实验1 1实验内容 （1）求任意一个命题公式的真值表。 （2）利用真值表求任意一个命题公式的主范式。 （3）利用真值表进行逻辑推理。 注：（2）和（3）可在（1）的基础上完成。 2实验目的 真值表是命题逻辑中的一个十分重要的概念，利用它几乎可以解决命题逻辑中的所有问题。例如，利用命题公式的真值表，可以判断命题公式的类型、求命题公式的主范式、判断两命题公式是否等价，还可以进行推理等。 本实验通过编写一个程序，让计算机给出命题公式的真值表，并在此基础上进行命题公式类型的判定、求命题公式的主范式等。目的是让学生更加深刻地理解真值表的概念，并掌握真值表的求解方法及其在解决命题逻辑中其他问题中的应用。 3算法的主要思想 利用计算机求命题公式真值表的关键是：①给出命题变元的每一组赋值；②计算命题公式在每一组赋值下的真值。 真值表中命题变元的取值具有如下规律：每列中0 和1 是交替出现的，且0 和1 连续出现的个数相同。n 个命题变元的每组赋值的生成算法可基于这种思想。 含有n个命题变元的命题公式的真值的计算采用的方法为“算符优先法”。 为了程序实现的方便，约定命题变元只用一个字母表示，非、合取、析取、蕴含和等价联结词分别用！、&、|、－、＋来表示。 算符之间的优先关系如表1-1所示： 表1-1算符优先级
优先算法，我们采用两个工作栈。一个称作OPTR，用以寄存运算符；另一个称作OPND，用以寄存操作数或运算结果。算法的基本思想是： （1）首先设置操作数栈为空栈，符号“@”为运算符的栈底元素； （2）调用函数Divi（exp，myopnd）得到命题公式包含的命题变元序列myopnd （按字典序排列，同一个命题变元只出现一次）； （3）依次读入命题公式中的每个字符，若是命题变元则其对应的赋值进OPND 栈，若是运算符，则和OPTR栈的栈顶运算符比较后作相应操作，直至整个命题公式求值完毕。
第一章逻辑推理 在数学竞赛中，有一类问题似乎不像数学题，这类问题没有或很少给出数量或数量关系，也不出现任何图形。解答这类问题没有什么现成的公式可用，甚至不需要什么复杂计算。也有的问题，似乎像算术或几何问题，但解决它却很少用到算术和集合的知识，而是用逻辑推理的知识来解答。这类问题称为逻辑推理问题。逻辑推理是运用已知若干判断去获得一个新判断的思维方法。在推理过程中，常常需要否定一些错误的可能性，去获得正确的结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法；假设法；排除法；图解法；列表法和枚举法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。 推理的过程，必须要有充足的理由和充分的依据。论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 一、直接法 例 1 张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工，已知：（1）张不在甲厂；（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工，这三个人分别在哪个厂？干什么工作？ 【分析与解】此题可用直接法解答，即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。 由条件（5）可知，王不是电工，那么王必是车工或钳工；由条件（2）可知，王不在乙厂，那么王必在甲厂或丙厂；又由条件（4）可知，在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则王必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂，而王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，剩下的李是甲厂的电工。 所以，张是乙厂的车工，王是丙厂的钳工，李是甲厂的电工。 例2 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分。现在知道比赛结果是：A和B并列第一名；C 是第三名，D和E并列第四名，求C得多少分？ 【分析与解】我们从A和B并列第一名，D和E并列第四名的已知条件直接
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
九、证明 证明是由论题或论据两个部分通过论证方式而组成的。论题是真实性需要加以证明的判断。论据是用来证明论题真实性的那些判断。 证明与推理是有密切联系的。证明总是借助于推理来进行的。论据相当于推理的前提，论题相当于结论，论证方式相当于推理形式。任何证明的过程都是运用推理的过程，没有推理就无法构成证明。 （一）证明的逻辑原则 充足理由原则是证明的逻辑原则。充足理由原则的基本内容是：在思维过程中，任何正确的思想必须有充足理由。或者说，在推理和证明过程中，一个思想被确定为真的，总是有其充足理由的。充足理由原则的公式是：A真，因为B真并且B能推出A。 公式中的“A”表示证明中被确定为真的思想(即论题)，我们称之为推断；公式中的B表示用来确定推断“A”真的一个或一组判断(即论据)，我们称之为理由。由于B真而且B能推出A，所以称B是A的充足理由。 具体地讲，充足理由原则的逻辑要求包括下列两个方面：第一，作为理由的判断应当是真实的；第二，理由和推断之间应当具有逻辑上的必然联系。换句话说，推论应当符合逻辑规则，推理形式应当是正确的。也就是说，充足理由原则的要求是：必须根据真实的判断和正确的推理形式来推出新的判断。因此，充足理由原则体现了证明过程中真实性和正确性的统一，体现了正确思维的论证性的特点。 违反充足理由原则要求的逻辑错误是理由不充足。它有两种表现：第一种表现是理由本身是虚假的。比如，和平主义者提出了“反对一切战争”的口号，他们的理由是：“一切战争都是非正义的。”这个理由本身是不真实的，因为只要有战争，就有正义战争和非正义战争之分。一切推动社会历史前提的战争，例如农民革命战争、民族解放战争就是正义的战争。所以，和平主义者依据的理由是虚假的、错误的。从逻辑上讲，这种错误叫做“虚假理由”的逻辑错误。 第二种表现是理由和推断之间没有必然的联系，或者说推论不符合逻辑。比如，有人说：“如果一个人是运动员，那么他就要经常锻炼身体，我不是运动员，所以，我不要经常锻炼身体。”这个人的结论显然是不正确的。尽管这个推论的理由都是真的(即“运动员要经常锻炼身体”和“和不是运动员”都是事实)，但由于它违反推理的规则，它的推理形式是错误的，即推断不是从理由中逻辑地推出来的，因而这个推论不符合充足理由原则的逻辑要求，结论也是错误的。用这种错误的推理形式来进行证明，就是一种“推不出”的逻辑错误。 （二）证明的种类 按照不同的标准，可以对证明进行不同的分类，按论证方式(即论证过程中所运用的推理形式)的不同，证明可分为演绎证明和归纳证明；按论证方法的不同(即是否对论题直接进行论证)可分为直接证明与间接证明。 演绎证明是借助于演绎推理来进行的证明，即用一般原理来证明特殊事实的一种证明。在这种证明中，论据主要是一般性原理，论题是关于某种特殊事实的论断。归纳证明是借助于归纳推理进行的证明，即用某种典型的关于特殊事实的判断来证明一般原理的一种证明。在这种证明中，论据是关于特殊事实的判断，而论题则是某个一般性的原理。归纳推理一般说来是一种或然性推理，因此，在严格的论证中，用不完全归纳推理建构的证明一般只能起辅助作用。至于完全归纳推理或科学归纳推理所建构的证明，由于这两种推理中，前者实质上是一种必然性推理，后者也是一种包含着演绎因素的，因而结论具有较高可靠性的推理。 直接证明就是从论据的真实直接推出论题的真实的一种证明方法。间接证明又称反证法，它是通过证明反论题的虚假，从而判明我们所要证明的论题真实的一种证明方法。 运用间接证明方法进行证明，一般有三个步骤：(1)设立反论题(即与我们所要证明的论题相矛盾的论题)；(2)证明反论题是虚假的；(3)根据排中律，推出我们所要证明的论题的真实。从间接证明的这个特点来看，间接证明实质上是选言推理的否定肯定式的运用，即从否定反论题真实，而推出我们所要证明的论题真实。可见，为了进行间接证明，最关键的是要证明反论题的虚假(即否定反论题的真实)。为此通常采用两种方法：归谬法和穷举法。 归谬法是一种先假定反论题为真，并从中引出谬误的推断，然后，根据假言推理的否定式，从否定谬误的推断到否定反论题的真实的一种方法。既然否定了反论题的真实，那么，根据排中律，自然也就证明了我们所要证明的论题是真实的。还有一种经常运用的反证法是穷举法。穷举法就是列举出除我们所要证明的论题外还可能成立的其他各种不同论题，然后根据事
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
实验一命题逻辑公式化简 【实验目的】加深对五个基本联结词（否定、合取、析取、条件、双条件）的理解、掌握利用基本等价公式化简公式的方法。 【实验内容】用化简命题逻辑公式的方法设计一个表决开关电路。 实验用例：用化简命题逻辑公式的方法设计一个 5 人表决开关电路，要求 3 人以上（含 3 人）同意则表决通过（表决开关亮）。 【实验原理和方法】 （1）写出5人表决开关电路真值表，从真值表得出5 人表决开关电路的主合取公式（或主析取公式），将公式化简成尽可能含五个基本联结词最少的等价公式。 （2）上面公式中的每一个联结词是一个开关元件，将它们定义成 C 语言中的函数。 （3）输入5人表决值（0或1），调用上面定义的函数，将5人表决开关电路真值表的等价公式写成一个函数表达式。 （4）输出函数表达式的结果，如果是1，则表明表决通过，否则表决不通过。 参考代码： #include
判断推理常用公式 一、逻辑判断 并非(A或B)=非A且非B ?真假判断题型解题技巧 六种关系 矛盾关系(主体相同的两句话,必一真一假) ①某个S就是P,某个S不就是P; ②所有S都就是P,有的S不就是P;③所有的S都不就是P,有的S就是P; ④P且Q,非P或非Q。 ⑤P或Q,非P且非Q⑥如果P→Q,P→非Q(如果天下雨,路就滑) 反对关系 ⑤有的S就是P,有的S不就是P(至少有一真);⑥所有S都就是P,所有S都不就是P(至少有一假)。 包容关系 例: 所有A→B 所有老师都会英语A 校长会英语B ①一直前假如果题目问只有一个就是真的 分析,如果A真,B截然为真。与问题说的只有一真矛盾,哪么A一定为假 ②一假后真如果题目问只有一个就是假的 分析,如果B假,A截然为假。与问题说的只有一假矛盾,哪么B一定为真 二、翻译推理 1、单句判断 ①所有(凡就是)S都就是P 翻译S →P ②所有(凡就是)S都不就是P 翻译S →—P ③没有S就是P (所有S不就是P) 翻译P →—S 见没有改所有 ④没有S不就是P (所有S就是P) 翻译S →P ⑤不就是S都就是P 翻译—S →P ⑥不就是S都不就是P 翻译—S →—P
2、否定关系 1、并非所有A都就是B 等价于有的A不就是B (并非所有换成有的,就是换不就是) 2、并非有的A就是B 等价于所有A都不就是B (并非有的换成所有,就是换成不就是) 3、等价关系 1、所有的A都不就是B 等价于所有的B都不就是A 2、有的A就是B 等价于有的B就是啊 五个解题步骤 ①符号化;②找关系(六种关系);③推知其余项真假;④根据其余项真假,得出真实情况;⑤带回“矛盾或反对”项,判断其真假。 排列组合题型 1、选项信息充分,运用排除法, 2、选项不处分,找推理起点:信息最大优先,特殊信息优先 ■削弱题型方法: １、否因削弱 已知因果推理主线:因→果 否因削弱:强调原因不成立或起不到作用。 2、她因 已知推理主线:因→果 她因削弱:强调存在别的原因会导致该结果,或者导致不了该结果。 3、反例 已知推理主线:因→果 反例削弱:举出一个反例,即满足了“因”却没有得到所说的“果”。 4、因果倒置 已知推理主线:A、B两个现象同时出现→A导致了B 因果倒置:很有可能就是B导致了A。 ■假设、支持题型方法: 1、排她因 已知推理主线:因→果 排她因:排除其她因素的干扰,或排除其她可能性,使推理更可信。 2、否因否果 已知推理主线:因→果 否因否果:非因→非果,会支持“因→果” 3、建立联系 已知推理主线:因→果 建立联系:因果之间有跳跃,唯有建立联系才可行。 4、推论可行 已知推理主线:因→果 推论可行:因果之间有漏洞,需加前提才可行。 ■解释题型关键: 解题技巧:抓住需要解释的关键信息。 ■归纳题型技巧: 1、四项原则:从弱原则,整体原则,就近原则、协调原则
1.7 推 理 理 论 从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。 1.7.1 蕴含与论证 1．推理的含义与形式 [定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ?，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。 [辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ?，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ?也称为“永真蕴含” ，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。 所有逻辑推理的实质就是证明p q ?，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目： 已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记 p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+ 则上述论证要求可描述为： p q r ∧? 证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作： 12n H H H C ∧∧∧? ，或12,...,n H H H C ?，，或 12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C 可见，论证A C 、A C ?或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
逻辑推理好题 1.有甲、乙、丙、丁四人，如果甲炒股，那么乙、丙、丁也都炒股。如果上述断定为真，那么以下哪项一定也为真： A如果甲没有炒股，那么乙、丙、丁也没有炒股 B如果甲没有炒股，那么乙、丙、丁中至少有一人没有炒股 C如果乙、丙、丁都炒股，那么甲也炒股 D如果丁没有炒股，那么甲和乙至少有一人没有炒股 正确答案是D 2.对某班学生喜欢的体育活动进行调查后发现：该班的学生或者喜欢打篮球，或者喜欢打羽毛球；如果喜欢打排球，则不喜欢打羽毛球；该班的班长喜欢打排球，因此他也喜欢打乒乓球。以下哪项最可能是上述论证的假设： A该班的班长至少喜欢三项体育活动 B喜欢打乒乓球的学生都喜欢打羽毛球 C喜欢打篮球的学生都喜欢打乒乓球 D该班学生喜欢的体育活动只有篮球、羽毛球、排球和乒乓球四项 正确答案是C 3.品学兼优的学生不都读研究生。如果以上论述为真，则下列命题能判断真假的有几个： I. 有些品学兼优的学生读研究生 II. 有些品学兼优的学生不读研究生 III. 所有品学兼优的学生都读研究生 IV. 所有品学兼优的学生都不读研究生 A1 B2 C3 D4 正确答案是B 第一步：翻译题干。
品学兼优的学生不都读研究生，等价于：有些品学兼优的学生不读研究生。 第二步：逐一分析选项。 I. 有些品学兼优的学生读研究生与题干构成下反对关系，其中一个为真无法判断另一个的真假，即该命题的真假未定； II. 有些品学兼优的学生不读研究生与题干一致，为真命题； III. 所有品学兼优的学生都读研究生与题干构成矛盾关系，题干为真，可知其矛盾命题为假，即III的命题为假命题； IV. 所有品学兼优的学生都不读研究生是全称命题，与题干构成等差关系，因为题干是特称命题，特称命题为真无法判断全称命题的真假，故该命题的真假未定。 综上分析，可判断II为真命题，III为假命题，而I和IV真假未定，即能确定真假的命题只有两个。 4.某公司行政部人员手机使用情况如下： ①小王拨打过行政部所有人的电话； ②小李曾经拨打过小赵的电话，但是小赵不曾拨打过其他人的电话； ③不曾接听来自行政部其他人电话的人也就不曾拨打过其他人的电话。 由此可以推出： A小赵不曾接听过来自小李的电话 B小李曾经接听过来自小王的电话 C行政部曾有人拨打过小王的电话 D小王接听过来自行政部所有人的电话 正确答案为C 第一步：翻译题干。利用充分必要条件。
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都几个了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP
SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】不相容选言命题公式：要么p要么q “要么…要么…、不是…就是…、或者…或者…二者必居其一、或者…或者…二者不可兼得” 【一个不相容的选言命题是真的，有且只有一个选言支是真的。当选言支全真或全假时，此命题为假】 假言命题：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题公式：如果p，那么q“如果…就…、有…就有…、倘若…就…、哪里有…哪里有…、一旦…就…、假若…、只要…就…” 【有前件必然有后件。如果有前件却没有后件，这个充分条件假言命题就是假的。因此，对于一个充分条件的假言命题来说，只有当其前件真而后件假时，命题才假。】 必要条件假言命题公式：只有p，才q “没有…就没有…、不…不…、除非…不…、除非…才…” 【没有前件必然没有后件。如果没有前件也有后件，这个必要假言命题为假。对于一个必要条件的假言命题来说，只有当其前件假而后件真时，命题才假。】 充要条件假言命题公式：当且仅当p，才q 【有前件必然有后件，没有前件必然没有后件。充要条件假言命题在前件与后件等值即前件真并且后件真，或者前件假并且后件假时，命题为真，在前件与后件不等值即前真后假，或前假后真时，命题为假】 充分条件与必要条件之间可以相互转化：
逻辑判断推理中常用的 逻辑公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP
六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】 不相容选言命题公式：要么p要么q
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
10.1复习笔记 一、问题解决 （一）影响问题解决的因素 1．功能固定化 （1）功能固定化是指只看到某种物体常用的功能，而很少认为它还有别的用途。 （2）在功能固定化的影响下，人们不易摆脱事物用途的固有观念，因而直接影响到人们灵活地解决问题。 2．定势 （1）定势是一种活动的准备状态或行为倾向。 （2）定势的积极作用表现为在条件不变的情况下，快速解决问题；消极的作用表现为用旧的方法解决新的问题，妨碍新方法或者简单方法的发现和运用。 3．噪声 Glass等人认为噪声对问题解决的影响是很复杂的。 （1）实验过程 ①实验中共有4种噪声条件：强噪声、弱噪声、事先告诉有噪声、事先不告诉有噪声。 ②在这4种条件下，要求被试解决4个猜谜问题，两个是能解决的，两个是不能解决的。 （2）实验结果 ①对于能够解决的猜谜问题，4种噪声条件下各被试需要尝试的次数没有显著差别。 ②对于不能解决的问题，当料到有噪声时被试能更长时间地去尝试解决问题。 ③在没有料到有噪声的情况下，被试的这种努力就大大减少了，并且还出现了交互作用：
当噪声可被预料时，它的强度是不重要的。但当噪声不能预料时，强噪声比弱噪声影响更大。 （二）问题解决的计算机模拟 1．出声思维 （1）出声思维是一种用口语记录分析被试解决问题的方法，就是让被试在解决问题时说出头脑内进行的一切活动，并对予以记录，然后加以分析。 （2）口语记录分析法是认知心理学对思维的计算机模拟进行收集经验数据的方法。 2．计算机模拟技术 （1）认知心理学假定，人是一个信息加工系统，信息加工系统称为“符号操作系统”或者“物理符号系统”。 （2）计算机也是一个物理符号系统。将人脑比喻为计算机，就可以从一个已知的系统去加深对一个不甚清楚的系统的理解。 3．思维的计算机模拟的局限性 （1）人脑是千百万年进化的产物，而计算机只是人脑的产物，人脑的工作方式与计算机的工作方式不同。 （2）仅在计算机输出的结果方面模拟人的思维结果是不够的。 （3）计算机无法对人的形象思维进行模拟，而形象思维则是人解决问题，在科学、艺术、运动等领域进行创造性活动常常使用的思维形式。 二、推理 推理是思维的形式，分成归纳推理和演绎推理。 （一）推理的理论 1．心理模型理论
声明：水平有限，本讲义只为和大家交流，以待高手指点自己提高之用。如有瑕疵请谅解。 19日晚9点第二讲，是从联言命题开始。第一讲在群邮件中有录音，如果没听过的最好听一下，否则接不上。第一讲是演绎推理的基础。红色例题（选的都是真题）大家最好做一下，听课效果好。 逻辑推理讲义 第一节关于逻辑推理 一、了解逻辑推理题 二、逻辑判断的注意事项 第二节复合命题推理 一、充分命题推理 1.关联词：就；则；如果。。。那么 2.符号形式：A—>B（读A则B） 3.推理规则：A—>B，A=>B 肯前比肯后（最基础模型） A—>B，-B=>-A 否后必否前（最基础模型） 4.错误推理：只要看到了错误推论，直接排除，不必向下看了 a)否定前件——否定前件推不出确定的结论（具有可能性） b)肯定后件——肯定后件推不出确定的结论（具有可能性） 例题： 1、如果月球表面曾经是岩浆海洋，那么许多元素的分布就应该是连续的。岩浆海洋掌握着解开月球诞生之 谜的钥匙，如果岩浆海洋的存在得到确认，那么“巨型冲击假说”将成为最有力的月亮起源说。由此可以推出： A.如果月球表面不曾是岩浆海洋，那么月球表面的元素分布就不是连续的。 B.如果“巨型冲击假说”没有成为最有力的月亮起源说，那么表明月球表面的元素分布都不是连续的。 C.如果月球表面的元素分布不是连续的，那么月球表面不曾是岩浆海洋 D.如果月球表面的元素分布是连续的，那么“巨型冲击假说”将成为最有力的月亮起源说 二、充分传递推理 1.分离传递：A—>B，B—>C => A—>C 下雨——地湿，地湿——路滑推出下雨——路滑
2.逆否传递：A—>B ，B—>C => -C—>-A 下雨——地湿，地湿——路滑推出–路滑——-下雨 三、必要条件命题推理 1.关联词：只有。。才。。。；必须。。。才。。；。。。才。。。 2.符号形式：B<—A（读B才A）模型（看到“才“就画反向箭头） 3.只有B才A=如果A就B 例题： 1、有关专家指出，月饼高糖、高热量，不仅不利于身体健康，甚至演变成了―健康杀手‖。月饼要想成为一种健康食品，关键要从工艺和配料两方面进行改良，如果不能从工艺和配料方面进行改良，口味再好，也不能符合现代人对营养方面的需求。 由此不能推出的是： A.只有从工艺和配料方面改良了月饼，才能符合现代人对营养方面的需求 B.如果月饼符合了现代人对营养方面的需求，说明一定从工艺和配料方面进行了改良 C.只要从工艺和配料方面改良了月饼，即使口味不好，也能符合现代人对营养方面的需求 D.没有从工艺和配料方面改良月饼，却能符合现代人对营养方面需求的情况是不可能存在的 四、断定A—>B的关系 1.如果A，那么B； 2.若A则B（A就B） 3.A必须B 4.A离不开B 5.A是以B为条件的 6.B是A的必要条件 7.A以B为基础 8.B是A必须的基础 9.A是指：B 五、相容选言推理 1.符号形式：A V B （读A或B） 2.语义：至少一个成立，也可以都成立。 3.推理规则：否定规则（排中律）——排除法（排除一个选中另一个） 1)否前肯后：A V B，-A=>B
逻辑常识（逻辑学习总体把握） 一、逻辑推理 是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。 （一）直接推理 只有一个前提的推理叫直接推理。 例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 （二）间接推理 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。 例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。 （1）演绎推理 所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。 例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。 这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊 性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个 特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。 a三段论 b假言推理 c选言推理 （2）归纳推理 归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。 一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。 a完全归纳推理 也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。 正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。 例如：在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级社会里，文学艺术是有阶级性的。（注：奴隶社会、封建社会、资本主义社会、社会主义社会这四种社会形态构成了整个阶级社会。） b简单枚举归纳推理 是根据同一类事物中部分事物都具有某种性质，从而推出该类事物普遍具有这种性质的结论。这是一种不完全归纳推理。但是，这种推理通常仅考察了某类事物中部分对象的性质就得出了结论，所以结论可