写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，绝大部分内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬！！！ 为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶变换？来源：张宗帅.docx的日志 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/2b12502653.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
目录 用Matlab 对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab 的傅里叶变换实例 (5) Matlab 方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用 Matlab 对信号进行傅里叶变换 1. 离散序列的傅里叶变换 DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： %原离散信号有 8 点 %原信号是 1行 8列的矩阵 %构建原始信号，为指数信号 %频域共-800 +800 的长度（本应是无穷， 高 %求 dtft 变换，采用原始定义的方法，对复指 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号 )'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT 变换 ') 结果： 分析：可见，离散序列的 dtft 变换是周期的，这也符合 Nyquist 采样 定理的描述， 连续时间信号经周期采样之后， 所得的离散信号的频谱 是原连续信号频谱的周期延拓。 2. 离散傅里叶变换 1 N=8; 2 n=[0:1:N-1] 3 xn=0.5.^n; 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; 频分量很少，故省去) 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); 数分 量求和而得
与 1 中 DTFT 不一样的是， DTFT 的求和区间是整个频域，这对 N=8; % 原离散信号有 8 点 n=[0:1:N-1] %原信号是 1行 8列的矩阵 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 w=[-8:1:8]*4*pi/8; %频域共 -800 +800 的长度(本应是无穷， 高频分量很少， 故省去) X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求 dtft 变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 subplot(311) stem(n,xn); w1=[-4:1:4]*4*pi/4; X1=xn*exp(-j*(n'*w1)); title(' 原始信号 (指数信号 )'); subplot(312); stem(w/pi,abs(X)); title(' 原信号的 16 点 DFT 变换 ') subplot(313) stem(w1/pi,abs(X1)); title(' 原信号的 8 点 DFT 变换 ') 计算机的计算来说是不可以实现的， DFT 就是序列的有限傅里叶变换。 实际上， 1 中代码也只是对频域的 -800 +800 中间的 1601 结果图： 分析： DFT 只是 DTFT 的现实版本，因为 DTFT 要求求和区间无穷， 而 DFT 只在有限点内求和。 3. 快速傅里叶变换 FFT ( Fast Fourier Transform ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')
N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')
n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。
实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1） F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2） F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω， 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 （3） F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的 函数，即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1） f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默 认返回是关于x 的函数。 （2） f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3） f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。
实验六 傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的 １．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换； ２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换； 3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.２实验原理及实例分析 1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为： X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 ２．用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。 1） MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数 例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部
【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/2b12502653.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，
目录 用Matlab对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab的傅里叶变换实例 (5) Matlab方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用Matlab对信号进行傅里叶变换 1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码： 1 N=8; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去） 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号)'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT变换') 结果： 分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对 结果图：
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。 3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform） 虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。 实现代码： 1 N=64; %原离散信号有8点 2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵 3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号 4 Xk=fft(xn,N); 5 subplot(221); 6 stem(n,xn); 7 title('原信号'); 8 subplot(212); 9 stem(n,abs(Xk)); 10 title('FFT变换') 效果图： 分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
第2章 信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。 质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ??? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
)cos(000φω+t x 简谐信号及其三个要素 幅值 频率 相角 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐 信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发. 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807 年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 三、傅立叶变换分类
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/2b12502653.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅里叶变换 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复 杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先 由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数 形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。连续傅里 叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为: 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里
叶变换对(transform pair)。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对: 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次，其中 a 不一定要为整数; 而做了分数傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(?ω) = F*(ω)成立. 傅 里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积 分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的:
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /**************************************************** ***********************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************** **********************************************/
前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
离散傅里叶变换的物理含义 不知道为什么，我们的教科书总是不把读者最希望了解的东西告诉他们。这里可能有专业与非专业的区别。浸淫多年的专家认为必须让读者理解的东西其实读者并不关心，读者想要知道的简单答案课本上就是不说。 以离散傅里叶变换为例，许多书都会从用一系列正弦波逼近方波开始，好的，这我们都好理解，但是从此以后大堆的公式就开始上场了，以及卷积呀，皱褶呀，截断呀，延拓呀，中间经历了傅里叶变换，拉普拉斯变换，以及Z变换，时间域从连续到离散，频域从离散到连续，最终在离散傅里叶变换里时域和频域都离散了，这时频域里的幅值与相位和我们的原始信号有何联系，物理含义是什么，现在没人说了。 其实作为一个普通的，数学不怎么样的工程师，真的不关心离散傅里叶变换背后的数学原理，但是我们现在的教科书往往是告诉了他，这确实是极有用的工具，却不告诉他如何简单有效地使用它。 我在网上搜索答案，发现许多作答的人其实自己也不了解。直到找到一篇说得比较明白，但是在我读它的时候，早把网页关了，也不致应向谁致谢和致敬。下面举的例子，就基于那篇文章，有的部分是原文，在此基础上改写。 例子： 假设我们有一个信号，它含有a、2V的直流分量，b、频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及c、频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。 式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。 我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，采样时间为1秒，数据长度为256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n 个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的（部分）结果的模值如下所示，我们把在第1点、第51点、和第76点附近的数据拿上来细看： 1点：512+0i 2点：-2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3点：-2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51点：332.55 - 192i 52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下： 1点：512 51点：384 76点：192
快速傅里叶变换的原理及其应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要: 快速傅氏变换（FFT ），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词：快速傅氏变换；图像处理；matlab 前言： 傅里叶变换在信号处理中具有十分重要的作用，但是基于离散时间的傅里叶变换具有很大的时间复杂度，根据傅里叶变换理论，对一个有限长度且长度为N 的离散信号，做傅里叶变换的时间复杂度为)(2N O ，当N 很大时τ，其实现的时间是相当惊人的（比如当N 为410时，其完成时间为τ810 (τ为计算机的时钟周期） ），故其实现难度是相当大的，同时也严重制约了DFT 在信号分析中的应用，故需要提出一种快速的且有效的算法来实现。 正是鉴于DFT 极其复杂的时间复杂度，1965年..JWCooley 和..JWTukey 巧妙地利用 NW 因子的周期性和对称性，提出了一个DFT 的快速算法，即快速傅里叶变换（FFT ），从 而使得DFT 在信号处理中才得到真正的广泛应用。 傅立叶变化的原理； （1）原理
傅里叶变换 （学号：） （物理与电子信息学院 10级工程班，内蒙古 呼和浩特 010020） 指导老师： 摘要：本文用傅里叶级数的指数形式，傅里叶变换，以及傅里叶变换的性质三方面为主要框架。讲述了傅里叶变换的基本部分，每一个方面都加入了一些典型的实例，从中我们可以感受到变换处理问题的魅力，以及傅里叶变换一些典型的用途。 关键字：傅里叶级数的指数形式;傅里叶变换;傅里叶变换的性质 中图分类号：B2T 9 文献标识码：A 1.傅里叶变换 对于非周期信号，重复周期T 趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d ω，而离散频率n Ω变成连续频率ω。在这种极限情况下，n F 趋于无穷小量，但 Ω = ?n n F T F π2可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F (j ω)，即
dt e t f F j F t jn T T T n T ωω πω-- ∞ →∞ →? ==2 2 )(lim 2lim )( 得 dt e t f j F t j ωω-∞ ∞ -? = )()( 称)(ωj F 为非周期信号)(t f 的频谱密度函数。 同样，对)(t f 的傅里叶级数展开式也可以改写为如下的形式 ωωωω?= = ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =t jn n n t jn n n e F e F t f ( ω ωπ ωd e j F e F t f t j t jn n n T ? ∑ ∞ ∞ -Ω∞ -∞ =∞ →=Ω?Ω=)(21lim )( 非周期信号的傅里叶变换可简记为 一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f (t )应满足绝对可积， 即要求 ? ∞ ∞ -∞