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下有界线性算子与其伴随算子的关系
作者：李琳
来源：《文理导航》2018年第11期
第一节 有界线性算子的谱 一、算子代数 定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。 性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m n m n T T T m n +=∈N ； 2、()()()ST S T S T ααα==； 3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+； 4、单位算子I 满足：IT TI T ==； 5、:T X X →为同构?存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1 T -，并称T 为可逆算子。以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。 6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且 11111(),()()n n ST T S T T -----==。 当()T GL X ∈时约定10()(0),n n T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。 注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)n n ST S T T T n ≤≤≥； 3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。 定义：设T 属于某算子代数，称 010 ()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞ ===++ ++ ∑、 （其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。 性质：设通常幂级数0 ()n n n f λαλ ∞ ==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数 （3.1.1）绝对收敛：
第三章 有界线性算子 一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例 设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α ,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)( 称T 是X 中到1X 中的线性算子。称)(T D 是T 的定义域。 特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。 如果一个线性泛函 f 是有界的，即 )( |||||)(|M x x M x f ∈≤ 称为 f 有界线性泛函。此外取算子范数作为空间中的范数。 定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0 连续，则T 是连续的。 定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。 2 有界线性算子空间 设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对
于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α ，定义 Bx Ax x B A +=+))(( Ax x A αα=))(( 不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见 )(77P 。 由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =， 把),(1X X β简记为)(X β。 在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及 }1||:||{=∈=X X x S 。如果)(∞→→n A A n ，则对任意 0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈ ≤-||||Ax x A n 1 ||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。 即}{n A 在S 上一致收敛于A 。 反之，如果}{n A 在S 上一致收敛于A ，则对任意0>ε ，存在 N ，当N n >时，对于每一个S x ∈： ||||Ax x A n -ε< 于是：|||| A A n -=1 ||||sup =x ||||Ax x A n -ε≤。 即}{n A 在上一致收敛于A 。 定理1.3 设X 是赋范空间，1X 是anach B 空间，则),(1X X β是anach B 空间。 在空间 ) ,(1 X X β中还有另一种收敛方式。设
第3章 有界线性算子 音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切. Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家) Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论 了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞ →lim ,则T 也是连续的. Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛 函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的. Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理. Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性. 在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子 算子 线性算子 非线性算子 无界线性算子 有界线性算子 §1 有界线性算子 1.1 有界线性算子的基本概念与性质 定义1.1 设E 及1E 都是实（或复的）线性空间，T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射，如果对任意 D y x ∈,，有 ()Ty Tx y x T +=+ 则称T 是可加的。若对任意的实（或复）数α及任意的 D x ∈，有 ()Tx x T αα= 则称T 是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。 设1E 是实（或复）数域，于是T 成为由D 到实（或复）
数域的映射，这时称T 为泛函。如果T 还是线性的，则称T 为线性泛函。泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。 定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间，D 为E 的子空间，T 为由D 到1E 中的线性算子。如果按照第六章§2.3定义2.6，T 是连续的，则称T 为连续线性算子。如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集，则称T 是有界线性算子。如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集，则称T 是无界线性算子。 例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子，单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子. 容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子. 例 2 连续函数的积分 ()()?= b a dt t x x f 是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊ 例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）. 定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间，T 是由E 的
第4章 线性算子与线性泛函 4.1 有界线性算子 4.1.1 线性算子与线性泛函 算子概念起源于运算。例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。 定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性子空间， :T D Y →是一个映射. 对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ?∈及数,αβ∈F , 有 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1) 则称T 是线性算子. 称D 是T 的定义域，记为()T D ; 称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R . 取值为实数或复数的线性算子T （即：()T ?F R , 1 =F R 或1 C ）分别称为实的或复 的线性泛函，统称为线性泛函。 注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。 例4.1.1 设1 [0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义 d ()()()d Tx t x t t = , 则T 是X 到Y 的线性算子。 例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ?上的二元连续函数，定义 ()()(,)()d b a Tx t K t s x s s =?,
Banach空间的有界线性算子 定义： E及E1都是实的线性空间，T:D?E→F?E1,IF,?x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF?实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。 T是连续的，则T为连续线性算子。 IF T将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的 定理： E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要条件是?M>0,ST,?x∈D,||Tx||≤M||x||。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IF T在某点x0∈D连续，则T在D连续。 E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。 定义： E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST ||Tx||≤M||x||对?x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数，记||T||. 定理： E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算： (T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。 定义： 称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。 T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T 定理： Tn,T∈B(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于T E1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。 定义： T,Tn∈B(E,E1),IF?x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T 开映射定理： 有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且?M0>0,ST,?y∈E1,?x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx|| 推论：
Hirbert空间上的有界线性算子 LISE定理： H空间U上的每个有界线性泛函f 1? u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子： (Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*|| 定理： T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是 T1与T2可交换 定理： T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥ 定理： T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交 定理： T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|} 推论： T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1} 定义： U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0 定义： {Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。 定理： {Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1?自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T 定理： T为正算子，则1?正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。 推论： T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0 推论： 自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0 定义： U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z) A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)