计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226 n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 第1步（k=1）：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素 1l a ，作为第一步的主元素: 111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ?? ???? ?? =?????? ?? ????a b
§4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为
clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U
运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,
就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现
三角分解法解线性方程组 #include
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
%直接三角分解法（1） function [x,y,L,U]=nalu(a,b) n=length(a); x=zeros(n,1);y=zeros(n,1); U=zeros(n,n);L=eye(n,n); U(1,:)=a(1,:); L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1); for k=2:n U(k,k:n)=a(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k: n); L(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U (1:k-1,k))/U(k,k); end for i=2:n y(1,1)=b(1,1); y(i,1)=b(i,1)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1); end y(:,1); for i=n-1:-1:1 x(n,1)=y(n,1)/U(n,n); x(i,1)=(y(i,1)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/U (i,i); end x(:,1); clear all;
clc; A=[1,2,3;2,5,2;3,1,5]; b=[14;18;20]; [x,y,L,U]=nalu(A,b); function [x,y,L,U]=sanjiao(a,b) n=length(a); x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); L=eye(n,n); U=zeros(n,n); %L,U·??a U(1,:)=a(1,:); L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1); for j=2:n U(j,j:n)=a(j,j:n)-L(j,1:j-1)*U(1:j-1,j: n); L(j+1:n,j)=(a(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)*U (1:j-1,j))/U(j,j); end %?ó?a￡?áíUx=y,Ly=b y(1,1)=b(1,1); for i=2:n y(i,1)=b(i,1)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1); end
矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) {
int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } }
列主元三角分解法在matlab中的实现
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意 扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法
是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k Λ步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即
第七讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 ?? ????? 1111221n n 1 2112222n n 2n11n22nn n n a ξ+a ξ++a ξ= b a ξ+a ξ++a ξ=b a ξ+a ξ++a ξ=b → Ax =b ?? ? ? ? ?? ij T 12n T 12n A =(a )x =[ξ ξ ξ]b =[b b b ] 设()0ij n ×n A =A =a ,设A 的k 阶顺序主子式为k Δ，若(0) 111Δ=a ≠0 ，可以令(0)i1 i1(0)11 a c =a 并构造Frobenius 矩阵 ???????????? 211n1n ×n 10c 1L =c 01 → ???????????? 21 -11 n11 0-c 1L =-c 01 计算可得 ???? ???? ??? ? (0)(0)(0)1112 1n (1) (1)(1)-1(0)222n 1 (1) (1)n2nn a a a a a A =L A =0a a → (0)(1)1A =L A 该初等变换不改变行列式，故(0)(1)21122Δ=a a ，若2Δ≠0，则(1) 22a ≠0 ，又可定义 (1)i2i2(1)22 a c =(i=3,4,,n)a ，并构造Frobenius 矩阵
????? ???? ??????? 232n2 11L =c c 1 → ?? ??? ?? ?? ??????? -1232n2 1 1L =-c -c 1 ???? ? ? ????????? ? (0)(0)(0)(0)1112 13 1n (1) (1)(1)22232n (2)-1(1) (2)(2)2 333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A =L A =a a a a → (1)(2) 2A =L A 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 ??? ? ? ? ????? ???????? ? (0)(0)(0) (0)111r-11r 1n (r-2)(r-2) (r-2)(r-1)r-1r-1r-1r r-1n (r-1) (r-1)rr rn (r-1) (r-1)nr nn a a a a a a a A =a a a a （r ＝2,3, ,n-1） 则A 的r 阶顺序主子式 (0)(1)(r-2)(r-1)r 1122r-1r-1rr Δ=a a a a ，若r Δ≠0，则(r-1) rr a ≠0 可定义(r-1)ir ir (r-1)rr a c =a ，并构造Frobenius 矩阵 ?????????????????? r r+11nr 11L =c 1c 1 → ?????? ?????? ???? ?? -1 r r+11nr 11L =-c 1-c 1
§4矩阵的三角分解 矩阵的三角分解定理：设n n A R ×∈,如果A 的前 n-1个顺序主子式 det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ， 则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明： 1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U (1)(2)() 1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=? 1L A U ?=，A LU = 21 1 2 1 00101n n m L m m ??????=?? ???? ， (1) (1)(1)11 121(2)(1)222()0 n n n nn a a a a a U a ??? ???=?? ??????
2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异 考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠= 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。 因A 非奇异，所以1U 可逆，从而 11 2121L L U U ??=
11 2121 11 2121(,) L L E U U L L U U ?????==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ?== （2）A 奇异 因det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ，det()0n A = ()0,1,2,,1i ii a i n ?≠=? ，() 0n nn a = 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。对它们进行矩阵
数值分析实验报告(四) 一.实验名称: 解方程组的直接法(2) 二.实验目的: 三角分解法 三.题目:（验证用） 准确值为x1 = 3;x2 = -1;x3 = 0;x4 = 2 四.程序:三角分解法 附件：1-26liaoli_4_LU.cpp #include } printf("\n"); } printf("U:\n"); for( i = 0;i 第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n a a a b a a a b a a a b ξ+ξ++ξ=?? ξ+ξ++ξ=?? ??ξ+ξ++ξ=? → Ax b = ij T 12n T 12n A (a )x [,,]b [b ,b b ]=?? ?=ξξξ ? ?=?? 设() 0ij n n A A a ?==,设 A 的k 阶顺序主子式为k ?， 若(0)1 11 a 0?=≠，可以令(0) i1i1011 a c a = 并构造Frobenius 矩阵 21 1n1n n 1 0c 1 L c 0 1???????=???? ?? → 2111n1 10c 1 L c 01-????-??=???? -?? 计算可得 (0) (0)(0) 11121n (1)(1)(1)1(0) 222n 1(1)(1)n2 nn a a a a a A L A 0a a -???? ??==????? ? → (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故01 21122a a ?=， 若20?≠， 则1 22 a 0≠，又可定义 (1) i2i2(1)22 a c (i 3,4,n)a = = ，并构造Frobenius 矩阵 232n2 1 1L c c 1????? ?=??? ??????? → 1 232n2 11L c c 1-?? ??? ?=-??? ?????-?? (0) (0) (0) (0) 1112131n (1)(1)(1)22 232n (2)1(1) (2)(2)2333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A L A a a a a -???? ?? ??==??????? ? → (1)( 2 2 A L A = 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 矩阵直接三角分解法 算法 将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。具体算法： ○ 1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j 对i=2,3,…,n 计算 L i1=a i1/a 11 ○ 2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算 U kj=a kj- LkqUqj k?1q =1 b.对i=k+1，k+2，…，n 计算 l ik =(a ik-) LiqUqk k?1q =1/u kk ○ 3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k - LkqUq k?1q =1 ○ 4X n =y n /U nn ,对k=n-1，n-2，…2,1计算 X k =(y k - UkqXq n q =k +1/U kk 注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵 [A|b]= a11 a12…a1n a1,n +1a 21 a 22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1 施行算法○ 2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。 程序与实例 求方程组Ax=b A= 1 2 ?12 85 4 7 ?2?3 7 9 56 ?12 ?8 3 ，b= 2741149 程序 #include矩阵的三角分解
矩阵直接三角分解法
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