高中数学复习提升-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用

专题·限时训练 单独成册

对应学生用书第111页

A 卷 小题提速练

A 组 巩固提升练(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则{a n }的通项公式为( ) A ．4n －5 B ．4n －3 C ．2n －3

D ．2n －1

解析：当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5.经验证a 1＝S 1＝－1，也适合上式，∴a n ＝4n －5，故选A. 答案：A

2．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7

a 3

＝( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．52

解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7

a 3＝22＝4，

故选B. 答案：B

3．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝???

2，n 为奇数

0，n 为偶数

C ．a n ＝2sin n π

2 D ．a n ＝cos(n －1)π＋1

解析：对n ＝1,2,3,4进行验证，a n ＝2sin n π

2不合题意，故选C. 答案：C

4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24

D ．23

解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2

3，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D

5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝???

2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( )

A ．16

B ．20

C ．33

D ．120

解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C

6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44

D ．44＋1

解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1

a n

＝4(n ≥2)，

所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44. 答案：A

7．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0

B ．100

C ．5 050

D ．10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)

2＝5 050.

答案：C

8．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( ) A.12 014 B ．2 0142 015 C ．－2 0142 015

D ．12 015

解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1－1

a n

＝1，

又∵a 1＝1，∴1

a 1

＝1，∴数列????

??1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列，

∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a 2 015＝2 015， ∴a 2 015＝1

2 015.故选D. 答案：D

9．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2

n －1(n ≥2)，则a 6等于( )

A ．16

B ．8

C ．2 2

D ．4

解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以数列{a 2n }的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，

所以a 26＝3×6－2＝16，又因为a 6>0，所以a 6＝4.选D. 答案：D

10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143

B ．156

C ．168

D ．195

解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2

a n ＋1＋1＝

(

a n ＋1＋1)2，∴

a n ＋1＋1＝

a n ＋1＋1，又

a 1＋1＝1，故数列{

a n ＋1}是首

项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以

a 13＋1＝13，则a 13＝168，

故选C. 答案：C

11．在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝1

3，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )

A.5

6 B ．73 C.72

D ．5

解析：因为a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝1

3，a 7＝2，a 8＝3，依次类推可得a n ＝a n ＋4，所以数列{a n }的周期为4，a 2 016＝a 4＝3，a 2 017＝a 1＝1

2，所以a 2 016＋a 2 017＝7

2，故选C. 答案：C

12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，

…)，则a 100＝( ) A ．100 B ．1

100 C ．101

D ．1101

解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1a n ＝0得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，∵a n ＋1

＋a n ≠0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×

12×23×…×99100＝1

100，故选B. 答案：B

二、填空题

13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________. 解析：a 1＝S 1＝m －3，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，

∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，

∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0， 则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：6

14．若数列{a n }满足1

a n ＋1＝2a n ＋1a n

，且a 1＝3，则a n ＝________.

解析：由1

a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1

a n

＝2，

∴数列????

??1a n 是首项为1

3，公差为

2的等差数列．

∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝

36n －5

. 答案：3

6n －5

15．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2

n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和

为________．

解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，

又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.

答案：3n －1

16．数列{a n }中，a n ＞0，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *

)，则数列{a n }

的通项公式为________．

解析：由S n ＝a n (a n ＋1)2，a n ＞0，得a 1＝a 1(a 1＋1)

2，解得a 1＝1，又S n －1＝

a n －1(a n －1＋1)

2(n ≥2)，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2

n －1＋a n －a n －1，化简得a n －a n －1＝1(n ≥2)，则数列{a n }是首项和公差都等于1的等差数列，则a n ＝n . 答案：a n ＝n

B 组 “12＋4”组合练(建议用时：45分钟)

一、选择题

1．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40

D ．2＋log 25

解析：由题意可得a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝20，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝20，故选B. 答案：B

2．等差数列{a n }中，a n

a 2n

是一个与n 无关的常数，

则该常数的可能值的集合为( )

A ．{1}

B ．??????1，12 C.????

??12 D ．?

???

??0，1

2，1

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n a 2n ＝a 1－d ＋dn

a 1－d ＋2dn 为常数，则a 1＝d 或d ＝0，

a n a 2n ＝1

2或1，故选B. 答案：B

3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

解析：因为数列{a n }为各项均为正数的等比数列，则a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m ，解得

a m ＝2，所以数列{a n }为常数列，则T 2m －1＝22m －1＝512，解得2m －1＝9，m ＝5，故选B. 答案：B

4．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2

S 5－S 3

的值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2

D ．3

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 2

3＝a 1a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，

整理得a 1＝－4d ，所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝2，故选C.

答案：C

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋a 4＝－22，a 1＋a 4＋a 7＝－21，则使S n 达到最小值的n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 2＋a 4＝－22，a 1＋a 4＋a 7＝－21，得到2a 1＋4d ＝－22,3a 1＋9d ＝－21，联立解得a 1＝－19，d ＝4.所以a n ＝4n －23，所以a 5＜0，a 6＞0，所以当n ＝5时，S n 达到最小值． 答案：B

6．数列2 016,2 017,1，－2 016，…，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2 017项和等于( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．1

D ．0

解析：根据数列的规律可知该数列为2 016,2 017,1，－2 016，－2 017，－1，2 016，2 017，…，可知该数列是周期为6的数列，一个周期的和为0，所以S 2 017＝S 1＝2 016.

答案：A

7．数列{a n }中，a 1＝p ，a n ＋1＝qa n ＋d (n ∈N *，p ，q ，d 是常数)，则d ＝0是数列{a n }是等比数列的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：当d ＝0，p ＝0时，a n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；当q ＝0，p ＝d ，d ≠0时，a n ＝d ，则数列{a n }为公比为1的等比数列，所以必要性不成立，综上所述，“d ＝0”是“数列{a n }是等比数列”的既不充分也不必要条件，故选D. 答案：D

8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2

D ．a 100＝－1，S 100＝2

解析：依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A. 答案：A

9．已知数列{a n }满足a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝7

2a n (1－a n )，则a 1 413－a 1

314＝(

)

A ．－27

B ．27

C ．－37

D ．37

解析：∵a 1＝17，∴a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝3

7，∴当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为偶数时，a n ＝37.∴a 1 413－a 1 314＝67－37＝3

7.故选D. 答案：D

10．已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为S n ，且满足2S n ＝a n －a 2n (1≤n ≤5)，则满足条件的数列共有( ) A ．2个 B ．6个 C ．8个

D ．16个

解析：∵2S n ＝a n －a 2n ，∴2a 1＝a 1－a 21.解得a 1＝0或a 1＝－1，∵数列{a n }(1≤n ≤5)中不存在1和0，∴a 1＝－1.又∵2S 2＝a 2－a 22＝2(a 1＋a 2)，解得a 2＝－2.同理可得

a 3＝－3或2.当a 3＝－3时，可得a 4＝3，a 5＝－3或2，或a 4＝－4，a 5＝－5或4；当a 3＝2时，a 4＝－2，a 5＝－3或2.综上可知，满足条件的数列共有6个． 答案：B

11．(2017·太原模拟)定义

n

p 1＋p 2＋…＋p n

为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若

已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1

b 2b 3＋…＋

1

b 10b 11＝( ) A.111 B ．910 C.1011

D ．1112

解析：由已知，得

n

a 1＋a 2＋…＋a n ＝

12n ＋1

，

∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n .

当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.验证知，当n ＝1时此式也成立，∴a n ＝4n －1.

∴b n ＝a n ＋14＝n .∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝? ????1－12＋? ???

?12－13＋…＋? ????110－111＝10

11.故选C.

答案：C

12．若φ(n )表示正整数n 的个位数，a n ＝φ(n 2)－φ(n )，则数列{a n }的前2 016项之和为( ) A ．10 B ．2 018 C ．2 016

D ．－392

解析：由题意得a n 的值只与n 的个位数字有关，且a 1＝1－1＝0，a 2＝4－2＝2， a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0－0＝0，所以数列{a n }是以10为周期的周期数列，且从第一项起，每连续10项的和为0，所以数列{a n }的前2 016项之和为S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0＋2＋6＋2＋0＋0＝10，故选A. 答案：A 二、填空题

13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8

a

6＝________.

解析：由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，a n ＝2a n －1(n ≥2)，数列{a n }为等比数列，公比为2，a 8a 6＝22

＝4. 答案：4

14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝?????

4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.

答案：???

4，n ＝1，

2n ＋1，n ≥2

15．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n (n ∈N *)，则S 2 014＝________.

解析：由a n a n ＋1＝3n

知，当n ≥2时，a n a n －1＝3

n －1

.所以a n ＋1

a n －1

＝3，所以数列{a n }

所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝3，a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝3n .

所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝4×1－31 0071－3＝2×31 007－

2.

答案：2×31 007－2

16．数列{a n }中，a 1＝1

2，a n ＋1＝na n

(n ＋1)(na n ＋2)

(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式

a n ＝________.

解析：由已知可得(n ＋1)a n ＋1＝na n na n ＋2，设na n ＝b n ，则b n ＋1＝b n b n ＋2，所以1

b n ＋1

＝

2b n ＋1，可得1b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2? ???

?1b n ＋1，即??????1b n ＋1是公比为2，首项为3的等比

数列，故1b n ＋1＝3·(1－2n )1－2＝3·2n －3，由此可得1b n ＝3·2n －4，所以a n ＝1

n (3·2n －4). 答案：1n (3·2n －4)

B 卷 大题规范练(建议用时：75分钟)

1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .

解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n ＋1－a n }为常数列， ∴{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ， 则a 4＝a 1＋3d ，

∴d ＝2－8

3＝－2，∴a n ＝10－2n .

(2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.

∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，其中T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .

当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝

?????

9n －n 2(n ≤5)n 2－9n ＋40(n >5)

. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)．

(1)证明：数列????

??

S n 2n 为等差数列；

(2)求S 1＋S 2＋…＋S n .

解析：(1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1， 即S n ＋1－2S n ＝2

n ＋1

，整理得S n ＋12n ＋

1－S n

2n ＝1，

所以数列?

???

??

S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)可知，S n

2n ＝1＋n －1＝n ，即S n ＝n ·2n ， 令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ， 则T n ＝1·2＋2·22＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝1·22＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ①－②，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1， 整理得T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.

3．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *

)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝4(－1)n ＋1a n ＋1(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T 2n ＜1.

解析：(1)当n ＝1时，a 1＝1；

当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2

n ＝4S n －2a n －1，

所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，

两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，

所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以a n ＝2n －1.

(2)证明：b n ＝(－1)n ＋1(2n ＋1)n (n ＋1)

＝(－1)

n ＋1

?

????1n ＋1n ＋1 ∴T 2n ＝? ????1＋12－? ????12＋13＋…－? ????12n

＋12n ＋1 ＝1－

1

2n ＋1

＜1. ∴T 2n ＜1.

4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝2

2a n －1，其中n ∈N ＋.

(1)求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝4a n

n ＋1

，求数列{c n c n ＋2}的前n 项和T n .

解析：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22? ????1－14a n －1－2

2a n －1

＝4a n 2a n －1－2

2a n －1

＝2，

∴数列{b n }是公差为2的等差数列，

又b 1＝2

2a 1－1＝2，∴b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，

∴2n ＝

2

2a n －1

，解得a n ＝n ＋12n . (2)由(1)可得c n ＝4×n ＋12n

n ＋1＝2

n ，

∴c n c n ＋2＝2n ×2n ＋2＝2? ????1n －1n ＋2，

∴数列{c n c n ＋2}的前n 项和为

T n ＝2???

? ????1－13＋? ????12－14＋? ??

??13－15＋…＋

?

??? ????1n －1－1n ＋1＋? ????1n －1n ＋2 ＝2? ????1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝3－

4n ＋6

(n ＋1)(n ＋2)

.

5．一个公差不为零的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1,4,16项分别为正项等比数列{b n }的第1,3,5项．记数列{a n }各项和的值为S . (1)求S (用数字作答)；

(2)若数列{b n }的末项不大于S

2，求数列{b n }项数的最大值N ； (3)记数列{c n }，c n ＝a n b n (n ∈N *，n ≤100)．求数列{c n }的前n 项和T n .

解析：(1)设{a n }的公差为d (d ≠0)，由b 1，b 3，b 5成等比数列，得b 2

3＝b 1b 5，则a 24＝a 1a 16，即(5＋3d )2＝5(5＋15d )?d ＝0(舍)或d ＝5.

所以a n ＝5n (n ∈N *，n ≤100)，S ＝5×100＋

100×99

2

×5＝25 250. (2)由b 1＝5，b 3＝a 4＝20?q 2＝4(q ＞0)，所以q ＝2，b n ＝5·2n －1，由b n ≤S

2可得2n ≤5 050，所以n 的最大值为12.

又b n＋1＞b n，所以b1＜b2＜…＜b12≤S

2，当n≥13时b n＞S

2

，所以N＝12.

(3)c n＝a n b n＝25n·2n－1，则T n＝25(1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1)，2T n＝25[2＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n]，

两式相减得－T n＝25(1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n)＝25[(1－n)2n－1]，

所以T n＝25[(n－1)2n＋1](n∈N*，n≤100)．

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .

(完整版)数列的递推公式教案

数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把

现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n .

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 )

2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n