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1，其余元素均为零的方阵，叫做 单位矩阵 。如矩阵 1 0 为 2
01
6、如果矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等，那么 A 与B 叫做同阶矩阵 ；如果矩阵 A 与矩阵 B 是同阶矩阵，
当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 A 与矩阵 B 叫做相等的矩阵 ，记为 A B 。
矩阵的概念 1、形如 1 3
2、在矩阵中， 矩阵及其运算
51 21 28 2 3 m 2 3 m 1
36 38 36 、 3 2 4、 3
2 4
2 这样的矩形数表叫做 矩
阵 。
23 21 28 4 1 n 4
1 n 4
水平方向排列的数组成的向量
a 1, a 2
, a n 称为行向量 ；垂直方向排列的数组成的向
量
b 1
b 2
称为
b n
列向量 ；由 m 个行向量与 n 个列向量组成的矩阵
称为
m n 阶矩阵 ， m n 阶矩阵可记做 A m n ，如矩阵
1
为
3
51 21 28 2 1阶矩阵，可记做 A 2 1 ； 矩阵 36 38 36 为 3 3阶矩阵，可记做
A 3 3 。有时矩阵也可用 A 、
B 等字母
23 21 28
表示。
矩阵中的每一个数叫做矩阵
的
元
素 ， 在一个 m n 阶矩阵 A m n 中的第 i （ i m ）行第 j （ j n ）列数可用
51 21 28
字母 a ij 表示，如矩阵 36 38 36 第 3 行第 2 个数为 a 32 21 。
23 21 28
当一个矩阵中所有元素均为
00
0时，我们称这个矩阵为 零矩阵 。如 00 00
为一个 2 3阶零矩阵。
当一个矩阵的行数与列数相等
时， 这个矩阵称为 方矩阵 ，简称 方阵，一个方阵有 n 行（列），可称此方阵为 n
51 21 28
2 3m
阶方阵 ，如矩阵 36 38
36 、3
2 4 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有
23 21 28 4 1n
3、
4、
5、
元素组成对角线，如果其对角线的元素均为
1
阶单位矩阵，矩阵 0
0 为 3 阶单位矩阵。
2x3y mz123m
7、对于方程组3x2y4z 2 中未知数x, y, z 的系数按原来的次序排列所得的矩阵32 4 ，我们叫
4x y nz 441n
2 3 m 1
做方程组的系数矩阵；而矩阵3242叫做方程组的增广矩阵。
4 1 n 4
应用举例：
例1、已知矩阵A2x,B xyb2a2且A B，求a、b的值及矩阵A。
2x a 2b yx 2 y
例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：
x 2 y 3z 2 0
2x 3y 1
（1）；（2）x 3y 2z 5 0
4x y 6
2x y z 3 0
例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
2352102
1）（2）0321
124
3023
2
例4、已知矩阵sin
sin
cos
cos
为单位矩阵，
且
, ，求sin 的值。
2
4
矩阵的基本变换：
（ 1）互换矩阵的两行或两列；
（ 2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（ 3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后 量给出了方程组的解。 应用举例：
4 x 3 y z 5
例 1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组
7x 2y z 4 的
解。
5x
2y 3z 8
课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题：
1）若方程组
xy2 (k 1)x (k 1)y
的解 x 与 y 相等，求 k 的值。
个列向
例 2、运用矩阵变换方法解方程组：
ax 3y 2
( a 、
2x y b
b 为常数）
3x 2y z 0
3)解方程组：
x y 2z 5
5x 7y 8z 1
矩阵运算 (对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下 可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容 .) 1．相等 定义 如果两个矩阵 A a ij m n ， B mn
(1) 行、列数相同，即 m s, n p ； (2) 对应元素相等，即 a ij = b ij (i = 1, 2, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B (由矩阵相等定义可知，用等式表示两个 a 11 A =
a 21 那么 A = B ，当且仅当 a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5
，a 21 = - 2， a 22 = 1，a 23 = 4 而 b ij s p 满足： ?, m ；j = 1, 2, ?, n ）， a 12 a 22
n 矩阵相等，等价于元素之间的
a13 ，
a 23 c 11 c 21 c 12 c 22 m n 个等式 . )例如，矩阵 因为 B, C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵 B 相等. 2．加法 定义 2.3 设
A a ij m n ，
B b ij s p 是两个 m n 矩阵，则称矩阵
a 11
b 11 a 12 b 12 a 1n b 1n
C =
a 21
b 21 a 22 b 22 a 2n b 2n
a m1
b m1 a m2
b m2
a mn
b m
为 A 与 B 的和，记作
C = A + B = a ij
b ij
（由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算
.
同样，我们可以定义矩阵的减法：
D = A - B = A + (-B ) = a ij b ij
称 D 为 A 与 B 的差 .
3 0 4
234
例 1 设矩阵 A = ，
B =
，求 A + B ，A- B.
2 5 1
0 3 1
cos cos 0
0 0
2 0 例 2、矩阵 A
，B
，C
10 ，若 A B C ， (0, ) ， tan 1
tan
tan tan
1 7
2
( , ) ，求 sin 的值。 22
3．数乘
定义 2.4
设矩阵 A
a ij m n
，
为任意实数， 则称矩阵
C c ij m n
为数 与矩阵
A 的 数
乘 ，
其中 c ij
a ij (i 1,2, ,m; j
1,2, n) ，
记为
C =A
（由定义 2.4 可知，数 乘一个矩阵 A ，需要用数
去乘矩阵 A 的每一个元素 . 特别地，当 = -1 时，
A
-A ，得到 A 的负矩阵 .）