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流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4）如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5 如图６-4由（６-4）和（６-5 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3中的虚线。
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。
第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：边界条件静止固壁上自由面上：P = Pa 无穷远处：速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场已知，可由• 若 ux ，uy 已知，可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件，即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
第四章
不可压理想流体平面无旋流动
4.4若干简单流动的速度势
流体力学第四章
令通过原点的流函数及势函数的值为零，则
120
cos sin sin cos c c xV yV V x yV
i W V ze
cos sin sin cos cos sin W i xV yV i V x yV V i x iy
4C
相应的流动图谱如图4-4-7所示。
流体力学第四章
流体力学第四章
n
W Az
4.4.6 任意拐角绕流
已知复势
其中A 为实数,n >1/2
cos sin n in n
n
W Ar e
Ar n iAr n
cos sin n
n Ar n Ar n
此复势又可写成
与此相应的势函数与流函数为
上述复势代表下列物理平面上相交壁面上的流动（对
应为绕锐角或绕钝角的流动）。
流体力学第四章
这些复势除了均
匀流外，它们都
是具有奇点的复
势。
流体势流与旋转流的特性研究引言：流体力学是研究流体行为和性质的学科，涉及到流体的运动、力学、热力学和控制等方面。
在流体力学中，流体可以分为势流和旋转流。
势流指的是流体运动中速度场存在势函数的情况，这种流动是无旋的，旋转流则是速度场存在旋度的情况，这种流动是有旋的。
本文将分别讨论势流与旋转流的特性，并对其进行研究，以深入理解流体力学中的基本概念和原理。
一、势流的特性与研究1. 定义与基本特性：势流是指速度场存在势函数的流动。
在势流中，速度场满足无旋的条件，即旋度等于零。
势流的基本方程为拉普拉斯方程，该方程可以用于描述流体势流的运动行为。
2. 研究方法与应用：研究势流的特性常用的方法包括：- 叠加原理：根据速度势线性叠加原理，可以通过汇总各个速度势的贡献，求得整个流体势流的速度势分布。
- 边界条件：边界条件是研究势流的重要手段，通过给定边界条件，可以确定势函数的分布和速度场。
势流的研究在工程实践中有广泛的应用。
例如，在空气动力学中，通过分析势流可研究飞行器的空气动力学性能；在船舶工程中，势流的研究可用于计算水动力性能和推进装置的优化设计。
二、旋转流的特性与研究1. 定义与基本特性：旋转流，又称涡流，是指速度场存在旋度的流动。
旋转流的旋度不为零，表示流体在运动过程中具有涡旋运动。
旋转流通常包括涡旋、涡旋街、涡旋尾等现象。
2. 研究方法与应用：研究旋转流的特性需要考虑旋度，相比势流更加复杂。
旋转流的研究常用的方法包括：- 涡函数法：通过定义涡函数，可以描述流体速度的旋转情况和涡旋的分布。
- 动量方程法：通过对流体动力学方程进行分析，可以推导出旋转流的特性和运动规律。
旋转流的研究在涡流以及湍流模拟、风洞试验、地下水流动、海洋环流等领域中有广泛应用。
对旋转流的研究有助于理解自然界中的环境现象，并为相关工程提供参考和优化设计。
结论：势流和旋转流作为流体力学的两个重要概念，各自具有特定的特性和研究方法。
势流在流场分析和工程实践中有广泛应用，而旋转流的研究在许多自然现象和工程设计中也起着重要作用。
流函数和势函数公式一、流函数的公式流函数是描述二维流动中速度分布情况的数学函数。
在笛卡尔坐标系下，流函数的公式可以表示为：Ψ(x,y)=Ψ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，Ψ表示流函数。
流函数的物理意义是沿着流线的流体质点速度分量的积分，即在流体的其中一位置，流函数的数值表示沿着该位置流线的任一质点在单位时间内浸入或流出以单位长度为界的穿过该位置的流线的质量。
在极坐标系下，流函数的公式为：Ψ(r,θ)=Ψ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，Ψ表示流函数。
流函数具有以下性质：1.流函数是速度场的偏微分方程的解；2.流函数在各处连续可微，即满足流函数的充要条件为满足连续性方程的速度场。
二、势函数的公式势函数是描述速度场的另一种数学函数。
在二维流动中，势函数的公式可以表示为：φ(x,y)=φ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，φ表示势函数。
势函数的物理意义是在流体中任意一点，流速的大小等于该点的势函数的梯度的模，即V=∇φ。
在极坐标系下，势函数的公式为：φ(r,θ)=φ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，φ表示势函数。
势函数具有以下性质：1.势函数是速度场的偏微分方程的解；2.势函数在各处连续可微，即满足势函数的充要条件为满足无旋条件的速度场。
三、流函数和势函数的关系υ=r∂Ψ/∂rυ=−1/r∂φ/∂θ其中，υ表示速度场的极坐标下的径向速度分量。
根据以上关系，可以得出以下推论：1.如果流函数为常数，则速度场满足旋度为零，即速度场满足无旋条件；2.如果势函数为常数，则速度场满足收敛性条件，即速度场满足连续性方程。
因此，流函数和势函数可以分别用于描述无旋的速度场和无散的速度场。
总结起来，流函数和势函数是描述二维流动中速度场的重要数学函数。
流函数描述流体沿流线方向的速度分布情况，势函数描述速度的梯度与流速的关系。
