的元素是常量，公式右边的eT
*δ
可以提到积分号的前
面，得 ??**=tdxdy B F T eT e eT σδδ
由于虚位移e
*δ
是任意的，则 ??=
tdxdy B F e σ
因为B 和σ都是常量矩阵，并且积分
A dxdy =??，所以
tA B F T e σ= （8-31）
利用（8-27），可得 tA DB B F e
T
e
δ= （8-32） 令 DBtA B k T
= （8-33） 则式（8-32）就变成式（8-15），即 e
e
e
k F δ=
单元刚度矩阵e
k 为一个6×6矩阵，它时单元结点位移与单元结点力之间的转换矩阵，具有以下性质：
（1）e
k 示对称矩阵，其元素ji ij k k =；
（2）e
k 是奇异矩阵，由它的元素组成的行列式等于零，即它不存在逆矩阵； （3）e
k 具有分快性质。
第三节 等效结点荷载
为简化各单元得受力情况，便于分析计算，应将单元所受各种载荷向结点移置，化为结点荷载，荷载的移置应安静力等效原则进行。静力等效是令原来的荷载与移置后的荷载在任意虚位移上的虚功相等。 一、 集中荷载
图8-5a ）所式为单元内的任意一点M 受到集中荷载P 的作用，沿x 、y 方向的分量分别为P x 、P y ，用矩阵表示为[
]
T
y
x
P P P =。设移置到该单元结点上的等效荷载列阵为
[
]
T
m m j j i i
e Y X Y X Y X R =
图8-5所示单元发生虚位移，其中单元内部任意点的虚位移为
[
]
T
v u f **
*=
设单元各结点虚位移为
[]T
m m j
j i i e v u v u v u *
******=δ 由式（8-22），则 e N f
**
=δ （a ）
图8-5
如果设R e 为单元得等效结点荷载，则R e 在结点虚位移上所做的虚功应与原来集中荷载在其作用点的虚位移上做的虚功相等，即
P f R T e eT **=δ
将式(a)代如上式，得
P N R T eT e eT **=δδ
由于虚位移可以式任意的，因此 P N R T
e
= （8-36）
或写成 ?
??
==y i i x i i P N Y P N X （i 、j 、m ）
二、 分布体力
设单元受分布体力的作用
[
]
T
y x
p p p =
将微分体积tdxdy 上的体力当作集中荷载P ，利用式（8-36）的积分得出
??=ptdxdy N R T e （8-38）
如果单元上作用的分布体力为自重，γ为材料的重度，即
[]T
p γ-=0
那么利用式（8-38）得到等效结点荷载列阵为
[]T
e At
R 1010103
γ-
= （8-39）
三、分布面力
设单元在边界ij 上首有分布面力的作用 [
]
T
y x
p p p =
将微分面积tds 上的面力当作集中荷载P ，利用式（3-36）的积分可以得出
?=tds p N R T e （8-40）
第四节 整体刚度矩阵
有限元求解弹性力学问题也要用结点平衡方程求解作为基本为质量的整体结点位移列阵。在求出各单元的单元刚度矩阵k e 和解点荷载列阵后，就可以用几何的方法建立其平面弹性体的整体刚度矩阵和整体平衡方程。如果弹性体划分为m 各单元，n 各结点，则有
121222???=n n n n R K δ （8-44）
式中：整体刚度矩阵K 为2n ×2n 阶方程；δ、R 分别为整体结点位移列阵和整体结点荷载列阵，都是2n ×1阶列阵。
第六节 单元网格的划分和计算成果的整理
一、单元网格的划分
划分单元网格时，要综合考虑单元的数目和划分的合理性，注意以下方面：
1． 合理安排单元网格的疏密分布
结构的不同部位疏密不同，边界比较曲折的部位，网格可以密一些，比较平滑的部位，可以疏一些，对于应力应变相对小的部位疏一些。在保证计算精度的前提下，减少单元划分数目。 2． 对称性的利用
当对称结构上有对称荷载或反对成荷载作用是，可以利用对称性取半结构或1/4结
构。
3． 单元形状的合理性
三角形单元的三个边长较为接近最好，可以避免由于周围应力长分布不均而引起较大的计算误差。
4． 不同材料截面处单元划分 当计算对象为不同材料组成时，应以材料性质发生变化的不同材料界面作为单元的边界。
. 一、题目 如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m ，E=200GPa ，=0.25，t=0.1m ，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求： 1. 编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形 单元，单元数不得少于30个）； 2. 采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必 须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）； 3. 提交程序编写过程的详细报告及计算机程序； 4. 所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。 一、程序设计 网格划分 如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则
刚度矩阵的集成 建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。 由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。 通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种； （2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列 （3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列 循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算 （2）中间层：该行逐个计算 （3）最里层：区分为第 奇/偶 数个计算 单元刚度的集成：[ ][][][][][]' '''''215656665656266256561661e Z e e e Z e Z e e e e k k k K k k k k k k +?++=? =?==?==?=?????? 边界约束的处理：划0置1法 X Y P X Y P
第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
三角形常应变单元程序的编制与使用 有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法，该方法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 有限元分析的基本步骤可归纳为三大步：结构离散、单元分析和整体分析。对于平面问题，结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形，以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元，它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性，而矩形或四边形单元较三节点三角 形有更高的计算精度。 Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具，因 此，用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序 有优越性。本章将详细介绍如何利用Matlab语言 编制三角形常应变单元的计算程序，程序流程图见 图1。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如 下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约 束条件等，离散结构并进行单元编码、结点 编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩 阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。计算结果整理包括位移和应 力两个方面；位移计算结果一般不需要特别 的处理，利用计算出的节点位移分量，就可 画出结构任意方向的位移云图；而应力解的 误差表现在单元内部不满足平衡方程，单元与单元边界处应力一般不连续，在边界上应力解一般与力的边界条件不相符合。图1 程序流程图
1.1 程序说明 %******************************************************************* % 三角形常应变单元求解结构主程序 %******************************************************************* ●功能：运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。 ●基本思想：单元结点按右手法则顺序编号。 ●荷载类型：可计算结点荷载。 ●说明：主程序的作用是通过赋值语句、读取和写入文件、函数调用等完成算 法的全过程，即实现程序流程图的程序表达。 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 程序准备 format short e %设定输出类型 clear all %清除所有已定义变量 clc %清屏 ●说明： format short e －设定计算过程中显示在屏幕上的数字类型为短格式、科学计数法； clear all －清除所有已定义变量，目的是在本程序的运行过程中，不会发生变量名相同等可能使计算出错的情况； clc －清屏，使屏幕在本程序运行开始时 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 全局变量定义 global NNODE NPION NELEM NVFIX NFORCE COORD LNODS YOUNG POISS THICK global FORCE FIXED global BMATX DMATX SMATX AREA global ASTIF ASLOD ASDISP global FP1 ●说明： NNODE—单元结点数，NPION—总结点数，NELEM—单元数，NVFIX—受约束边界点数，NFORCE—结点力数，COORD—结构结点坐标数组，LNODS —单元定义数组，YOUNG—弹性模量，POISS—泊松比，THICK—厚度
第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用 第一节 概述 分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。各单元在结点处为铰结。图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体 以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。 谈形体所受体力分量可表示为 [ ] T y x y x p p p p p =??? ? ????= (8-1) 所受面力分量可表示为 [ ] T y x y x p p p p p =??? ? ????= （8-2） 体内任一点应力分量可表示为 []T xy y x τδδδ= （8-3） 任一点的应变分量可表示为 []T xy y x γεεε= （8-4） 任一点的位移分量可表示为 []T v u =δ （8-5） 弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为 ?? ???? ???????? ??? ???+??????=????????????=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为 ? ???? ? ?????????? ????????? ?--= ????? ? ??????xy y x xy y x E γεεμμμ μτσσ210 0010112 （8-7） 或简写成为 εσD = （8-8） 式中
???? ?? ? ?????? ?--=210 0010112μμμ μ E D （8-9） 称为弹性矩阵。 平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成 2 1μ -E ，μ换成 2 1μμ -，因此得出 ???? ?? ????????? ?? ?-----+-= )1(2210 00110 11)21)(1()1(2 2 μμμμμμ μμμE D （8-10） 平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功 方程代替平衡微分方程和应力边界条件。虚功方程的矩阵表达式为 ?????***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11） 式中：[ ] T v u f ** * =，表示虚位移； []T xy x x * ***=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。 为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结 点荷载。设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示 []T n n V U V U V U F ?=2211 与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为 []T n n v u v u v u * ******?=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为 F v V u U v V u U v V u U T n n n n ** *****=++?++++δ22221111 如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。于是，式（8-11）所示虚功方程可写成 ??**=tdxdy F T T σεδ （8-11） 虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。
%变量说明 %NPOIN NELEM NVFIX NFORCE NNODE %总结点数，单元数，受约束边界点数，结点力数, 单元结点数 %COORD LNODS YOUNG POISS THICK %结构结点坐标数组，单元定义数组，弹性模量，泊松比，厚度 %FORCE FIXED BMA TX DMATX SMATX %节点力数组，约束信息数组，单元应变矩阵，单元弹性矩阵，单元应力矩阵%AREA HK ASLOD ASDISP FP1 %单元面积，总体刚度矩阵，总体荷载向量，结点位移向量，数据文件指针format short e clear FP1=fopen('C:\Users\Administrator\Desktop\input.txt','rt'); NPION=fscanf(FP1,'%d',1); %结点个数（结点编码总数）NELEM=fscanf(FP1,'%d',1); %单元个数（单元编码总数）NFORCE=fscanf(FP1,'%d',1); %结点荷载个数 NVFIX=fscanf(FP1,'%d',1); %受约束边界点数 YOUNG=fscanf(FP1,'%e',1); %弹性模量 POISS=fscanf(FP1,'%f',1); %泊松比 THICK=fscanf(FP1,'%d',1); %厚度 LNODS=fscanf(FP1,'%d',[3,NELEM])'; %单元定义数组（单元结点号）COORD=fscanf(FP1,'%f',[2,NPION])'; %结点坐标数组 FORCE=fscanf(FP1,'%f',[3,NFORCE])'; %结点力数组 FIXED=fscanf(FP1,'%d',[3,inf])'; %约束信息数组 %引用所需的全局变量 %global NPION NELEM COORD LNODS YOUNG POISS %global BMA TX DMATX SMA TX AREA %生成弹性矩阵D a=YOUNG/(1-POISS^2); DMATX(1,1)=1*a; DMATX(1,2)=POISS*a; DMATX(2,1)=POISS*a; DMATX(2,2)=1*a; DMATX(3,3)=(1-POISS)*a/2; for i=1:NELEM; %i为当前所计算的单元号 %计算当前单元的面积 AREA=det([1 COORD(LNODS(i,1),1) COORD(LNODS(i,1),2);... 1 COORD(LNODS(i,2),1) COORD(LNODS(i,2),2);... 1 COORD(LNODS(i,3),1) COORD(LNODS(i,3),2);])/2; end %生成应变矩阵B
平面三角形单元有限元程序设计 P 9 m 9 m 一、题目 如图1所示,一个厚度均匀的三角形薄板,在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知:P=150N/m,E=200GPa,=0、25,t=0、1m,忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求: 1.编写有限元计算机程序,计算节 点位移及单元应力。(划分三角形单元,单元数不得少于30个); 2.采用有限元软件分析该问题(有 限元软件网格与程序设计网格必须一致),详细给出有限元软件每一步的操作过程,并将结果与程序计算结果进行对比(任选取三个点,对比位移值); 3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序; 4.所有同学参加答辩,并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下: 1)整理原始数据,如材料性质、荷载条件、约束条件等,离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2)单元分析,建立单元刚度矩阵。 3)整体分析,建立总刚矩阵。 4)建立整体结构的等效节点荷载与总荷载矩阵 5)边界条件处理。 6)解方程,求出节点位移。 7)求出各单元的单元应力。 8)计算结果整理。
一、程序设计 网格划分 如图,将薄板如图划分为6行,并建立坐标系,则 刚度矩阵的集成 建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵,已变单元刚度矩阵的集成。 由单元分析已知节点、单元的排布规律,继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。 通过循环逐个计算:(1)每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种; (2)该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列 (3)将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列 循环又分为3层循环:(1)最外层:逐行计算 (2)中间层:该行逐个计算 (3)最里层:区分为第 奇/偶 数个计算 X Y P X Y P 节点编号 单元编号
. . P 9 m 9 m 一、题目 如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m，E=200GPa，=0.25，t=0.1m，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求： 1.编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形 单元，单元数不得少于30个）； 2.采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必 须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）； 3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序； 4.所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。 一、程序设计 网格划分 如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则
刚度矩阵的集成 建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。 由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。 通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种； （2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列 （3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列 循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算 （2）中间层：该行逐个计算 （3）最里层：区分为第 奇/偶 数个计算 单元刚度的集成：[ ][][][][][]' '''''215656665656266256561661e Z e e e Z e Z e e e e k k k K k k k k k k +?++=? =?==?==?=?????? 边界约束的处理：划0置1法 X Y P X Y P 节点编号 单元编号
平面三角形与空间四面体之间的类比 “类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。 首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。 一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。 二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。 三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。 四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点； 且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的 体积为。 五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。 正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为， 内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。 六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示：G为的重心。且 任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。（重心定理的推广） 如图2所示：E，F分别为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。 七、三角形中三个顶点的坐标分别为，
平面三角形单元有限元程序设计
P 9 m 9 m 一、题目 如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m，E=200GPa，=0.25，t=0.1m，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求： 1.编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形 单元，单元数不得少于30个）； 2.采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必 须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）； 3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序； 4.所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。
2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。 一、程序设计 网格划分 如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则 X Y P X Y P
边界约束的处理：划0置1法 适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。 做法： （1）将总刚矩阵〔K〕中相应于已知位移行主对角线元素置1，其他元素改为零；同 时将载荷列阵｛R｝中相应元素用已知位移置换。 ◎这样，由该方程求得的此位移值一定等于已知量。 （2）将〔K〕中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0，以保持〔K〕的对称性。 ◎当然，在已知位移分量不为零的情况下，这样做就改变了方程左端的数值，为 保证方程成立，须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献——已知位移和相应总刚元素的乘积。◎若约束为零位移约束时，此步则可省去。 特点： （1）经以上处理同样可以消除刚性位移(约束足够的前提下)，去掉未知约束反力。 （2）但这种方法不改变方程阶数，利于存贮。 （3）不过，若是要求出约束反力，仍要重新计算各个划去的总刚元素。 程序如下： 变量说明 NNODE 单元节点数 NPION 总结点数 NELEM 单元数 NVFIX 受约束边界点数 FIXED 约束信息数组 NFORCE 节点力数 FORCE 节点力数组
认识平面图形之三角形 【知识框架】 1、图形分类（按不同标准给已知图形进行分类） 三角形的分类（认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形） 2、三角形三角形内角和 3、三角形三边之间的关系 【知识要点】 图形分类三角形分类 1、把三角形按照不同的标准分类，并说明分类依据。 （1）按角分，分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并了解其本质特征：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 （2）按边分，分为：等腰三角形、等边三角形、任意三角形。有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。 2、通过分类，使学生弄清等腰三角形和等边三角形的关系：等边三角形是特殊 的等腰三角形。 三角形内角和 1、任意一个三角形内角和等于180度。 2、能应用三角形内角和的性质解决一些简单的问题。 三角形边的关系 1、三角形任意两边之和大于第三边。 2、根据上述知识点判断所给的已知长度的三条线段能否围成三角形。如果能围 成三角形，能围成一个什么样的三角形。 【公式概念】 1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和一定大于第三条边。 2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 3、三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。 4、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。（两个内角的和大于第三个内角。） 5、有一个角是直角的三角形是直角三角形。（两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是90度。两条直角边互为底和高。） 6、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。） 7、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是180度。（锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上；钝角三角形有两条高在三角形外）。 8、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。 9、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边高正好重合。）三条边都 第1页 相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都 相等（每个角都是60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）
基于Matlab语言的按平面三角形单元划分的结构有限元程序设计 专业：建筑与土木工程 班级：建工研12-2 姓名：韩志强 学号： 471220580
基于Matlab语言的按平面三角形单元划分 结构有限元程序设计 一、有限单元发及Matlab语言概述 1. 有限单元法 随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切的预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。有限单元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。 有限元法把一个复杂的结构分解成相对简单的“单元”，各单元之间通过结点相互连接。单元内的物理量由单元结点上的物理量按一定的假设内插得到，这样就把一个复杂结构从无限多个自由度简化为有限个单元组成的结构。我们只要分析每个单元的力学特性，然后按照有限元法的规则把这些单元“拼装”成整体，就能够得到整体结构的力学特性。 有限单元法基本步骤如下： (1)结构离散：结构离散就是建立结构的有限元模型，又称为网格划分或单元划分，即将结构离散为由有限个单元组成的有限元模型。在该步骤中，需要根据结构的几何特性、载荷情况等确定单元体内任意一点的位移插值函数。 (2)单元分析：根据弹性力学的几何方程以及物理方程确定单元的刚度矩阵。 (3)整体分析:把各个单元按原来的结构重新连接起来，并在单元刚度矩阵的基础上确定结构的总刚度矩阵，形成如下式所示的整体有限元线性方程： {}[]{}δ F=① K 式中，{}F是载荷矩阵,[]K是整体结构的刚度矩阵,{}δ是节点位移矩阵。 (4)载荷移置:根据静力等效原理，将载荷移置到相应的节点上，形成节点载荷矩阵。 (5)边界条件处理:对式①所示的有限元线性方程进行边界条件处理。 (6)求解线性方程:求解式①所示的有限元线性方程，得到节点的位移。在该步骤中，若有限元模型的节点越多，则线性方程的数量就越多，随之有限元分析的计算量也将越大。 (7)求解单元应力及应变根据求出的节点位移求解单元的应力和应变。
平面图形的认识---三角形的认识综合提优 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点 E. (1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数； (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。 已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。 （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。 如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数．
现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数； (2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转 的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由． 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F． （1）求证：2∠AED-∠CAD=170°； （2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）
P 9 m 9 m 一、题目 如图1所示，一个厚度均匀的三角形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知：P=150N/m，E=200GPa，=，t=，忽略自重。试计算薄板的位移及应力分布。 要求： 1.编写有限元计算机程序，计算节点位移及单元应力。（划分三角形 单元，单元数不得少于30个）； 2.采用有限元软件分析该问题（有限元软件网格与程序设计网格必 须一致），详细给出有限元软件每一步的操作过程，并将结果与程序计算结果进行对比（任选取三个点，对比位移值）； 3.提交程序编写过程的详细报告及计算机程序； 4.所有同学参加答辩，并演示有限元计算程序。 有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。 一、程序设计
网格划分 如图，将薄板如图划分为6行，并建立坐标系，则 X Y P X Y P 节点编号 单元编号
刚度矩阵的集成 建立与总刚度矩阵等维数的空矩阵，已变单元刚度矩阵的集成。 由单元分析已知节点、单元的排布规律，继而通过循环计算求得每个单元对应的节点序号。 通过循环逐个计算：（1）每个单元对应2种单元刚度矩阵中的哪一种； （2）该单元对应总刚度矩阵的那几行哪几列 （3）将该单元的单元刚度矩阵加入总刚度矩阵的对应行列 循环又分为3层循环：（1）最外层：逐行计算 （2）中间层：该行逐个计算 （3）最里层：区分为第奇/偶数个计算 单元刚度的集成： [][] [][] [][] ' ' ' ' ' ' 2 1 56 56 6 6 56 56 2 6 6 2 56 56 1 6 6 1 e Z e e e Z e Z e e e e k k k K k k k k k k + ? + + = ? = ? = = ? = = ? = ? ? ? ? ? ? 边界约束的处理：划0置1法 适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。 做法： （1）将总刚矩阵〔K〕中相应于已知位移行主对角线元素置1，其他元素改为零；同 时将载荷列阵｛R｝中相应元素用已知位移置换。 ◎这样，由该方程求得的此位移值一定等于已知量。 （2）将〔K〕中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0，以保持〔K〕的对称性。 ◎当然，在已知位移分量不为零的情况下，这样做就改变了方程左端的数值，为 保证方程成立，须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献——已知位移和相应总刚元素的乘积。◎若约束为零位移约束时，此步则可省去。 特点： （1）经以上处理同样可以消除刚性位移(约束足够的前提下)，去掉未知约束反力。 （2）但这种方法不改变方程阶数，利于存贮。
32位XP或32位win7系统下硬盘安装64位win7方法！！！ 1、首先C盘名称清空，本地磁盘就ok。 2、解压Windows7 64位版到非系统盘，此处以D:\W7为例 3、复制c:\boot\bootsect.exe至C盘根目录（此bootsect.exe为32位）没有的话，直接百度上输bootsect.exe，下一个就ok！ 4、复制D:\W7中boot文件夹、efi文件夹、bootmgr及bootmgr.efi 至C盘根目录。 5、在C盘根目录下新建sources文件夹，将D:\W7\Sources\boot.wim 复制过来。 6、运行cmd，输入命令c:\bootsect /nt60 c:（注意中间有空格哟！） 7、重启电脑，出现“开始安装界面”，(要注意了，不点击“现在安装”)点左下角“修复计算机”(repair you computer)，进入"系统恢复选择"，选择最后一项"命令提示符"(command prompt)，进入DOS窗口。输入：xcopy D:\W7\boot C:\boot 再输入：xcopy D:\W7\boot\bootsect.exe C: （此bootsect.exe为64位） 8、重启电脑，出现“开始安装界面”，(要注意了，不点击“现在安装”)点左下角“修复计算机”(repair you computer)，进入"系统恢复选择"，选择最后一项"命令提示符"(command prompt)，进入DOS窗口。 先格式化C盘：执行格式化命令format c:/q(注：如C盘是FAT32格式，想转NTFS格式的话，执行format c:/fs:ntfs)。
平面几何：有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交 AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2 1 ∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC . 例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可 得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2 1 ∠O 2O 1K =21 (∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21 (∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =2 1 ∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123
如何求坐标平面内三角形的面积 江苏 张冠平 一、三角形的一边在坐标轴上 例1.已知点A(4.5,5),B(6,0),C(-2,0),求△ABC 的面积. 解析：在x 轴上的两个点（a,0）、(b,0)相互 之间可以通过左右平移得到，它们之间的距离为 b a -.由于BC 边在x 轴上，因此，以AB 为底求 三角形的面积比较方便.BC=()826=--.作AD ⊥BC 于D ，则点D 的坐标为(4.5,0),高AD=5，所以，.20582121=??=?= ?AD BC S ABC 例2.已知点A(0,5),B(0,-1),C(-4,-3),求△ABC 的面积. 解析：在y 轴上的两个点（0, a ）、(0,b)，相互之间可以 通过上下平移得到，它们之间的距离为b a -.因此 AB=()615=--.作CD ⊥AB 于D ，则点D 的坐标为(0,-3),高 CD=4， 所以，.12462121=??=?= ?CD AB S ABC 二、三角形的一边与坐标轴平行 例3.已知点A(2,3),B(2,-4),C(6,1),求△ABC 的 面积. 解析：由A 、B 两点的坐标知，AB ∥y 轴，所以， 要求△ABC 的面积，以AB 为底比较简单， AB=()743=--.作CD ⊥AB 于D ，则点D 的坐标为 (2,1),高CD=426=-. 所以，.14472 121=??=?= ?CD AB S ABC
例4.已知点A(-4,3),B(2,3),C(0,7),求△ABC 的面积. 解析：底AB=()624=--,高CD=437=-. .12462 121=??=?= ?CD AB S ABC 三、坐标平面内任意三角形面积的求法 例5.已知点A(-2,1),B(1,-3),C(3,4),求△ABC 的面 积. 解析：显然，△ABC 的每一条边都与坐标轴不平行，因此，以△ABC 的任意一边为底边都不容易求△ABC 的面积.为此，构造矩形CDEF(C 为矩形的顶点，A 、B 分别在矩形的两边上，矩形的各边与左边轴平行)，D 、E 、F 的坐标分别为D （-2，4）、E （-2，-3）、F （3，-3）.这样△ABC 的面积可以按下列方法之一求得： （1）BCF Rt ABE Rt ACD Rt CD EF ABC S S S S S ????---=矩形 =CF BF BE AE CD AD DE CD ?-?-?- ?2 12121 =.5.1472213421532175=??-??-??-? （2）ABE Rt ACD Rt BCD E ABC S S S S ???--=梯形 = ()BE AE CD AD DE CD BE ?-?-?+2 12121 =().5.143421532175321=??-??-?+? （3）BCF Rt ABE Rt CAEF ABC S S S S ???--=矩形 = ()CF BF BE AE EF CF AE ?-?-?+2 12121 =().5.147221342157421=??-??-?+? 解决这个问题的方法是转化（本题的方法是化一般为特殊）.转化是数学中的重要思想，在学习数学的过程中，转化思想无处不在，掌握了转化的数学思想，学习数学就会事半功倍.
三角形基本图形类型题 全等三角形是平面几何的一个重要部分，是平面几何内容的基础。运用全等三角形，可以用来说明线段相等、角相等等基本的几何问题，今后的学习中我们还将学习运用全等三角形来证明线段、角的和差倍分关系、两直线的位置关系，并运用到其他平面图形的研究中。 解决几何问题的一个基本方法是要在复杂的图形中找到基础的图形，在利用全等三角形解决问题中，主要是要找到一对基础的三角形，我们已经知道，这对基础的三角形实质上来说就是其中的一个三角形通过翻折、旋转、平移的图形运动达到另一个三角形的位置，因此，分析一对三角形的位置关系也就可以找到全等三角形的基础图形。 类型1：轴对称型 在这个基本图形中要注意基本的一些轴对称图形，例如等腰三角形，并且要注意图形的对称轴。 例1：如图（1），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，AE＝DF． 1．BF与CE相等吗？说明理由； 2．当E、F相向运动时，形成（2） （3）（4）（5）（6）图形，上述条 件不变，BF和CE还相等吗？请说 明理由．
类型2：旋转对称型（中心对称型） 在这个基本图形中要注意的是一些本身具有旋转对称或中心对称性质的图形，同时需要多关注的是旋转角往往是解决问题的关键。 例2：已知如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，猜想∠1与∠3的大小关系，并说明理由． 例3：已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，说明AC与BD互相平分的理由． 类型3：平移型 在这个基本图形中，平行线无疑是解决问题的关键。 例4：如图，如果AB＝DE，BE＝CF，要保证△ABF≌△DEC，需补充条件．（写出一个符合要求的条件即可）
平面三角形３结点有限元程序 1、程序名：， 2、程序功能 本程序能计算弹性力学的平面应力问题和平面应变问题；能考虑自重和结点集中力两种荷载的作用，在计算自重时y轴取垂直向上为正；能处理非零已知位移，如支座沉降的作用。主要输出的内容包括：结点位移、单元应力、主应力、第一主应力与x轴的夹角以及约束结点的支座反力。 程序采用Visual Fortran 编制而成，输入数据全部采用自由格式。 3、程序流程及框图 图１-1 程序流程图
图１-2 程序框图 其中，各子程序的功能如下： INPUT——输入结点坐标、单元信息和材料参数； MR——形成结点自由度序号矩阵； FORMMA——形成指标矩阵MA（N）并调用其他功能子程序，相当于主控程序；DIV——取出单元的3个结点号码和该单元的材料号并计算单元的b i，c i等；MGK——形成整体劲度矩阵并按一维存放在SK（NH）中； LOAD——形成整体结点荷载列阵F； OUTPUT——输出结点位移或结点荷载； TREAT——由于有非零已知位移，对K和F进行处理； DECOMP——整体劲度矩阵的分解运算； FOBA——前代、回代求出未知结点位移δ； ERFAC——计算约束结点的支座反力； KRS——计算单元劲度矩阵中的子块K rs。 4、输入数据及变量说明 当程序开始运行时，按屏幕提示，键入数据文件的名字。 在运行程序之前，必须根据程序中输入要求建立一个存放原始数据的文件，这个文件的名字由少于8个字符或数字组成。数据文件包括如下内容： ⑴总控信息，共一条，9个数据 NP，NE，NM，NR，NI，NL，NG，ND，NC NP——结点总数； NE——单元总数； NM——材料类型总数； NR——约束结点总数；