立体几何体积的求解方法
重要知识
立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。
求椎体体积通常有四种方法：
（1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。
（2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。
（3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。
（4 ）向量法：利用空间向量的方法（理科）。
典型例题
方法一：直接法
例1、（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC- ABC中，侧棱AA丄底面ABC AB丄BC, D
例2、女口图已知四棱锥P— ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB// DC / ABC=45 , DC=1 AB=2, PA丄平面ABCD PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M- ACD的体积.
变式1、（2014?漳州模拟）如图所示，在四棱锥P- ABCD中, AB丄平面PAD, AB// CD, PD=AQ
E是PB的中点，F是CD上的点且“.■,，PHPAD中AD边上的高.若PH=1,；二二匚，
e ■
FC=1,求三棱锥E- BCF的体积.
d B
变式2、（2015?安徽）如图，三棱锥P- ABC中, PA丄平面ABC PA=1, AB=1, AC=2 / BAC=60。
求三棱锥P- ABC的体积；
方法二：转移法例3、（2015?重庆一模）如图，已知三棱锥A- BPC中, AP I PC, AC丄BC, M为AB 中点，D
为PB中点，且△ PMB为正三角形.若BC=4, AB=20,求三棱锥D- BCM的体积.
B
例4、（2014?宜春模拟）如图，在四棱锥P- ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩
形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2 PE=2DE求三棱锥P- ACE的体积.
变式3、（2014?福建）如图，三棱锥A- BCD中，AB丄平面BCD CDL BD.若AB=BD=CD=I M
为AD中点，求三棱锥A- MBC勺体积.
变式4、（2014?潍坊模拟）如图，矩形ABCD中, ADL平面ABE AE=EB=BC=2 F为CE上的
点，且BF丄平面ACE求三棱锥C- BGF的体积.
方法三：分割法
例5、（2013?安徽）如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/ BAD=60 ,
已知PB=PD=2 PA讥.若E为PA的中点，求三棱锥P- BCE的体积.
变式5、如图，四棱锥P - ABCD中，ABC 二BAD =90, BC = 2AD, PAB与PAD 都是边长为2的等边三角形.求三棱锥A-PCD的体积
同步练习
1、（2014?梅州一模）如图在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使/ FDA=60 , 得到一个空间几何体如图所示.求三棱锥E- BCD的体积.
2、（2015?湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳
马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱
PDL底面ABCD 且PD=CD点E是PC的中点，连接DE BD BE.记阳马P- ABCD的体积为Vi
V,四面体EBCM体积为V2,求「的值.
耳2
3、（2015?湖南）如图，直三棱柱ABC- A1B1C的底面是边长为2的正三角形，E, F分别是
BC CC的中点，若直线AC与平面AABB所成的角为45 ，求三棱锥F- AEC的体积.
4、（2015?北京）如图，在三棱锥V- ABC中，平面VAB丄平面ABC, △ VAB为等边三角形, ACL BC且AC=BC==, O, M分别为AB VA的中点.求三棱锥V- ABC的体积.
5、（2013?福建）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PD _ 面ABCD , AB//DC , AB _ AD , BC =5 , DC =3 , AD =4 , ■ PAD 二60 .求三棱锥D - PBC 的体积.
6、（全国新课标18）如图，直三棱柱ABC-ABQ中，D , E分别是AB , BB,的中点, 设AA=AC=CB=2 , AB =242.，求三棱锥C—ADE 的体积。
立体几何体积问题 1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且 60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中 点. （1）求证 //FM 平面BDE ； （2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2试题解析 （2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ， 因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ?平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥， 因为EH BH ==，所以BE = 所以12BDE S ?==， 设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为1 142 2 BDM BCD S S ??=== ， 所以由 E BDM M BDE V V --=，得113 3h =? 解得h = .学
即F到平面BDE的距离为15 ． 5 2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE CF ⊥. (1)求证CF DE ⊥； (2)若CF DE ==，求五面体ABCDEF的体积. =，24 DC EF 【答案】(1)见解析(2) 20 3 （Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M， 因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD， 所以FM⊥平面ABCD． 因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE， 所以FM＝CM＝1，学
立体几何体积的求解方法 重要知识 立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。 求椎体体积通常有四种方法： （1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。（2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。 （3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。 （4）向量法：利用空间向量的方法（理科）。 典型例题 方法一：直接法 例1、（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积． 例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．
变式1、（2014?漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积． 变式2、（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。求三棱锥P﹣ABC的体积； 方法二：转移法 例3、（2015?重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D 为PB中点，且△PMB为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积． 例4、（2014?宜春模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积．
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何 1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π 3，M 为BC 上一点，且BM ＝12 . (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 图1-4 2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分 别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E - ABC 的体积．
3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积． 4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝ 3 4 ，求A到平面PBC的距离．
5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积． 图1-2 图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°， E，F，G分别为AC，DC，AD的中点． (1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．
A P B C D H 专题一：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [来 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体 中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 5例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1）， 试求三棱锥1A MNP -的体积． 6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB 求点B1 到平面EA1C1 的距离 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。 8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ， S C D H E B F
五、距离的求法： （1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。 注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。 （2）线线距离： 关于异面直线的距离，常用方法有： ①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段； ②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离； （3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化； 六、常用的结论： （1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=； （2）如何确定点在平面的射影位置： ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角 的平分线上； Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等， 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上； Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。 ②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上 的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)； ③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上(面面垂直的性质定理)； ④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 （3）在四面体ABCD 中： ①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的垂心。
立体几何中有关体积问题 一、知识归纳 1、柱体体积公式：.V S h = 2、椎体体积公式：1 .3V S h = 3、球体体积公式：3 43 V R π= 二、点到平面的距离问题 求解方法： 1、几何法：等体积法求h 2、向量法： 点A 到面α的距离AB n d n ?= 其中，n → 是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。 题型分析： 1、如图，在三棱柱111ABC ABC -中， AC BC ⊥,1AB BB ⊥ 12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥ （1）求证：1BB ABC ⊥平面 （2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积 2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ?是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且 2435BD DC AD AB ====，，. （1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面 (2)求三棱锥C BDE -的体积。 3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为 1DD DB 、的中点。 （1）求证：EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。 1 A 1 B 1 C A D C B 1 A 1 B 1 C A E C B D F 1 D A E C B D F
4、（2010新课标）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ） 若AB ,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥 P ABCD -的体积。 5、（2011新课标）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 6、（2012新课标）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱 AA 1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 7、（2013乌市二诊）如图，在正方体中,E 、F 分别为 1C C 、BD 的中点. (I)求证：1A F 丄平面EDB; (II)若AB =2，求点B 到平面A1DE 的距离. 8、（2012乌市三诊）（如图，在三棱锥P ABC - 中， PA PB PC === ,CA CB =AC BC ⊥ (1)求证：PC AB ⊥ (2)求点B 到平面PAC 的距离。 B 1 C B A D C 1 A 1 A C B D P H A B P
立体几何中求体积常用方法汇集 教学内容：立体几何中求体积常用方法。 考情分析：近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的表面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 知识点梳理 1、柱体、台体、锥体的侧面积公式 注意体会柱体、锥体、台体侧面积公式之间的统一性。 2、空间几何体的体积公式 V 柱体= Sh ． V 锥体=1 3 Sh ． V 台体=1('')3h S SS S ++． 3、球的表面积和体积． 24S R π=球面． V 球=343 R π．
一、直接法 例1、(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()． A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3 分析：根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解． 解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高3，故V＝3×3×3＝9 3.
答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数 量关系，然后在直观图中求解． 练习1、(2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积等于( )． A.283π B.163π C.43π＋8 D ．12 π 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何 体的体积为π×22×2＋43π＝283π. 答案 A
A P B 专题：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ． B ．4 C ． D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [ 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 1111 1A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积． 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。 (1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。 C
高考数学冲刺专题复习之——立体几何(求体 积的方法) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
求体积的方法： 一、已知三视图求体积： （一）、单一型 例1 （1）（2011广东理6）如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()． A． 18 3 B．12 3 C．9 3 D．63 [审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和 几何体的体积公式求解． 答案C 解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示， 由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3， 故V＝3×3×3＝9 3. 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各 元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． （2）（2013重庆高考理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A、560 3 B、 580 3 C、200 D、240 【答案】：C 变式1 （1）（2012浙江理11）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ________cm3. （2）(2013届成都二诊理5)一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）
（二）组合型 例2 （1）（2013新课标I 卷8）某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式， 是中档题. 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4， 上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 21 244222 π??+?? =168π+，故选A . （2）（2013辽宁理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积 是 . 【答案】1616π- 【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。 V =222424π?-?=1616π- 变式2 （1）(12东莞模拟)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于( )． A.283π B.163π C.4 3 π＋8 D ．12 π
1、如图5所示，在三棱锥ABC P - 中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =， 3CD =，2=PD ． （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形． 2、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ， G BD AC =? （1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。 3、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积． 4、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a === ， AP CP ==，//DP AM ，且1 2 AM DP = ，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积. A B C D E F (18题图) 图5 B P A D
5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积. 6、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使' ' AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ； （2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积. 7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且 2 P A P D A D == ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
A B C D P A B C D P 文科高考数学立体几何大题求各类体积方法 【三年真题重温】 1.【2011?新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；
(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高． 根据 DE PB PD BD ?=?，得 DE = ．即棱锥D PBC -． 3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点. （1） 证明：PE ⊥BC （2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值 【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角 等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.
4.【 2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若AB = ,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。 5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱11 1 ABC A B C -中， 11 2 AC BC AA == ， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1
求体积的方法： 一、已知三视图求体积： （一）、单一型 例1 （1）（2011广东理6）如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()． A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3 [审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解． 答案C 解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3， 故V＝3×3×3＝9 3. 三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各 元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． （2）（2013 重庆高考理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A、 560 3 B、 580 3 C、200 D、240 【答案】：C 变式1 （1）（2012浙江理11）已知某三棱锥的三视图 （单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ________cm3. （2）(2013届成都二诊理5)一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）
（二）组合型 例2 （1）（2013新课标I 卷8）某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式， 是中档题. 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4， 上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 21 244222 π??+?? =168π+，故选A . （2）（2013辽宁理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积 是 . 【答案】1616π- 【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。 V =222424π?-?=1616π- 变式2 （1）(12东莞模拟)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积等于( )． A.283π B.163π C.4 3 π＋8 D ．12 π 答案A 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2， 高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的 体积为π×22×2＋43π＝283 π. （2）（2013成都一诊理5）一空间几何体的三视图如图所示， 图中各线段旁的数字表示该线段的长度，则该几何体的体积是 .
A B C D P A B C D P 文科高考数学立体几何大题求各类体积方法 【三年真题重温】 1.【2011?新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；
(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高． 根据DE PB PD BD ?=?，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32 ． 3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯 形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点. （1） 证明：PE ⊥BC （2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值 【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角 等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.
4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等 腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若 6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。 5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1