概率统计系的发展与未来
何书元(编写)
年
概率统计系的前身是概率统计教研室。年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄()教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。
当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨()教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（）教授讲授广义随机过程，邓肯(. )教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。
许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早去世并不为外界所知。
以后，国际概率统计界陆续了解了许先生的过世情况，为了纪念这位对概率论和数理统计学科的发展做出了杰出的贡献的学者，年《数理统计年鉴》( ) 邀请了当时著名的概率统计学家. . 、. . 和 . . 撰文介绍他的生平，高度评价了他在概率论和数理统计两方面的工作。
十年动乱结束时，百废待兴，数学系采取了一系列的有效措施使教学和科研逐步走向正轨。年北京大学恢复教研室，江泽培教授担任主任。江先生曾于年由北京大学派往苏联莫斯科大学力学数学系进修，当时柯尔莫哥洛夫任该系主任。从那时起，江先生在雅格龙()的建议下开始了随机场预测理论的研究工作。年，江先生回到北大后，总是在政治运动的间隙给进修教师和高年级学生上课。到年，北大的教学秩序有所好转，江先生自编讲义，系统讲授“平稳随机过程”，并开始指导研究生和大学生的毕业论文。年，江先生奉调到二机部九所工作，年回到北大。在以后的日子例，江先生继续集中精力于时空序列、随机场及随机过程的统计推断方面的研究，取得了丰硕的成果，同时也培养了许多研究生，江先生对学术一丝不苟，精益求精。他的严谨学风素为人们称道。他用言传身教体现了勤奋、严谨、求实、创新的学
术风范。江先生早年在随机场的预测方面就做出了开创性的重要工作，柯尔莫哥洛夫在《年()来的苏联数学：概率论、数理统计》中指出：“齐次及具有齐次增量的随机场的外推问题的研究由江泽培开始。”江先生是我国概率论与随机过程统计研究的先驱者之一和主要学术带头人之一，不仅在学术上有成就，而且在工作和治学上表现出高尚的品德和学者风范。今年月恰逢江先生八十华诞, 借此机会，我们由衷地祝愿他健康长寿。
概率统计教研室及以后的概率统计系正是从许宝騄、江泽培及数学系一批学精德馨的前辈的严谨治学、精益求精和高尚风范中获得了宝贵的精神财富。
教研室恢复后，在数学系的统一部署和江先生的领导下，概率统计方面也采取了一系列措施使教学和科研工作很快走入正轨。为了解概率统计学科在国外的发展情况，教研室开始有计划的邀请一些著名的概率统计学家来北大讲学。特别应当提到的是加州大学柏克莱()分校的. 教授。身为美国科学院院士，年来北大之前他认真准备了八讲材料，每一讲都是从基础开始直至本课题的前沿状况。当时有来自全国兄弟院校和中科院的很多同志参加了教授在北大为期两周的学术报告。报告的间隙中，教授认真回答大家的问题，当时不能回答的问题他会记录下来回国后写信回答。我多次听江泽培先生讲：“那是真心要帮助我们赶上国际的步伐。”由于许宝騄先生曾于年在柏克莱任教，年《数理统计年鉴》发表纪念许先生的文章，年来北大讲学，所以不能不认为北大的概率统计得到了许先生的荫庇。鉴于当时美国的很多重要大学都设有统计系，而且统计学在美国的各个方面已有广泛的应用，教授还向江泽培教授提议在北京大学设立概率统计系，并表示愿意为此事多方联系。教授回国后的次年在一次游泳中不幸身故，真真可惜。日后多年，概率统计(系)教研室的老师们还多次谈起这位老朋友。
年后，有多位著名的概率论和数理统计学家陆续来北大进行两周的讲学，统计方面有. 教授、. 教授、. 教授, . 教授、. 教授等；概率方面有. 教授、. 教授、. 教授、. 教授等等。他们为北大概率统计的发展和对外交流做出了贡献。
为了适应学科发展和经济建设的需要, 年月在数学系概率统计教研室的基础上成立了北京大学概率统计系，陈家鼎教授任系主任, 江泽培教授任系学术委员会主任。新建的概率统计系继续保持了北大数学系老一辈先生们亲身倡导的治学与为人的优良传统, 在统计学和概率论的实际应用方面作了许多成功的尝试, 承担和完成了多项横向项目，成立了数理统计研究所，与国际学术界保持广泛的联系，聘任日本九州大学著名统计学家钱野一郎(. )和荷兰大学著名概率论专家德汉(. )为客座教授。这时的概率统计系积极进行了专业基础课和专业课的建设工作，出版了一批适用的教材，增设了许多新的选修课。“保险统计”、“风险理论”、“决策分析”，“统计计算”、“统计软件”、“概率统计选讲”等课程就是那时建立起来的，其中一些课程为年数学学院成立金融数学系做了必要的准备。
到年建系周年时，在陈家鼎教授的领导下，概率统计系已得到了较大的发展，取得了显著的成绩，是全国概率统计力量最集中的单位之一。当时有江泽培教授从事时间序列和时空序列方面的研究工作，在随机场、多元平稳序列、信息论与时间序列分析方面多有建树；陈家鼎教授从事序贯分析和可靠性方面的研究工作，有多项研究成果；郑忠国教授从事数据分析、稳健统计和可靠性方面的研究，他的“随机加权法”受到国内外同行的注意和好评；谢衷洁教授从事时间序列分析的应用研究，取得多项成果；钱敏平教授从事随机过程、随机动力系统和神经网络方面的研究，成果显著，她在马氏链的环流及可逆性方面的研究工作得到国外同行的好评；程士宏教授从事概率极限定理方面的研究，在极值统计理论方面有很多研究成果，成绩显著，曾在国际统计学会第次会议上作特邀报告；刘婉如教授从事正交试验设计方面的研究和应用推广工作，在化工、电子、机械、农业等方面推广正交设计的成果显著，取得了很大的经济效益；孙山泽教授在抽样调查及应用统计领域获得多项成果；汪仁官教授在抽样检查、抽样调查和试验设计方面有多项研究成果；耿直教授在离散多元分析和计算统计方面
成绩显著；高慧璇副教授对统计软件的开发研究，在全国产生了广泛的影响。年在数学系和概率统计系的基础上成立数学科学学院后，陈家鼎教授出任数学学院副院长，耿直教授接任概率统计系主任。年耿直教授改任数理统计研究所所长，他于年获教育部跨世纪优秀人才基金项目，年获国家杰出青年基金项目，主要从事医学和流行病学中的统计方法和应用统计方法的研究。年北京大学和北京医科大学联合成立了“流行病学和生物统计教学研究中心”。著名统计学家. . 教授和. 教授应邀担任该中心的顾问，他们为该中心的教学和研究提出了宝贵的建议。哈佛大学统计系刘军教授年被聘为北京大学客座教授，年被聘为概率统计学科长江讲座特聘教授。概率统计教研室和概率统计系的发展和建设一直受到王寿仁、陈希孺、成平、张里千、张尧庭等一批著名概率统计学家们的关心帮助，更有许多著名学者应邀为概率统计系的研究生、高年级本科生讲授专业基础课和专业课，为我系的教学工作和教学交流做出了重要贡献。
多年来，概率统计系不断完善教学计划，编写教材，提高教学质量，建立起了较为完备的教学体系。目前我系开设的课程包括概率论、数理统计、应用随机过程、测度论、应用回归分析、应用多元统计分析、应用时间序列分析、统计计算、统计软件、抽样调查、非参数统计、高等概率论、高等统计学、随机过程、随机分析、概率极限定理、序贯分析、生存分析与可靠性、随机点过程、小波与随机过程、现代时间序列分析、现代回归分析、概率统计实例选讲等本科生、研究生课程。
随着时间的推移，我系一批年轻的教学科研骨干正在成长。他们在教学和科研量方面都表现出极强的敬业精神，成绩突出。他们的研究领域包括：马氏过程、粒子系统、图上概率模型、概率位势理论、测度值马氏过程、随机过程、随机动力系统、非平衡统计物理、非参数统计、回归诊断、生存分析、生物统计、假设检验、可靠性、生物信息、捕获再捕获、时间序列分析、抽样调查等。这些方向是当今概率统计学科的研究前沿，大多与我国现代化建设关系密切。概率统计系在这些方向均有高水平的学术带头人，是一个基础扎实、学风严谨、思想活跃的教学科研集体，取得了一批具有国际先进水平的科研成果。
现在，由于老一辈教授们的退休时间相对集中，概率统计系师资力量严重短缺，更加强有力的后备力量急待补充，一些概率统计的主流研究方向急需加强和建立，一些重要专业基础课的教材急需调整和尽快建设。我们相信这些暂时的问题都会在数学学院的大力支持下，在全系教员的共同努力下顺利解决。在数学学院建设世界一流学科的进程中，概率统计系将做出应有的贡献。
概率论的起源与发展 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。 因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？ 诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成
一、概率论发展简史 1（２0世纪以前得概率论 概率论起源于博弈问题。15—１6世纪，意大利数学家帕乔利(L、Ｐacｉoli,1４45－1517）、塔塔利亚（N、Taｒtaglia,1499-1５５7)与卡尔丹(G、cａrdaｎo,1501－１576）得著作中都曾讨论过俩人赌博得赌金分配等概率问题.165７年，荷兰数学家惠更斯(C、Huyｇens，162９-1695)发表了《论赌博中得计算》,这就是最早得概率论著作.这些数学家得著述中所出现得第一批概率论概念与定理,标志着概率论得诞生.而概率论最为一门独立得数学分支，真正得奠基人就是雅格布?伯努利(Jacｏb Bｅrｎｏｕlｌi,1654－１7０5）。她在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称得极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。 伯努利之后,法国数学家棣莫弗(A、de Moivre,１６67－17５4）把概率论又作了巨大推进，她提出了概率乘法法则，正态分布与正态分布率得概念，并给出了概率论得一些重要结果。之后法国数学家蒲丰（C、de Bｕffｏｎ，1707—１788)提出了著名得“普丰问题”，引进了几何概率.另外,拉普拉斯、高斯与泊松(S、Ｄ、Ｐoisson，17８1－1840）等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别就是拉普拉斯,她就是严密得、系统得科学概率论得最卓越得创建者，在1８12年出版得《概率得分析理论》中,拉普拉斯以强有力得分析工具处理了概率论得基本内容，实现了从组合技巧向分析方法得过渡,使以往零散得结果系统化,开辟了概率论发展得新时期。泊松则推广了大数定理,提出了著名得泊松分布。
19世纪后期,极限理论得发展称为概率论研究得中心课题,俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。她建立了关于独立随机变量序列得大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯得极限定理。切比雪夫得成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展得进程. 19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域得应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释得需要,另一方面,科学家们在这一时期发现得一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在得矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论得逻辑基础做出更加严格得考察。 2（概率论得公理化 俄国数学家伯恩斯坦与奥地利数学家冯?米西斯(R、von Mises，1883—１95３）对概率论得严格化做了最早得尝试。但它们提出得公理理论并不完善。事实上，真正严格得公理化概率论只有在测度论与实变函数理论得基础才可能建立。测度论得奠基人，法国数学家博雷尔（E、Borel，1781－19５６)首先将测度论方法引入概率论重要问题得研究，并且她得工作激起了数学家们沿这一崭新方向得一系列搜索。特别就是原苏联数学家科尔莫戈罗夫得工作最为卓著.她在1９2６年推倒了弱大数定律成立得充分必要条件。后又对博雷尔提出得强大数定律问题给出了最一般得结果,从而解决了概率论得中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础得概率论公理化得前奏。 1933年，科尔莫戈罗夫出版了她得著作《概率论基础》，这就是概率论得一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论得一系列基本概念，提出了六条公理,整个概率论大厦可以从这六条公
一、概率论发展简史 1(20世纪以前的概率论 概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利 (L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹 (G.cardano,1501-1576)的着作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论着作。这些数学家的着述中所出现的第一批概 率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他在遗着《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”着称的极限定理，在概率论发展史 上占有重要地位。 伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)把概率论又作 了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给 出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788) 提出了着名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松 等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统 的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧 向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，提出了着名的泊松分布。 19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，
概率统计系的发展与未来 何书元(编写) 2005年 概率统计系的前身是概率统计教研室。1956年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄(1910-1970)教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共50多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约200人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。 当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨(Fisz)教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（Urbanike）教授讲授广义随机过程，邓肯(E. Dynkin)教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。 许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于1970年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早
数理统计学前沿简介 （陈希孺院士访谈） 一、概率论与数理统计学的产生和发展 记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。 陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。 统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。
这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。 这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。 葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。 当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等
概率论的发展史 摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论公理化随机现象赌博问题 17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。” 一、概率论的起源 概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。 1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。 1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题可以简化为： 甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。 帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。 费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况： 情1234
概率论与数理统计发展简史 姓名：苗壮学号：1110810513 班级：1108105 指导教师：曹莉 摘要：在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 关键词：概率论、数理统计、发展史 正文： 1.概率论的发展 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验． 促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括． 继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础． 1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试．
概率论与数理统计概率历史介绍
一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．
概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的,例如在函数关系的对应下,随机事件先是被简化为集合,继之被简化为实数,随着样本空间被简化为数集, 概率相 应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数)(x f,)(x f的性质是十分良好的: 单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导. 因之, 微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域. 随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等, 显然借鉴或搬运了微积分的现有成果. 又如概率论中运用微积分的基础----极限论的地方也非常多, 诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等.总之,微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面, 换言之, 没有微积分的推动, 就没有概率论的公理化与系统化, 概率论就难以形成一门独立的学科. 微积分与概率论的亲缘关系, 决定了概率论的确定论的特征. 但是作为微积分的一门后继课程, 概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径, 其发展路径与微积分大相径庭, 最终成为了随机数学的典型代表, 具备了与微积分相当的地位. 更因其非线性、反因果的非理性特征, 显得比经典的微积分更具有时代精神. 而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用, 因此讨论微积分在概率论中的地位, 探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用 0 引言 概率论与数学分析是数学的两个不同分支，数学分析是确定性数学的典型代表，概率论则是随机数学的典型代表。由于两者所研究的方向不同，故它们的发展道路大相径庭，但是在各自的发展过程中二者却又紧密地结合在一起，数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也逐渐滲透到数学分析当中，推动着数学分析的发展。研究概率论与数学分析两者之间的相互关系，并寻绎概率论在解决数学分析中某些比较困难的问题的方法、思想，是很有意义的。 1 数学分析对概率论的渗透与推动 1933 年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据，导入了概率论的公理化体系，概率论得以迅猛发展，在其迅猛发展的道路上，数学分析的思想与方法随处可见。 1.1 集合论与概率论的公理化体系 由于数学的研究对象一般都是具有某种性质或结构的集合，所以集合论是整个数学体系的基础。集合论是在19 世纪数学分析的严密化过程当中培育出来的，两者之间是源和流的关系; 又由于勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系; 因而集合论对概率论的滲透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动 数学分析中主要有黎曼积分和勒贝格积分两种。黎曼积分处理性质良好的函数时得心应手，但对于级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常比较困难。勒贝格积分的出现，使黎曼积分遇到的难题迎刃而解，微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。有了勒贝格积分理论以后，集合测度与事件概率之间的相似性便显示出来了。不仅如此，测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛，实质上就是弱大数定律与强大数定律中的收敛。1933 年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系［2］，统一了原先概率的古典定义、几何定义及频率定义纷争不一的局面。他建立的公理化体系，具备
概率论的起源和发展 概率论是一门既古老又年轻的学科。说它古老，是因为产生概率的重要因素---赌博游戏已经存在了几千年，概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。而说它年轻，则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1、机会的早期计算 古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。 卡尔扎诺是一位医学博士, 曾在米兰讲授数学, 写过多部医学、数学等方面的著作。他认为赌博是一种社会病, 也有理由作为可以医治的疾病来研究。约在1564 年, 他集中了自己的智慧和赌博经验, 用拉丁文写出著名的《论机会游戏》, 揭示了赌博中的不确定性原理, 成为概率论前史的重要人物。书中, 卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件,“如果它们有利于对手, 那么你是傻瓜, 如果有利于自己, 那么你就不公平”。骰子应该是“诚实的”, 几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的, 下注应该根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一, 为理解和解决复杂的赌博问题提供了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比) 表示机会的大小, 计算出了多种赌博的全部可能结果数和有利结果数, 由于当时组合数学还很贫乏, 他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则, 在一番错误推理后他发现了正确方法, 例如一次的胜率是 3:1, 连续两次的胜率是 9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人, 他提出了考虑随机问题的基本原则, 建立了胜率概念和一些运算法则, 对概率理论的形成具有开创性贡献。但是他也犯了不少错误, 例如他认为在掷两个骰子时, 36 次投掷有 1 次机会出现双 6, 平均起来 18次投掷中, 出现双 6 的机会是 50%。这种推理意味着36 次投掷中必定出现一次双 6, 他没有意识到自己的错误。由于该书只有很少部分讨论机会计算, 其等可能思想
从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》
理化生教学与研究386 2013赵?璇?钟?莹 概率论发展简史及应用 概率论发展简史及应用 赵 璇 钟 莹 （沈阳师范大学） 一、概率论的起源 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷色子（又名骰子）是他们常用的一种赌博方式。利用色子赌博的方式可谓五花八门。很自然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子哥儿——德·梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅尔问题。随后法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决一些如“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等。 到了18、19世纪，随着科学文明的发展，人类面临和要解决的问题也越来越多。后来，人们注意到之前为解决赌博问题而提出的那些方法不仅仅可以用在解决赌博问题上，还可以应用于人口统计、误差理论、产品检验和质量控制等。到后来原先的古典概型已不足以解决这诸多领域中了，人们迫切需要新的理论去解决更多的问题。也就在这时期，作为使概率论成为数学的一分支的的奠基人，瑞士数学家伯努利，建立了概率论中第一个极限定理（即伯努利大数定律），阐明了事件发生的频率稳定于它的概率。 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫（Markov）提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦（Khinchine）又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。 二、概率论的发展 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。 数学家们通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，所以概率论应用也随之扩宽了。众所周知，接种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法，然而，当牛痘开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争议。为了探求事情的真相，伯努利家族的另一位数学家丹尼尔·伯努利根据大量的统计数据，应用概率论的方法，得出了接种牛痘能延长人的平均寿命三年的结论，从而消除了人们的恐惧与怀疑。直观地说，卫星上天、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报、考古研究等更离不开概率论与数量统计；电子技术的发展、人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。 根据概率论中用投针试验估计π值思想产生的蒙特卡罗方法，借助电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表明物理等学科的研究中起着重要的作用。概率论理论严谨，应用广泛，这一数学分支正日益受到人们的重视，以后将会随着科学技术的发展而得到发展。 三、概率论在现代社会发展中的应用 概率论进入其他科学领域的趋势在不断发展。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。下面简略介绍一下概率论本身在现代的应用情况。 物理方面，放射性衰变、粒子计数器等问题的研究，都要用到泊松过程和更新理论。化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题、自动催化反应等一些连锁反应的动力学模型，都要以生灭过程（马尔柯夫）来描述。许多服务系统，如电话通信、购货排队等等，都可用一类概率模型来描述。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。同时它对各种应用数学如统计学、运筹学、生物学、经济学和心理学的数学化起着中心作用。 概率论已获得当今社会的广泛应用，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要。“在过去半个世纪中, 概率论从一个较小的、孤立的课程发展成为一个与数学许多其它分支相互影响, 内容宽广而深入的学科。” 因此，我们必须把概率论作为必备工具, 是科学研究与应用的需求。 现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。 四、结论 本文就概率论的发展简介，具体从他的起源、发展、理论基础及其进一步发展作出了详细的论述。从而得知；概率论是一门研究随机现象中的数量规律的科学。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球华的日益快速进程，概率论在众多领域内扮演着重要的角色。在实际生活中尤为广泛的应用。 摘?要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科，已有300余年的历史。它起源于十七世纪中叶，当时数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博的问题。德梅雷、帕斯卡、费尔马等人首先对这个问题进行了研究与讨论，后来伯努利提出了大数定律，高斯和泊松进一步的推理论证。由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。 关键词：概率论；发展；应用 参考文献： [1] 刘秀芳．概率论基础[M]．北京．科学出版社． 1982 [2] 杨振明．概率论[M]．北京．科学出版社． 1999 [3] 张景中．趣味随机问题[M]．北京．科学出版社 [4] 孙荣恒．应用概率论[M]．北京．科学出版社 [5] 茆诗松 程依明 濮晓弄．北京．概率论与数理统计[M]．高等教育出版社．2004
一、概率论发展简史 令狐采学 1(20世纪以前的概率论 概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。 伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松 (S.D.Poisson,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合
技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。 19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。 19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察。 2(概率论的公理化 俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯?米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝试。但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般
概率论的起源与发展 一、 概率的起源： 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。 二、 数学家们参与赌博： 又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”—— 正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的43，赢了3局的拿这个钱的4 1。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。若是 A 赢满了5局，钱应该全归他；A 如果输了，即 A 、
B 各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A 赢、输的可能性都是 2 1，所以，他拿的钱应该是21×1+21×21=43；当然，B 就应该得41。 他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。 三、 概率论的初步形成： 惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。 四、著名的“圣彼得堡问题” 1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。一般地，若甲前n －1次掷得反面，第n 次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少