下载文档原格式
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
数值分析-第二章-学习小结(总9页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。
而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。
这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。
高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。
顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。
但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。
直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。
其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。
这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。
迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。
二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。
迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。
我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。
Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。
用矩阵的直接三角分解法解方程组矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是解线性方程组的一种常用方法。
该方法通过将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
下面我们就来详细分步骤地介绍一下这种方法的求解过程。
第一步，将原线性方程组表示为矩阵形式，即将系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵分别表示为A、X和B。
我们的目标是找到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得方程组可以表示为LUx = B的形式。
第二步，通过高斯消元法将系数矩阵A化为上三角矩阵U。
具体地，我们将系数矩阵A变换为U的过程可以分解为一系列的初等矩阵变换，例如交换两行、乘以一个非零常数和将某一行加上另一行的若干倍等等。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵M的乘积，即A =M1M2...MnU。
从而，我们得到了上三角矩阵U。
第三步，同样通过一系列初等矩阵变换将U转化为下三角矩阵L。
这些初等矩阵变换可以表示为一个矩阵N的乘积，即U = NL1L2...Lm。
从而，我们得到了下三角矩阵L。
第四步，将方程组表示为LUx = B的形式。
具体地，我们将A, X 和B分解为L, U和x的乘积，即A = LU，X = UL，B = Ux。
从而，原方程组可以表示为LUx = B，即L(Ux) = B。
第五步，解方程组L(Ux) = B。
由于L是下三角矩阵，因此可以通过前代法求解得到Ux。
具体地，我们先通过Lw = B求解出向量w，然后再通过Ux = w求解出未知量向量x。
总的来说，矩阵的直接三角分解法（LU分解法）是一种常用的解线性方程组的方法。
它将原方程组表示为LUx = B的形式，然后通过前代法和回代法求解得到未知量向量x。
这种方法具有求解速度快、计算量小的优点，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于 解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下： 第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解 由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解 设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 简记作 Ax k =， 其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解 设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解 设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数 消耗部门 生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学 报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a aa a aa a a a212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A = 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A其中T i b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kjik b acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()n n ⨯∈=R e ,,e ,e I n 21 ，其中 ()Tk e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设nn ⨯∈RA ，nn ⨯∈RB 。
学院：建筑工程学院专业：结构工程组号：16 成绩：报告题目：《线性方程组的直接解法及其应用》研究学院：建工学院专业：结构工程组号：16号成员：xxx学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：《线性方程组的直接解法及其应用》研究第一章对象描述一、 《线性方程组的直接解法及其应用》描述在科技、工程、医学、经济等各个领域中，经常遇到求解n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.1） 的问题.方程组（1.1）的系数),,2,1.(n j i a ij =和右端项),,2,1(n i b i =均为实数，且1b 、2b ，……，n b 不全为零。
方程组（1.1）可简记为b Ax =其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21. 线性方程组的数值解法有两大类，一类是直接法，另一类是迭代法。
本次主要研究的是直接解法。
所谓直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得现行方程组的近似解。
这类算法中最基本的是高斯消元法及其某些变形，它是解决低阶稠密矩阵方程组及某些系数矩阵方程组的有效方法学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：二、 《线性方程组的直接解法及其应用》的相关概念1.特征值和特征向量设A 是一个n n ⨯阶实矩阵，若对于数λ，存在非零向量x ，使得x Ax λ=成立。
则称λ是A 的特征值(Characteristic Value)，x 为A 的对应于λ的特征向量(Characteristic Vector)。
引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。
许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。
在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。
在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。
英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。
凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。
后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。
而在我国，矩阵的概念古已有之。
从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。
尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。
而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。
这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。
随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。
矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。
矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。
在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。
如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。
这就是矩阵分解的主要目的。
而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。
第二章 线性方程组的数值解法-------学习小结姓名 班级 学号 一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了线性方程组的不同解法，切实体会到了不同的计算方法对计算结果的影响。
求解线性方程组的方法可分为两大类：直接方法和迭代方法。
直接方法在解一般的线性方程组的时候比较简便，使用此方法经过有限次运算就可得到方程组的解。
然而迭代法是要构造一个无限的向量序列，其极限是方程组的解向量，它适用于求解大型稀疏线性方程组。
总的来说，直接方法和迭代法各有优点与不足，在解线性方程组的时候，我们要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的解法，这样我们才能快速准确的得到方程组的解。
因此，我们要熟悉书中介绍的各类线性方程组的解法，同时要善于思考、总结，在使用各种方法求解的同时尽量提出自己独特的见解，通过不断练习计算，使自己的能力得到提高。
二、本章知识梳理线性方程组的求解方法分为直接法和迭代法两种，Gramer （克莱姆）法是直接法的一种，但由于其计算量比较大，在世界工作中其效率比较低、经济效益差，所以此方法我们很少使用，本章主要介绍其他的计算方法。
2.1 Gauss 消去法Gauss （高斯）消去法由消元和回代两个过程组成。
消元过程就是对方程组的增广矩阵做有限次的初等行变换，使它的系数矩阵部分变换为上三角阵。
所用的初等行变换主要有两种：第一种，交换两行的位置；第二种，用一个数乘某一行加到另一行上。
回代过程就是先由方程组的最后一个方程解出n x ，然后通过逐步回代，依次求出1n x -，2n x -，…，1x 。
这种Gauss 消去法可分为Gauss 消去法和列主元素Gauss 消去法两种。
2.1.1 顺序Gauss 消去法在Gauss 消去法的消元过程中对方程组的增广矩阵只做前述的第二种初等行变换就形成了顺序Gauss 消去法，其算法如下：记(1)ij ij a a = （i ，j=1，2，…，n ）i i 1、 消元过程对于k=1,2，…，n-1执行 （1）如果()0k kka =，则算法失效，停止计算；否则转（2）。
