八年级数学全等三角形方法及经典题分类练习全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的
思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是
全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相
等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
常见辅助线写法：
⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线，垂足为D
⑶延长AB至C，使BC＝AC
⑷在AB上截取AC，使AC＝DE
⑸作∠ABC的平分线，交AC于D
⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
例1
如图，AB ＝CD ＝1，∠AOC ＝60°，证明：AC ＋BD≥1。 O
C
D
A B
例2
(2007年北京中考）如图，已知△ABC
⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。
《三角形全等的条件》分类复习 一、三角形全等的条件之 SAS 边角边的判定方法 的两个三角形全等，简称边角边或SAS. 1.如下图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC 2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA。连接BC并延长到E，使CE＝CB。连接DE，那么 量出DE的长就是A、B的距离，为什么？ 课堂练习： 1.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件 . 2. 如图：在△ABE和△ACF中，AB＝AC, BF＝CE.求证：⑴△ABE≌△ACF ⑵AF＝AE 课外延伸：
B O D C 图1 A 1．如图1，已知；AC =D B ，要使AB C ?≌DCB ?，只需增加一个条件是_____ ____. 2. 如图2，已知：在ABC ?和DEF ?中，如果AB ＝DE ，BC ＝EF ，只要找出∠ ＝∠ 或______＝_____或 // ，就可证得ABC ?≌DEF ?. 3. 如图3，已知AB 、CD 交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，则在以下结论中：①AD＝BC ；②AD∥BC；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠B，正确结论的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4. 如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明：∠B ＝∠C. 5.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2，试说明：△ABE ≌△DBC 6.如图，已知点E 、F 在BC 上，且BE ＝CF ，AB ＝CD ，∠B=∠C ，试说明AF ＝DE 7.如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，试说明：BC ＝ DE D B C A 图3 D F C E B A 图2 E D C B A E C D A B 1 2
全等三角形压轴题3 1. 在厶ABC中，BC=AC Z BCA=9GD, P为直线AC上一点，过A作ADLBP于D,交直线BC于Q. (1)如图1,当P在线段AC上时，求证：BP=AQ (2)当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求/ CPQ (3)如图3,当P在线段CA的延长线上时，/ DBA = 时，AQ =2BD 2. 我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若 经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条 直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1, S A ABD=5 ADC,贝V BD=CD成立.请你直 接应用上述结论解决以下问题: (1) 已知：如图2,人。是厶ABC的中线，沿A□翻折△ ADC使点C落在点E, DE交AB 1 于卩，若厶ADE与△ ADB重叠部分面积等于厶ABC面积的丄，问线段AE与线段BD有 4 什么关系在图中按要求画出图形，并说明理由. (2) 已知：如图3,在厶ABC中, Z ACB= 90 0, AO2, AB=4，点D是AB边的中 点，点P是BC边上的任意一点，连接PD沿PD翻折△ ADP使点A落在E,若 1 △ PDE与△ PDB S叠部分的面积等于△ ABF面积的-，直接写出BP的值. 4 o o 3. 在厶ABC中，已知D为边BC上一点，若ABC x , BAD y. (1)当D为边BC上一点，并且CD=CA x 40, y 30时，则AB 或“ ”)；AC （填“=”
(2)如果把(1)中的条件“ CD=C”变为“ CD=AB，且x，y的取值不变，那么(1) 中的结论是否仍成立若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； (3)若CD= CA =AB请写出y与x的关系式及x的取值范围. (不写解答过程，直接写出结果) 4. 在Rt△ ABC中, AC=BC P是BC垂直平分线MN上一动点，直线PA交CB于点E, F 是点E关于MN的对称点，直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G. (1)如图1,若P点在△ ABC的边BC上时，此时点P、E、F重合，线段AP上的点Q关 于的对称点D恰好在边AB上，连接CQ求证：CQ平分/ ACB (2)如图2,若点P移到BC上方，且/ CAP=，求/ CDP的度数； (3)若点P移动到△ ABC的内部时，线段AE、CD DF有什么确定的数量关系，请 画出图形,并直接写出结论：. 5. 如图1,已知A ( a, 0), B (0, b)分别为两坐标轴上的点，且a、b满足 ： 0A=1： 3. 22 a b 12a 12b 72 0, OC (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若D (1, 0),过点D的直线分别交AB BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为X E、X F .当BD平分△ BEF的面积时，求X E+X F的值； (3)如图2,若M (2, 4),点P是x轴上A点右侧一动点，AH L PM于点H,在HM 上取点G,使HG=H,连接CG当点P在点A右侧运动时，/ CGM勺度数是否改变若不变，请求其值；若改变，请说明理由.
全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三 角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°， 则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补 充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充 一个条件，不一定能．．．． 推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B.AC AD = C.ACB ADB ∠=∠ D.CAB DAB ∠=∠ 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两 个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长约等于( ) A ．14cm B ．10cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中 转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 E D C B A ④ ①② ③ C A D P B 图（四）
第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D
考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F
. 七年级下三角形综合题归类 考点2：利用角相等证明垂直 1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 Q A F D E P B C 2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状. 拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交 AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F D A 图9 E B 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图1，?ABC的边BC在直线 l上，AC⊥BC,且AC=BC,?EFP的边FP也 在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的
(1) （ 2 数量关系和位置关系； A （2） 将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； E F （3）将 ?EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长 B D C 线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成 立，给出证明；若不成立，请说明理由. E A A (E) E A Q F P B C l B C (F) 三、 等腰三角形（中考重难点之一） P l B F (2) C P l (3) Q 考点 1：等腰三角形性质的应用 1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ， 取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ?EMC 的形状，并说明理由． M B D E A C 压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ?ABC 中， AC = BC ，∠C = 90? ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90? ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ． 当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ?DEF + S 1 ?CEF = S ?ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ?DEF ，S ?CEF ，S ?ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A A D E D D E C F 图1 B C 图2 C F B E 图3 B F 2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。(1) BF =AC (2) CE = 1 2 BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。 考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想） 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F . ⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时： ① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；
八年级上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，
AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ， ∴AN ⊥BE ，FN=EN ， 在△ABN 与△GBN 中，
图形全等——学习卷 学校 姓名 （一）三角形全等的识别方法 1、如图：△ABC 与△DEF 中 2、如图：△ABC 与△DEF 中 ∵?????===_______________________________________ ___________________ ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） 3、如图：△ABC 与△DEF 中 4、如图：△ABC 与△DEF 中 ∵?????===_______________________________________ ___________________ ∵?? ? ??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） 5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠____=∠_____=90° ∵???==______________________________________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ） （二）全等三角形的特征 ∵△ABC ≌△DEF ∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ； （全等三角形的对应边 ）
（三）填空题 1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ； 2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ， ∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ， ∠C= 度；∠D= 度； 3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300， 则∠DCB= 度； （第4小题） 第5小题 4、如图，若△ABC ≌△ADE ，则对应角有 ； 对应边有 （各写一对即可）； 5、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； 6、如图，平行四边形ABCD 中，图中的全等三角形 是 ； 7、如图，已知∠CAB＝∠DBA ，要使△ABC≌△B AD ，只需 增加的一个条件是 ； （只需填写一个你认为适合的条件） F E D C B A E D C B A C B A D C B A
B A O D C E 图2 三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2、如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点 （1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取 点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长． 2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。 C F G E D B A H C B O D 图 A E C E N D A B M 图① C A E M B D N 图②
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 初三数学证明( 二)测试题 一、选择填空题 2. 两个直角三角形全等的条件是( ) A. 一锐角对应相等 B. C. 一条边对应相等 D. 3. 不能确定两个三角形全等的条件是( A. 三边对应相等B. C. 两角和一条边对应相等 D. 两锐角对应相等两条直角边对应相等 ) 两条边及其夹角对应相等两条边和一条边所对的角对应相等 4. 下列判断正确的是( ) A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B ?有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5. 等腰三角形中，有一个角是30o，那么此三角形是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A. 顶角 B. 底角 C. 顶角的一半 D. 底角的一半 7. 等腰三角形的一个角是110°，则它的另外两个角是___________________ 。 8. 已知等腰三角形的一边长为4cm另一边长为9cm则它的周长为________________ 。 9. 某Rt/ ABC 中和Rt/ A'B'C'中，C C' 90°, A B' , AB A'B'，那么下列结论中 正确的是() A. AC AC' ' B. BC B'C' C. AC B'C' D. A A' 10. 一个三角形的三个内角的比例为1:1:2 ，则这个三角形三边之比为 ________________ 。 11. / ABC的两边分别为5，12,另一边c为奇数，且a b c是3的倍数，则c应为 ， 此三角形为_____________ 三角形。 12. 已知在/ ABC中, AB=ACAB的垂直平分线AC于D, / ABC和/DBC勺周长分别是60cm和38cm 则/ ABC的腰长和底边BC的长分别是() A. 28cm 和12cm B. 16cm 和22cm C. 20cm 和16cm D. 22cm 和16cm 13. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 14. __________________________________________________________________ 等腰三角形ABC中, AB=AC=2 B 15o，则/ABC的面积等于__________________________________ 。 15. 直角/ABC中, C 90o, AC的垂直平分线交AB于D,若AD=2cr p则BD= ______________ 。 16. 如图，直线CD是线段AB垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5则线段PB的 长度为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 17. 如图，等腰/ ABC中，AB=AC A 20°。线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于E,连接BE,则/ CBE等于() ,. 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC．求∠ AEB 的大小； （ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD不能重叠），求∠ AEB 的大小 . B C B C E E D O A O A D 图 7图 8 2. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM,△ CBN 都是等边三角形，且AN、 BM 相交于 O. ①求证： AN=BM ②求∠ AOB 的度数。 ③若 AN、 MC 相交于点 P， BM、 NC 交于点 Q，求证： PQ∥AB。 （湘潭·中考题） N M O P Q A C B 同类变式：如图 a，△ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 连接 AF 和 BE. C， (1)线段 AF 和 BE有怎样的大小关系 ?请证明你的结论； (2)将图 a 中的△ CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判 断并说明理由； (3) 若将图 a 中的△ ABC绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由 . 图 c 3.如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M , N分别为EB, CD的中点，易证： CD BE ，△ AMN 是等边三角形． ,. （ 1）当把△ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由． 图 9图10图11 同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中， AB AC ，AD AE，BACDAE ，且点 B， A， D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE， CD 的中点． （ 1）求证：①BE CD；②AM AN ； （ 2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 . C C N N E D A M B B D M A E 图①图② 4.如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE相交于点 H． （1）证明：△ABG≌△ADE； （2）试猜想BHD的度数，并说明理由； 八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB ，PE BC ∥ ∴四边形HBDP 是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE 是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE 是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ， 12 ），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____． 【答案】-8 3． 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时 针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程. B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图② 全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.三角形全等练习题(整理)
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