第四章:多维有约束优化方法
4.1概述
一、多维有约束问题的数学模型
机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划,其数学模型可表示为
式中a i、b i分别为x i的下界和上界。
在求解约束优化问题时,虽然可以利用第三章的无约束优化方法,再加上约束的逻辑判断,使搜索点保持在可行域内逐步逼近约束最优解,但这样处理太复杂,缺乏严格的科学性。因此,出现了一些直接求解约束优化问题的方法,其基本思路也是数值迭代法。目前,约束优化方法虽然不如无约束优化方法那样多而完善,但对求解工程优化问题已有很多较好的方法。
二、多维有约束优化方法的分类
(1)直接法
直接法包括:网格法、分层降维枚举法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。
(2)间接法
间接法包括:罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。
直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度,就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。间接法要利用目标、约束函数的梯度,其中也包括利用差分来近似梯度的应用。很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。可见,无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。
4.2复合形法
一、方法概述
基本思路:在可行域中选取K个设计点(n+1≤K≤2n)作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标函数值的大小,去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点),以坏点以外其余各点的中心为映射中心,用坏点的映射点替换该点,构成新的复合形顶点。
反复迭代计算,使复合形不断向最优点移动和收缩,直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近,且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
二、初始复合形的产生
复合形法是一种在可行域内收索最优点大直接解法。
(1)确定可行点作为初始复合形的第一个顶点:
式中:
通过调整随机数,使第一个初始点控制在可行域范围内。
(2)产生其余(K-1)个随机点。
(3)将非可行点调入可行域内。
若从第一个点到第个点均在可行域范围内,但第点不在可行域内,采取下列步骤使其调入可行域范围内:
(a)先求出已在可行域范围内的q个点的中心:
(b)将点向方向推进:=+0.5(-)若推进的点仍不在可行域范围内,则利用上式,使其继续向中心移动,直至新点成为可行点为止。
(c)继续依次检查,…,,若是可行点,即可作为复合形的顶点;若是不可行点,也将其调入可行域内。
三、迭代过程
1.给定设计变量数目n、变量界限范围和精度要求,选定复合形顶点数目K (一般取K=2n)。
2.设计产生初始复合形的K个顶点。
3.计算复合形各顶点的目标函数值,找出最坏点、最好点及次坏点。
4.计算除最坏点以外其余各顶点的中心,并判别中心点的可行性。当中心点为可行点时,转向下一步;否则须重新确定设计变量的上下限,然后重新构造初始复合形。
5.计算映射点,并检查和保证其在可行域内。
6.比较映射点与最坏点的目标函数值,构成新的复合形。
7.检验是否满足迭代终止条件:
式中和分别表示第j个可行点的函数值和最坏点的函数值。
四、方法特点
(1)复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法,仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小,就可寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换,不仅要满足目标函数值下降的要求,还应当满足所有的约束条件。
(2)复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
4.3罚函数法
一、基本思想
罚函数法的原问题的数学表达式为:
把它转化为一个等价的无约束优化问题的数学模型:
式中——罚函数;
和——分别为和的泛函(泛函可简单理解为这些函数根据解法要求构造另一些形式的函数,例如和
分别为和的泛函);
和——分别为罚参数或罚因子,在迭代过程中总是某个正实数;
和——称为惩罚项,恒为非负,其值随着k的增大越来越小,最后P和F值趋于相等,从而达到求解目的。
可以看出,罚函数法的一般求解过程是:定义和的
形式,选择不同的和的递推序列和,每调整一次罚因子值,即对数学模型作一次无约束优化,得到一个无约束最优解。随着罚因子的不断调整,得到无约束最优解的点列,不断逼近有约束的最优解。当满足收敛准则后,则最后一个无约束最优解就是原问题的最优解。所以它是一种序列求优过程,常称为“序列无约束极小化方法(Sequential Unconstrained Minimization)”,简称SUMT法。
根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同,罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A.V.Fiacco
和G.P.Mcormick提出的,把不等式约束引入数学模型中,为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
二、内点法
1.内点法泛函的构造
内点法的数学模型仅适用于不等式约束,其模型格式是
内点法的泛函可构造为各个约束函数的导数之和:=
或构造为各个约束函数导数的自然对数之和:=
根据泛函构造形式的不同,罚函数的形式可写为:
或
罚因子的作用是:由于内点法只能在可行域内迭代,而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上,此时尽管泛函的值很大,但罚因子是不断递减的正值,经多次迭代,接近最优解时,惩罚项已是很小的正值。
2.迭代过程
(1)在可行域内选一个严格初始点X(0),最好不要靠近任一约束边界。
(2)选一个适当大的初始罚因子r(0),用无约束优化方法寻求罚函数的极小点X0*,再选一个罚因子递减率c(0 (3)重复步骤(2),直到满足收敛条件,终止迭代。 3.关于内点法中几个问题的讨论 (1)初始点X(0)的选择:初始点必须满足,且最好在可行域内离边界远一点,使一开始作无约束求优时,泛函的值较小,收敛快,成功的机会大。 (2)初始罚因子的选择:r(0)不宜过小。一般先以一个r(0)值进行计算,由计算结果调整其大小。 (3)递减系数c的选择:一般来说,取0.1。 (4)在一定条件下有如下规律: (a)为严格单调下降函数,即有:> >>…, 且 (b)为单调非增数列,即: 且 (c)泛函为单调非降数列,且 (5)用内点法求P的无约束极小,只能在可行域内迭代;但沿某一方向作一维搜索寻找极小点区间时可能超出可行域,此时必须把步长收缩到可行域内,取一个P函数值有所下降的点作为一维搜索所得点。每作一次一维搜索,都要检查是否有破坏约束,如有破坏,应把寻优区间收缩。 4.内点法的迭代终止准则 (1)前后两次无约束极小点之间的距离满足精度要求: 或相对误差: (2)相邻两点函数值的绝对误差满足: 或相邻两点函数值差的相对误差满足: (3)相邻两点罚函数的相对误差满足: (4)及:同时满足 三、外点法 1.外点法的泛函和罚函数的构造 上节介绍的内点法,对工程优化设计有一定优点,可以得到多个可行设计方案。但必须选择一个严格初始内点。目前,从理论上和程序设计上虽可以做到由程序自动寻找初始内点,但当原问题的可行域很狭窄,寻找初始内点可能会失败,或仅能找到一个离边界很近的初始内点,使迭代过程很长,甚至失败;此外,不能用来求解具有等式约束的优化问题。下面介绍的外点法可以克服这些不足。 外点法的数学模型为: 对于不等式约束,泛函可这样构造: = 对于等式约束,泛函可这样构造: = 所以,罚函数的构造形式为: 式中罚因子M(k)是正的递增数列,其递增率c’>1,即:M(k)=c’M (k-1)。 当X使全部约束满足时,惩罚项的值为零,不起惩罚作用;当X使全部约束不同时满足时,惩罚项的值是较大的正值,起较大的惩罚作用。作用,就把原来的约束问题变为:的求无约束极小问题。随着罚因子M(k)的递增,迫使惩罚项趋于零,泛函值趋于零,惩罚项也趋于零,最后逼近真值。故外点法是从可行域外经若干次迭代求无约束极小二逐渐逼近原问题的极小点。 2.迭代过程 (1)任选一个初始点X(0)(可以是内点,也可以是外点),再选一个适当大的初始罚因子M(0)和递增率c’,用无约束优化方法求极小点X0*值。 (2)以X0*作为下一个迭代的初始点,取M(1)=c’M(0),求极小点X1*值。 (3)M(k)=c’M(k-1),逐次递增罚因子,依次取上次极小点作为本次迭代的初始点,重复步骤(2),直至满足终止准则(终止准则与内点法相同)。 3.关于外点法中几个问题的讨论 (1)初始点的选取:虽可任选,但应选择有定义的初始点。 (2)初始罚因子的递增率的选择:一般情况下,总是先取适当小的罚因子,再根据运算结果决定如何调整。 (3)在一定条件下,外点法有如下规律: (a)为单调非降数列,即有: 且 (b)为严格单调增加数列,即: 且 (c)泛函+为单调非增数列,且: limM(k){+}=0 (4)最优解的特点 外点法是从可行域外部逐步向可行域逼近。如原问题的最优解在可行域内部,则可收敛到可行域内。但对于约束极值,其精确解经常是在一个或几个约束边界上,用外点法不可能收敛到边界上,只能收敛到边界外某个精确的小区域中。因此,为克服此缺点,可将某些性能约束紧缩一个裕量,即 。 4.内点法和外点法的简单比较 内点法的特点: 1)初始点必须为严格内点 2)不适于具有等式约束的数学模型 3)迭代过程中各个点均为可行设计方案 4)一般收敛较慢 5)初始罚因子要选择得当 6)罚因子为递减,递减率c有0 外点法的特点: 1)初始点可以任选,但应使各函数有定义 2)对等式约束和不等式约束均可适用 3)仅最优解为可行设计方案 4)一般收敛较快 5)初始罚因子要选择得当 6)罚因子为递增,递增率c’有c’>1 四、混合罚函数法 1.泛函和罚函数的构造 混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点,克服某些缺点,可处理等式约束和不等式约束的优化问题。 混合罚函数法的构造形式与外点法的区别是:选定初始点后,对于已满足的不等式约束用内点法构造惩罚项,对于等式和未被满足的不等式约束按外点法构造惩罚项。混合罚函数法的具体形式是 式中为对于已被初始点满足的不等式约束按内点法构造的泛函; 为对于未被初始点满足的不等式约束按外点法构造的泛函: 为按外点法构造的等式约束的泛函。 为罚因子,对内点法构造的惩罚项,是递减正数列;按外点法构 造的惩罚项,其罚因子应为递增的正数列。为简化程序,取。 下标集合定义为: 2.用外推法改进求无约束极小化的初始点 用外推法改进无约束极小化的初始点以加快收敛,同时可能对最优解作进一 步改善,是混合罚函数法的重要特点和技巧,其基本思想是:利用少数几个 值求得相应的序列{X k*}后,由级数展开作函数逼近,向→0的方向外推,求得的外推点虽非原问题的最优解,但一般总是更为靠近最优解的点,然后以外推点作为下一次无约束极小化的初始点,可以减少作无约束极小化的次数,更快地收敛到原问题的最优解。因作一次外推的计算量比求一次无约束较小要少得 多,而且有时外推点可越过作无约束求极小所带来的困难。以的不同级数作外推的具体方法如下: 开始时以,r(k+1),k=0作相继两次无约束极小化后,求得X*k和X*k +1两个极小点,利用这两个点作外推,其外推点X(k,1)由下面的线性方程求得: 式中α为待求常系数。解此方程得: X(k,1)称为第一级外推点,以X(k,1)作为下一次r(k+2)=c2r(k)时求无约束极小的初始点,并求得相应的极小点X*k+2。 二级外推点X(k,2)可由对r(k)的三阶泰勒展开求得,即: 式中α1、α2为待求常系数。解此方程得: 同理可求得三级、四级、……等的外推点X(k,3)、X(k,4)、…、X(k,l),l 为外推点序号,k为迭代点序号。 以一维为例,外推过程的示意图如下图所示。图中,X(1,1)为第二次无约束极小化后的第一级外推点,X(2,2)为无约束极小化后的第二级外推点。 3.混合罚函数法的迭代 (1)任选初始点X(0)及合适的初始罚因子r(k),k=1。 (2)检查X(0)点对各个约束满足和破坏情况,分别构造惩罚项;对已被X (0)点满足的不等式约束,按内点法构造惩罚项;不被满足的不等式约束按外点法构造泛函;对等式约束也构造相应的泛函。 (3)调用无约束优化方法求在r(1)下的无约束极小点X*1。 (4)若k=1,令k=k+1,r(k)=cr(k-1),并取,转(2),求第二个无约束极小点,并以上次无约束极小点作本次无约束极小化的初始点,否则转(5)。 (5)进行两次无约束极小点后,作一次外推。若还未满足总体收敛精度要求,则以一级外推点作为第三次无约束极小化的初始点,求得第三个无约束极小点后,再作二级外推,以外推点作为第四次无约束极小化的初始点,依次类推。 (6)若相邻两个外推点的每一分量之差满足: 则全部计算过程结束,以作为最优解的最终近似值。上式中 为相对精度,为绝对精度;否则转(7)。 (7)令k=k+1,转(5),构造下一个罚因子,继续无约束极小化过程。 4.混合罚函数法计算中的几个问题过程 (1)一维搜索问题。对于约束极小化问题,插值区间不能使I1集合中任一约束破坏,若插值区间使集合I1有破坏,则缩短步长,重新确定区间终点。 (2)初始点问题。如调用DFP变尺度法作无约束极小化,初始点可任选,但罚函数P中实际隐含着各个约束方程,故要求初始点对I2集合中各约束不要破坏太利害,这样可加快收敛,加大成功的机会。 (3)初始罚因子选择问题。据统计经验,按下式求初始罚因子: 式中的v*为求解约束优化问题中目标函数的估计极限值,可先赋零值。 (4)递减率选择问题。据统计经验,取。这样,。 基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要:机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法,能从众多的设计方案中找出最佳方案,从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法,同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词:机械优化设计;应用实例;MATLAB工具箱;优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践 人字架的优化设计 一、问题描述 如图1所示的人字架由两个钢管组成,其顶点受外力2F=3×105N 。已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.15 10? MPa ,材料密度p=7.8×103 kg /m ,许用压应力δy =420 MPa 。求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy 和失稳临界应力 δc 的条件下,人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。 二、分析 设计变量:平均直径D 、高度h 三、数学建模 所设计的空心传动轴应满足以下条件: (1) 强度约束条件 即 δ≤?? ????y δ 经整理得 ( ) []y hTD h B F δπ≤+2 122 (2) 稳定性约束条件: []c δδ≤ ( ) ( ) ( ) 2 22 222 122 8h B D T E hTD h B F ++≤+ππ (3)取值范围: 12010≤≤D 1000200≤≤h 则目标函数为:()22 13 57760010 5224.122min x x x f +?=- 约束条件为:0420577600106)(2 12 2 41≤-+?=x Tx x X g π () 057760025.63272.259078577600106)(2 2 212 12 2 42≤++-+?= X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g 0120)(14≤-=x X g 0200)(25≤-=x X g 01000)(26≤-=x X g 四、优化方法、编程及结果分析 1优化方法 综合上述分析可得优化数学模型为:()T x x X 21,=;)(min x f ;()0..≤x g t s i 。 考察该模型,它是一个具有2个设计变量,6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题,属于小型优化设计,故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。 2方法原理 内点惩罚函数法简称内点法,这种方法将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 对于只具有不等式约束的优化问题 浅析机械优化设计方法基本理论 【摘要】在机械优化设计的实践中,机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法,能从众多的设计方案中找出最佳方案,从而大大提高设计的效率和质量。每一种优化方法都是针对某一种问题而产生的,都有各自的特点和各自的应用领城。在综合大量文献的基础上,总结机械优化设计的特点,着重分析常用的机械优化设计方法,包括无约束优化设计方法、约束优化设计方法、基因遗传算方法等并提出评判的主 要性能指标。 【关键词】机械;优化设计;方法特点;评价指标 一、机械优化概述 机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门科学,它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。该领域的研究和应用进展非常迅速,并且取得了可观的经济效益,在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。随着科技的发展,现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心,以计算机为工具,向着多变量、多目标、高效率、高精度方向发展。]1[ 优化设计方法的分类优化设计的类别很多,从不同的角度出发,可以做出各种不同的分类。按目标函数的多少,可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法按维数,可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法按约束情况,可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法按寻优途径,可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法按优化设计问题能否用数学模型表达,可分为能用数学模型表达的优化设计问题其寻优途径为数学方法,如数学规划法、最优控制法等。 1.1 设计变量 设计变量是指在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数,在优化过程中,这些参数就是自变量,一旦设计变量全部确定,设计方案也就完全确定了。设计变量的数目确定优化设计的维数,设计变量数目越多,设计空间的维数越大。优化设计工作越复杂,同时效益也越显著,因此在选择设计变量时。必须兼顾优化效果的显著性和优化过程的复杂性。 机械优化设计——复合形方法及源程序 (一) 题目:用复合形法求约束优化问题 ()()()2221645min -+-=x x x f ;0642 2211≤--=x x g ;01013≤-=x g 的最优解。 基本思路:在可行域中构造一个具有K 个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较,找到目标函数值最大的顶点(即最坏点),然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点,并用此点代替最坏点,构成新的复合形,复合形的形状每改变一次,就向最优点移动一步,直至逼近最优点。 (二) 复合形法的计算步骤 1)选择复合形的顶点数k ,一般取n k n 21≤≤+,在可行域内构成具有k 个顶点的初始复合形。 2)计算复合形个顶点的目标函数值,比较其大小,找出最好点x L 、最坏点x H 、及此坏点x G .. 3)计算除去最坏点x H 以外的(k-1)个顶点的中心x C 。判别x C 是否可行,若x C 为可行点,则转步骤4);若x C 为非可行点,则重新确定设计变量的下限和上限值,即令C L x b x a ==,,然后转步骤1),重新构造初始复合形。 4)按式()H C C R x x x x -+=α计算反射点x R,必要时改变反射系数α的值,直至反射成功,即满足式()()()()H R R j x f x f m j x g ?=≤;,2,1,0,。然后x R以取代x H,构成新的复合形。 5)若收敛条件()()[] ε≤?? ? ?????--∑=2 1 1211k j L j x f x f k 得到满足,计算终止。约束最优解为:() ()L L x f x f x x ==*,*。 (三) 复合形法程序框图见下图: 优化设计案例分析 优化设计是在给定的设计指标和限制条件下,运用最优化原理和方法,在电子计算机上进行自动调优计算,从而选定出最优设计参数,使设计指标达到最优值。该最优设计参数就是一个最优设计方案。所谓设计指标,就机械设计而言,一般是指重量轻、能耗小、刚性大、成本低等;所谓限制条件,是指强度要求、刚度要求、尺寸范围要求等。 设计变量选择 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示,这些基本参数可以是构件尺寸等几何量,也可以是质量等物理量,还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数,称作设计变量,又叫做优化参数。在充分了解设计要求的基础上,根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次,尽量减少设计变量的数目,以简化优化设计问题。注意各设计变量应相互独立,避免耦合情况的发生,否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”,给优化带来困难。 目标函数与约束的确定 对于一般机械,可按重量最轻或体积最小建立目标函数;对应力集中现象突出的构件,以应力集中系数最小为目标;对精密仪器,应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件,目前尚无一套完整的评价方法来检验哪些约束是必须,哪些约束是可忽略的,通常是凭经验取舍,不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。在最优化设计问题中,可以只有一个目标函数,称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时,这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中,多目标函数的情况较多。目标函数愈多,设计的综合效果愈好,但问题的求解亦愈复杂。对于复杂的问题,要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难,有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素,适当忽略不重要的成分,使问题合理简化,以易于列出数学模型,这样不仅可节省时间,有时也会改善优化结果。 数学模型确立 数学模型越精确,设计变量越多,维数越大,建模越复杂,优化进程越慢;但数学模型忽略过多元素,则难以确切凸现结构的特殊之处。故要结合工程实际和优化设计经验,把握与研究目标相关程度大的因素,尽可能的建立确切、简洁的数学模型。然后通过基于统计理论的检验方法———t 检验/F 检验/ X2检验/ 拟合优度检验等,分析模型的置信区间,对模型有效性进行评价,提高模型的准确度。 下面以机票销售策略案例进行说明 某航空公司每天有三个航班服务于A, B, C, H四个城市,其中城市H是可供转机使用的, 三个航班的出发地-目的地分别为AH, HB, HC,可搭乘旅客的最大数量分别为120人, 100人, 110人, 机票的价格分头等舱和经济舱两类. 经过市场调查,公司销售部得到了每天旅客的相关信息, 见表1. 该公司应该在每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票?机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
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