【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：1-4-3 含有一个量词的命题的否定

答案：D
类型四 [例4]
求参数的取值范围 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，
如果 ∀x∈ R， r ( x) 为假命题且 s ( x) 为真命题，求实数 m
的取值范围． [分析] 充分利用特称命题和全称命题的辩证关系，
对命题r(x)：转化为求函数f(x)＝sinx＋cosx的值域问题， 对命题s(x)：利用二次不等式恒成立问题求得 m的取值 范围，两个范围取交集即可．
綈 p ： ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) ．全称命题的否定是特称命
题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少 存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词“所 有的”变为存在量词“至少存在一个”．
2.特称命题的否定： 一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有
下面的结论：特称命题 p： ∃x0 ∈ M ， p( x 0 ) ，它的否定
(4)是全称命题，其否定为：存在被5整除的整数，
末位不是0，因为15能被5整除，其末位为5，因此其否 定是真命题．
类型二
特称命题的否定
[例 2] 写出下列特称命题的否定： (1)p：∃ x0>1，使 x2 0－ 2x0－ 3＝ 0. (2)p：若 an＝－2n＋10，则∃n0∈ N，使 Sn0<0. (3)p：a、b 是异面直线，∃A0∈ a，B0∈b， 使 A0B0⊥a，A0B0⊥ b. [分析] 特称命题的否定是全称命题．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解： (1) 是全称命题，其否定为：存在一个素数， 它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定
是真命题．
(2) 是全称命题，其否定为：存在一个矩形，它不 是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：∃a，b∈R，使方程ax ＝b的解不惟一，真命题．
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( A．不存在x0∈R,2x0>0
)
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0
解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题．
答案：D
3．(2010·安徽高考)命题“存在x∈R，使得x2＋2x ＋5＝0”的否定是________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目给出四个命题且均为全．
解答本题要先判定它们的真假，再写出这些命题
的否定．
[解] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存
在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形 綈p：所有的三角形都不是正三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
綈p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
解析： 根据全称命题的否定是特称命题，特称命 题的否定是全称命题可知，选项D中，p的否定应为：
綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
尝 试 应 用 1．命题：“∀ x∈ R，都有 x2－ x＋ 1>0”的否 定是 ( )
A．∀ x∈ R，都有 x2－x＋ 1≤ 0 B． ∃ x0∈ R，使 x2 0－ x0＋ 1>0
2 C．∃ x0∈ R，使 x0 － x0＋ 1≤ 0
D．以上均不正确
解析：原命题为全称命题，其否定为特称命题， 故选C.
立”． 2．要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反 例．
3．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千 万不要将否定写成“是”或“不是”，如第(4)小题，
将否定写成“负数的平方不是正数”就错误了，因为
这个命题也是全称命题，是假命题．
迁移体验 1 假．
写出下列命题的否定，并判断其真
(1)任何一个素数是奇数．
[解] (1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.
(2)綈p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0. AB不与a垂直，或不与b垂直．
(3) 綈 p ： a 、 b 是异面直线，则 ∀ A ∈ a ， B ∈ b ，有 [ 点评 ] 特称命题 “ ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ” 的否定是
(1)綈 p： 存在正数 x， 使 x≤ x－ 1， 真命题．
(2)綈 q：存在一个三角形有两个或两个以上的外 接圆或没有外接圆，假命题． (3)綈 r：所有三角形的内角和小于或等于 180° ， 真命题． (4)綈 s：所有的质数都不是奇数，假命题．
[点评]
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”
“ ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ”． 遇到 “ 且 ” 命题否定时变为 题．
“ 或 ”命题，遇到 “ 或 ”命题否定时，变为 “ 且 ” 命
迁移体验 2 写出下列特称命题的否定： (1)∃x0∈R，|x0＋1|≤1；
2 (2)∃x0∈R，x0 ＋3x0－4≤0.
解：(1)∀x∈R，|x＋1|>1； (2)∀x∈R，x2＋3x－4>0.
解析：綈 p 是假命题，则 p 是真命题，
由 4x＋ 2xm＋ 1＝ 0 得， 1 m＝－(2 ＋ x)≤－2 2
x
1 2 ·x＝－2 2
x
∴ m≤－ 2
答案：C
课时作业 7
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向
下．
(3)是全称命题且为真命题． 命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平
行．
(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负
数的平方不是正数．
[点评]
1.全称命题的否定是特称命题．因为要否
定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”，只需在M中找到一
个 x ，使得 p ( x ) 不成立，也即 “ ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) 成
[解 ]
π 由于 sinx ＋ cosx ＝ 2sin(x ＋ ) ∈ [ － 2 ， 4
2]，所以如果对任意的 x∈ R，r(x)为假命题，即对任 意的 x∈ R， 不等式 sinx＋ cosx>m 恒不成立， 所以 m> 2. 又对任意的 x∈ R， s(x)为真命题，即对任意的 x∈ R， 不等式 x2＋ mx＋ 1>0， 所以 Δ＝ m2－ 4<0， 即－ 2<m<2. 故如果对任意的 x∈ R，r(x)为假命题且 s(x)为真命题， 应有 2<m<2.
第一章
常用逻辑用语
1．4.3
含有一个量词的命题的否定
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定． 2．知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的
否定是全称命题.
新知视界
1．全称命题的否定： 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定
答案：对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
4．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是
__________．
答案：∃x∈R,3x2－2x＋1≤0
5．写出下列命题的否定． (1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)∀x∈R，x2－2x＋1≥0；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)∃x∈R，x2＋1<0.
[点评] 对于全称命题与特称命题的真假正确转化 为恒成立问题与有解问题是解题的关键．
迁移体验 4
已知命题 p ：“对 ∀ x ∈ R ， ∃ m ∈ R ，
使 4 x ＋ 2 x m ＋ 1 ＝ 0 ”．若命题 綈 p 是假命题，则实数 m
的取值范围是(
A．－2≤m≤2 C．m≤－2
)
B．m≥2 D．m≤－2或m≥2
等量词的简化形式，如“若x>3，则x2>9”．在求解中
极易把它误当为简单命题处理；在这种情形下，应先
将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形 式．
迁移体验 3 ( )
对下列命题的否定，说法错误的是
A．p：能被3整除的整数是奇数
綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆
綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命 题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定 为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在 量词“存在一个”变为全称量词“对所有的”．
思考感悟 对省略量词的命题怎样否定？ 提示： 对于含有一个量词的命题，容易知道它是 全称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是 全称命题，可加上“ 所有的” 或“对任意 ”，它的否 定是特称命题．
类型三
两种命题的综合
[例 3] 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：对任意的正数 x， x>x－ 1； (2)q：三角形有且仅有一个外接圆； (3)r：存在一个三角形，它的内角和大于 180° ； (4)s：有些质数是奇数． [分析 ] 先分清是全称命题还是特称命题，再加以 否定．
[解]
解：(1)否定：有的矩形不是平行四边形． (2)否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0.
(3)否定：任意实数的绝对值都不是正数．
(4)否定：∀x∈R，x2＋1≥0.
典例精析 类型一 全称命题的否定
[例1]
否定：
判断下列命题的真假，并写出这些命题的
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)负数的平方是正数．