第一章 第二章
第一章
1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □
2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群.
证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □
3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足:
(1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈.
(2) 若ab ac =则b c =.
(3) 若ac bc =则a b =.
求证: G 关于这个乘法是一个群.
证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最
小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1,
即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元,
从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有:
()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==,
再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元,
从而是幺群.
所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足
i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e
为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在
最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =:
i ba ba =, 即be b =.
最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k
使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e =
从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身.
如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆:
1k x -. □
注: 也可以用下面的第4题来证明.
4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法
还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群.
证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G
的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =.
于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证.
对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □
5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/.
解: 取(12)x =, (13)y =. □
6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群.
解: 二面体群n D . □
7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证
明: i
i i r a ba b -=, i 是非负整数.
证明: 对i 作数学归纳. □
8. 证明: 群G 是一个交换群当且仅当映射1x x - 是群同构.
证明: 直接验证. □
9. 设S 是群G 的一个非空集合. 在G 上定义关系 为: ~a b 当且仅
当1ab S -∈. 证明: 这个关系是一个等价关系当且仅当S G ≤. 证明: 直接验证. □
10. 设n 是正整数. 证明: n 是 的子群且与 同构.
证明: 直接验证. □
11. 证明: 4S 的子集{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}B =是一个子群, 而且
B 与4U 不同构. (n U 是全体n 次单位根关于复数的乘法组成的群).
证明: 用定义验证B 是4S 的子群. 由于4U 中有4阶元而B 中的元
的阶只能是1或2, 所以它们不可能同构. □
12.证明: 2n 阶群的n 阶子群必然是正规子群.
证明: 用正规子群的定义验证. □
13. 设群G 的阶为偶数. 证明: G 中必有2阶元.
证明: 否则, G 中的任意非单位元和它的逆成对出现, 从而, G
的阶为奇数, 矛盾. □
14. 设0110A ??= ???, 2
i 2i 0e e 0n n B ππ-?? ?= ? ???
. 证明: 集合 22:{,,,,,,,}n n G B B B AB AB AB =??关于矩阵的乘法是一个群, 而
且这个群与二面体群n D 同构.
证明: n D 有如下的表现: 21,|1,n n D T S T S TS ST -=?===?. 作
2:GL ()n D ?→ : S A , T B . 直接验证?是群单同态,
而且im G ?=. □
15. 设群G 满足: 存在正整数i 使得对任意,a b G ∈都有()k k k ab a b =, 其
中,1,2k i i i =++. 证明: G 是一个交换群.
证明: 由()i i i ab a b =和111()i i i ab a b +++=得:
111()()()()()i i i i i i ab a b ab ab ab a b +++===, 从而, 1i i i i ba b a b +=, 即:
i i ba a b =.
同理可得: 11i i ba a b ++=. 于是:
11()()i i i i a ba ba a b a ab ++===, 即: ab ba =. □
16. 在群2()SL 中, 证明元素0110a -??= ???的阶为4, 元素1101b --??= ?-??
的 阶为3, 而ab 的阶为∞.
证明: 直接验证. □
17. 如果群G 为一个交换群, 证明G 的全体有限阶元素组成一个子
群.
证明: 设{|()}H g G o g =∈<∞. 显然e H ∈, 从而H 不是空集. 对任
意,a b H ∈, 设()o a m =, ()o b n =, 则1()o b n -=;
11()()mn m n ab a b e --==, 即: 1ab H -∈. □
18. 如果群G 只有有限多个子群, 证明G 是有限群.
证明: 首先证明: 对任意a G ∈有()o a <∞. 事实上, 设k a ??为G 的
由k a 生成的子群, 其中, 1k ≥是整数. 则
242m a a a a ????????????? . 由于G 只有有限多 个子群, 所以必然存在m 使得2(1)22(2)m m m a a a ++??=??=??= ,
即 22(1)m t m a a +=.
由消去律即得()o a <∞.
于是G 的任意元素都包含在某个有限子群里, 而G 只有
有限多个子群, 所以||G <∞. □
19. 写出群n D 的全部正规子群.
解: 已知: 212121{,,,,1,,,,,,|1}
,n n n n n D T T T T S ST ST ST S T S T TS ST ---=?=??====?
设H 是n D 的子群. 如果1H =则H 当然是n D 的正规子群.
I (1) 设k H T =??. 由于1k k k k ST S ST S SST T H ---===∈和
k k TT T T H =∈. 所以k T ??是n D 的正规子群.
(2) 设{1,}H S S =??=. 由于SSS S =和12TST ST --=, 所以
{1,}H S S =??=是n D 的正规子群当且仅当2n =.
(3) 设k H ST =??. 注意到()()1k k ST ST =, 所以
{1,}k k H ST ST =??=. 由于1k k TST T ST -=和()k k S ST S ST -=,
所以{1,}k k H ST ST =??=是n D 的正规子群当且仅当|2n k .
II (1) 设,k k H T T '=??. 则(,')k k H T =??. 归结为I (1)的情形, 从
而是n D 的正规子群. 一般地,
1212(,,,),,,t t k k k k k k H T T T T ?=???=??也是n D 的正规子群.
(2) 设,k H S T =??. 由于1k k TT T T -=, 12TST ST --=, k k ST S T -=, 所以,k H S T =??是n D 的正规子群当且仅当
存在m ∈ 使得|(2)n mk +. (注: 当1k =时
,k n H S T D =??=). 一般地, 设1,,,t k k H S T T =???. 则
12(,,,),t k k k H S T ?=??, 归结为刚讨论的情形.
(3) 设,k k H ST ST '=??. 或者, 更一般地,
1212(,,,),,,t t k k k k k k H ST ST ST ST ?=???=??. 归结为I (3)的情形,
即: 1212(,,,),,,t t
k k k k k k H ST ST ST ST ?=???=??是n D 的正规子群 当且仅当12|2(,,,)t n k k k ?.
□
20. 设,H K 是群G 的子群. 证明: HK 为G 的子群当且仅当HK KH =. 证明: HK 为G 的子群当且仅当111()HK HK K H KH ---===. □
21. 设,H K 是群G 的有限子群. 证明: ||||||||
H K HK H K =?. 证明: 首先, HK 是形如Hk 的不交并; 其中k K ∈. 又, 12Hk Hk =
当且仅当112k k K H -∈?. 所以, 这样的右陪集共有
||||K H K ? 个. 于是: ||||||||
K HK H K H =?. □ 22. 设,M N 是群G 的正规子群, 证明:
(1) MN NM =.
(2) MN 是G 的正规子群.
(3) 如果{}M N e ?=, 那么/MN N 与M 同构.
证明: (1) 由1MNM N -?得MN NM ?. 同理, NM MN ?.
(2) 由(1)和第20题, MN 确实是子群. 对任意g G ∈有
111()()()g MN g gMg gNg MN ---=?. 所以MN 是G 的正规
子群.
(3) 如果mn m n ''=则11(){}m m n n M N e --''=∈?=, 从而
,m m n n ''==. 即: MN 中的元素可以唯一地写为
,,mn m M n N ∈∈的形式. 于是可以定义映射:
:MN M σ→为mn m . 由于,M N 都是正规子群, 对任
意,m M n N ∈∈有111()(){}mn nm mnm n M N e ---=∈?=, 所
以mn nm =: 即此时, M 中的元素与N 中的元素可交
换. 由此可以验证σ是群同态. 显然σ是满的, 而且
ker N σ=. □
23. 设G 是一个群, S 是G 的一个非空子集. 令
(){|,}C S x G xa ax a S =∈=?∈; 1(){|}N S x G x Sx S -=∈=.
证明: (1) (),()C S N S 都是G 的子群.
(2) ()C S 是()N S 的正规子群.
证明: 直接用定义验证. 以(2)为例. 对任意(),(),c C S n N S s S ∈∈∈,
111111()()()()ncn s ncn nc n sn c n ------=. 设1n sn s S -'=∈, 即:
1s ns n -'=. 所以,
1111111()()()()ncn s ncn nc n sn c n ns n s -------'===.
此即表明: 1()ncn C S -∈. □
24. 证明: 任意2阶群都与乘法群{1,1}-同构.
证明: 设{,}G e a =. 作:{1,1}G σ→-为1e , 1a - . □
25. 试定出所有的互不同构的4阶群.
解: 设群G 的阶为4. 如果G 有4阶元, 则4G .
如果G 没有4阶元, 则G 的非单位元的阶都为2. 设
{,,,}G e a b c =. 考虑第11题中的4S 的子群(Klein 四元群):
{(1),(12),(34),(12)(34)}K =. 作映射: :G K σ→为:
(1),(12),(34),(12)(34)e b a c . 则σ为群同构.
综上, 在同构意义下, 4阶群只能是4 或Klein 四元群. □
26. 设p 是素数. 证明任意两个p 阶群都同构.
证明: 只需证明任意p 阶群G 都同构于p . 由Lagrange 定理, G
的任意非单位元a 的阶都为p , 从而21{,,,,}p G e a a a -=?, 从
而有良定的映射:p G σ→ 为: 1a . 此即为一个群同构.
□
27. 在集合S =? 上定义
(,)(,):(,);(,)(,):(,)a b c d a c b d a b c d ac bd ad bc +=++=++.
证明: S 在这两个运算下是一个有单位元的环.
证明: 直接验证. 零元素为(0,0), 单位元为(1,0). □
28. 在 上重新定义加法⊕和 为: :,:a b ab a b a b ⊕==+ . 问 关于
这两个运算是否是一个环.
解: 不是. 关于⊕不是一个abel 群. □
29. 设L 是一个有单位元的交换环. 在L 中定义: :1a b a b ⊕=+-,
:a b a b ab =+- . 证明: 在这两个新的运算下, L 仍然是一个环, 且与原来的环同构.
证明: 直接验证满足环的定义中的条件. 作:(,,)(,,)L L σ+→⊕ 为:
1a a - . 验证σ是环同构. □
30. 给出满足如下条件的环L 和子环S 的例子:
(1) L 有单位元, 而S 没有单位元.
(2) L 没有单位元, 而S 有单位元.
(3) ,L S 都有单位元, 但不相同.
(4) L 不交换, 但S 可交换.
解: (1) ;2L S == .
(2) 0|,20a L a b b ????=∈∈??
????? , 0|00a S a ????=∈?? ????? . (3) 0|,0a L a b b ????=∈∈?? ?????
, 0|00a S a ????=∈?? ????? . (4) |,,,a L a b b c d c d ????=∈??
????? , 0|0a S a a ????=∈?? ????? . 31. 环R 中的一个元L e 为一个左单位元, 如果对任意r R ∈有L e r r =.
类似地可定义右单位元. 证明:
(1) 如果环R 既有左单位元, 又有右单位元, 则R 有单位元.
(2) 如果环R 有左单位元, 没有零因子, 则R 有单位元.
(3) 如果环R 有左单位元但没有右单位元, 则R 至少有两个左单
位元.
证明: (1) 设,L R e e 分别为R 的左, 右单位元. 则L L R R e e e e ==为R
的单位元.
(2) 设L e 为R 的一个左单位元. 对任意0x R =∈/, 由
22()0L xe x x x x -=-=得: L xe x =, 即L e 为R 的一个右单
位元. 由(1)即得.
(3) 设L e 为R 的一个左单位元, 由于R 没有右单位元, 所
以存在0z R =∈/使得L ze z =
/. 令: :L L L f e z ze =+-. 则 L L f e =/且, 对任意r R ∈有0L L L f r e r zr ze r r r =+-=+=, 即:
L f 为R 的另一个单位元. □
32. 设F 为一个域. 证明: F 没有非平凡的双边理想.
证明: 设0I F =?/为F 的一个理想. 取0x I =∈/, 有11x x F -=∈, 从
而I F =. □
33. 设R 是一个交换环, a R ∈.
(1) 证明{|}Ra ra r R =∈是R 的一个理想.
(2) 举例说明, 如果R 不是交换环, 那么Ra 不一定是一个(双边)
理想.
证明: (1) 直接验证.
(2) 设|,,,a b R a b c d c d ????=∈??
????? , 1010a ??= ???. 则 0|,0r s Ra r s ????=∈?? ?????
. 显然, Ra 不是一个理想, 比如: 01010101a Ra ????=? ? ?????
. □
34. 设I 为交换环R 的一个理想, 令: rad {|,}n I r I r I n +=∈∈∈ . 证明:
rad I 为R 的理想, 称为I 的根.
证明: 对任意,rad a b I ∈. 则存在正整数,m n 使得,m n a b I ∈. 由于 ()m n a b I +-∈, 从而rad a b I -∈.
对任意rad a I ∈和r R ∈, 存在正整数m 使得m a I ∈. 从而
()m m m ra r a I =∈, 即: rad ra I ∈. □
35. 设F 为一个有单位元的交换环. 证明: 如果F 没有非平凡理想,
则F 是一个域.
证明: 对任意0a F =∈/, 由第33题(1)知, Fa 是F 的一个非零理想.
由于F 没有非平凡理想, 所以Fa F =. 特别1Fa ∈, 即: 存在 b F ∈使得1ba =. □
36. 设 是有理数域, ()n 是全体n 阶 上的矩阵组成的环. 证明:
()n 没有非平凡的理想(没有非平凡理想的环称为单环). 证明: 设0I =/为()n 的一个理想. 取0A I =
∈/. 则A 至少有一个 非零元素, 设为ij a . 由于I 是一个理想, 所以
1ij ij ij ij E AE E I a ??=∈ ? ???
, 其中ij E 表示(,)i j -元为1而其余元为0
的基本矩阵. 由基本矩阵的乘法性质, ij jk ik E E E I =∈, 从
而ki ik kk E E E I =∈, 1,2,,k n =?. 于是单位阵1n
n kk k E E I ==∈∑, 从
而()n I = . □
37. 设R 是一个环, 0a R =∈/. 证明: 如果存在0b R ≠∈使得0aba =, 那
么a 是一个左零因子或右零因子.
证明: 由于0aba =, 所以, 如果0ba =/则a 是一个左零因子; 如果
0ba =, 则a 是一个右零因子. □
38. 环的一个元素a 成为幂零的, 如果存在正整数n 使得0n a =. 证明:
对于有单位元环R 的任意幂零元a , 1a -是可逆的.
证明: 21(1)(1)11n n a a a a a --+++?+=-=. □
39. 证明: 在交换环中, 全部幂零元素组成一个理想.
证明: 用定义直接验证: 在交换环中, 幂零元的差、积仍然幂零.
□
40. 设R 是有单位元的有限环. 如果,x y R ∈满足1xy =, 证明: 1yx =.
证明: 作映射: ::f R R z yz → . 则f 是单射: 事实上, 如果 12yz yz =, 则12xyz xyz =, 即12z z =. 由于R 是有限集, 所以f
是满射, 从而存在0z R ∈使得001()f z yz ==. 只需证明:
0z x =. 事实上, 00001()()1z z xy z x yz x x ===== . □
41. 设R 是一个有单位元的环. 证明: 如果存在,a b R ∈满足1ab =但
1ba =/, 那么有无穷多x R ∈使得1ax =.
证明: 注意到111()1n n n n a b ba a ab aba a ab ++++-=+-==, n ∈ . 所以
只需证明1n n ba a +- (n ∈ )互不相同. 注意到
1m m a b aa abb b =??=, 对任意m ∈ 都成立.
如果11n n k k ba a ba a ++-=-, (n k >). 则
11111()0n n k k k k k ba a b ba b a b b b +++++-=-=-=, 即
0n k n k ba a b ---=. 如果1n k -=则1ba ab ==, 矛盾.
所以1n k ->. 从而10n k n k ba a ----=;
11)(10n k n k n k ba a b b a ------=-=, 也得到矛盾. □
42. 设R 是满足如下条件的环: R 至少有两个元素而且对任意
0a R =∈/都存在唯一的元素b R ∈使得aba a =. 证明:
(1) R 没有零因子.
(2) bab b =.
(3) R 有单位元.
(4) R 是一个体.
证明: (1) 设0a R =∈/使得0ax =. 由已知, 对于a 有唯一的b R ∈使
得aba a =. 于是()a b x a aba +=. 由唯一性, b x b +=, 即: 0x =; 从而a 不是左零因子. 即: R 中的任意非零元都不 是左零因子; 从而R 也没有右零因子.
(2) 由于()()a bab a ab aba aba ==, 再由唯一性即得bab b =.
(3) 任取0a R =∈/, 取那个唯一的b R ∈使得aba a =. 往证ab
就是一个单位元. 对任意0x R =∈/, 取那个唯一的y R ∈ 使得xyx x =. 由(2)有:
()0b ab xy x babx bxyx bx bx -=-=-=.
由(1), 0ab xy -=. 从而abx xyx x ==, 此即证明了ab 是左 单位元. 保持记号. 类似地有:
()0a ba xy x abax axyx ax ax -=-=-=, 从而ba xy =, 于是
xab xyx x ==, 此即证明了ab 是右单位元.
(4) 由(3)可知, R 的每个非零元都有逆. □
43. 设[0,1]C 是[0,1]上的连续函数组成的环. 证明:
(1) 对于[0,1]C 的任意非平凡理想I , 都存在一个[0,1]θ∈使得对任
意()f x I ∈都有()0f θ=.
(2) ()[0,1]f x C ∈是一个零因子当且仅当零点集{[0,1]|()0}x f x ∈= 包含一个开区间.
证明: (1) 若不然, 对任意[0,1]θ∈都存在()[0,1]g x C θ∈使得()0g θ=/. 由连续性, 存在一个包含θ的开区间[0,1]J θ?使得()g x θ在 J θ上恒为正或恒为负（0J 实际上是左闭右开的; 1J 实际上
是左开右闭的）. 另一方面, 由开覆盖定理, 存在有限多个
i J θ, 使得[0,1]i i J θ=?. 定义2():(())i
i g x g x θ=∑. 则 ()g x I ∈, 而且()0g x >. 于是11()()
g x I g x =∈ , 与I 是非平凡理 想矛盾.
(2) “?”: 设()f x 是[0,1]C 中的一个零因子: 存在
0()[0,1]g x C =∈/使得()()0,[0,1]g x f x x ≡∈. 由于()0g x =/, 所以 存在[0,1]上的开区间J 使得()g x 在J 上恒为正或恒为负; 从
而, ()f x 在J 上恒为0.
“?”: 设存在[0,1]上的开区间J 使得()f x 在J 上恒为0. 作连 续函数()g x 使得: ()g x 在J 上恒不为0, 而在J 上恒为0, 从 而()()0f x g x ≡: 即()f x 是[0,1]C 中的一个零因子. □
44. 设p = 为素域. (1) 求环()n 的元素个数.
(2) 求群()n GL 的元素个数.
(1) 解: 由于2dim ()n n = , 所以()n 的元素个数为2n p .
(2) 解: 取定向量空间n 的一个基, 则()n GL 中的元与n 上 的可逆线性变换一一对应, 而可逆线性变换把基映为基. 所以, 只需求n 的基的个数. 注意到n 的元素个数为n p . 任取n 的一 个非零向量1α, 这样的取法有1n p -种. 取2n α∈ 使得12,αα线性 无关. 这样的2α能且只能从1n α-?? 中选取. 所以2α的选取方法
有n p p -种. 类似地, 取3n α∈ 使得312,,ααα线性无关. 这样的3α 能且只能从12,n αα-?? 中选取. 所以3α的选取方法有2n p p -种
(因为12,αα??的维数是2). 继续这个过程, 我们得到n 的基的个 数为21()()()n n n n p p p p p p ---?-, 此即为所求. □
45. 设K 是一个体, 0,a b K =∈/且1ab =/. 证明如下的华罗庚恒等式:
1111(())a a b a aba -----+-=.
证明: 由提示, 先证明引理: 对任意0,1x K =∈/,
1111(1)(1(1))1(1)(((1)))x x x x x x -----+-=-+--
11(1)(1)11x x x x x x -=-+--=-+=,
所以, 111(1)(1)1x x ----=--成立. 注意到: 原恒等式等价于
1111(1)(())a ba a b a -----=+-, 等价于11111(1)()ba a a b a ------=+-. 由引理,
111111*********
(1)((1)1)(1)((1))ba a a b a a a b a a a a b ----------------=-+=+-=+-
111()a b a ---=+- 即为所要的等式. □
第二章
1. 设G 为有限群, N G , (||,|/|)1N G N =. 证明: 如果元素a G ∈的阶
整除||N , 那么a N ∈.
证明: 考虑自然满态: :/G G N π→. 记()a a π=. 由于
()/o a a e G N =∈, 所以()|()o a o a . 如果()1o a =/, 则
((),|/|)1o a G N =/, 矛盾. □
2. 设c 为群G 的阶为rs 的元素, 其中(,)1r s =. 证明: c 可以表示成
c ab =, 其中()o a r =, ()o b s =, 且,a b 都是c 的幂.
证明: 由(,)1r s =知, 存在整数,u v 使得1ur vs +=. 于是1ur vs c c c c ==.
令vs a c =和ur b c =. 则()()((),)(,)o c rs rs o a r o c vs rs vs s ====. 同理, ()o b s =. □
3. 证明: 如果群G 中的元素a 的阶与正整数k 互素, 那么方程k x a =在 a ??内恰有一解.
证明: 设()o a n =. 于是存在整数,r s 使得1rn ks +=. (法一) 作映射::k f a a x x ??→?? . 只需证明f 是双射. 由于
||a n ??=<∞, 所以只需证明f 是单射. 若k k x y =, ,x y a ∈??, 则1()1k xy -=. 从而
1111()()rn ks s xy xy xy e e ----====, 即x y =.
(法二) 首先1()s k rn a a a -==, 即方程k x a =在a ??中有解. 若
t a a ∈??也是k x a =的一个解, 那么()t s k a e -=, 从而 1()()t s ks t s rn t s a e a a ----===, 即t s a a =. □
4. 设G 是一个群. 证明: 对任意,a b G ∈有()()o ab o ba =. 证明: 注意到, 对任意正整数m , 1()()m m ab a ba b -=, 所以
1()()m m ab a ba b e -==当且仅当1111()()m ba a b ba ----==当且仅当 ()m ba e =. □
5. 设2n >. 证明: 有限群G 中阶为n 的元素个数是偶数. 证明: 注意到, 对任意g G ∈有1()()o g o g -=, 而且, ()2o g >当且仅
当1g g -=/. □
6. 证明: 当2n >时有(){}n Z S e =. 即: n S 是交换群当且仅当2n ≤. 证明: 注意到, 对任意n S σ∈和轮换12()r i i i ?有
11212()(()()())r r i i i i i i σσσσσ-?=?. 设()n e z Z S =∈/, 则对任意 n S σ∈应该有1z z σσ-=. 不妨设z 分解为互不相交的轮换的乘
积(必要的话, 可通过重新编号): (12)(...)...(...)z =?. 取 (23)σ=. 则()(1)3z σσ=但(1)2z =, 矛盾. □
7. 证明: 有理数加群 的任意有限生成的子群是一个循环群. 证明: 设1212,,,n n n H m m m =???
, 其中(,)1i i n m =, 1i ≤≤ . 令 12[,,,]t m m m =? . 则1H t
=??. □ 8. 设G 是有限生成的交换群. 证明: 如果G 的这些生成元都是有限 阶的, 那么G 是一个有限群.
证明: 设1,,n G a a =???且()i i o a m =. 则G 的任意元素具有形式:
1212n
t t t n a a a ?, 其中1i i t m ≤≤, 从而G 只有有限个元素. □ 9. 对任意群G 和正整数k , 令{|}k k G a a G =∈. 证明: 群G 是循环 群的成分必要条件是G 的任意非单位子群都是形如k G 的集合. 证明: 必要性. 设G g =??. 则G 的任意非单位子群H 具有形式
k H g =??, 其中k 是某个正整数. 于是H 中的任意元素具有形 式()()k m m k g g =, 即k H G ?. 反之, k G 的任意元素具有形式 ()()m k k m g g =, 于是k H G =.
充分性. 考虑12k k G G ≥-?.
(i) 如果12k k G G ≥-?不是空集, 取12k k g G G ≥∈-?. 则G g =??是无
限循环群. 事实上, g e =/, 从而G 的子群g ??形如k G . 如果
2k ≥, 则k k g x G =∈, 与g 的选取矛盾. 所以1g G G ??==. 另外, 如果此时G g =??是有限群, 则2k k G G ≥=?, 也得到矛
盾.
(ii) 现在假设12k k G G ≥-?是空集. 则对任意e x G =∈/, 存在正整 数k 使得子群k x G ??=. 若1k =则G x =??是循环群. 特别,
存在整数s 使得k s x x =, 此即
表明, G 的任意元素都是有限阶的. (To be continued).
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A、2阶 B、3阶 C、4阶D6阶 2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A、(N, ) B 、(乙) C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),) 5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有() A (1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- , 3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。 5、环Z8的零因子有 -------------- 。 &一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
《实变函数》考试说明 近世代数是广播电视大学数学专业（本科）的一门重要的专业基础课，本期近世代数期末考试内容是教材《实变函数》的内容。试题有填空题、证明题，试题的难易程度和教材《实变函数》的习题相当。希望同学们在期末复习时，做好教材《实变函数》中的每章的习题。 第一章集合 一提要 第一节集合及其运算。 第二节映射及其基数。 第三节可列集 第四节不可列集 二教学要求 1）理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2）掌握集之间的交、差、余运算。 3）掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 4）理解集列的收敛、单调集列的概念。 5）掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 6）理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 7）理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质， 理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章点集 一．提要 第一节聚点、内点、界点等概念 第二节开集、闭集、完备集。 第三节直线上的开集、闭集及完备集的构造。 第四节点集间的距离 第五节康托集及其性质 二．基本要求 1）明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。 2）理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。 3）理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。 4）理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 5）理解康托集的构造、特性。 第三章勒贝格测度论 一．提要 第一节勒贝格外测度及其内测度。 第二节勒贝格可测集及其性质。 第三节勒贝格可测集的构造。
二．基本要求 1）理解测度的意义。 2）理解外测度的意义，掌握其有关性质。 3）理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 4）了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 第四章勒贝格可测函数 一．提要 第一节点集上和函数。 第二节勒贝格右测函数。 3）可测函数列的收敛性。 4）可测函数的构造。 二．基本要求 1）掌握可测函数的定义及等价定义。 2）掌握可测函数的有关性质。 3）理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 4）掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。 5）掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。 6）理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
近世代数学习方法 “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。 当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法： 例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。 对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知
<近世代数复习题> 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ， 则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用 乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它 理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则 称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且 是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e
为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.
近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态
factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数习题解答 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则 3σ=（ ） 】 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={ 那么A ∩B=-----。 < 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得
近世代数课后习题参考答案 第四章 整环里的因子分解 1 素元、唯一分解 1. 证明：0不是任何元的真因子。 证 当0≠a 时 若b a 0=则0=a 故矛盾 当0=a 时，有00ε= （ε 是单位） 就是说0是它自己的相伴元 2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成 m m n (2 是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 证 １）I 的单位 总可以把m 表为 p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说 1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然 ２）I 的素元 依然是k p p m k ,(2=的限制同上） 我们要求 ⅰ）0≠p ⅱ）1±≠p ⅲ）p k 2只有平凡因子 满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数 故p m k 2=而p 是奇素数是n m 2 是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？ 证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12 =ε 时， 事实上，若bi a +=ε是单位 则11-=εε 2 ' 2 2 1ε ε = 即2 '2 1εε=
但2 22 b a +=ε 是一正整数，同样2 ' ε也是正整数， 因此，只有12 =ε 反之，若12 2 2 =+=b a ε ，则0,1=±=b a 或1,0±==b a 这些显然均是单位 此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。 （２）适合条件52 =α 的I 的元α一定是素元。 事实上，若52 =α 则0≠α 又由α)1(也不是单位 若2 2 2 5,λβ α βλα=== 则12=β或52=β ββ?=12是单位λαβλ?=?-1 2 是α的相伴元 λλ β ?=?=152 2 是单位βαλβ?=?-1 是α的相伴元 不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。 （３）I 的元5不是素元。 若βα=5则2 2 25λβ= 这样，2 β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当152 2 =?=λ β 由)1(λ是单位 此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52 =β 的情形 5,2 2 2 =+=+=b a bi a β β可能的情形是 ???==21b a ??=-=21b a ???-==21b a ???-=-=21 b a ???==12b a ? ??-==12b a ???=-=12b a ???-=-=12 b a 显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52 =β 的β是素元，故知５是素元之积 （４）５的单一分解 )21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-= )21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-= i ±±,1均为单位 ２ 唯一分解环 １．证明本节的推论 证 本节的推论是； 一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子 ，
近世代数测验题 一、填空题（42分） 1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。 2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ； 3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ； 4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构； 5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ； 6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378 (=τ的阶是 ； 7、设??? ? ??=???? ??=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ； 9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ； 10、任意一个群都同一个 同构。 二、证明题（24） 1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n =。 2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。 3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。
二、解答题（34） 1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。 2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所 有右陪集。 参考答案： 一、填空题 1、满足结合律； 满足交换律； 2、11--a b ； 3、e ； 4、整数加群；n 次单位根群； 5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ； 6、n!;4 7、??? ? ??23144321 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群； 二、证明题 1、已知||n G =，|a|=k,则 k|n 令n=kq,则e a a a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都满足方程e x n = 2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1;,,； 证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈?∈?-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈?∈∈?-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使 得 010=+++n n a a a αα 。
近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,
逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）
世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）