全等三角形综合复习
1. 全等三角形的概念及性质;
2. 三角形全等的判定；
3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路
通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：
找夹角SAS 已知两边找第三边SSS
找直角HL
ACF BDE。
已知一边一角
边为角的对边
边为角的邻边
找任一角AAS
找夹角的另
一
边SAS
找夹边的另
一
角ASA
找边的对角AAS
已知两角
找夹边ASA
找任一对边AAS
例1.如图，A,F,E,B四点共线, AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证:
知识点二：构造全等三角形
例2.如图，在ABC中,
例3.如图，在ABC中，AB BC , ABC 90°。F为AB延长线上一点，点E在BC上, BE BF，连接AE,EF 和CF。求证：AE CF。
知识点三：常见辅助线的作法
1.连接四边形的对角线
例 4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2?作垂线，利用角平分线的知识
例5.如图，AP,CP分别是ABC外角
BP为MBN的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时
,
角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
3. “截长补短”构造全等三角形
AB AC PB PC。
在AB上截取AN AC，连接PN
在APN与APC中
AN AC
Q 1 2
AP AP
APN APC (SAS)
PN PC
Q 在BPN 中，PB PN BN
PB PC AB AC，即AB —AC>PB —PC。
例6.如图，在ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证：
常过
。求
证: 解答过程:
、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是
A.两直角边对应相等
C.两锐角对应相等
2. 根据下列条件，能画出唯一
A. AB 3，BC
C. C 60°，
3. 如图，已知
C
A. 4
D :④
个
4，CA
B 45°，
2，AC
E。
( )
B.
D.
ABC的是(
8 B.
AB 4 D.
一锐角对应相等
斜边相等
)
AB 4，BC 3，
C 90°，AB 6
A 30°
4.如图,
A.
C.
ABE
5.如图,
DCE
DEC不全等于
已知AB CD
A. 67°
二、填空题：
6.如图，在
CD : AD 2:3，
ABC
AC
7.如图，已知
AEB 100°，
AB
ADB
AD，增加下列条件：① AB
B，AC, BD交于E点，下列不正确的是
B. CE BE
ABE
(
AE
)
② BC ED ；
D. 1个
是等腰三角形
C 90°，
中，
10cm，则点D到AB的距离等于
)
D. 无法确定
ABC的平分线BD交AC
cm ；
于点D ,
DC , AD BC , E,F 是BD 上的两点，且BE DF , 30°，贝U
BCF
8?将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为____________
三、解答题：
11.如图，ABC为等边三角形, 交
于Q点。求AQN的度数。
BC , D 为AB 上一点，AE CD , BF CD，交CD
延长线于F点。求证：BF CE 。
9.
DE
如图，在等腰Rt ABC中,
AB 于E ,
10.如图,
BD 10，
C 90°, AC BC , A
D 平分BAC 交BC 于
D，
占
八
、
、
BF
，且AE CF，若
A
点M , N分别在BC,AC上，且BM CN , AM与BN 12.如图，ACB 90°, AC
名师堂 校区地址： 南充 市顺庆区吉隆街 咨询电话： 2244028优学小班——提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为： () ()() ()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ??? ????????? ?用用用用或 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ， 由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ． 证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ， ∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ， ∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ． A B C P Q D O D
全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
全等三角形的构造方法 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 构造方法有： 1．截长补短法。 2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。 3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等） “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法． “补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成 的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长 的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．
例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC 交BC于D，求证：AB=AC+CD． 例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC于点D．求证：DE=DF． (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC 于点D，且D为EF的中点． 求证：BE=CF．
全等三角形综合复习 1. 全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定； 3. 角平分线的性质及判定。 知识点一：证明三角形全等的思路 通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析： 找夹角SAS 已知两边找第三边SSS 找直角HL ACF BDE。 已知一边一角 边为角的对边 边为角的邻边 找任一角AAS 找夹角的另 一 边SAS 找夹边的另 一 角ASA 找边的对角AAS 已知两角 找夹边ASA 找任一对边AAS 例1.如图，A,F,E,B四点共线, AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证:
知识点二：构造全等三角形 例2.如图，在ABC中, 例3.如图，在ABC中，AB BC , ABC 90°。F为AB延长线上一点，点E在BC上, BE BF，连接AE,EF 和CF。求证：AE CF。 知识点三：常见辅助线的作法 1.连接四边形的对角线 例 4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2?作垂线，利用角平分线的知识 例5.如图，AP,CP分别是ABC外角 BP为MBN的平分线。 解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时 , 角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。 3. “截长补短”构造全等三角形 AB AC PB PC。 在AB上截取AN AC，连接PN 在APN与APC中 AN AC Q 1 2 AP AP APN APC (SAS) PN PC Q 在BPN 中，PB PN BN PB PC AB AC，即AB —AC>PB —PC。 例6.如图，在ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证： 常过 。求 证: 解答过程:
全等三角形的构造技巧 一、利用角平分线，构造全等三角形 【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)， 故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： （1）在角的两边截取两条相等的线段； （2）过角平分线上一点作角两边的垂线； （3）延长角平分线的垂线. （一）在角两边截取相等线段 例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD. 证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ， ∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ， 在△ABE 和△FBE 中，?????AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°. ∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE. 在△FCE 和△DCE 中，?????∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ， ∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD. ∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD. 练习： 1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样， AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。 （二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线 例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三 角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF. 图1 图2 分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不 难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P B A E F O P G A B C E D
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 方法1 利用补形构造全等三角形 1．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC，B E⊥AE，求证：BE ＝1 2 AD. 方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法) 3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠AB C 和∠ACB，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明． 4．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由． 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连接AG ，先证明△ABE≌△A DG ，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝1 2∠BAD ， 上述结论是否仍然成立，并说明理由． 方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
全等三角形的判定题型 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC. (答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中 ()AD BC AC BD CD DC ?=?=??=? 公共边 ∴△ACD ≌△BDC （SSS ） ∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且 AE ＝12 （AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. (答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ， ∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =??∠=∠??? ∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12 （AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ， ∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF 在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =??∠=∠??=? 角平分线定义） ∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D ∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角” 例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM. 证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2 在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠??=??∠=∠? ∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN
构造全等三角形的基本方法 第一种：倍长中线法（利用中点、中线构造） 例题1、如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6，AD的范围是．2】
第二种：利用角平分线 角平分线常见的辅助线作法： 例题2、已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD． 3】 【例1】
例题3、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：∠2=∠1+∠C 第三种：截长补短法（通常用来证明线段和差相等） “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等． 例题5：如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E， 求证：AB+BE=AC． 例题6、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD
第四种：旋转 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形 例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数． 例4、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，∠EAF=45°，则EF= ．
例5、如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为 第五种：平行线法 例7、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。
倍长中线构造全等三角 形 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD是BAC ∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 AD到E， AD是BC边中线， 连接BE 方式2 ⊥AD于F， AD的延长线于 连接 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC 证明ΔBDG≌ΔECH 2
3 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交 AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC B 第 1 题图 A B F D E C
知识体系 利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件，通过作辅助线的方法构造全等三角形。构造全等三角形的方法主要有：中线倍长，截长补短，翻折，作平行线或垂线。 （1）遇到与中点有关的条件时，通常将过中点的线段延长一倍，构造 字形全等三角形。 （2）证一条线段等于另外两条线段和或差时，通常在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段中的某一条，（此谓之“截长”），或将两条较短的线段转化到一条线段上，（此谓之“补短”）注意：不管是截长还是补短，都要证明截取或补上的线段所在的三角形与另一个对应三角形全等。 （3）遇角平分线时，通常用翻折构造全等或向角两边作垂线构造全等。 例题选讲 例1如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点,过M 作MF ∥AD 交BA 的延长线于F ,交AC 于P ,求证:CP =BF =21(AB +AC ) 例2如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AB 上一动点，N 为AC 上一动点，且∠MDN =90°. （1）求证：BM +CN ＞MN ； F P M D C B A A M N C B D
（2）若M在AB的延长线上，N在CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由； （3）若点M在BA的延长线上，点N在AC的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由。 例3如图，在四边形ABCD中，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180° 变形1，如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：AD=DC 变形2，如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC于E，BD平分∠ABC，若BE=1 2 （AB+AC），求证：∠A+∠C=180° A C B D M B A C N A D C B A D C B A D C B E
1、绕点型（手拉手模型） 遇 600旋 60 0，造等边三角形 遇 900旋 900，造等腰直角 （ 1）自旋转：自旋转构造方法 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋 1800，造中心对称 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E （ 4）△ AGB≌△ DFB H F （ 5）△ EGB≌△ CFB G （6） BH平分∠ AHC （7）GF∥AC A B C 变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC C （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。 E （ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC A B
变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： D (1) △ ABE≌△ DBC (2)AE=DC (3)AE 与 DC的夹角为 60。 （ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC B A H E C （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例 4、例题讲解： 1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF. (1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD. (2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。
善于构造 活用性质 安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证 明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、 G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线， 它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． 【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线， 故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证． 【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ． ∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上， D C B A E H I F G
构造全等三角形的方法-
构造全等三角形的方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形 （可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。画一画。 法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。 法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。
ABC的角平分线，AD=CD. 求证：∠A+∠C=180° D B C 法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中 ∵AB=EB（已知）BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边）BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证） ∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ND=MD （已证） AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）
专题：构造全等三角形 倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 1、如图1，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ． 试说明线段AC 与BF 相等的理由． 简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连结BG ，则 在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD （SAS ）， 所以 AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ， 又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ． 说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个 三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 法一：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。 （ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 法二：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF 。 (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。) 法三：在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N 。 (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形) 图1 G C F B A E D
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN） 2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° 法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中 ∵AB=EB（已知）BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边）BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证） ∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ND=MD （已证） AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），
构造全等三角形的方法 在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法(“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”)中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到第二组条件就是对应边,则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”;若找到第二组条件就是角,则需找另一组角(可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组对应边用“SAS”;若就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了. 一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形 ( 可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。) 1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。画一画。 法一:在AB上截取AE=AC,连结DE。 法二:延长AC到F,使AF=AB,连结DF。 法三:作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N。 C B A C B A C B A 2、如图,DC∥AB,∠BAD与∠ADC的平分线相交于E,过E的直线 分别交DC、AB于C、B两点、求证:AD＝AB＋DC、 证明:在线段AD上取AF＝AB,连接EF, ∵AE就是∠BAD的角平分线,∴∠1＝∠2, ∵AF＝AB AE＝AE,∴△ABE≌△AFE,∴∠B＝∠AFE 由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°,∴∠AFE＋∠C＝180°, 又∵∠DFE＋∠AFE＝180°,∴∠C＝∠DFE, ∵DE就是∠ADC的平分线,∴∠3＝∠4, 又∵DE＝DE,∴△CDE≌△FDE,∴DF＝DC, ∵AD＝DF＋AF,∴AD＝AB＋DC.
D C B A 【知识点1】 倍长中线（线段）造全等专题 几何证明题，用现有的条件没有办法证明出结论时，考虑添加辅助线。添加辅助线方法：遇到三角形的中线或中点，通常用倍长中线法，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 【例题讲解】 例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解题思路：直接求中线的取值范围，有点困难，考虑用中线法，再利用三角形三边关系得解。答案：1 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 解题思路：倍长中线AD 到点G ，等到一对全等三角形?DBG 和?DCA,从而得等 腰三角形BEG ，利用角的等量代换，得到∠FAE=∠AEF 从而得证。 【练一练】 1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 2：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 解题思路：倍长AE 到点F ，连接DF ，证明?ADF 全等于?ADC 第 1 题图 A B F D E C 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 （1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。 ①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段 （3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维 模式是三角形全等变换中的“对折”。 ①可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． ②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 ③可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 （4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 (5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。 例谈构造全等三角形的策略 济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽 （适用于初二版9月刊） 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础. 是 证明线段相等、角相等、直线平行等结论的重要手段和方法. 我们已经学过判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件和求证的结论构造全等三角形. 那么，如何正确地发现、构造全等三角形呢？ 发现全等三角形的观察点： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形. 构造全等三角形的思路： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形. 下面举例谈谈几种常见的构造全等三角形的策略： 一、遇到角平分线可利用角的对称性或角平分线的性质构造全等三角形. 例1、如图1，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线， AC ＝AB +BD .试说明∠B 与2∠C 相等的理论依据. 【解析】由于AC ＝AB +BD ，故可以在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠EAD ＝∠BAD ，而AD 公用，所以△AED ≌△ABD （SAS ），所以∠AED ＝∠ABD ，DE ＝DB ，因为AC ＝AB +BD ，则ED ＝EC ，所以∠C ＝∠EDC ，又∠AED ＝∠EDC +∠C ＝2∠C ，所以∠B ＝2∠C . 【反思】在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分，或过角平分线上的某一点作角两边的垂线构造全等三角形求解. 二、遇到中线可倍长中线构造全等三角形. 例2、如图2，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD. 【证明】：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接CE. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD. 又∵∠1＝∠2，AD ＝DE ， ∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝CE. 图1 B A C D E D 图3 F E A B C M 小专题构造全等三角形的方法技巧 方法1利用补形构造全等三角形 1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE， 求证：BE＝1 2AD. 方法2利用“截长补短法”构造全等三角形 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法) 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． 4．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由． 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别 是BC，CD上的点，且∠EAF＝1 2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形 6．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围． 7．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证： AE＝1 2AC. 8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 构造全等三角形的五种常用方法 在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较客易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法,目的都是构造全等三角形. 方法1 翻折法 如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 跟踪训练1： 如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1=∠2，CA=CB．求证： （1）∠3+∠4=180°； （2）OA+OB=2OM． 方法2 构造法 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E， 其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF． 方法3 旋转法 如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 跟踪训练3： 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：CH平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 方法4 倍长中线法 如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 方法5 截长补短法 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明.全等三角形的专题
构造全等三角形的策略
构造全等三角形的方法技巧
构造全等三角形的五种常用方法
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