北 京 交 通 大 学
2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案
一．（本题满分8分）
某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：
设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分
()()40951.010
91155
=-=-=A P A P ．…………….6分
二．（本题满分8分）
设随机事件A ，B ，C 满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16
1
==BC P AC P ．求随机事件A ，B ，C 都不发生的概率． 解：
由于AB ABC ?，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有
()0=ABC P ．…………….2分
所求概率为()C B A P ．注意到C B A C B A ??=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分
()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8
3
016116104141411=-+++---
=．…………….2分 三．（本题满分8分）
某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p ，()10<
{}次命中目标次射击时恰好第第26P
{}次射击时命中目标次目标，第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ?=…………….2分
()()4
24
1
15151p p p p p C -=?-=．…………….4分
四．（本题满分8分）
某种型号的电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的密度函数：
()?????≤>=1000
10001000
2
x x x x p ．
⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）． 解：
⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ，则
(){}()32
10001000150015001500
21500=-===>=+∞
+∞
+∞
??x dx x dx x p X P A P ．…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ，则所求概率为()A B P ． ()()(){}(){}()
A P X P A P X X P A P A
B P A B P 20002000,1500>=>>==
．…………….2分
而 {}()21
10001000200020002000
22000=-===>+∞
+∞
+∞
??x dx x dx x p X P ， 所以， (){}()
43
3
221
2000==>=A P X P A B P ．…………….2分
五．（本题满分8分）
设随机变量X 服从区间[]2,
1-上的均匀分布，而随机变量
??
?≤->=0
101
X X Y ． 求数学期望()Y E ． 解：
(){
}(){}1111-=?-+=?=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤?-+>?=X P X P …………….2分
()()????-∞
-+∞-=-=0
1
200031
31dx dx dx x p dx x p X X
3
1
3132=-=
．…………….4分 六．（本题满分8分）
设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：
()t X 的分布列为(){}()t
k e k t k t X P λλ-==!
，()Λ,2,1,
0=k ．…………….2分
因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-=
=e k k X P k
!
1，()Λ,2,1,0=k ．
由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．…………….3分
因此，(){}(){}()25
24
25111!
0521021125ln 220
=
-
=-=?-==-=≥--e e X P X P λ
．…………….3分 七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,
的联合密度函数为
()??
?<<<<=其它
020,101,
x
y x y x f 求：⑴ 随机变量Y 边缘密度函数()y f Y （4分）；⑵ 方差()Y D （4分）． 解：
⑴ ()()?+∞
∞
-=
dx y x f y f Y ,
．
因此，当0≤y 或者2≥y 时，()0=y f Y ．…………….1分 当20< ()()2 , 2 y dx dx y x f y f y Y = == ?? ∞ +∞ -． 所以， ()??? ??<<=其它 202 y y y f Y ．…………….3分 ⑵ ()()34 6212 032 02== ==??+∞ ∞ -y dy y dy y yf Y E Y ． ()()28212 42 32 2=== = ??∞ +∞ -y dy y dy y f y Y E Y …………….2分 所以， ()() ()() 9291623422 2 2 =-=?? ? ??-=-=Y E Y E Y D ．…………….2分 八．（本题满分8分） 现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解： 设X ：购买一张奖券所得的奖金． 则X 的分布律为 所以，…………….2分 ()5 3 1000010002100001001010000102001000011000=?+?+?+? =X E …………….4分 再令Y 表示购买一张奖券的收益，则2-=X Y ，因此 ()()5 7 2532-=-= -=X E Y E （元）．…………….2分 九．（本题满分8分） 两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？ 附：标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值表 解： 设甲电影院应设N 个座位才符合要求． 设1000名观众中有X 名选择甲电影院，则?? ? ? ? 21, 1000~B X ．…………….1分 由题意，{}99.0≥≤N X P ．而 ()500211000=? =X E ，()2502 1 211000=??=X D ．…………….2分 所以，{}()()()()??????-≤-=?? ? ???????-≤-=≤250500250500N X P X D X E N X D X E X P N X P 99.0250500≥??? ??-Φ≈N …………….3分 查表得 33.2250 500 ≥-N ，所以有 84.53625033.2500=?+≥N ． 所以，应至少设537个座位，才符合要求．…………….2分 十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为 ()? ? ?<<=其它01 02x x x f ， ()n X X X , ,, 21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．令()()n n X X X X , ,, max 21Λ=， 试求()n X 的密度函数()()x f n ． 解： 总体X 的分布函数为 ()?? ???≥<<≤=1 1100 2 x x x x x F ．…………….3分 因此()n X 的密度函数为 ()()()()()() ???? ?< 1 021 21 x x x n x f x F n x f n n n …………….4分 ???<<=-其它0 1 0212x nx n ．…………….1分 十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为 ()??? ??≤>=+α αβαβαββ x x x x f 0 1 ，； ， 其中1, 0>>βα为参数，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 当1 =α时，求未知参数β的矩估计量M β?（6分）；⑵ 当1=α时，求未知参数β的最大似然估计量L β?（6分）． 解： ⑴ 当1=α时，密度函数为 ()?? ?≤>=--1 01 11 x x x x f βββ，； ， 所以，()()1 1 1 1 -= =?== ???+∞ -+∞ --+∞ ∞ -βββββαββdx x dx x x dx x xf X E ，； ．…………….2分 解方程：()1 -= ββX E ，得解：()()1 -= X E X E β．…………….2分 将()X E 替换成X ，得未知参数β的矩估计量为1 ?-=X X M β．…………….2分 ⑵ 当1=α时，密度函数为 ()?? ?≤>=--1 01 11 x x x x f βββ，； ， 所以，似然函数为 ()()()11 1+-===∏ββββi n n i i x x f L ，；，()()n i x i ,,1, 1Λ=>．…………….2分 所以，()()()n x x x n L Λ21ln 1ln ln +-=βββ． 对β求导，得 ()n x x x n L Λ21ln ln -=??β β．…………….2分 令 0ln =??βL ，得方程()0ln 21=-n x x x n Λβ ． 解得 () n x x x n Λ21ln = β． 因此，β的最大似然估计量为 () n X X X n Λ21ln ?=β ．…………….2分 十二．（本题满分8分） 设总体( )2 ,~σ μN X ，()n X X X , ,, 21 Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．X 与2S 分 别表示样本均值与样本方差．令n S X T 22 -=，求()T E ，并指出统计量T 是否为2 μ的无偏估计量． 解： ()μ=X E ，()n X D 2 σ= ，…………….2分 由 ()() ()()2 2X E X E X D -=，得 ()()()() 22 2 2 μσ+= +=n X E X D X E ．…………….2分 又 ()22σ=S E ，所以有…………….1分 ()() ??? ? ??-=???? ??-=n S E X E n S X E T E 22 22 () 2 222μμσ=-??? ? ??+=n S E n ．…………….2分 这表明n S X T 2 2 -=是2μ的无偏估计量．…………….1分 北 京 交 通 大 学 2010~2011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷） 参 考 答 案 一．（本题满分8分） 在正方形(){ }1, 1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个 实根的概率． 解： 设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ． 设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集 (){}11,11,<<-<<-=q p q p D ： 中的点一一对应．…………………………………2分 随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集 ()??????≥=q p q p D A 4,2：…………………2分 中的点一一对应． 所以， ()24 1312412214113 1 12=???? ??+=????? ??+==--?p p dp p D D A P A 的面积的面积．…………………4分 二．（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有%50是质量问题；有%30是数量短缺问题；有%20是产品包装问题．又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占%40；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占%60；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占%75．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设=1A “事件属于质量问题”，=2A “事件属于数量短缺问题”， =3A “事件属于产品包装问题”． =B “事件经过协商解决”．所求概率为() B A P 1．…………………2分 由Bayes 公式，得 ()()() ()()()()()() 332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++= …………………2分 37735849.075 .02.060.03.040.05.040 .05.0=?+?+??= ．…………………2分 所以，() ()62264151.037735849.01111=-=-=B A P B A P ．…………………2分 三．（本题满分8分） 设随机事件A 满足：()1=A P ．证明：对任意随机事件B ，有()()B P AB P =． 解： 因为()1=A P ，所以，()()0111=-=-=A P A P ．…………………2分 所以，对任意的随机事件B ，由A B A ?，以及概率的单调性及非负性，有 ()()00=≤≤A P B A P ， 因此有()0=B A P ．…………………2分 所以，对任意的随机事件B ，由B A AB B ?=，以及AB 与B A 的互不相容性，得 ()()()()()()AB P AB P B A P AB P B A AB P B P =+=+=?=0．………………4分 四．（本题满分8分） 设随机变量X 的密度函数为 ()? ??<<+=其它01 02x bx ax x p ， 并且已知()2 1 =X E ，试求方差()X D ． 解： 由 ()1=?+∞ ∞ -dx x p 及()()2 1 = = ?+∞ ∞ -dx x xp X E ，得 ()() 3 211 2 b a dx bx ax dx x p +=+== ? ?+∞ ∞ -，…………………2分 ()() 43211 2b a dx bx ax x dx x xp +=+==??+∞∞-．…………………2分 由此得线性方程组 ?????=+=+2 1431 32b a b a ． 解此线性方程组，得6,6-==b a ．…………………2分 所以，()()()10 3 516416661 2 2 2 2 =?-?=-==??+∞∞ -dx x x x dx x p x X E ， 所以，()() ()() 20 1 211032 2 2 =??? ??-=-=X E X E X D ．…………………2分 五．（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为%20．某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设X 表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则()8.0,52~B X ．…………1分 则所求概率为()50>X P ．…………………2分 ()()()525150=+==>X P X P X P …………………2分 05252 521515152 2.08.02.08.0??+??=C C 933000127881 3.0=．…………………3分 六．（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X 表示这10次出现的点数之和，求()X E （5分）与()X D （5分）． 解： 设k X 表示第k 次出现的点数，()10,,2,1Λ=k ． 则1021, ,, X X X Λ相互独立，而且∑==10 1k k X X ． 而k X 的分布列为 ()6 1 = =j X P k ，()6,,2,1Λ=j ．…………………2分 所以，()()∑∑==?==?=6 1 6 161 j j k k j j X P j X E 2 7 21616161=?==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分 所以，由数学期望的性质，得 ()()3510272710 110 1 101=?===??? ??=∑∑∑===k k k k k X E X E X E ．…………………2分 ()()∑∑==?==?=6 1 26 1 2 2 61 j j k k j j X P j X E 6 91 916161612=?==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分 所以，由1021,,,X X X Λ的相互独立性，及数学期望的性质，得 ()()34551069169110 110 1 101=?===??? ??=∑∑∑===k k k k k X D X D X D ．…………………2分 七．（本题满分10分） 设随机变量()1,0~N X ，求随机变量122 +=X Y 的密度函数． 解： 由题意，随机变量X 的密度函数为()2 2 21x X e x p -=π，()+∞<<∞-x ．………1分 设随机变量122+=X Y 的分布函数为()y F Y ，则有 ()()()?? ? ?? -≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ，…………………2分 所以，当1≤y 时，()0=y F Y ；…………………1分 当1>y 时， ()??? ? ? ?-≤≤--=??? ??-≤=212 1 212y X y P y X P y F Y ? ? -- --- - = = 2 10 2 2 12 12 22 2221 y x y y x dx e dx e π π …………………2分 因此有 ()?????? ?≤>=? -- 1 122 2 10 2 2 y y dx e y F y x Y π ，…………………2分 所以，随机变量122+=X Y 的密度函数为 ()()???????≤>?? ? ??-?='=- ???? ? ?--1 12 12121222 12 212 y y y e y F y p y Y Y π () ?? ? ??≤>-=--1 01121 41y y e y y π ．…………………2分 八．（本题满分10分） 设二维随机变量()Y X , 的联合密度函数为 ()?? ?<<<=其它 01 03, x y x y x p ， 求X 与Y 的相关系数Y X ,ρ． 解： ()()4 333,1 310 2 = ===???? ?+∞∞-+∞ ∞-dx x dy x dx dxdy y x xp X E x ， ()()83 233, 1 031 00 ==== ?????+∞∞-+∞ ∞ -dx x ydy xdx dxdy y x yp Y E x ，…………………2分 ()()53 33,1 4 1 3 2 2==== ?????+∞∞-+∞ ∞ -dx x dy x dx dxdy y x p x X E x ， ()()5 13,1 4 10 2 2 2 ==== ?????+∞∞-+∞∞ -dx x dy y xdx dxdy y x p y Y E x ，…………………2分 ()()103 233, 1 04100 2==== ?????+∞∞-+∞∞ -dx x ydy dx x dxdy y x xyp XY E x ， 所以有 ()()()()160 3 8343103,cov = ?-=-=Y E X E XY E Y X ，…………………2分 ()() ()() 80 343532 2 2 =??? ??-=-=X E X E X D ， ()() ()()320 19 83512 2 2= ??? ??-=-=Y E Y E Y D ，…………………2分 因此，有 ()()() 57 3 320 198031603,cov ,= ? == Y D X D Y X Y X ρ．…………………2分 九．（本题满分10分） 一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重kg 50，标准差为kg 5．若用最大载重量为kg 5000的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于977.0（设 ()977.02=Φ，其中()x Φ是标准正态分布()1,0N 的分布函数）． 解： 若记i X 表示第i 箱的重量，()n i ,,2,1Λ=．则n X X X ,,, 21Λ独立同分布，且 ()()25,50==i i X D X E ， ()n i ,,2,1Λ=．…………………2分 再设n Y 表示一辆汽车最多可装n 箱货物时的重量，则有 ∑==n i i n X Y 1 ． 由题意，得 ()977.010100055050005505000>??? ??-Φ≈??? ??-≤-=≤n n n n n n Y P Y P n n ．…………4分 查正态分布表，得 2101000>-= n n x ，…………………2分 当99=n 时，2005.1<=x ；98=n 时，202.2>=x ，故取98=n ，即每辆汽车最多装98箱货物．…………………2分 十．（本题满分8分） 设总体()1,0~N X ，()621, ,, X X X Λ是取自该总体中的一个样本．令 ()()2 6542 321X X X X X X Y +++++=， 试确定常数c ，使得随机变量cY 服从2 χ分布． 解： 因为()1,0~N X i ，()6,,1Λ=i ，而且61, ,X X Λ相互独立，所以 ()3,0~321N X X X ++，()3,0~654N X X X ++．…………………2分 因此 ()1,0~3321N X X X ++，()1,0~3 6 54N X X X ++．…………………2分 而且 3321X X X ++与3 654X X X ++相互独立．因此由2χ分布的定义，知 ()2~3322 6542321χ?? ? ??+++??? ??++X X X X X X ，…………………2分 即 ()()()2~3 22 6542321χX X X X X X +++++． 取3 1 =c ，则有()2~2χcY ．…………………2分 十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为 ()???? ?<<=-其它 ；0 101 x x x f θθθ ， 其中0>θ为参数，()n X X X , ,, 21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 求参数θ的矩估 计量M θ?（6分）；⑵ 求参数θ的最大似然估计量L θ?（6分）． 证明： ⑴ ()()1 1 10 1 += =?== ???-+∞ ∞ -θθθθθθθdx x dx x x dx x xf X E ；，…………………3分 因此，得方程 ()1 += θθX E ， 解方程，得 ()()2 1??? ? ??-=X E X E θ， 将()X E 替换成X ，得参数θ的矩估计量为2 1???? ? ??-=X X M θ．…………………3分 ⑵ 似然函数为 ()()∏∏=-===n i i n n i i x x f L 1 1 2 1 θ θ θθ；，…………………2分 取对数，得 ()()∑=-+ =n i i x n L 1 ln 1ln 2 ln θθθ， 对θ求导，得 ()?? ? ??+=+ =∑∑==n i i n i i x n x n L d d 11ln 21ln 21 2ln θθθ θθθ， 所以，得似然方程 0ln 211=?? ? ??+∑=n i i x n θθ，…………………2分 解似然方程，得2 1ln ?? ?? ? ? ??=∑=n i i x n θ， 因此，参数θ的最大似然估计量为 2 1ln ??? ?? ?? ??=∑=n i i L X n θ．…………………2分 北 京 交 通 大 学 2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 一．（本题满分8分） 一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率． 解： 设=A “6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”． 所求概率为()A P ．…………………………..1分 考虑事件A 的逆事件： =A “6位同学的生日各在不同的月份”．…………………………..1分 ()()777199074.02985984 6652801121166 12 =- =-=-=P A P A P ． ……..2分 …..2分 …………..2分 二．（本题满分8分） 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是3.0，1.0，4.0和2.0．如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为31、72、52、6 1 ，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解： 设=B “朋友来访迟到”， =1A “朋友乘火车来访”， =2A “朋友乘轮船来访”， =3A “朋友乘汽车来访”， =4A “朋友乘飞机来访”．……..1分 所求概率为() B A P 1，由Bayes 公式得 ……..1分 ()()() ()()()( ) ()()()() 4 43322111 11A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P +++= …..2分 ? ? ? ??-?+??? ??-?+??? ??-?+??? ??-?? ?? ??-?=6112.05214.07211.03113.03113.0 ……..2分 652.0534.0751.0323.03 2 3.0? +?+?+?? = 105 0.29494382356 ==． ……………..2分 三．（本题满分8分） 设随机变量X 的密度函数为 ()?????? ? ??<≤-<≤=其它0 10525525025x x x x x f 试求随机变量X 的分布函数()x F ． 解：