近世代数题解
第一章基本概念
§1. 1
1.
4.
5.
近世代数题解§1. 2 2.
3.
近世代数题解§1. 3
1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．
2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n．
3. 解例如A B＝E与A B＝AB—A—B．
4.
5.
近世代数题解§1. 4
1.
2.
3.解 1）略 2）例如规定
4．
5．略
近世代数题解§1. 5
1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．
2.略
3.
4.
5.
§1. 6
1.
2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；
3)是等价关系；4)是等价关系．
3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．
4.
则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．
5.
6.证 1）略2）
7.
8.
9.
10.
11.
12.
第二章群
§2. 1 群的定义和初步性质
一、主要内容
1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．
2．群的初步性质
1)群中左单位元也是右单位元且惟一；
2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：
3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．
4)有限半群作成群?两个消去律成立．
二、释疑解难
有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：
1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；
2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；
3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；
4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．
“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性．
以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．
定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素1-
a，对G中任意元素b都有
1-
a(ab)=(ba)1-a=b．
这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．
2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．
4．关于结合律
若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．
5．关于消去律．
根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．
6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？
答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．
7．群与对称的关系．
1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．
由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．
2)几何对称．
设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．
显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式
例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．
很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．
三、习题2．1解答
1.略
2.
3.
4.
5.
6.
§2. 2 群中元素的阶
一、主要内容
1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．
2．在群中若a＝n，则
4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子．
二、释疑解难
在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：
4．一个群中是否有最大阶元?
有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：
下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．
5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群．而在周期群中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义．
三、习题2．2解答
1.
2.
3.
4.
5.
推回去即得．6.
§2. 3 子群
一、主要内容
1．子群的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群．
4．群的中心元和中心的定义．
二、释疑解难
１．关于真子群的定义．
教材把非平凡的子群叫做真子群．也有的书把非G的于群叫做群G的真子群．不同的定义在讨论子群时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．
2．如果H与G是两个群，且H?G，那么能不能说H就是G的子群?
答：不能．因为子群必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数加群，而H 是正有理数乘群，二者都是群，且H?G但是不能说H是G的子群．
答：不能这样认为．举例如下． 例2 设G 是四元数群．则显然 是G 的两个子群且易知
反之亦然．
三、习题2．3解答 1．证 赂．
2．证 必要性显然，下证充分性．
设子集H 对群G 的乘法封闭，则对H 中任意元素a 和任意正整数m 都有a m ∈H ． 由于H 中每个元素的阶都有限，设a ＝n ，则
3．
对非交换群一放不成立．例如，有理数域Q 上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知
???? ??-=1021a ， ???
?
??-=1031b
的阶有限，都是2，但易知其乘积
???
? ??=1011ab
的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群．
4．证 由高等代数知，与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证． 5．证 因为(m ，n )＝1，故存在整数s ，t 使 ms 十n t ＝1． 由此可得
6．
7．
§2. 4 循 环 群
一、主要内容
1．生成系和循环群的定义．
2．循环群中元素的表示方法和生成元的状况．
3．循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n 次单位根乘群，其中n ＝1，2，3，…． 4．循环群的子群的状况．
无限循环群有无限多个子群．n 阶循环群a 有T (n )(n 的正出数个数)个子群，且对n 的每个正因数k ，a 有且仅有一个k 阶子群k
n a
．
二、释疑解难
1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面： 1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有两个生成元，n 阶循环群a 有)(n ?个生成元而且a k 是生成元?(k n )＝1)；
2)循环群的子群的状况完全清楚；
3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是n (n ＝1，2，…)阶循环群，都与n 次单位根乘群同构．
2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具． 三、习题§2. 4解答 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
§2. 5 变换群一、主要内容
1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．
2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．
1)集合M上的变换群G是双射变换群?G含有M的单或满)射变换；
2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．
3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)．
二、释疑解难
1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．
2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M的任何单射或满射变换也不能包含．
另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．
3．集合M上的全体变换作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当M＞1时T(M)只能作
成半群，而不能作成群．
三、习题§2. 5解答
1. 解作成有单位元半群，τ是单位元．但不作成群，因为σ无逆元．
2.
3. 解G作成群：因为易知
4.
5.
§2. 6 置 换 群
一、主要内容
1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n 次置换中奇、偶置换个数相等，
各为2!
n 个(n ＞1)．
2．k —循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．
1)k —循环与A 有相反奇偶性．
2)k —循环的阶为k ．又(i 1，i 2…i k )－1＝(i k ，…，i 2，i 1 )．
3)若σ分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时σ为奇置换，否则σ为偶置换．σ的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k —循环的逆元来确定． 3．由置换σ，τ求置换στσ－１的方法．n 次对称群s n 的中心． 4．传递群的定义、例子和简单性质． 二、释疑解难
1．研究置换群的重要意义和作用．
除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：
1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．
2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．
3) 置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要．
2．用循环与对换之积来表出置换的优越性． 首先，书写大为简化，便于运算。另外还便于求置换的阶，判断置换的奇偶性和求逆置换．因为我们知道：
k —循环的阶是k ；不相连循环之积的阶为各循环的阶的最小公倍；k —循环的奇偶性与k 一1的奇侣性相同；又k —循环(i 1，i 2…i k )的逆元为(i 1，i 2…i k )－1＝(i k ，…，i 2，i 1 )． 3.由教材本节例3可直接得出以下结论:n 次置换群G 若包含有奇置换,则G 是一个偶数．
另外，由于偶置换之积仍为偶置换，故任何n 次置换群G 中的全体偶置换作成G 的一个子群．
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e
为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.
近世代数习题解答 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =
近世代数课后习题参考答案 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2 是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是n m 2 是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12 =ε 时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则11-=εε 2 ' 2 2 1ε ε = 即2 '2 1εε=
但2 22 b a +=ε 是一正整数，同样2 ' ε也是正整数， 因此，只有12 =ε 反之，若12 2 2 =+=b a ε ，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位 此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52 =α 的I 的元α一定是素元。 事实上，若52 =α 则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2 2 2 5,λβ α βλα=== 则12=β或52=β ββ?=12是单位λαβλ?=?-1 2 是α的相伴元 λλ β ?=?=152 2 是单位βαλβ?=?-1 是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2 2 25λβ= 这样，2 β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当152 2 =?=λ β 由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52 =β 的情形 5,2 2 2 =+=+=b a bi a β β可能的情形是 ???==21b a ??=-=21b a ???-==21b a ???-=-=21 b a ???==12b a ? ??-==12b a ???=-=12b a ???-=-=12 b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52 =β 的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ，
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）
近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a
c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解? d d c = , a c d = a b c a a b c b b c a c c a b
近世代数习题解答 第三章 环与域 1 加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2 交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证 设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2 )]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2 ))((mna na ma =
近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ' ' 5,4来作群的定义: '4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1 -a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-' 1 所以))(()(' 11 1 a a a a e a a ---= e a a a e a a aa a ====----' 1' 1 ' 1 1 ][)]([ 即 e a a =-1 (2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1 1 即 a ea = 这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1 -= b be b aa b a a ===--)()(1 1 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到' ' 5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2 ,那么G 就是交换群.
证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111 )(. 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1 -a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===?=---11 1) ()( 若有n m ? 使e a m =-)(1 即 e a m =-1 ) (因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶 是n 矛盾.a Θ的阶等于1 -a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =?=-21 这与a 的阶大于2矛盾 (3) b a ≠ 则 11 --≠b a 总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一 定是偶数 3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的 个数一定是奇数. 证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶 2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数. 4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 G a ∈ 故 G a a a a n m ∈K K K ,,,,,,2 由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: n m a a = )(n m ? 故 e a m n =- m n -是整数,因而a 的阶不超过它. 4 群的同态 假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和- a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }2 3 1,231,1{i i G +-+-= }1{=- G 对普通乘法- G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是 G 的任意元,1是- G 的元) 由 φ可知 G ∽- G 但 2 31,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.
P83 习题5.1 5.1.1 证：设 * 运算有左幺元为e l，∴?x∈S，e l*x=e l， ∵ * 运算可交换，∴ x*e l，∴ e l为右幺元，∴ e l为幺元。 设 * 运算有右幺元为e r，∴?x∈S，x*e r， ∵ * 运算可交换，∴ e r*x=e r，∴ e r为左幺元，∴ e r为幺元。※5.1.2 解：⑴是。⑵否。是。 5.1.3 证：⑴?x,y∈I x*y=x+y－xy y*x=y+x－yx ∵普通的乘法和加法运算均是可交换的， ∴ x+y=y+x ，xy=yx ，∴ x+y－xy = y+x－yx ∴ x*y=y*x ，∴ *可交换。 ⑵?x,y,z∈I x*(y*z)=x+(y*z)－x(y*z)=x+(y+z－yz)－x(y+z－yz) ∵普通的乘法和加法运算均是可结合且可交换的， 乘法对加减法是可分配的， ∴上式 =x+y+z－yz－xy－xz +xyz = x+y+z－xy－xz－yz+xyz 同理 (x*y)*z=(x*y)+z－(x*y)z=(x+y－xy)+z－(x+y－xy)z =x+y+z－xy－xz－yz+xyz ∴ x*(y*c)= (x*y)*c ∴ *可结合。※解：⑶ 0为幺元。⑷ 0的逆元为0，2的逆元为2，其余无逆。 5.1.4 证：⑴ 2*3=2，3*2=3，二者不等，故不可交换。 ⑵?x,y,z∈N，x*(y*z)=x*y=x，(x*y)*z=x*z=x，二者相等，故结合律成立。※ 答：无单位元，故元素无逆元。 5.1.5 证：∵ *可结合，∴?x∈A，(x*x)*x=x*(x*x) 又∵ x*x∈A，根据题中给定的条件，∴ x*x=x。※ P84 习题5.2 5.2.1 5.2.2 解：×对+可分配。+对×不可分配。 例b+(a×b)=b+a=b，(b+a)×(b+b)=b×a=a，二者不等。 上封闭，根据代数系统的定义。 5.2.3 解：⑴ 是。∵ 两运算皆在S 1 ⑵ 是。∵ S ?B，再根据⑴和子代数的定义。 1
《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案 一、判断题（每题4分，共60分） 1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（ √ ） 2、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ × ） 3、两个子群的交一定还是子群。（ × ） 4、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子。（ √ ） 5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。（ √ ） 6、F （x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。（ × ） 7、已知H 是群G 的子群，则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ） 8、唯一分解环必是主理想环。( × ) 9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。 （ √ ） 10、欧氏环必是主理想环。（ √ ） 11、整环中，不可约元一定是素元。（ √ ） 12、子群的并集必是子群。（ × ） 13、任何群都同构于某个变化群。( √ ) 14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。( √ ) 15、集合,A Z B N ==，::2f A B n n →+是从A 到B 的映射。（ × ） 二、证明题（每题20分，共300分） 1Q 上的最小多项式。 解：令=u 32==u u . 于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u . 移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .
这是u 上满足的Q 上6次方程，故[():]6≤Q u Q . 又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ， 知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及 []|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ， 故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式. 2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群，这些子群是否都是不变子群。 解：因为(a)为循环群，所以(a)为交换群， 又因为32的所有正整数因子为：1,2,4,8,16,26. 所以循环群(a)的所有子群为循环子群： }{)())()()((),(),(03616842e a a a a a a a == 并且这些子群都是不变子群。 3、记*\{0}C C =表示非零复数集合, {|}i U e R θθ=∈是模为1的复数集合, R +表示正实数集合,证明*/C U R +? 。 证明: Step(1) 证明*C 关于复数的乘法构成群 a) 因为*1C ∈,所以*C 非空 b) 易知,复数的乘法是***C C C ?→的一个映射,从而它是*C 上 的一个二元代数系统 c) *,,C αβγ?∈ ()()αβγαβγ=成立,从而满足结合律 d) *C α?∈,有11ααα==,所以1是单位元 e) *i re C θ?∈,有1()()1i i re e r θθ-=,所以*C 中任意元素均有逆元 综合以上五点可知, *C 关于复数的乘法构成群 Step(2) 证明 U 是*C 的正规子群 a) 可知是交换群,而交换群的子群一定是正规子群,所以仅需证