阶段滚动检测卷1
一、选择题
1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8
2．命题“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为( ) A ．若x 2＝1，则x ≠1且x ≠－1 B ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠－1 C ．若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1 D ．若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1
3．已知a ∈R ，则“a >1”是“1
a <1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，集合B ＝{x |x >1}，则(?R A )∩B 等于( ) A ．[3，＋∞) B ．(1,3]C ．(1,3) D ．(3，＋∞) 5．下列各组函数f (x )与g (x )的图象相同的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2－4
x －2与g (x )＝x ＋2
C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0
D ．f (x )＝|x |，g (x )＝?
????
x ，x ≥0，
－x ，x <0
6．已知a ＝21.2，b ＝20.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c
D ．b 7．已知函数f (x )＝????? log 3 (x ＋m )，x ≥0，12019，x <0的零点为3，则f (f (6)－2)等于( ) A ．1 B ．2C.1 2019 D ．2019 8．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( ) 9．已知函数f (x )＝log 12 (x ＋1＋x 2)，则不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )<0的解集是( ) A.? ???－∞，－1 3 B.????－1 3，＋∞ C ．(3，＋∞) D ．(－∞，3) 10．已知命题p ：?a 0∈R ，曲线x 2 ＋y 2 a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12<0的解集是{x |3 给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④ 11．已知函数f (x )＝? ???? x 2－x 3，x <1， e x －e ，x ≥1，若关于x 的方程 f (x )＝kx 恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( ) A.??? ?0，1 4 B ．(－∞，0]∪????14，＋∞ C ．(－∞，0)∪????12，＋∞ D.???? ?? 14 12．求“方程log 2x ＋log 3x ＝0的解”有如下解题思路：设函数f (x )＝log 2x ＋log 3x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，所以原方程有唯一解x ＝1，类比上述解题思路，方程(x －1)5＋x －1＝34的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{1,2} D ．{3} 二、填空题 13．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的真子集的个数为________． 14．已知命题p ：－4 15．已知实数a >0且a ≠1，函数f (x )＝???? ? a x ，x <1，x 2－14ax ＋3 8，x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围构成的集合为________． 16．在研究函数f (x )＝x 2＋4－x 2－12x ＋40的性质时，某同学受两点间距离公式启发将f (x )变形为f (x )＝(x －0)2＋(0－2)2－(x －6)2＋(0－2)2，并给出关于函数f (x )的以下五个描述： ①函数f (x )的图象是中心对称图形； ②函数f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )在[0,6]上是增函数； ④函数f (x )没有最大值也没有最小值； ⑤无论m 为何实数，关于x 的方程f (x )－m ＝0都有实数根． 其中描述正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 17．设命题p ：函数f (x )＝????a －1 2x 在R 上单调递减，命题q ：函数g (x )＝x 2－2x －1在[0，a ]上的值域为[－2，－1]．若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 18．设全集为R ，A ＝{x |3≤x <5}，B ＝{x |2 (2)若集合C ＝{x |x ≤2m －1}，A ∩C ≠?，求m 的取值范围． 19．设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )的定义域为???? 14，4. (1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围； (2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值． 20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0 ???? 30，0 x －90，30 (1)求函数f (x )的定义域并判断函数f (x )的奇偶性； (2)记函数g (x )＝10f (x )＋3x ，求函数g (x )的值域； (3)若不等式f (x )>m 有解，求实数m 的取值范围． 22．已知函数f (x )＝x 2－1 x ＋2. (1)判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性并加以证明； (2)对任意的x ∈[1,4]，若不等式x ·f (x )＋x 2>(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 答案精析 1．C [结合题意列表计算M 中所有可能的值如下： 观察可得M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7.] 2．C [命题“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1.故选C.] 3．A [a ∈R ，则“a >1”?“1a <1”，“1 a <1”?“a >1或a <0”， ∴“a >1”是“1 a <1”的充分不必要条件，故选A.] 4．A [由题意得A ＝{x |－2 对于B ，函数f (x )＝x 2－4 x －2＝x ＋2，x ≠2与g (x )＝x ＋2，x ∈R 的定义域不同，所以不是相同的 函数； 对于C ，函数f (x )＝1与g (x )＝x 0＝1，x ≠0的定义域不同，所以不是相同的函数； 对于D ，函数f (x )＝|x |，x ∈R 与g (x )＝????? x ，x ≥0， －x ，x <0， x ∈R ，的定义域相同，对应关系也相同， 所以是相同的函数，故选D.] 6．A [显然a ＝21.2>2，b ＝20.8,1 7．C [因为函数f (x )＝????? log 3(x ＋m )，x ≥0， 12019，x <0 的零点为3， 则有f (3)＝log 3(3＋m )＝0，解得m ＝－2， 则函数f (x )＝????? log 3(x －2)，x ≥0， 12019，x <0， 则f (6)＝log 34，f (6)－2＝log 34－2<0， 则f (f (6)－2)＝1 2019，故选C.] 8．A [∵2－|x |>0，解得－2 ∴函数y ＝ln(2－|x |)的定义域为(－2,2)关于原点对称， ∵f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )， ∴函数y ＝ln(2－|x |)在定义域上为偶函数，排除C 和D. 当x ＝32时，y ＝ln 1 2<0，排除B.故选A.] 9．D [∵x ＋1＋x 2>x ＋x 2＝x ＋|x |≥x －x ＝0， ∴x ∈R ， ∵f (x )＋f (－x )＝log 12 (x ＋ 1＋x 2)＋log 12 (－x ＋ 1＋x 2) ＝log 12 [(x ＋ 1＋x 2)(－x ＋ 1＋x 2)]＝log 12 1＝0， ∴f (x )为奇函数， ∵f ′(x )＝1＋ 2x 21＋x 2x ＋1＋x 2·1ln 12＝1＋x 2＋x 1＋x 2x ＋1＋x 2 ·1 ln 12<0，∴f (x )为减函数， 因此f (x ＋2)＋f (1－2x )<0，f (x ＋2)<－f (1－2x )， f (x ＋2) x ＋2>2x －1，x <3，故选D.] 10．D [当a 0<0时，曲线x 2 ＋y 2 a 0 ＝1为双曲线，x 2－7x ＋12<0的解集为{x |3 即命题p 和命题q 都是真命题，则綈q ，綈p 为假命题， 所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧(綈q )”是假命题，命题“(綈p )∨q ”是真命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．] 11．B [当x <1时，方程f (x )＝kx 可化为kx ＝x 2－x 3，即x [k －(x －x 2)]＝0，故x ＝0或k ＝x －x 2， 可得f (x )＝kx ，至少有一个根x ＝0， 记g (x )＝x －x 2(x <1，x ≠0)，显然函数g (x )在(－∞，0)和????0，1 2上单调递增， 在????12，1上单调递减，g (x )的最大值为g ????12＝12－????122＝1 4 ， 当x ≥1时，方程f (x )＝kx 可化为kx ＝e x －e ，即k ＝e x －e x ，记h (x )＝e x －e x (x ≥1)， 则h ′(x )＝e x (x －1)＋e x 2(x ≥1)，因为x ≥1， 所以h ′(x )>0， 即函数h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝e －e 1 ＝0. 作出函数p (x )＝????? g (x )，x <1，x ≠0， h (x )，x ≥1 的图象及直线y ＝k ， 只需函数p (x )＝? ???? g (x )，x <1，x ≠0， h (x )，x ≥1的图象与直线y ＝k 有一个交点， 由图可知，当k ≤0或k >1 4 时，直线y ＝k 与函数p (x )的图象有一个交点； 当k ＝1 4时，直线y ＝k 与函数p (x )的图象有两个交点； 当0 4时，直线y ＝k 与函数p (x )的图象有三个交点． 综上，当k ≤0或k >1 4时，方程f (x )＝kx 有两个不同的实根， 实数k 的取值范围为(－∞，0]∪????14，＋∞，故选B.] 12．D [设f (x )＝(x －1)5＋x －1，则f (x )在R 上为单调递增函数， 又f (3)＝25＋2＝34，所以原方程(x －1)5＋x －1＝34的解集为{3}，故选D.] 13．7 解析 ∵A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，∴C ＝A ∩B ＝{1,3,5}， 则集合C 的真子集的个数为23－1＝8－1＝7. 14．[－1,6] 解析 由－4 即q 是p 的充分条件，所以? ???? a －4≤2， a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 15.??? ?1，11 10 解析 因为f (x )＝????? a x ，x <1，x 2 －14ax ＋38，x ≥1在R 上单调递增，∴?? ? a >1， a 8≤1，a ≤1－1 4a ＋3 8， ∴1 10 ， 因此实数a 的取值范围构成的集合为????1，1110. 16．①③④ 解析 由f (x )＝x 2＋4－ x 2－12x ＋40，得f (6－x )＝ (6－x )2＋4－ (6－x )2－12(6－x )＋40 ＝ x 2－12x ＋40－x 2＋4＝－f (x )，故函数f (x )的图象关于(3,0)对称，故①正确；由题意知 当x <3时，f (x )<0，当x >3时，f (x )>0，故函数f (x )的图象是轴对称图形不成立，故②错误；当x ∈[0,6]时，y ＝ x 2＋4单调递增，y ＝ x 2－12x ＋40单调递减，故f (x )＝ x 2＋4－ x 2－12x ＋40单调递增，故③正确；设P (x ,0)，A (0,2)，B (6,2)，由其几何意义可得f (x )表示|P A |－|PB |，故当x >3时，0<|P A |－|PB |<|AB |＝6，当x <3时，－6<|P A |－|PB |<0，故函数f (x )没有最大值也没有最小值，故④正确；当m >6时，由④可知，方程f (x )－m ＝0无解，故⑤错误．故答案为①③④. 17．解 若命题p 为真命题，则0 2 ； 若命题q 为真命题，则g (x )＝(x －1)2－2在[0，a ]上的值域为[－2，－1]，由二次函数图象可知，1≤a ≤2. 因为“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题．所以命题p 和q 为一真一假． 若p 为真q 为假，则????? 122，即1 2 若q 为真p 为假，则????? a ≤12或a ≥32，1≤a ≤2， 即3 2 ≤a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是? ??? ??a ?? 12