8 应力状态与应变状态分析
1、应力状态的概念，
2、平面应力状态下的应力分析，
3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:
321σσσ≥≥
最大切应力为
13
2
max σστ-=
（2）任斜截面上的应力
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
α
τασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（3) 主应力的大小
2
2min
max )2
(
2
xy
y
x y
x τσσσσσ+-±+=
主平面的方位
y x xy
tg σστα--=
220
4、主应变
12
2122x y x y xy xy
x y
()()tg εεεεεεγγϕεε⎡
=
+±-+⎣
=
-
5、广义胡克定律
)](
[1
z y x x E σσμσε+-=
)]([1
x z y y E σσμσε+-=
)]([1
y x z z E σσμσε+-=
G zx
zx τγ=
G yz
yz τγ=
，
G xy
xy τγ=
6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”
8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1
[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:
A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：
z M y I σ=
b
I QS z z
*=τ
由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元
解题范例
体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。
8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。
[解]（1）求斜截面上的正应力
︒30－σ和切应力︒30－τ
图8.2
由公式
MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100
5021005030-=︒---︒---++-=
︒-σ
MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100
5030=︒--+︒---=
︒-τ
（2）求主方向及主应力
8
.0100
50120
22tan -=----=--
=y x x σστα ︒-=66.382α
︒=︒
-=67.7033.1921αα
最大主应力在第一象限中，对应的角度为
070.67α=︒，主应力的大小为
1
5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=
⨯︒--⨯︒=－＋－－＋
由
y x σσσσαα+＝＋2
1
可解出
2
1
(50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－
因有一个为零的主应力，因此
)33.19(MPa
0.7133︒--＝第三主方向＝ασ
画出主单元体如图8.2(b)。
（3）主切应力作用面的法线方向
25
.1120100
502tan =---=
'α ︒='34.512α
︒='︒
='67.11567.2521αα
主切应力为
'
2
'
1
MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100
50ααττ-=-=︒-+︒--=
此两截面上的正应力为
MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100
502100501
=︒--︒--++-=
'ασ
MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100
502100502
=︒--︒--++-=
'ασ
主切应力单元体如图8.2（c ）所示。 由
y
x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252
1
，可以验证上述结果的正确性。
8.3 试用图形解析法，重解例8.2。 [解] （1）画应力圆
建立比例尺，画坐标轴τσ、。 对图8.2(a)所示单元体，在τσ
-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表y y τσ、的
点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）为半径，作应力圆如图8.3所示.
图8.3
(2) 斜截面上的应力
在应力圆上自A 点顺时针转过︒60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：
64.5ασ=-MPa
τα=34.95MPa
(3)主方向、主应力及主单元体
图8.3所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即
1121.04MPa OH σ==
K 点的横坐标OK 为第三主应力，即
371.04MPa OK σ==-
由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y 轴顺时
针转
0α，且
00238.66,19.33αα=︒=︒
应力圆图上由A 顺时针转到K 点(︒=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过︒33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图8.2(b)所示。
（4）主切应力作用面的位置及其上的应力
图8.3所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ，逆时针转过︒34.51，单元体上max τ作用面的外法线方向为由y 轴逆时
针转过︒67.25，且
MPa 04.96min max ==-=CB ττ
min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c)所示。
8.4 如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45︒方向两个微小线段ab 和ac 的的应变ε45︒＝629.4×10–6
，ε–45︒＝－66.9×10–6
，试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.25。
图8.4
[解] （1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力：
22,,42x y x pd pd m t t d t σστπ=
==-
（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力：
245245
32283228x y
x x y x pd m
t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=
+
+=+=-
（3）利用胡克定律，列出应变ε45︒、ε–45︒表达式
()()()()()()2454545245454511321181132118pd m
E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---⎡⎤=
-=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦＝-
将给定数据代入上式
6
6
3213200210629.4100.75 1.252001081020010p m π-⎛⎫⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯ ⎪
⨯⨯⨯⎝⎭
6
6
321320021066.9100.75 1.252001081020010p m π-⎛⎫⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯ ⎪
⨯⨯⨯⎝⎭
得内压强和外力矩
p ＝10MPa ， m ＝35kNm
8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ,梁外表面中性层上A 点45°方向的线应变为ε450
。请选择荷载F.
图 8.5
(A) A E με-︒145 （B ）A E 145-︒με (C) A E )1(4945με-︒ （D ）A
E )1(9445με-︒
答案:(A)
8.1 单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗?
[解] 正确。因为在主平面上的正应力σ1是单元体内各截面上正应力的极值（可以为最大值），而主平面上切应力为零。
8.2 单元体最大切应力面上的正应力恒等于零,对吗?
[解] 不正确。三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由31σσ决定，即：
2
3
1max σστ-=
8.3 若一单元体中两个面上切应力数值相等 , 符号相反 , 则该两平面必定相互垂直 , 这种说法对吗?
[解] 正确。由切应力双生互等定理知,若切应力数值上21ττ=，符号相反时，该两平面必定相互垂直。
习题解析
图 8.6
8.4 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆,受力如图 8.7 。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。
[解] 以下图8.8为图8.7各单元体受力图：
1
τ2
τ1
τ2
τx σσy
σy
σ（c ） 图 8.7
(a) （b ） （d ）
图 8.8 应力计算:
图（a ）的A 点 :
a N
63.69MP A σ=
=-
图（b ）的A 点:
a
3
80
50.96MP d
16
τ=
=π 图（c ）的A 点:
a N
127.38MP A
σ=
=
B 点
:
点
A 点
A 点
A )
(a )
(c )
(b 点
B )
(d 点
B τ
τ
τ
a N
127.38MP A σ=
= , a
38050.96MP d 16
τ==π 图（d ）中A 点(压应力):
3
a
33z
M 201025.48MP 1W 3.14(2010)32
-⨯σ===⨯⨯⨯ B 点:
*z a
z QS 4Q 0.17MP I b 3A τ===
(b ）中的A 为危险点，（c ）中的A 、B 为危险点，（d ）中的A ，B 点均为危险点,相比之下A 点的应力较大。
8.5 已知应力状态如图 8.9 所示(应力单位:MPa)。试用图解法求: (1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;
(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。 (a)300
斜截面单元本;(b)450
斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体 (e) 拉压切单元体。
图 8.9
[解](a) 按比例画出应力圆如下图,可得α=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为30a
45MP
︒
σ=
30a
8.5MP
︒
τ=
解析法校核：
x y x y
x a
x y
x a
30505030
cos2sin2cos6045MP 2222
50303
sin2cos2538.5MP
22
α
α
σ+σσ-σ+-
σ=+α-τα=+=
σ-σ-
τ=α+τα=⋅==
(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为
45a
5MP
︒
σ=
45a
25MP
︒
τ=
解析法校核：
x y x y
x a x y
x
a 5050cos 2sin 2cos9020sin 905MP 22
22
50
sin 2cos 2sin 9025MP 2
2
αασ+σσ-σσ=+
α-τα=
+-=σ-στ=
α+τα=
⋅=
(c ）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：
11a 232a
OA 50MP ,0,OA 50MP σ==σ=σ==-
主平面的方位可由应力圆上量得,因
112D OA 90
ϕ=∠=-
最大主应力作用面与x 平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):
45
ϕ=-
13
max a
50MP 2σ-στ=
=最大切力；
(d ）应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分
y
σ
C
E
X
O τ
Y
2α
别为：
1
1a
2
2a 3OA 70MP OA 30MP ,0σ==σ==σ= 最大主应力作用面与x 平面之夹角为(可由应力圆上得):
12FCA 90
45
ϕ=∠=-ϕ=-
max a
CF 20MP τ==最大切力
(e ）应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为
11a 32a
OA 44.7MP OA 44.7MP σ==σ==-
主平面的方位，可由应力圆上量得：
226.513.2
ϕ=-ϕ=-（对应于主应力σ1所在主平面）
max a
40MP τ=最大切力
8.6 图 8.10 示单元体 ( 单位为 MPa), 问分别属于什么应力状态。
图 8.10
[解] (1)(a)属于单向拉应力状态;
(2)(b)属于双向拉应力状态(平面应力状态); (3)(c) 属于双向拉剪应力状态; (4)(d) 属于纯剪应力状态;
(5)(e) 属于双向拉应力状态(平面应力状态).
8.7 用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为ε00
=700×10-6
, ε450
=350×10-6
,ε900
=-500×10-6
,试作应变圆,求该点处的主应变数值和方向。
[解] 选比例尺如图8.11（b ）所示，绘出纵坐标轴，并根据已知的u
y x εεε,,值分别作出平行
于该轴的直线
Lc L L b a 和,，过Lb 线上任一点B ，作与Lb 线成顺时针方向45°角的BA 线，交La 线
于A 点,作与Lb 线成逆时针转向45°角的BC 线交Lc 线于C 点。作BA 与BC 两线的垂直的平分线，相交于o 1点，过o 点作横坐标轴即ε轴，并以A O 1为半径作圆，按上述比例尺量取些二者的交点D1，D2横坐标，即得：
6
2361110600.,.........10800--⨯-==⨯==OD OD εε
再从应变圆上量得：
所示的方向如图（，主应变故)11,2221a εϕϕ ==
图 8.11
8.8用直角应变花测得构件表面上某点处ε0=+400×10-6
, ε450
=+260×10-6
, ε900=-80×10-6
, 试求该点处三个应变的数值和方向。
[解] 因
6
040010x εε-==⨯ 6
908010y εε-==-⨯
利用公式得
()()(
)
2
2
112045
4590
2x y εεεεεεε⎡
⎤
⎡⎤=++-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
()()()226666661400108010240010260102601080102------⎡⎤⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
661
32010520102--⎡⎤=⨯⨯+⨯⎣⎦
642010-=⨯
ε
γ/2
C
D2
y
εx
ε
()(
)(
)
2
2
20454590
122x y εεεεεεε⎡
⎤
⎡⎤=+-⨯-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
66
132010520102--⎡⎤=⨯⨯-⨯⎣⎦ 610010-=-⨯
()()0
6666
450902226010400801020010xy γεεε----=-+=⨯⨯-⨯-⨯=⨯
8.9 用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为ε0=-267×10-6
,ε45
0=-570×10-6
及
ε900 =79×10-6 ,构件材料为 Q235 钢,E=2.1×105
MPa, μ=0.3 。试利用应变圆求主应变,再求出该点处主应力的数值和方向。
图 8.12
[解] 选比例尺和纵坐标轴如图8.12所示,已知
x 0︒
ε=σ
11.9α=︒
()
()
6666
6
226010400108010220.416
400108010
u x y x y
arctg arctg
εεεμεε-----⨯⨯-⨯-⨯-+===-⨯+⨯2α
x y u 9045
,,δε=σε=εε=ε
先做La 、Lb 、Lc ，过上的任一点作与Lb 线成顺时针转向45度角的BA 线,交La 线于A 点;作与Lb 线成逆时针转向45度角的BC 线交Lc 线于C 点,作BA 与BC 线 交线于C 点.作BA 与BC 两线的垂直等分线,相交于O1点作横坐标轴即轴.并以为半径作圆,按上述比例尺即此二者的交点的横坐标,即得
61141010od ε-==⨯
6
3260010od ε-=-=-⨯
根据虎克定律得:
()()
()1112x x y E
σμεμεμμ⎡⎤=
-+⎣⎦+-
()()
()()566
2.11010.3267100.3791010.3120.3--⨯⎡⎤=⨯-⨯-⨯+⨯⨯⎣⎦+⨯-⨯
=-66MPa
()()
()1112y y x E
σμεμεμμ⎡⎤=
-+⎣⎦+-
()()
()()566
2.11010.379100.32671010.3120.3--⨯⎡⎤=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⎣⎦+⨯-⨯
=-10MPa 根据主应变求主应力:
[]1131
E εσμσ=
-
[]61
351
410100.32.110σσ-⨯=-⨯ []2311
E εσμσ=-
[]
63151
600100.32.110σσ--⨯=-⨯
可解得:
MPa MPa 1105331-==σσ
根据:
2
2
13
2
2x y x
σσσστ-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
可解得:
MPa x 5.76=τ
2276.5
2 2.73
6610
x x y tg τϕσσ⨯=-
=-=--+
035ϕ=
从X 轴到主应力1σ所在平面外法线,其角
ϕ是沿顺时针转向量取的。
8.10 图 8.13 示矩形截面简支梁在集中载荷P 作用下。
(1)在 A 、B 、C 、D 、E 五点取单元体,定性分析这五点的应力情况,并指出单元体属于哪种应力状态。
(2)若测得图示梁上 D 点在 x 及 y 方向上的正应变为εx =4.0×10-4
及εy =1.2 × 10-4
, 已知 E=200GN/m 2
, μ=0.3, 试求D 点 x 及 y 方向上的正应力。
图 8.13
[解] （1）A 、 B 、 C 、 D 、 E 五点的应力状态如图8.14所示，其中σＡ、σＢ均为压应
力，σＤ、σE 均为拉应力。A 、 B 、 D 、 E 为平面应力状态，C 为纯剪切应力状态。
图 8.14
(2) 根据广义虎克定律得
=24.6MPa
=78.5MPa
8.11图 8.15 示一钢质圆杆,直径 D=20mm, 已知 A 点与水平线成 60度 方向上 的正应变ε600
=4.1×10-4
,试求载荷 P 。已知 E=210GN/m 2
, μ=0.28。
()()()
[]410.7 4.00.3 1.210112x x y E σμεμεμμ-⎡⎤=-+=⨯+⨯⨯⎣
⎦+-
()()()[]410.7 1.20.30.410112y y x E σμεμεμμ-⎡⎤=-+=⨯+⨯⨯⎣⎦+-
图 8.15
[解] 过A 点取单元体,根据题意有
0x τ= 0x σ= y σσ=
6033
cos120sin1202
2
44x y
x y
x y σσσσστσσ
+-=
+
-== 1501
cos150sin1502
2
4x y
x y
x σσσσστσ
+-=+
-=
3
14
4460
601500.281 4.110E E E σσεσμσ-⨯⎡⎤=-=-=⨯⎣⎦
P
126.6MPa A
σ=
=
P A 39.8kN
=σ=
8.12 如图8.16所示,外力矩 Mn=2.5×103N ·m, 作用在直径 D=60mm 的钢轴上,若 E=210GN/m 2
, μ =0.28.试求圆轴表面上任一点在与母线成α=300
方向上的正应变。
图 8.16
[解] 过表面A 点取单元体,根据题意有
x y z σσσ===
第七章 应力状态及应变状态分析 第一节 概 述 在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。应力又分正应力 σ和剪应力τ两种。前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置 及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不 同的。同一点不同方向的应力也是不同的。过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。 研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体． 。如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。 当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．． 。该主(a) (b) 图7-1各点的应力情况
平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。 三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。单向应力状态又称为简单应力状态．．．．．．，二向三向应力状态又称为复杂应力状态．．．．．． 。 若从受力杆件中取出的单元体（如图7-5）各面都没有正应力，而单元体承受侧面（abb ′a′）上分布的剪应力x τ作用，为了满足0=∑y 的平衡条件，则在另一个侧面（cdd′c′）上必须作用有大小相等且方向相反的剪应力，但是这一对剪应力的合力组成一个力偶，对轴z 会产生力偶矩，那么，上、下两个平面(ac c ′a′, bdd′b′）上也应有剪应力y τ组成一个对z 轴的力偶矩，以保持单元体的平衡，并且由推导 y z 1 图7-2 单元体 图7-3 三向应力状态 (a) (b) 图7－4 单向、二向应力状态
预应力混凝土中的应力状态分析与计算 一、引言 预应力混凝土是一种特殊的混凝土结构体系，其特点是在混凝土成型 前设置预应力钢筋，以在混凝土固化后施加预应力，以达到增强混凝 土受力能力和延长混凝土使用寿命的目的。预应力混凝土结构体系中，预应力钢筋所施加的预应力会对混凝土产生一定的应力状态，本文将 对预应力混凝土中的应力状态进行分析与计算。 二、预应力混凝土中的应力状态 1. 应力状态的定义 应力状态是指物体内部存在的应力分布状态，包括正应力、剪应力、 轴向应力等。 2. 预应力混凝土中的应力状态 预应力混凝土中的应力状态是由预应力钢筋所施加的预应力和混凝土 自重、活荷载等所引起的应力状态组成。预应力钢筋所施加的预应力 会对混凝土产生拉应力，使混凝土内部形成压应力。同时，混凝土的
自重和活荷载会对混凝土产生压应力。 三、预应力混凝土中应力状态的计算 1. 预应力钢筋所施加的预应力计算 预应力钢筋所施加的预应力与钢筋的应力、钢筋的弹性模量、钢筋的伸长量、钢筋的截面积等因素有关。预应力钢筋所施加的预应力的计算公式如下： $F_p = E_p A_p \epsilon_p$ 其中，$F_p$为预应力钢筋的预应力；$E_p$为钢筋的弹性模量；$A_p$为钢筋的截面积；$\epsilon_p$为钢筋的伸长量。 2. 混凝土内部应力的计算 混凝土内部应力的计算需要考虑混凝土受到的预应力、自重和活荷载等因素。计算时需要先计算出混凝土内部的应力分布状态，然后再进行应力的计算。 (1) 预应力钢筋所施加的预应力产生的应力
预应力钢筋所施加的预应力会使混凝土内部形成拉应力和压应力。在预应力钢筋周围的混凝土中，拉应力的大小为： $\sigma_{p}=\frac{F_{p}}{A_{p}}$ 其中，$F_p$为预应力钢筋的预应力；$A_p$为钢筋的截面积。 在预应力钢筋周围的混凝土中，压应力的大小为： $\sigma_{c}=-\frac{F_{p}}{A_{c}}$ 其中，$A_c$为混凝土的截面积。 (2) 混凝土自重产生的应力 混凝土自重会对混凝土内部产生压应力，压应力的大小为： $\sigma_{self}=-\frac{G}{A_{c}}$ 其中，$G$为混凝土的自重。 (3) 活荷载产生的应力
9 应力状态及应变状态分析 通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。 9.1 应力状态的概念 9.1.1 一点处的应力状态 受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。 9.1.2 通过单元体分析一点的应力状态 如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。 图9.1应力状态的一般情况和已知三个 主应力的应力状态
9.1.3 主应力及应力状态的分类 包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图9.1a ）。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。 ① 主平面 如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。 ② 主应力 主平面上的正应力称为主应力。 ③ 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用1σ，2σ和3σ表示，即321σσσ≥≥（图9.1b ）。 ④ 应力状态的类型 若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。 9.2 应力状态的实例 9.2.1 直杆轴向拉伸时的应力状态 直杆轴向拉伸时（图9.2a ）， 围绕杆内任一点A 点以纵横六个截面取出单元体（图9.2b ），其平面图则表示在图9.2c 中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为A P =σ。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为 0,0,321===σσσA P 图9.2 直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 122x y xy x y ()tg εεεεγ?εε? = +±? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)]([1 x z y y E σσμσε+-= )]([1 y x z z E σσμσε+-= G zx zx τγ= G yz yz τγ= ， G xy xy τγ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *=τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。 8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
工程力学中的弯曲应力及应变分析 工程力学是工程学科中的重要分支，它研究物体在受力作用下的力学性质和变形规律。而在工程力学中，弯曲应力及应变分析是一项非常重要的内容。本文将从弯曲应力与应变的基本概念入手，探讨弯曲应力与应变的分析方法，并介绍一些相关的实际应用。 1. 弯曲应力与应变的基本概念 在工程力学中，弯曲是指物体在受到力的作用下，发生形状的变化，使其呈现出曲线状的变形。而弯曲应力则是指物体在弯曲过程中受到的内部力的大小。弯曲应变则是指物体在弯曲过程中产生的变形程度。弯曲应力与应变的分析是为了了解物体在受力作用下的变形情况，以便进行结构设计和强度计算。 2. 弯曲应力与应变的分析方法 弯曲应力与应变的分析方法主要有两种：一是基于弹性力学理论的解析方法，二是基于有限元分析的数值方法。 在解析方法中，我们可以利用梁的基本假设和弹性力学理论，通过求解弯曲方程和边界条件，得到弯曲应力与应变的解析解。这种方法适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到结果。但是对于复杂的结构和边界条件，解析方法往往难以应用。 数值方法中的有限元分析是一种常用的方法。它将结构划分成有限个小单元，通过求解每个小单元的力学方程和边界条件，最终得到整个结构的弯曲应力与应变分布。有限元分析可以处理复杂的几何形状和边界条件，但需要进行离散化处理和复杂的计算，计算量较大。 3. 弯曲应力与应变的实际应用
弯曲应力与应变的分析在实际工程中有着广泛的应用。例如，在建筑领域，我 们需要对梁、柱等结构进行弯曲应力与应变的分析，以保证结构的稳定性和安全性。在机械工程中，对于弯曲杆件、弯曲轴等零部件的设计，也需要进行弯曲应力与应变的分析，以确保其工作正常。此外，在航空航天、汽车制造等领域，对于飞机、汽车等复杂结构的弯曲应力与应变分析更是不可或缺的。 4. 弯曲应力与应变分析的挑战与发展 随着工程领域的不断发展，弯曲应力与应变分析也面临着一些挑战。首先是对 于复杂结构的分析问题，传统的解析方法和有限元分析方法可能无法满足需求，需要开发新的数值方法和计算技术。其次是对于非线性材料和大变形的分析问题，现有的弹性力学理论往往难以适用，需要引入更加复杂的力学模型和计算方法。 总之，弯曲应力与应变分析是工程力学中的重要内容，它在工程设计和结构计 算中起着至关重要的作用。通过合理的分析方法和技术手段，我们可以更好地了解结构在受力作用下的变形情况，从而为工程设计和结构优化提供科学依据。随着科技的发展，弯曲应力与应变分析也将不断发展和完善，为工程领域的进步做出更大的贡献。
应力与应力状态分析 拉伸模量 拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下： 拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡) 其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。 §4-1 几组基本术语与概念 一、变形固体的基本假设 1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。 根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。 2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。 3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。 根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。 二、应力的概念 1、正应力的概念 分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。 由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。 应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号K a P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。 几种单位的换算关系为：
1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P 2、切应力与全应力的概念 与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。 K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。 三、位移、变形及应变的概念 变形：构件的形状和尺寸的改变。 位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。 变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。 单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。 应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。 线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u 角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ 应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。 四、受力构件内一点处的应力状态的概念 构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。 研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。 为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。 主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为主应力。 可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。 一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。 原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。 主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。 应力状态的分类： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
工程力学之应力状态分析和强度计算 工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其基础之一就是应力状态分析和强度计算。应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况，强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。 应力状态分析是力学中的一个重要步骤，它不仅可以用来评估物体的受力情况，还可以为工程设计提供依据。在进行应力状态分析时，首先需要确定物体所受的外力，然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。具体来说，首先我们需要确定物体所受的外力，包括静力、动力以及热力等，这些外力会作用在物体的不同部位上。然后，通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理，可以计算得到物体内部的应力分布情况。在实际工程中，通常使用数值计算方法来解决这些力学方程，比如有限元法和边界元法等。 强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性，以确定物体是否满足设计和使用要求。在进行强度计算时，首先需要确定物体的强度参数，比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。然后，根据物体所受的应力状态，通过应力分析和计算，可以得到物体内部的应力大小。接下来，比较物体内部的应力和其强度参数，就可以判断物体是否安全和稳定。 应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。在土木工程中，它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况，以确保它们的安全使用。在机械工程中，它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性，以确保它们能够正常
工作。在航空航天工程中，它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况，以确保它们在高速和极端环境下的安全性。 总之，应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容，它们不仅可以为工程设计提供依据，还可以用来评估物体的强度和稳定性。在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题，从而确保工程项目的安全性和可靠性。在工程实践中，应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤，涉及到许多领域，如结构工程、材料工程、土木工程等。下面将重点介绍这两个方面的应用。 应力状态分析是通过计算和评估物体内部应力分布情况来研究物体的受力状态。在结构工程中，应力状态分析常常用于评估建筑物、桥梁、水坝等的受力情况。通过对建筑物的结构进行应力分析，可以确定主要受力构件的应力分布情况，以评估其承载能力和安全性。同样，在桥梁设计中，应力状态分析可以帮助工程师确定桥梁梁体和桥墩的应力分布及变形情况，从而更好地设计和改进桥梁结构。 在材料工程中，应力状态分析也非常重要。材料的力学性能与应力状态密切相关，了解材料受力情况可以帮助我们设计和选择合适的材料。例如，在机械设计中，对零件进行应力状态分析可以确定其所受的最大应力，从而选择合适的材料和加工工艺以满足设计要求。此外，在材料工程中，应力状态分析还可以用来确定材料疲劳寿命和断裂特性，以提高材料的可靠性和使用寿命。
工程力学中的应力分析方法 工程力学是研究力的作用和力的平衡的学科，它在各个工程领域中都起着重要 的作用。在工程设计和实践中，应力分析是至关重要的一环。应力分析方法的准确性和可靠性直接影响到工程结构的安全性和可持续性。本文将介绍工程力学中常用的应力分析方法，包括静力学方法、动力学方法和有限元方法等。 静力学方法是应力分析中最基础的一种方法。它基于牛顿第二定律和力的平衡 原理，通过求解结构的受力平衡方程来确定结构中的应力分布。静力学方法适用于静态加载条件下的结构，如建筑物、桥梁等。在应用静力学方法进行应力分析时，需要考虑结构的几何形状、材料的力学性质以及受力条件等因素。通过合理的假设和适当的边界条件，可以得到结构中各点的应力分布，并进一步评估结构的强度和稳定性。 动力学方法是应力分析中的另一种重要方法。它基于牛顿第二定律和动力学原理，通过求解结构的运动方程来确定结构中的应力分布。动力学方法适用于动态加载条件下的结构，如机械设备、飞行器等。在应用动力学方法进行应力分析时，需要考虑结构的质量、刚度以及加载条件等因素。通过合理的建模和适当的数值求解方法，可以得到结构在动态加载下的应力响应，并进一步评估结构的耐久性和可靠性。 有限元方法是应力分析中最常用的一种方法。它基于连续介质力学原理，将结 构离散为有限个小单元，通过求解单元之间的相互作用关系来确定结构中的应力分布。有限元方法适用于各种加载条件下的结构，具有较高的计算精度和灵活性。在应用有限元方法进行应力分析时，需要进行网格划分、材料特性的定义以及加载条件的施加等步骤。通过数值求解方法，可以得到结构中各个单元的应力分布，并进一步评估结构的强度和刚度。 除了上述方法，还有其他一些应力分析方法在特定的工程领域中得到广泛应用。例如，杆件法适用于轻型结构的应力分析，弹性理论适用于弹性体的应力分析，塑
第十章应力状态、强度理论与组合变形 在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。§10.1 应力状态 10.1.1 平面应力状态的一般分析 若构件只在x y平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在x y平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。 在垂直于x轴的左右二平面上作用有 正应力σx和剪应力τx y，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力σy 和剪应力τy x 。且由剪应力互等定理可知必有τx y=τy x=τ。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x 轴的夹角为α。 图10.1 平面应力状态分析
单位厚度的微元o a b 如图，截面o a 上作用的应力为σx 和τx y ，沿x 、y 方向的内力分别为-σx ∙a bcos α和τx y ∙a bcos α；截面ob 上作用的应力为σy 和τy x ，沿x 、y 方向的内力分别为τyx ∙a bsin α和-σy ∙a bsin α；设斜截面a b 上的应力为σn 和τn ，则斜截面上沿法向、切向的内力则为σn ∙a b 和τn ∙a b 。将上述各力投影到x 、y 轴上，有平衡方程： ∑F x =σn ∙a bcos α+ τn ∙ a b sin α-σx ∙ a bcos α+τy x ∙ a bsin α=0 ∑F y =σn ∙a bsin α-τn ∙a bcos α-σy ∙a bsin α+τx y ∙a bcos α=0 注意到τyx =τxy ，解得： σn =σx cos 2α+σy sin 2α-2τx y sin αcos α τn =(σx -σy )sin αcos α+τx y (cos 2α -sin 2α) 利用三角关系 cos 2α=(1+cos2α)/2，sin 2α=(1-cos2α)/2，sin2α=2sin αcos α，由上述结果可以得到平面应力状态下斜截面上应力的一般公式为： 斜截面上的应力是α角的函数，α角是x 轴与斜截面外法向n 的夹角，从x 轴到n 轴逆时针转动时α为正。 10.1.2 极限应力与主应力 现在讨论α角变化时，斜截面上法向正应力的极值。 令d σn /d α=0，由(10-1)式可得： 解得： ---（10-1） α τασσσσσ2sin 2cos 2 2 xy y x y x n --+ += α τασστ2cos 2sin 2 xy y x n +-= ---（10-2） 2cos 2sin 2 =+-ατασσxy y x y x xy tg tg σσταα-- ==2220---（10-4） ---（10-3）
工程力学中的应变与应力分析方法总结和应 用研究 工程力学是一门研究物体在受力作用下的运动和变形规律的学科，应变与应力分析是工程力学中的重要内容。本文将总结和探讨工程力学中的应变与应力分析方法，并探讨其在实际工程中的应用。 一、应变分析方法 应变是物体在受力作用下发生的变形程度的度量。应变分析方法主要有拉伸应变、剪切应变和体积应变等。 1. 拉伸应变：拉伸应变是指物体在受拉力作用下发生的变形程度。拉伸应变的计算公式为ε = ΔL / L0，其中ΔL为物体在受拉力作用下的变形长度，L0为物体的初始长度。拉伸应变的大小与物体的材料性质有关。 2. 剪切应变：剪切应变是指物体在受剪切力作用下发生的变形程度。剪切应变的计算公式为γ = Δx / h，其中Δx为物体在受剪切力作用下的变形长度，h为物体的高度。剪切应变的大小与物体的切变模量有关。 3. 体积应变：体积应变是指物体在受力作用下发生的体积变化程度。体积应变的计算公式为εv = ΔV / V0，其中ΔV为物体在受力作用下的体积变化量，V0为物体的初始体积。体积应变的大小与物体的体积模量有关。 二、应力分析方法 应力是物体内部受力情况的描述，应力分析方法主要有拉应力、剪应力和体应力等。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受拉力作用下单位面积上的受力情况。拉应力的计算公式为σ = F / A，其中F为物体受到的拉力，A为物体的受力面积。拉应力的大小与物体的弹性模量有关。 2. 剪应力：剪应力是指物体在受剪切力作用下单位面积上的受力情况。剪应力的计算公式为τ = F / A，其中F为物体受到的剪切力，A为物体的受力面积。剪应力的大小与物体的剪切模量有关。 3. 体应力：体应力是指物体内部各点上的应力情况。体应力的计算公式为σ = F / A，其中F为物体受到的力，A为物体的横截面积。体应力的大小与物体的杨氏模量有关。 三、应变与应力分析方法的应用研究 应变与应力分析方法在实际工程中有着广泛的应用。例如，在建筑工程中，应变与应力分析方法可以用来评估建筑物在受力作用下的变形情况，从而保证建筑物的结构稳定性和安全性。 此外，应变与应力分析方法还可以应用于材料工程、机械工程等领域。例如，在材料工程中，应变与应力分析方法可以用来研究材料的强度和刚度等性能，从而指导材料的选择和设计。 总之，应变与应力分析方法是工程力学中的重要内容，它们可以用来描述物体在受力作用下的变形和受力情况。通过应变与应力分析方法的应用研究，我们可以更好地理解和掌握物体的力学行为，从而为实际工程提供科学依据和技术支持。
工程力学研究中的应变和应力分析方法的总 结和应用研究总结和应用 工程力学是工程学科中非常重要的一门学科，它研究物体在受力作用下的变形 和破坏规律。在工程力学研究中，应变和应力分析方法是非常关键的内容，它们能够帮助工程师分析和解决实际工程中的问题。本文将对应变和应力分析方法进行总结，并探讨其在工程实践中的应用。 应变是物体在受力作用下发生的形变量，它是描述物体变形程度的重要指标。 在工程力学研究中，常用的应变分析方法有拉伸应变、剪切应变和压缩应变等。拉伸应变是指物体在受拉力作用下的形变量，可以通过应变计等仪器进行测量。剪切应变是指物体在受剪切力作用下的形变量，可以通过切变应变计等仪器进行测量。压缩应变是指物体在受压力作用下的形变量，可以通过压缩应变计等仪器进行测量。通过对应变的测量和分析，工程师可以了解物体在受力作用下的变形程度，从而为工程设计和结构优化提供依据。 应力是物体在受力作用下的内力，它是描述物体抵抗外力作用的能力的重要指标。在工程力学研究中，常用的应力分析方法有正应力和剪应力等。正应力是指物体在受拉力或受压力作用下的内力，可以通过应力计等仪器进行测量。剪应力是指物体在受剪切力作用下的内力，可以通过剪应力计等仪器进行测量。通过对应力的测量和分析，工程师可以了解物体在受力作用下的内力分布情况，从而为工程设计和结构优化提供依据。 应变和应力分析方法在工程实践中有着广泛的应用。首先，在材料力学研究中，应变和应力分析方法可以用于研究材料的力学性能和变形规律。通过对材料的应变和应力进行测试和分析，可以得到材料的力学参数，如弹性模量、屈服强度和断裂韧性等，从而为材料的选择和使用提供依据。其次，在结构力学研究中，应变和应力分析方法可以用于分析和评估结构的稳定性和安全性。通过对结构的应变和应力
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3)主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγϕεε⎡ =+±-+⎣ = - 5、广义胡克定律
)] ( [ 1 z y x x E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力；前后边面为自由表面，应力为零。 解题X例
工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力 在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。 斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。  假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。点P的坐标可以表示为(x,y,z)。截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。 为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤： ### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力 为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。 在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。同时我们还需要注意到式中的F_z。 如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。 对应的应力分量为： $$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$ 其中，Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。由于F_x和F_y都垂直于z 轴，所以在z方向上不存在应力分量。 ### 第三步：求解点P处的应力状态 现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量，接下来我们需要求解点P处的应力状态。如下图所示，我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。
工程力学中的应力变形分析 引言： 工程力学是一门研究物体在受力作用下的力学性质和变形规律的学科。应力变 形分析是工程力学中的一个重要内容，它研究物体在受到外力作用时的应力分布和变形情况。在工程实践中，准确分析和预测物体的应力和变形是设计和制造可靠结构的基础。本教案将以工程力学中的应力变形分析为主题，通过分析不同材料和结构在受力作用下的应力和变形规律，帮助学生深入理解力学的基本原理和应用。 第一节：材料力学基础 材料力学是工程力学中的基础学科，它研究材料的力学性质和变形规律。在应 力变形分析中，了解材料的力学性质对于准确分析应力和变形至关重要。本节将介绍材料力学的基本概念和常用力学模型，包括弹性模量、屈服强度、塑性行为等。通过实例分析不同材料的力学性质，引导学生理解材料力学与应力变形分析的关系。 第二节：应力分析 应力是物体内部抵抗外力作用的力，它描述了物体受力状态的特征。在应力变 形分析中，准确计算和分析物体的应力分布是解决实际工程问题的关键。本节将介绍应力的概念和计算方法，包括平面应力、平面应变、轴对称应力等。通过具体案例分析，引导学生掌握应力计算的基本原理和方法。 第三节：变形分析 变形是物体在受力作用下发生的形状和尺寸的变化，它是应力变形分析的另一 个重要内容。准确预测物体的变形情况对于设计和制造结构具有重要意义。本节将介绍变形的概念和计算方法，包括线弹性变形、平面弹性变形、轴对称弹性变形等。通过实例分析，引导学生理解变形计算的基本原理和方法。 第四节：应力应变关系
应力和应变是描述物体力学性质的两个重要参数，它们之间的关系对于应力变 形分析具有重要意义。本节将介绍应力应变关系的基本概念和常用模型，包括胡克定律、非线性应力应变关系等。通过实例分析，引导学生理解应力应变关系的物理本质和应用。 第五节：结构应力变形分析 结构是由多个构件组成的系统，它们在受力作用下会发生应力和变形。结构应 力变形分析是工程实践中的一个重要内容，它研究结构在受力作用下的稳定性和安全性。本节将介绍结构应力变形分析的基本原理和方法，包括静力学平衡方程、弯曲、剪切、扭转等。通过实例分析，引导学生掌握结构应力变形分析的关键技术和应用。 结论： 工程力学中的应力变形分析是解决实际工程问题的基础和关键。通过深入学习 和理解材料力学、应力分析、变形分析、应力应变关系和结构应力变形分析等内容，学生将能够准确分析和预测物体的应力和变形情况，为设计和制造可靠结构提供科学依据。同时，通过实例分析和综合应用，培养学生的工程实践能力和创新思维，提高解决实际问题的能力。
工程力学中的应力集中分析及其在设计中的 应用 工程力学是工程学科中的重要分支，研究物体在受力作用下的变形和破坏规律。在工程设计中，应力集中是一个常见的问题，它指的是受力物体中某一局部区域的应力值明显高于周围区域的现象。应力集中会导致物体的强度降低，甚至引发破坏，因此在设计中需要进行应力集中分析，并采取相应的措施来减轻应力集中效应。 应力集中分析是通过数学方法和力学原理，对受力物体中的应力集中现象进行 定量分析。在实际工程中，应力集中往往发生在物体的几何不连续或载荷集中的部位。常见的应力集中形式包括孔洞、切口、凹槽等。在进行应力集中分析时，首先需要确定受力物体的几何形状和材料特性，然后根据受力情况和边界条件，应用弹性力学理论进行计算。通过计算得到的应力集中系数，可以评估应力集中的程度，并为设计提供依据。 应力集中分析在工程设计中具有重要的应用价值。首先，它可以提供设计中的 安全边界。在设计中，我们通常会对受力物体进行合理的尺寸和形状设计，以保证其在正常工作条件下不发生破坏。应力集中分析可以帮助工程师确定材料的合适尺寸和形状，以减轻应力集中效应，提高物体的强度和稳定性。 其次，应力集中分析可以指导材料的选择。不同材料在受力下的应力分布情况 不同，有些材料对应力集中的抵抗能力更强。通过应力集中分析，可以评估不同材料在特定载荷下的应力集中程度，从而选择合适的材料。这对于工程设计中的材料选型具有重要意义，可以提高工程的安全性和可靠性。 此外，应力集中分析还可以指导结构的优化设计。在实际工程中，我们常常会 遇到需要在有限空间内承受较大载荷的结构设计问题。应力集中分析可以帮助工程师找到应力集中的位置和程度，并通过改变结构的形状、尺寸和材料等因素，来减
平面应力状态的判定 引言： 在工程力学中，平面应力状态是指一个物体在两个相互垂直的平面上受到的力的状态。判定平面应力状态的方法有很多，本文将介绍三种常用的判定方法：应力分量判定法、应力变化率判定法和应力主值判定法。 一、应力分量判定法 应力分量判定法是通过分析物体在平面上的应力分量来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为三种情况： 1. 等应力状态：当物体在平面上的应力分量相等时，即σx = σy，这种情况下物体处于等应力状态。在等应力状态下，物体内部各处受到的应力是相同的，不会出现应力集中现象。 2. 纯压应力状态：当物体在平面上的一个应力分量为零，另一个应力分量不为零时，即σx = 0，σy ≠ 0或σx ≠ 0，σy = 0，这种情况下物体处于纯压应力状态。在纯压应力状态下，物体受到的应力是等方向的，不会引起物体的形变和变形。 3. 剪应力状态：当物体在平面上的两个应力分量都不为零且不相等时，即σx ≠ σy，这种情况下物体处于剪应力状态。在剪应力状态下，物体内部各处受到的应力方向不同，会引起物体的形变和变形。
二、应力变化率判定法 应力变化率判定法是通过分析物体在平面上的应力变化率来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为两种情况： 1. 等应力变化率状态：当物体在平面上的应力变化率相等时，即dσx/dx = dσy/dy，这种情况下物体处于等应力变化率状态。在等应力变化率状态下，物体内部各处受到的应力变化率是相同的，不会出现应力集中现象。 2. 剪应力变化率状态：当物体在平面上的应力变化率不相等时，即dσx/dx ≠ dσy/dy，这种情况下物体处于剪应力变化率状态。在剪应力变化率状态下，物体内部各处受到的应力变化率不同，会引起物体的形变和变形。 三、应力主值判定法 应力主值判定法是通过计算物体在平面上的主应力来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为三种情况： 1. 等主应力状态：当物体在平面上的两个主应力相等时，即σ1 = σ2，这种情况下物体处于等主应力状态。在等主应力状态下，物体内部各处受到的主应力是相同的，不会出现应力集中现象。 2. 纯拉应力状态：当物体在平面上的一个主应力为零，另一个主应力不为零时，即σ1 = 0，σ2 ≠ 0或σ1 ≠ 0，σ2 = 0，这种
第10章 应力状态分析和强度理论 习题解答 题10-1 解a ）MPa 10)452sin(15)452cos(2) 20(102)20(1045=⨯--⨯--+-+= )(σ MPa 15)452cos()15()452sin(2 ) 20(1045=⨯-+⨯--= τ 解b ）MPa 32.47)302sin(20)302cos(20 40204030=⨯--⨯--++=- σ MPa 32.7)60cos(20)60sin(2 4030-=-+--=- τ 解c ）MPa 3560sin 060cos 250 302503030=⨯--++= σ MPa 66.860cos 060sin 2 50 3030-=⨯+-= τ 解d ）MPa 725546sin 2046cos 210 302103013.)(=---++= σ MPa 7.646cos 2046sin 2 10 3013-=--= τ (a) (b) (c) (d) 题 10—1图
题10-2 解a ）： 解b ）： 应用应力圆： 应用应力圆： MPa 1045= σ MPa 54730.=- σ MPa 1545= τ MPa 4730.-=- τ 解c ）： 解d ）： 应用应力圆： 应用应力圆： MPa 3630= σ MPa 3813= σ MPa 6830.-= τ MPa 1413-= τ 题10-3 解a ） (a) (b) 题 10—3 图
由应力圆得：,MPa 111=σ 52=ϕ, MPa 713-=σ 解b ） 由应力圆得：,.MPa 1371=σ 71-=ϕ， MPa 1273.-=σ 题10-4 解a ）：由应力圆图得： 解a ）：由应力圆图得： ,MPa 42max =τ ,MPa 3097-= σ ,.MPa 532max =τ ,MPa 526=- σ ,MPa 42min -=τ MPa 307-= σ ,.MPa 532min -=τ MPa 564= σ 974552=+=ϕ 264571-=+-=ϕ 各位置方向见图（a ）中F 1 和F 2 各位置方向见图（b ）中F 1 和F 2 D 1