高数期末考试定积分(复习必备)

第五章 定积分

一、基本要求：

1. 理解定积分的概念、几何意义及定积分的性质.

2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.

3. 掌握牛顿——莱布尼兹公式.

4. 掌握定积分的换元法和分布积分法.

5. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分。了解定积分的近似计

算方法.

二、主要内容

Ⅰ.定积分概念：

1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<<<= .把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i

x x i n -= ，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -?=-= ，在

1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作

1

()n

i

i

i f x

ξ=?∑，若0

1

l i m ()n

i i i f x λξ→=??∑

1(max{})i i n

x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为

1

()l i m ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→==??

∑?

，当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积.

2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义

定积分()b

a f x dx ?在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x

b =以及x 轴

所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ.定积分的性质

1. 补充规定：(1)当a b =时，()0b

a f x dx =?

(2)当a b >时,

()()b

a

a

b

f x dx f x dx =-?

?

2. 性质： (1) [()()]()()b

b

b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx -

-+=+??

?

(2) ()(),()b

b

a

a

kf x dx k f x dx k =?

?为常数

(3)

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+?

??

(4)b

a

dx b a =-?

(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()b

a f x dx a

b ≥

推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b b

a

a

f x dx

g x dx a b ≤

推论2：

()(),()b

b

a

a

f x dx f x dx a b ≤

?.

(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()b

a

m b a f x dx M b a a b -≤≤-

(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()b

a f x dx f

b a a b ξξ=-≤≤?.

3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()b

a

y f x dx b a -

=-?

Ⅳ. 积分上限函数及其导数

1. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()x

a

x f t d t Φ=?

在[,]a b 上可导，则

'

()()(),()x

a

d x f t dt f x a x b dx Φ==≤≤?.

2. 设()f x 连续，()x φ可导，则()'

'()()[()]()x a

d x f t dt f x x dx φφφΦ==?.

3. 设()f x 连续，()x φ，()x ?可导，则

()

'

''()

()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dx φ?φφ??Φ==-?.

Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)

设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-?

.

Ⅵ. 定积分的换元法

设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.

(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()b

a f x dx f t t dt β

α

φφ=??.

注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法

设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有

()()()()()()

b

b

b

a a

a

u x dv x u x v x v x du x =-?

? Ⅷ. 几类特殊的积分公式

1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0

()[()()]a

a

a

f x dx f x f x dx -=+-??.

2()()[,]()()[,]a

a

a

f x dx f x a a f x dx f x a a -?-?

=??-???

当为上连续的偶函数时0

当为上连续的奇函数时

2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ， 有0

()()a l l

a

f x dx f x dx +=?

?.

3. 设()f x 在[0,1]上连续，则

2

20

(sin )(cos )f x dx f x dx π

π

=??

(sin )(sin )2xf x dx f x dx π

π

π

=

?

?

20

(sin )2(sin )f x dx f x dx π

π

=?

?

4.2200

123134221242

sin cos 13531

n n n n n n n n n xdx xdx n n n n ππ

π--??-?--?==?

-?=???

?? 为正偶数

为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分

(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim ()b

a a

b f x dx f x dx ∞

→+∞=?

?

(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,

()lim

()b

b

a

a f x dx f x dx -∞

→-∞=?

?

(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,

000

()()()lim ()lim ()b

a

a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞

∞

-∞

-∞

→-∞→+∞=+=+?

????

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞

-∞

?

收

敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞

-∞

?就发散.

2. 无界函数的反常积分

(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()b

b

a

t

t a

f x dx f x dx +→=??

(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()b t

a

a

t b

f x dx f x dx -→=??

(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，

()()()lim ()lim ()b

c b t b

a

a

c

a

t

t c

t c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+?

????

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()b

a f x dx ?收

敛. 只要有一个极限不存在，()b

a

f x dx ?就发散.

三、重点与难点

1. 积分上限的函数及其导数.

2. 牛顿——莱布尼兹公式.

3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题

1. 求22222

12lim(

)12n n

n n n n →∞

++++++ 分析：由定积分定义知0

1

()()lim

()n

b i

i

a

i n f x dx f x λξ→=→∞=??∑?，可见求右端的极限

也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.

解：原式22221111lim lim lim 11()n n n

i i n n n i i i i

i

i n x n i n

n

ξξ→∞→∞→∞======?+++∑∑∑

111

22220001111(1)ln(1)ln 212122x dx d x x x x ==+=+=++??

2. 下列解法是否正确

(1).

22

sec 02tan x dx x π

π==+?

(2).1

1

1

122211111111x t

dx

dt dx x t x =

----?=-+++???令，即1122111

2011dx dx x x --?=++??

解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220

sec ()2tan x f x dx x π

=+?

在积分区间[0,]π内2

x π

=

处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式.

(2) 代换1

x t

=在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条

件.

3. 求下列定积分

(1)0π

? (2)2

21

min{,}x x dx -?

(3)2

-?

(4)2

1

?

解：0

x dx π

π

π

==?

?

?

22

xdx xdx π

π-=-?

332

2

2

2

22

sin sin 33x x ππ

π

=-

224333

=

+= 注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.

(2) 2

2

11min{,}12

x x x x x

x ?-≤≤=?

<≤?

2

1

2

221

1

1

13

min{,}6

x x dx x dx xdx --=+=

?

??

(3)

2

2

2

1d

dx ---==?

?

?

2

1

a r c s i n

4

6

12

x π

ππ

-==-+=-

(4)2

2

1

1

=?? 令1sin ,x t -=则cos dx tdt =

原式2

2

22220

(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt π

π

π

=+=-+???

23

111c o s 32234t π

ππ=-+=+

4. 设()f x 连续，0

()()x

g x x f t dt =?，求''(0)g

解：'0

()()()x

g x xf x f t dt =+? (1)

'(0)0g =

'

'

''

00()()()(0)(0)lim lim x

x x xf x f t dt g x g g x x

→→+-==?

()()

lim ()(0)lim

2(0)1

x

x x f t dt f x f x f f x

→→=+

=+=? 注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得

'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+?=“这种解法

是错误的.

5. 计算下列极限

(1)20

sin 0

ln(1)lim sin 2x

x

x t dt tdt

→+??

(2)20

30

[()]lim

x

t

t

x

x te f u du dt

x e →??

解：(1)20

sin 0

000

ln(1)ln(12)24lim

lim

lim 2sin(2sin )cos 2sin sin 2x

x

x x x t dt x x

x x x

tdt

→→→++?===??

(2)2

22

32

3

23

[()]()()lim

lim

lim

(3)3x

x t

x

t

x x

x

x x x te f u du dt

xe

f u du

f u du

x e

x x e

x x

→→→-==++???

?

2

0()2(0)0

l i m 0323

x f x x f x →-?-?===+

6.设()f x 为连续函数，且221

(2)()arctan 2

x x x t f t dt x -=?，(1)1f =，求21()f x dx ?.

解：2221

2()()arctan 2

x x x x x f t dt tf t dt x -=??

两边对x 求导，得

242()2[2(2)()][4(2)()]1x x x

f t d t x f x f x x f x x f x x

+---=+? 整理后，有24

1()[()]21x x x

f t dt xf x x =++?

令1x =，即得21113

()[(1)]224

f x dx f =+=?

7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2

x x

F x t f t dt =-?

证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数.

(2)若()f x 为单减函数，则()F x 是单增函数 ..

证明：(1) 00()()()()()()22x x x x

F x t f t dt u f u du

t u --=--=--+-=-??

0()()()2

x x

u f u d u F x =-=?

即()F x 为偶函数

(2) 0

0()()()2x

x x F x f t dt tf t dt =-??

'

00

11()()()()[()()]222x x

x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-??

000

11[()()][()()]22x x x

f t dt f x dt f t f x dt =-=-???

由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x ->

'

1()[()()]0(0)2x

F x f t f x d t

x ?=->>?时

当0x t <<时，()()0f t f x -<. 0

'011()[()()][()()]022

x x F x f t f x dt f x f t dt ?=

-=->?? (0)x <时 即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题：

(1)5

2

2

2

2

(sin )cos x x xdx ππ-

+? (2)2ln(1)(0)a

x a

x e dx

a -+>?

(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.

原式5

2

2

2

222222

2

2

cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdx π

π

ππππ-

-

-

=+=???

2

2

2

4

2

22

00

2s i n (1s i n )2

s i n s i n x x d x x d x

x d x π

π

π

??=-

=-???

?

??? =1312()224228

πππ

?-?=

(2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式

??

-+=-a

a

a

dx x f x f dx x f 0

)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就

可利用了.

解：??--+-+=+a

x x a

a

x dx e x e x dx e x 0

222

])1ln()1ln([)1ln(

??

++=++=-a x x x a x x dx e e e x dx e e x 00

1

)

1(ln 211ln 2 3

3

23

23

2

2a x dx x a

a

=

==?

9.计算?

-π

k dx x 0

2sin 1 (k 为正整数)

解：原式??

-=-=π

πk k dx x x dx x x 00

2

cos sin )cos (sin

?

??--++-+-=π

π

π

ππ

k k dx x x dx x x dx x x )1(20

cos sin cos sin cos sin

?-=π

c o s s i n dx x x k

])c o s (s i n )s i n (c o s [4

40

??-+-=π

ππdx x x dx x x

k ])s i n (c o s )c o s (s i n [4

40π

ππ

x x x x

k +-+= k 22=

注：x x cos sin - 是周期为π的周期函数.

10.求dx x x ?

++1

02

1)

1ln(

解：令t x tan =，

原式dt t tdt t

t ??

+=+=40240

2)tan 1ln(sec sec )

tan 1ln(π

π

设dt t ?+=I 40

)tan 1ln(π

dt t dt t t dt t

t

???-+=+

=I 404040cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(π

ππ dt t dt t ??--=4040cos ln )4

cos(2ln π

π

π

(1) 而du u du u dt t ???=-=-400

440)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln π

ππ

π

)4(t u -=π

du u du ??+=40

40

cos ln 2ln π

π

代入(1)式

得 dt t du u du ???-+=I 40

40

40

cos ln cos ln 2ln π

π

π

2ln 8

2ln 40

π

π

=

=?du

所以

2ln 8

1)1ln(1

02

π

=++?dx x x 11.求

?

+20

cos sin sin π

dx e

e e x

x x

解：???

+=+-=+=I 20sin cos cos 02

sin cos cos 2

cos sin sin π

ππdx e e e dx e e e dx e e e x x x

t t t x x x 于是 2220

2

s i n c o s c o s s i n ππ

π

===++=I ??

dx dx e e e e x

x x x 420c o s s i n s i n

π

π

=+=I ??dx e

e e x x x 12.求??-1

1

][2

2

dx dt e x x t .

解：?-2

2

1

x t dt e 为x 的函数，令?-=2

2

1

)(x t dt e x f

原式??

?-===10'2

1

2

1

210

)(2)(22)()(dx x f x x f x x d x f dx x xf

?

?

---=

1

21

1

2

]2[2

2

4

2

2

dx x e x dt e

x

x x t

??-=-=--104

10

3)(4

144

x d e dx e x x x )1(4

11

-=

-e 13. 设函数?=Φx dt t x 0

sin )(

(1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n (2) 求x

x x )

(lim

Φ+∞→

解：(1)由0sin ≥t ,且ππ)1(+<≤n x n

?

?+<Φ≤?π

π)1(0

sin )(sin n n dt t x dt t

有由t sin 是周期为π的周期函数.

sin sin sin 2n t dt n t dt n tdt n π

ππ

===?

??

同理)1(2sin )1(0

+=?

+n dt t n π

因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n

(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即

π

πn x n 1

1)1(1≤

<+ 有

π

πn n x x n n )

1(2)()1(2+≤

Φ<+，令∞→x ，有∞→n . 而ππ2)1(2lim

=+∞→n n n ，π

π2

)1(2lim =+∞→n n n

π

2

)(lim

=Φ?+∞→x x x

14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈?α,有

??

≥1

0)()(dx x f dx x f αα

证法一：???+=1

1

)()()(α

αdx x f dx x f dx x f

于是??-10

)()(dx x f dx x f αα

=])()([)(1

???+-α

αααdx x f dx x f dx x f

=??--1

)()()1(α

αααdx x f dx x f

由积分中值定理 )()(10

ξαα

f dx x f =? αξ≤≤10

)()1()(2

1

ξ

ααf dx x f -=? 12≤≤ξα

因此??-1

)()(dx x f dx x f αα

=)()1()()1(21ξααξααf f ---

=)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)

因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即??≥1

)()(dx x f dx x f αα.

证法二：设??

-=

1

)()(1

)(dx x f dx x f F α

α

α (10≤<α)

2

2

1

)

()()()()(αξαααα

αααα

f f dx

x f f F -=

-=

? αξ≤≤0

0)()(≤-=α

ξαf f

即)(αF 在]1,0(上单调不增，

即0)1()(=≥F F α，即有??≥1

)()(dx x f dx x f αα.

注：此题还可以用积分换元法加以证明.

15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足?=210

2)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2

)('ξξ

ξf f -

=.

证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，

21)()()(121

210

2

?==??

ξF dx x F dx x f x (2

1

01≤≤ξ)

即?=210

21)(2)(dx x f x F ξ，而dx x f x f F ?==210

22

)(2)1(1)1(

即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1?∈ξξ，使0)('=ξF 而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F 也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2)('ξξ

ξf f -

=.

16.计算下列反常积分.

(1)?+∞-22ln 1dx x x (2) ?+∞+0232)1(arctan dx x x (3)?-10211ln dx x

解：(1) ?

+∞-2

2ln 1dx x

x =?+∞--21)ln 1(x d x =?

∞

++∞

---

2

2

2

1

ln 1dx x x

x

=+∞

+-2

1

22ln 1x

=2

2

ln -

. (2)令x x tan =，?

+∞

+0

2

32

)

1(arctan dx x x dt t t

t ?=2

2

3

sec sec π

=dt t t ?20

cos π

=t d t sin 20

?π

=?-20

20

sin sin π

π

tdt t t =

20cos 2

π

π

t +

=

12

-π

.

(3) ∞=--→2

1

11

ln

lim x

x , 1=x 为被积函数的瑕点.

?-1

211

ln

dx x

=?-+-→t t dx x x 01)1)(1(1ln lim =?

-++--→t

t dx x x 0

1

)]1ln()1[ln(lim =t t x x x x x 01

)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--

→ =)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1

t t t t t t --++++--

→ =)2ln 1(2- 17.已知π=?+∞

∞

--dx e x 2

，12

=?+∞

∞

-+-dx ce x

x

.求c 的值.

解：=?+∞

∞

-+-dx ce

x

x 2)2

1

(4

1)2

1(2

-?∞

+∞

---x d e e

c x

t x =-2

1

令 dt e e c t ?∞+∞--41

2dt e ce t ?∞+∞--=241

π4

1ce

=

即π

π4

14

1

11e

c ce

=?=.

18.设??

?<<=其它

10)(x x

x f ，??

?<≥=-0

0)(x x e x g x

，

求函数dx x t g x f t h ?+∞∞

--=)()()(的表达式.

解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.

故dx x t g x f t h ?+∞

∞

--=)()()(?-=1

)(dx x t xg

而??

?≥-=---其它

0)()

(x t e x t g x t

当0 从而0)(=-x t g ，0)()(1

0=-=?dx x t xg t h .

当10≤≤t 时，???-+-=-=1

10

)()()()(t

t dx x t xg dx x t xg dx x t xg t h

当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ，

所以0)(1

=-?t

dx x t xg

从而???--==-=t

x

t

t

t x t dx xe e

dx xe dx x t xg t h 0

)()(

t t t t t x x t e t e te e e xe e ---+-=+-=-=1)1(][0 当1>t 时，t x t t x e dx xe e dx xe dx x t xg t h ---===-=???1

1

1

)()(.

综上 ??

?

??>≤≤-+<=--时

当时当时当1101

00)(t e x t e t t h t t 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.

定积分自测题(A)

一. 选择题(每小题3分，共15分). 1.=?dt e dx d b x t 2

( ) (A)2

x e (B)2

x e - (C)2

2

x b e e - (D)2

2x xe - 2.dx x x I ?-=3

021,则( )

(A)化为)1()1(2123

21

2x d x I ---=?后计算

(B)进行代换t x sin =后计算

(C)进行代换t x =-2

1，dt t I ?--=3021

2

1

21后计算

(D) 进行代换t x cos =后计算

3.设)(x f 连续且2)0(=f ，?

????=≠=?00)()(20

x c

x x dt t tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，

则=c ( )

(A)0=c (B) 1=c (C)c 不存在 (D) 1-=c 4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则?-a

a dx x f )(等于( )

(A)?a

dx x f 0

)(2 (B)0

(C) ?-+a dx x f x f 0

)]()([ (D)?--a

dx x f x f 0

)]()([

5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )

(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数 二.(7分)求]4121141[

lim 2222

2n

n n n -+++

-∞

→ .

三.计算下列各题(每题6分，共12分). 1.2

0220

)

()(lim

2

2

dt e dt e x

t x

t x ??-→

2.设dt t x f x

x

?

-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f .

四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.?+2

1

ln 11e dx x

x 2.dx x x ?-20

cos sin π

3.?

-+43

4

12)

1(1dx x x x 4.?+x e dx

1 5.dx x ?+π43

02cos 1 6.dx x x ?--1

1

224

7.dx x

x ?

+∞

2

2ln 1

五.(10分) 设?????≥<+=-0

01)(2

x e

x x

x f x

，求dx x f ?-3

1

)2(.

定积分自测题(B)

一. 选择题(每小题3分，共15分).

1.设0)(=?dx x f b

a ，且)(x f 在],[

b a 连续，则( )

(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf 2.设dt t I x

e

?=ln 1，dt t I x

e

?=22)(ln ，(0>x )，则( )

(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当e x <时，有21I I < 3.当0→x 时，?

-=10

2)sin()(x e dt t x f 与43)(x x x g +=比较，是( )

(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小

4.函数dt t t t

x x

?

+-=021

3)(?在区间]1,0[上的最小值为( )

(A)21 (B)31 (C)4

1

(D)0

5.=-+?→x

dt

t x

x cos 1)1ln(lim

2sin 0

( )

(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分).

1. 设)(x f 为连续函数，则=

--?-a

a dx x f x f x )]()([2.

2. =

+++++∞→)21

2111(

lim n n n n . 3. 若dx x f dx x xf a ??=0

202

)(21)(，则=

a .

4. 设

??

?≤<≤≤=2

11

10)(2x x x x f ，而?=x

dt t f x F 1

)()( )20(≤≤x ，则

=)(x F .

5.

=

-?

dx x 2

1.

三.计算下列各题(每题8分，共56分).

1.?-+1

0x

x e e dx

2.?+214)1(x x dx

3.θθθθπ

πd ?-

+22

2

3

4

sin )sin (cos 4.dx x

x

?+2

2

sin 3sin π

5.?

--2

ln 0

21dx e x

6.?

+∞

++0

2

)1()

1ln(dx x x

7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求?1

'')(dx x xf .

四.(8分) 设?

+=x dt t t x f 11

1ln )( )0(>x ,试求)1

()(x

f x f +. 五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(31

3

2f dx x f =?.

证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf . 定积分自测题(C)

一. 选择题(每小题3分，共18分).

1.设)(x f 为连续函数，那么函数?=x

dt t tf x F 0

2)()(为( )

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.?=x

a dt t f )2('( )

(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f -

(C))]2()2([2a f x f - (D))]2()2([2

1

a f x f -

3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dx x f b

a

?)(存在的( )

(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件

4.设?--+=114121sin dx e x x I x ，?--++=1142)1sin (2dx e x x I x ，?---+=114

3)1sin (2

dx e x x I x ，

则( )

(A)321I I I << (B)231I I I << (A)213I I I << (A)123I I I <<

5.设)(x f 连续，则?=-x

dt t x tf dx d 0

22)(( )

(A))(2x xf (B))(2x xf - (C))(22x xf (D))(22x xf - 6.广义积分收敛的是( )

(A)?+∞e dx x x ln (B)?+∞e dx x x ln 1 (C)?

+∞e

x x dx 2

)(ln (D)?+∞e x x dx

ln 二.填空题(每小题3分，共12分).

1.=+?))1ln((22x x t

dt t e dx d . 2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(21

2-=?

-x dt t f x ，则=

)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e

?-=1

)(ln )(，则=?dx x f e

1

)(.

4.=

-+?-dx x x 1

122)1(.

三.计算下列各题(每题8分，共40分).

1.?

+40

2cos 1π

dx x x

2.?+++203)

1(1x x dx 3. ?+e

dx x

x

1ln 1 4.?+10222)1(dx x x 5.?

+-5

ln 0

3

1

dx e e e x

x x 四.(10分) 已知dt te a

x a x a t x

x ?∞-+∞

→=-+2)(

lim ，试求a 的值.

五.(10分) 已知?=+-→x x dt t

a t x bx 02

01sin 1lim

，求b a ,的值. 六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .

证明：

2

)(2

Ma dx x f a

≤

?

，其中)(max '0x f M a x ≤≤=. 定积分自测题答案

自测题(A)

一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A

二. 6

π.

三. 1.1 2.2

π

四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3

8

31ln 4-

4.e

e

+12ln 5.122- 6.2332-π

7.

2ln 1

五. e

137-

自测题(B)

一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a

4.?????≤≤-<≤-=2

11

10)

1(3

1)(3

x x x x x F 5.1

三. 1.e arctan 2.1732ln 41 3.16π 4.3

1

ln 41-

5.

)32ln(2

3

+- 6.1 7.2 四.2)(ln 2

1

x

五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.

自测题(C)

一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C

二. 1.)1ln(2)1ln(422

x xe x e x x +-+ 2.4

1

)2(=

f 3.e 1

4.2

三. 1.)22ln

4(21+π 2.6

π

3.23

4.82

-π 5.4-π

四. 2

5=

a 五. 1,4==

b a

六. ],0(a x ∈?，由拉格朗日中值定理，x f f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.

又因0)0(=f ，故x f x f )()('ξ=，],0[a x ∈， 于是

2

'0

'0

2

)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f a

a a

a

=

≤≤=

???

?

ξξ.

2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结

2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

高数一全面复习总汇

《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2) (cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容

定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

高数期末考试定积分(复习必备)

第五章 定积分 一、基本要求： 1. 理解定积分的概念、几何意义及定积分的性质. 2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3. 掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4. 掌握定积分的换元法和分布积分法. 5. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分。了解定积分的近似计 算方法. 二、主要内容 Ⅰ.定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= .把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -= ，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -?=-= ，在 1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作 1 ()n i i i f x ξ=?∑，若0 1 l i m ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为 1 ()l i m ()n b i i a i f x dx f x λξ→==?? ∑? ，当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积.

2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义 定积分()b a f x dx ?在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴 所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ.定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时，()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-? ? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+?? ? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4)b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()b a f x dx a b ≥

2018年高等数学 定积分复习攻略

2018年高等数学定积分复习攻略 我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在临考前提供如下学习建议： 1.复习知识体系 在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。 2.深刻回顾知识点 在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。 3.大量做题

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学不定积分重点难点复习

不定积分 一、基本要求 1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。 2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。 3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。 二、主要内容Ⅰ. 原函数与不定积分概念 三、 1.原函数 设在区间Ⅰ上)(x F 可导，且)()(' x f x F =（或dx x f x dF )()(=）就称)(x F 为)(x f 在 Ⅰ的一个原函数。 2.不定积分 在区间Ⅰ上函数)(x f 的所有原函数的集合，成为)(x f 在区间Ⅰ上的不定积分， 记作 ?dx x f )(. ?+=C x F dx x f )()( 其中)(x F 为)(x f 在Ⅰ上的一个原函数，C 为任意常数. Ⅱ.不定积分的性质 1.dx x f dx x f d )()(=? (或)())(('x f dx x f =? ) 2.C x f x df +=?)()( (或 C x f dx x f +=? )()(') 3.? =dx x f k dx x kf )()( 其中k 为非零常数. 4.? ?- - += +dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. Ⅲ.基本积分公式 1.C kx kdx +=? (k 为常数 2.C x u dx x u u ++=+? 111 3.C x dx x +=?ln 1 4. C x x dx +=+?arctan 12 5.C x x dx +=-?arcsin 12 6.C x dx x +=?sin cos 7.C x xdx +-=?cos sin 8.C x xdx +=? tan sec 2 9.? +-=C x xdx cot csc 2 10.C x xdx x +=?sec tan sec 11.C x xdx x +-=? csc cot csc 12.C e dx e x x +=? 13.C a a dx a x x += ? ln 1 14.C chx shxdx +=?

高等数学(上)第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x )

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

(整理)高数复习重点

万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在

高等数学 定积分及其应用复习题

第五、六章 定积分及其应用 （１） 一．判断题 （ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积． （ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （ ）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ． 五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明

关于高等数学不定积分例题思路和答案超全

关于高等数学不定积分例题思路和答案超全 Last revision on 21 December 2020

第4章 不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 2 2 23x dx x C - -==-+?

★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个 整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134 （-+-） 2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（-+-）2

高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解

第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常 积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ.定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<< <<=.把[,]a b 分成n 个小区间 1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=， 在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑，若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义 定积分()b a f x dx ?在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)

高等数学定积分练习题

市政道路工程下穿铁路下坡段施工方法 下穿铁路下坡段采用钢筋砼现浇U型墙与素砼挡墙相结合的方式。 （一）U型槽施工 1、土方开挖 （1）土方开挖方法 本工程土方开挖采用反铲挖机逐层开挖，直接装土外运的施工方法进行。 （2）土方开挖施工要点 A、基坑开挖以履带式液压挖机挖土为主，人工修挖为辅。 B、在开挖前应将分层层厚、位置、分段长度、作业面开挖顺序向施工人员作书面技术交底，现场作出明显的标记，使施工人员心中有数，以控制挖土深度、长度，严禁超挖。 C、基坑开挖土方施工必须遵循：分层、分段开挖，随或相互交错施工。并确保基坑支护可以提前插入，挖随支护， D、挖每一层土，土层底面都要大致平整，抓斗要有规律地从东向西（或从西向东）挖土。 E、机械开挖禁止碰撞已施工的水泥土墙围护等设施，在上述设施附近的土方采用人工翻挖，配合挖掘机，边坡采用人工修坡，确保边坡坡度不陡于设计要求。

F、基坑随深度的加深，应设置排水明沟及集水坑，并应迅速用泵排除积水，使基坑始终处于无水状态。 G、在最后一层开挖中应特别注意，当机械挖土离坑底标高10-20cm左右时，一律改用人工修整坑底，确保砼垫层能铺在原状土层上。 H、结合土方开挖，加强对成型基坑围护结构的监测（监测方法详见后面基坑监测方案中所述），并根据监测数据不断调整优化施工参数，遵循分段、分层、纵向放坡开挖，以减小围护结构变形，确保基坑及周边环境的稳定及安全。 I、尽量缩短围护结构暴露时间，土方开挖满足砼结构施作条件后，即展开砼工程的施工，尽量缩短基坑晾槽时间。、合理安排开挖时间及顺序，确保按照分段分层一个J． 作业面要么不开挖，一旦开挖确保一个工作面的完整——即不影响下道工序的施工，杜绝“半吊子”工序的出现。 K、开挖过程中，对水泥土墙上出现的渗漏现象，要及时封堵，严防小股流砂发展或变成急剧涌砂。 L、对开挖过程中发现的暗塘，暗滨等不良地质，及时向现场监理工程师、业主、设计院汇报，研究处理方法，最终按设计要求进行处理，严禁隐瞒不报。 （二）管桩施工 钢筋砼U型槽下PHC管桩横向间距3.5m，纵向间距3m。管桩设计抗拔力要求不小于130KN。